期末模拟测试卷03-2022-2023学年高一数学下学期期末模拟测试卷（苏教版2019必修第二册）（原卷版+解析版）

2022-2023学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷03

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，i为虚数单位，则z的共轭复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】，

所以z的共轭复数为，

故选：B.

2．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定

【答案】B

【解析】因为，，

所以，整理得，

所以三角形的形状是直角三角形.

故选：B

3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（    ）

A.  B.  C. 3π D. 4π

【答案】A

【解析】圆锥侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.

故选：A.

4．若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】设向量与的夹角为，

则，

则在上的投影向量为．

故选：B．

5．已知、为锐角，且，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】因为、为锐角，所以，

因为，所以，

因为，所以，

故

故选：A

6．已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，，若，则

C. 若，、分别与、所成的角相等，则

D. 若m//α，m//β，，则

【答案】B

【解析】对于A，如图1，若，，，则可以与平行，故A错误；

对于B，因为，，，且，，则，

因为，，则，故，B正确；

对于C，如图2，若，、分别与、所成的角为时，与可以相交、平行或异面，故C错误；

对于D，如图1，m//α，m//β，，，则与相交，D错误.

故选：B.

7．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由得，得，

所以

，当且仅当，时，等号成立.

故选：B

8．在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】 

该三棱锥的外接球O为的中点，下证：

因为平面，平面，所以，所以，

又，即，所以，即三棱锥的外接球球心为的中点，球半径.

点M在该三棱锥外接球O的球面上运动，且满足，在△中，由正弦定理可得△的外接圆的半径为，

球心到平面的距离为，

因为O为的中点，所以到平面的距离为，

，

要使三棱锥的体积最大，只需△的面积最大即可.

在△中由余弦定理可得，

所以，当且仅当时等号成立，

，

所以.

当且仅当时, 三棱锥的体积取到最大值.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：，则下列关于该样本的说法中正确的有（    ）

A. 均值为95 B. 极差为6

C. 方差为26 D. 第80百分位数为97

【答案】ABD

【解析】由题意得的平均值为，A正确；

极差为，B正确；

方差为，C错误；

 由于，故第80百分位数为第5个数，即97，D正确，

故选：ABD

10．下列命题中，正确的是（    ）

A. 夹在两个平行平面间的平行线段相等

B. 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直

C. 如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内

D. 已知，为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于

【答案】ABD

【解析】如图，,且，求证：.

因为,所以过可作平面，且平面与平面和分别相交于和.

因为，所以，因此四边形是平行四边形，所以,故选项A正确；

如图所示，平面，，，，，，

在平面内作异于的直线，因为，，所以，

因为，所以，，，所以，则，

又因为，，所以，则，

同理可得：，所以，故选项B正确；

若直线平面，，在平面内过点且平行于直线的直线有且只有一条，故选项C错误；

因为，为异面直线，平面，平面，则与相交，但未必垂直，且交线垂直于直线，，

又直线满足，，则交线平行于，故选项D正确，

故选：ABD.

11． 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（    ）

A.  B. 事件B与事件相互独立

C. 事件B与事件相互独立 D. ，互斥

【答案】AD

【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因此，，，A正确；

又，因此，B错误；

同理可以求得，C错误；

，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，

故选：AD．

12．如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ）

A. 当为线段上的中点时，

B. 的最大值为

C. 的取值范围为

D. 的取值范围为

【答案】ABC

【解析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，

则，

设，则，

因为，所以，

所以，即，

对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；

对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；

对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；

对于选项D，，，所以，所以取值范围为，D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．求值：_______．

【答案】

【解析】由题意得.

故答案为：

14.在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______．

【答案】

【解析】

如图，由题意可知，与轴夹角为，
 

绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又，

所以的坐标为，所以对应的复数为.

故答案为：

15.已知直四棱柱的棱长均为2，，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为______．

【答案】

【解析】连接，由题意可得，

分别过E，F，G，H作底面ABCD的垂线，垂足分别为，

可得分别为的中点，

连接，

可得，

由题意可得：为四棱柱，

则，

四棱锥的高为直四棱柱的高的一半，即为1，

所以四棱锥的体积.

故答案为：.

16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且G是的重心，．则的最小值为______．

【答案】##

【解析】因为，所以，

所以,

因为，

所以,

所以，

所以，即，

因为，所以，

因为，所以，

因为，

所以，所以，

因为G是的重心，

所以,

所以

，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知，其中i是虚数单位，m为实数.

（1）当z为纯虚数时，求m的值；

（2）当复数z·i在复平面内对应的点位于第二象限时，求m的取值范围.

【答案】（1）m＝5；（2）(，2)(5，).

【解析】（1）因为z为纯虚数，所以

综上可得，当z为纯虚数时m＝5；

（2）因为在复平面内对应的点位于第二象限，

，即m＜2或者m＞5，

所以m的取值范围为(,2)(5,).

18．已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1）    （2）

【解析】（1），则

，

因此，.

（2）因且，所以，，

因为，则，，

因为，故，

所以，，所以，，

所以，，

因此，.

19．新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，技照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．

（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率．

【答案】（1），平均分为；    （2）

【解析】（1）由频率分布直方图，，，

平均分为；

（2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为，

抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为，

从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为．

20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．

问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．

（1）求角；

（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）若选①：在中，因，

所以，即，

由正弦定理可得，，

又因为，，所以，，

所以，则，

若选②：在中，因，

所以，

由正弦定理可得，，

所以，

又因为，所以，所以，则，

若选③：在中，因为，所以，

所以，由正弦定理可得，，

又因为，所以，所以，又，

即，又，所以，所以，

所以，又因为，所以，则，

（2）因为角的平分线为，又，所以

，

即，即，

又，

所以，所以，即，

故外接圆的面积，

21．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.

（1）求和的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.

设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，

则，.

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，

.

由题意可得

即解得或

由于，所以，.

（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.

由题意得，，，

，.

设{甲乙二人共答对3道题}，则.

由于和相互独立，与相互互斥，

所以.

所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.

22．如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，.

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，直线与平面所成角的大小为.

①画出平面与平面的交线，并写出画图步骤；

②求的最大值.

【答案】（1）证明见解析    （2）①作图见解析；②

【解析】（1）因为，，故，所以.又直四棱柱，故平面，又平面，故，又，平面，故平面

（2）①过作于，连接，分别交于，连接，则直线为平面与平面的交线.

②由①，因为，故四点共面，设，则直线为平面与平面的交线，故三点共线.过作于，连接，又，且根据线面平行的性质可得，故平面 ，所以，又，平面.故直线与平面所成角为.当不重合，即与不重合时，易得，又均为锐角，故.当重合时，有与重合，此时由（1）平面，故平面，故为与平面所成角.故当与重合时，取得最大值，此时，故的最大值为