2022-2023学年高一数学下学期期中考试全真模拟试卷03（人教A版2019必修第二册）

这是一份2022-2023学年高一数学下学期期中考试全真模拟试卷03（人教A版2019必修第二册），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若为的边的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A. B. C. D.
4．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的值是（ ）
A. B. C. 9D. 11
6．已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（ ）
A. -2B. 2C. D.
7．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则（ ）
A. 3B. C. 2D. 4
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A. B. C D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则实数a的值为2
B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C. 实数是（为的共轭复数）的充要条件
D. 若，则实数a的值为2
10．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
11．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（ ）
A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米
C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米
12．已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是等边三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z满足，则_____．
14.已知是平面内两个不共线向量，，A，B，C三点共线，则_____．
15. 已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为____________．
16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，i为虚数单位，复数．
（1）若，求m的值；
（2）若复数z对应的点在第二象限，求m的取值范围．
18．已知，．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
19．已知长方体全部棱长的和为28，其外接球的表面积为，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．
（1）求棱的长；
（2）求几何体的表面积．
20．在①，，且；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上，并解答.
已知中，三个内角，，所对边分别是，，，其中，且____________.
（1）求外接圆半径；
（2）若点是的中点，的长度为，求的面积.
21．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点.
（1）证明：平面
（2）求三棱锥的体积.
22．在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）若，求△ABC的面积；
（3）求的值；
（3）求的取值范围．
期中考试全真模拟试卷03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若为的边的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为为的边的中点，
所以，根据向量加法法则得，
所以.
故选：B
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】 ,对应点为 , 位于第二象限,
故选：B
3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为，所以，解得：，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积.
故选：B.
4．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵向量，，
∴，故A错误；
由，可得B错误；
又，，
所以，即，故C正确；
由，故D错误.
故选：C.
5． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的值是（ ）
A. B. C. 9D. 11
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，又，，
∴ ，，
∴ ，又，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C.
6．已知平面向量，满足，，与的夹角为，，则实数的值为（ ）
A. -2B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
即，又的夹角为，
所以，
所以，解得.
故选：B.
7．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则（ ）
A. 3B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】，且，
，
，
，即，
，
，
，，，
，
由正弦定理知，，
，即，
，
．
故选：D
8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，
则，
解得，
由球的截面性质得： ，
解得，
所以球的体积为，
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则实数a的值为2
B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C. 实数是（为的共轭复数）的充要条件
D. 若，则实数a的值为2
【答案】ACD
【解析】
∴选项A：为纯虚数，有可得，故正确
选项B：在复平面内对应的点在第三象限，有解得，故错误
选项C：时，；时，即，它们互为充要条件，故正确
选项D：时，有，即，故正确
故选：ACD
10．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】AD
【解析】∵P是所在平面内一点，且，
∴，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
11．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（ ）
A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米
C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米
D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米
【答案】ACD
【解析】对A选项，设顶角为，则，得，所以顶角为，A正确；
对B选项，因为顶角为，则截面三角形的最大面积为平方厘米，B错误；
对C选项，因为顶角为，则，所以外接球半径等于圆锥母线长，即
则该球的表面积为平方厘米，C正确；
对D选项，设球的最大半径为，因为顶角为，则，所以
，D正确．
故选：ACD
12．已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是等边三角形
【答案】CD
【解析】对于A选项，由余弦定理可得，且，故为锐角，
但角或角可能为钝角，A错；
对于B选项，因为，则，
所以，，则或，
所以，为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，由及正弦定理得
，
所以，，
、、，则，所以，，
因为余弦函数在上为减函数，故，所以，一定是等腰三角形，C对；
对于D选项，由及正弦定理可得，
即，
因为至少有两个锐角，不妨设、为锐角，
所以，，则也为锐角，
因为函数在上单调递增，所以，，
因此，为等边三角形，D对.
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z满足，则_____．
【答案】
【解析】由，
所以.
14.已知是平面内两个不共线向量，，A，B，C三点共线，则_____．
【答案】
【解析】由可得，解的
故答案为：
15. 已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为____________．
【答案】##
【解析】依题意，不妨令，于是得直三棱柱共点于A的三条棱AB，AC，AA1两两垂直，，
则以AB，AC，AA1为相邻三条棱可作长方体，该长方体与直三棱柱有相同的外接球，
外接球的直径2R即为长方体体对角线长，即，
此球的体积为，
故答案为：.
16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
【答案】
【解析】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，i为虚数单位，复数．
（1）若，求m的值；
（2）若复数z对应的点在第二象限，求m的取值范围．
【答案】（1）-3或1 （2）
【解析】（1）
由题意得：，解得：或1，
经检验，均满足题意，故m的值为-3或1
（2）由题意得：，
解得：或
故m的取值范围是
18．已知，．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为，，
所以，，
因为与的夹角为钝角，
所以，且，
解得且，
所以的取值范围为；
（2）根据题意，，
则，
所以，
又，则，
所以的取值范围是．
19．已知长方体全部棱长的和为28，其外接球的表面积为，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．
（1）求棱的长；
（2）求几何体的表面积．
【答案】（1）2或3；（2）．
【解析】（1）设，，，则，∴①
又为长方体外接球半径)，∴②
又，∴③
由①②③，解得或或
∴棱长AA1为2或3
（2）由（1）知，
若，，则
其他情况，同理
∴
20．在①，，且；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上，并解答.
已知中，三个内角，，所对边分别是，，，其中，且____________.
（1）求外接圆半径；
（2）若点是的中点，的长度为，求的面积.
【答案】（1）1； （2）.
【解析】（1）选①：，则，
所以，又，
则，，故，可得外接圆半径；
选②：，而，
所以，即，
又，则，，故，外接圆半径；
选③：由，
所以，故
由，故，则外接圆半径；
（2）由题设，，
所以，
，
所以，即，则的面积.
21．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点.
（1）证明：平面
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）1； （2）.
【解析】（1）连交AE于点M，连 MF，
为BC的中点，G为CF的中点，，
，，∽，
，，
平面AEF，平面AEF，平面
（2）在三棱柱中，平面平面，平面ABC，平面，
点A，F到平面距离相等，
，
侧面为矩形，，
，，，
，AB，平面，
平面，
为三棱锥的高，
，，
，
，
三棱锥的体积为
22．在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）若，求△ABC的面积；
（3）求的值；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由余弦定理
结合可知，△ABC的面积
（2）因为，，所以，
由正弦定理，
所以，①
由于，
带入①式可知：
（3）解法1：
设BC中点为D，则
所以
如下图所示，
设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故
设，则，由余弦定理：
由于函数在时单调递减，，
所以
解法2：
由余弦定理②
由定义
所以
设，
则
由正弦定理：
其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知
注意到，
所以
所以，②式变形为，故
从而，
此时函数单调递减，而，
所以