期中考试仿真模拟试卷02-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

这是一份期中考试仿真模拟试卷02-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数，则的虚部为（ ）
A. 1B. -2C. D.
2．已知，向量与的夹角为，则（ ）
A. 5B. C. D.
3．如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A. 16cm B. cm C. 8cm D. cm
4．已知三角形的外接圆圆心为，且，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5．设内角的对边分别为，已知，，，的平分线交边BC于点D，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
6．在△ABC中，sin A＝，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
7．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（ ）
A. B. C. D.
8．已知O为的外心，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A. 直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形
B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间部分是棱台
C. 存在四个面均为直角三角形的四面体
D. 棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
10．设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线BN与MB1是异面直线B. 直线AM与BN是平行直线
C. 直线MN与AC所成的角D. 平面BMN截正方体所得的截面面积为
12．已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（ ）
A. 若为直角三角形，则；
B. 若，则为等腰三角形；
C. 若，则的面积为；
D. 若，则．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，若，则______．
14.如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是_____.
15. 一般地，的夹角可记为，已知，，，，，，，则_________．
16．已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若，是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数a，b的值．
18．已知，．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
19．已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
20．如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E．
（1）若，求和的值；
（2）用向量表示．
21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角C的大小；
（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
22．如图1，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
（1）当为正三角形时求修建的木栈道与道路，围成的三角地块面积；
（2）若的面积，求木栈道长；
（3）如图2，若景区中心与木栈道段连线的，
①将木栈道的长度表示为的函数，并指定定义域；
②求木栈道的最小值．
期中考试仿真模拟试卷02
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则的虚部为（ ）
A. 1B. -2C. D.
【答案】A
【解析】因为复数，
所以，
所以的虚部为1，
故选：A
2．已知，向量与的夹角为，则（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，向量与的夹角为
∴
∴
故选：D.
3．如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A. 16cm B. cm C. 8cm D. cm
【答案】A
【解析】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，
又，，，
所以，
周长为．
故选：A．
4．已知三角形的外接圆圆心为，且，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意三角形的外接圆圆心为，且，
所以是的中点，即是圆的直径，且，
由于，所以三角形是等边三角形，
设圆的半径为，则，，
所以在上的投影向量为.
故选：A
5．设内角的对边分别为，已知，，，的平分线交边BC于点D，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意和余弦定理可得，
由角平分线性质定理可得，
由余弦定理知，
，
整理可得,
解得或（舍去，不满足两边之和大于第三边）
故选：B
6．在△ABC中，sin A＝，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】由条件可知,
因为，所以
，所以，
所以，
整理为：,
即
因为，所以，
，所以是直角三角形.
故选：A
7．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，该模型内层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，
可知内层圆柱的高
同理，该模型外层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，
可知外层圆柱高
此模型的体积为
故选：C
8．已知O为的外心，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设的外接圆的半径为R，
∵，
∴，且圆心在三角形内部，
∴
∴，
∴
根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得：
∴
解得=
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A. 直棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形
B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间部分是棱台
C. 存在四个面均为直角三角形的四面体
D. 棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形
【答案】CD
【解析】对于A：根据直棱柱的概念：侧棱与底面垂直的棱柱，则直棱柱的侧棱都相等，侧面也是矩形，但底面多边形的边长不一定相等，所以侧面不一定全等，A错误；
对于B、D：根据棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，B错误；
棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形，D正确；
对于C：如图，三棱锥，平面，
∵平面，则可得：,,
平面，则
∴三棱锥的四个面均为直角三角形，C正确；
故选：CD．
10．设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由，，
若，则：
当时在外部；
当时在上；
当时在内部；
若λ,μ=0，则P在OA或OB上；
若，则在外部；
A：且，故在内部；
B：且，故在上；
C：，有，故在外部；
D：，有且，故在内部；
故选：AD
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线BN与MB1是异面直线B. 直线AM与BN是平行直线
C. 直线MN与AC所成的角D. 平面BMN截正方体所得的截面面积为
【答案】AD
【解析】直线BN与MB1是异面直线，故A正确；
直线AM与BN是异面直线，故B错误；
如下图，由条件可知，所以异面直线与所成的角为，是等边三角形，所以，故C错误；
如下图，连接、、，因为，，所以，
又，则四边形是梯形，且四边形为平面截正方体所得的截面， ，，所以四边形是等腰梯形，
则梯形的高是，
所以梯形的面积，故D正确.
故选：AD.
12．已知的内角分别为，满足，且，则以下说法中正确的有（ ）
A. 若为直角三角形，则；
B. 若，则为等腰三角形；
C. 若，则的面积为；
D. 若，则．
【答案】BD
【解析】根据题意，依次分析4个结论：
对于A，根据题意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，则a：b：c＝ln2：ln4：lnt，
故可设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．
则有b﹣a＜c＜b+a，则kln2＜c＜3kln2，变形可得2＜t＜8，
当时；c最大，若直角三角形，则，即，解得；
当时；若为直角三角形，则，即，解得综上：或，故A错；
由题意，abcsC＝abmc2，
∴m．
若，则解得t=4，故，为等腰三角形；B正确；
对于C，当t＝4，a＝kln2时，则b＝kln4，c＝klnt＝kln4，则有b＝c＝2a，此时等腰△ABC底边上高为 ，三角形面积为，C错；
对于D，当,则有a2+b2﹣c2＜0，即解得由选项A,B的解析知kln2＜c＜3kln2综合两式得，故m 选项D正确；
综合可得BD正确；
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，若，则______．
【答案】1
【解析】
故答案为：1
14.如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是_____.
【答案】a##15a
【解析】在图②中，水所占部分为四棱柱，
四棱柱底面积为，高为，
所以四棱柱的体积为，
设图①中容器内水面的高度为h，则，
解得
故答案为：##1.5a
15. 一般地，的夹角可记为，已知，，，，，，，则_________．
【答案】##025
【解析】因为，所以
，，即
，解得，所以．
故答案为：．
16．已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】，
又锐角中，，且，，
将代入上面三个不等式，
得到且，
，令，则，
所以在上单减，在上单增，
又当时，的值为，
当或时，的值为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若，是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数a，b的值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】（1）因为复数是纯虚数，
所以，解得：m=1.
（2）当时，.
因为是关于x的实系数方程的一个复数根，所以的共轭复数也是实系数方程的根，
所以，解得：.
18．已知，．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，
所以，，
因为与的夹角为钝角，
所以，且，
解得且，
所以的取值范围为；
（2）根据题意，，
则，
所以，
又，则，
所以的取值范围是．
19．已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）沿侧棱将正三棱锥的侧面展开，如图，则即为质点移动路程的最小值，
依题意，，且，
由余弦定理得，
所以，
所以质点移动路程的最小值为.
（2）正三棱锥的所有棱长均为2，则为正四面体，设其高为，正内切圆的半径为，
由，解得，
正四面体的斜高为，，依题意，圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
20．如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E．
（1）若，求和的值；
（2）用向量表示．
【答案】（1）， （2）
【解析】（1）以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，
所以
所以，
所以
解得
（2）设，
因为，
所以．解得，
即，所以，
又因为M，E，N三点共线，所以，
所以﹒
21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角C的大小；
（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】（1）或 （2）
【解析】（1）由正弦定理可得
整理得
因为，所以，
所以，所以或
（2）因为，所以，
由正弦定理可得
因为锐角三角形，
所以，所以
所以
所以，
可得
即面积的取值范围为
22．如图1，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
（1）当为正三角形时求修建的木栈道与道路，围成的三角地块面积；
（2）若的面积，求木栈道长；
（3）如图2，若景区中心与木栈道段连线的，
①将木栈道的长度表示为的函数，并指定定义域；
②求木栈道的最小值．
【答案】（1）；（2）7；（3）①，；②6.
【解析】（1）当是等边三角形时，，，
则，则，
面积为；
（2）在中，因为，
则解得，
所以，
则，
所以，
则，
由余弦定理可得，，
即，则，
则，则解得；
（3）设圆与，分别切于，，
则，，，
则，，
则，，
由，可得，
由，
可得，则，
则；
①；；
②
，
当且仅当时等号成，则的最小值6．