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2021-2022学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{2，3}
2．（5分）设复数z＝i（i+2）（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知向量，，且，则λ＝（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
4．（5分）已知，，则sin（π+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β成立的充分条件是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ B．m∥α，m∥β
C．m∥α，m⊥β D．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β
6．（5分）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．a2+b2≥﹣2ab
7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平．根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（ ）
A．近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势
B．历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高
C．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人
D．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人
（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．在区间上的最大值为
C．图象的一个对称中心为
D．图象的一条对称轴为直线
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则（ ）
A．f（x）的最小值为﹣1
B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减
C．f（x）≤0的解集为[﹣2，2]
D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0
（多选）12．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，，将△ABD沿BD折起，使A到A'，点A'不落在底面BCD内，若M为线段A'C的中点，则在△ABD翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）
A．四面体A'﹣BCD的体积的最大值为1
B．存在某一位置，使得BM⊥CD
C．异面直线BM，A'D所成的角为定值
D．当二面角A'﹣BD﹣C的余弦值为时，四面体A'﹣BCD的外接球的半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）计算的结果为 ．
14．（5分）从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 ．
15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ．
16．（5分）已知，若存在x2＞x1＞0，使得f（x2）＝2f（x1），x1⋅f（x2）的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinC﹣3csinAcosB＝0．
（1）求cosB的值；
（2）若，c＝1，求b的值．
19．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）若，求x的值；
（2）若x∈[0，3]时，不等式f（t﹣2x）+f（x2）≤0恒成立，求实数t的取值范围．
20．（12分）BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．在我国，成人的BMI数值参考标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；28≤BMI为肥胖．某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的BMI，整理得到如图的频率分布表和频率分布直方图．同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体．
分组
频数
频率
[14，18）
15
0.15
[18，22）
40
0.40
[22，26）
30
0.30
[26，30）
10
0.10
[30，34）
5
0.05
合计
100
1.00
（1）根据BMI及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；
（2）已知样本中60名男学生BMI的平均数为μ1＝22.8，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生BMI的平均数μ2．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为梯形，且，BC∥AD，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，BC⊥PD．
（1）求证：BC⊥平面PCD；
（2）若直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．
22．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过原点，且y＝f（x﹣1）是偶函数，方程f（x）+1＝0有两相等实根．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）讨论函数与h（x）＝2m2ex﹣m+2的图象的公共点个数．
2021-2022学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{2，3}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）设复数z＝i（i+2）（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的四则运算，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：z＝i（i+2）＝﹣1+2i，
则复数z在复平面内对应的点（﹣1，2）位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）已知向量，，且，则λ＝（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵，，且，
∴1×λ﹣2×1＝0，解得λ＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4．（5分）已知，，则sin（π+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知求得sinα，再由诱导公式求sin（π+α）的值．
【解答】解：∵，，∴sinα＝，
∴sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
5．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β成立的充分条件是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ B．m∥α，m∥β
C．m∥α，m⊥β D．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β
【分析】根据线面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断即可．
【解答】解：对于A，平面间的垂直关系，不具有传递性，故A错误；
对于B，如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，EF∥平面ABCD，EF∥平面DCGH，但平面ABCD∩平面DCGH＝CD，故B错误；
对于C，若m∥α，则必在α中存在直线l∥m，因为m⊥β，则l⊥β，故α⊥β，故C正确；
对于D，如图，平面ADHE∩平面BDHF＝HD，AD⊥HD，HD⊂平面ADHE，但平面ADHE与平面BDHF不垂直，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间位置关系的判断，注意以长方体为载体分析解决有关问题，属于中档题．
6．（5分）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．a2+b2≥﹣2ab
【分析】利用a，b异号可判断A，B不成立，a，b均小于0可判断C，利用（a+b）2≥0可判断D．
【解答】解：对于A：a，b异号是显然不成立，∴A不正确；
对于B：a，b异号是显然不成立，∴B不正确；
对于C：a，b均小于0时，显然不成立，∴C不正确；
对于D：∵（a+b）2≥0 （a，b∈R），∴a2+b2≥﹣2ab （a，b∈R），∴D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式的成立条件的检验，属于基础题．
7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先由三角形AOM与三角形DOC相似可得DO＝2OM，从而可得，再利用三角形法则转化即可．
【解答】解：因为ABCD为平行四边形，故AB∥CD，故易知△AOM∽△COD，
故可得，
故＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】令y＝3|x|，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数即函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数．
【解答】解：令f（x）﹣3|x|＝0，得f（x）＝3|x|，
则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数即函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．
作出函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解的个数，也考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平．根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（ ）
A．近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势
B．历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高
C．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人
D．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人
【分析】根据统计图提供的数据判断．
【解答】解：近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势，所以A正确；
由统计图数据知，历次人口普查，1953年我国总人口性别比最高，所以B不正确；
根据第七次全国人口普查总人口性别比，设男性人口为x，，x≈72334，则估计男性人口为72334万人，故C正确，D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查由频率分布直方图求频数，属于基础题．
（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．在区间上的最大值为
C．图象的一个对称中心为
D．图象的一条对称轴为直线
【分析】首先利用平移变换和伸缩变换的应用求出函数g（x）的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
【解答】解：f（x）＝sinx的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（2x+）的图象；
所以函数的最小正周期为π，
当x＝时，函数取得最大值1．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则（ ）
A．f（x）的最小值为﹣1
B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减
C．f（x）≤0的解集为[﹣2，2]
D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0
【分析】由偶函数的定义可得f（x）的解析式，由二次函数的最值求法和单调性的判断、二次不等式的解法和f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，可得结论．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
可得f（x）＝，
可得x≥0时，f（x）在x＝1时取得最小值﹣1，由偶函数的图象关于y轴对称，可得f（x）在 R上取得最小值﹣1，故A正确；
f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，0）递增，故 B错误；
由或，
解得：0≤x≤2，或﹣2≤x＜0，故C正确；
由f（0）＝0，f（﹣2）＝f（2）＝0，即存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的性质和运用，考查转化思想、运算能力，属于中档题
（多选）12．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，，将△ABD沿BD折起，使A到A'，点A'不落在底面BCD内，若M为线段A'C的中点，则在△ABD翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）
A．四面体A'﹣BCD的体积的最大值为1
B．存在某一位置，使得BM⊥CD
C．异面直线BM，A'D所成的角为定值
D．当二面角A'﹣BD﹣C的余弦值为时，四面体A'﹣BCD的外接球的半径为
【分析】连接AC交BD于O，连接OA′，取CD的中点N，连接MN，BN，当平面A′BD⊥平面BCD时，四面体A'﹣BCD的体积最大，从而可判断A；
易得BN⊥CD，说明成立MN⊥CD，再根据线面垂直的判定定理及性质即可判断B；
证明异面直线BM，A′D，所成的角即为∠BMN或其补角，再根据BM不为定值，即可判断C；
说明∠A′OC即为二面角的平面角，再根据二面角的余弦值可得A′C＝2，补全为正方体，从而可判断D．
【解答】解：连接AC交BD于O，连接OA′，取CD的中点N，连接MN，BN，
对于A，当平面A′BD⊥平面BCD时，四面体A'﹣BCD的体积最大，
点A′到平面BCD的距离最大，此时在菱形ABCD中AB＝2，∠BAD＝，
则△ABD，△BCD都是等边三角形，
则OA′＝OA＝OC＝，
此时四面体A'﹣BCD的体积为＝1，
所以四面体A'﹣BCD的体积的最大值为1，故A正确；
对于B，因为M，N分别为′C，CD的中点，
所以BN⊥CD，MN∥A′D且MN＝A′D＝1，
由题意∠A′DC∈（0，），则∠MNC∈（0，），
当∠MNC＝时，MN⊥CD，
因为MN∩BN＝N，
所以当∠MNC＝时，CD⊥平面BMN，
又BM⊂平面BMN，
所以CD⊥BM，
所以存在某一位置，使得BM⊥CD，故B正确；
对于C，因为MN∥A′D，
所以异面直线BM，A′D所成的角即为∠BMN或其补角，
cos∠BMN＝＝﹣，
因为BM不为定值，所以cos∠BMN不为定值，
即异面直线BM，A′D，所成的角不为定值，故C错误；
对于D，因为OC⊥BD，OA′⊥BD，
所以∠A′OC即为二面角A'﹣BD﹣C的平面角，
则∠A′OC＝＝＝，所以A′C＝2，
所以四面体A'﹣BCD为正四面体，
如图，补全正四面体A'﹣BCD为正方体，
则正方体的棱长为，
则这个正方体外接球的半径为＝，
即四面体的A'﹣BCD外接球的半径为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与直线所成角、二面角、棱锥的体积公式及用补形法求几何体外接圆的半径，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）计算的结果为 2 ．
【分析】根据指数与对数的运算性质化简即可求解．
【解答】解：（+ln＝[（3]+ln
＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 ．
【分析】由题意可得：从2，3，4，5这四个数中任取两个共有6个基本事件，而符合条件的共有2个，由古典概型的公式可得答案．
【解答】解：由题意可得：从2，3，4，5四个数中任取两个数，共有6个基本事件，
即（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）；
而符合条件的共有（2，4），（3，5）共2个，
故所求概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 2π ．
【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．
【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1＝2π，
故答案为：2π
【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．
16．（5分）已知，若存在x2＞x1＞0，使得f（x2）＝2f（x1），x1⋅f（x2）的取值范围是 （0，）∪[4，+∞） ．
【分析】分0＜x1＜x2＜1，0＜x1＜1≤x2，1≤x1＜x2三种情况讨论，由题意x1⋅f（x2）＝2x1⋅f（x1），分别确定x1的范围，再结合函数的单调性即可得出答案．
【解答】解：当0＜x1＜x2＜1时，
则f（x2）＝2f（x1）∈（0，1），
所以f（x1）∈（0，），即x12∈（0，），
所以x1∈（0，），
则x1⋅f（x2）＝2x1⋅f（x1）＝2x13，
因为函数y＝x3在（0，1）上递增，
所以x1⋅f（x2）＝2x13∈（0，）；
当0＜x1＜1≤x2，
f（x1）＝x12∈（0，1），
所以f（x2）＝∈[2，+∞），
所以f（x2）＞2f（x1），不存在0＜x1＜1≤x2，使得f（x2）＝2f（x1）；
当1≤x1＜x2时，
则f（x1）＝，f（x2）＝，
因为f（x2）＝2f（x1），
所以＝×2，
所以x2＝x1+1，
则x1⋅f（x2）＝2x1⋅f（x1）＝2x1•，
令g（x）＝2x•2x，x∈[1，+∞），
则＝＝•，
因为1≤x1＜x2，
所以＜1，x1﹣x2＜0，
所以＜1，所以•＜1，
即g（x1）＜g（x2），
所以函数g（x）＝2x•2x在[1，+∞）上递增，
所以g（x）≥g（1）＝4，即x1⋅f（x2）∈[4，+∞），
综上所述，x1⋅f（x2）的取值范围是（0，）∪[4，+∞）．
故答案为：（0，）∪[4，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的值域，也考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期公式可求ω，可得函数解析式为f（x）＝2sin（2x+），即可计算求解．
（2）利用正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）因为函数（ω＞0）的最小正周期为π，
所以π＝，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2x+），
所以＝2sin（2×+）＝；
（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x+），
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinC﹣3csinAcosB＝0．
（1）求cosB的值；
（2）若，c＝1，求b的值．
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出cosB；
（2）根据数量积的定义求出ac，即可求出a，再由余弦定理计算可得．
【解答】（1）解：因为2asinC﹣3csinAcosB＝0，
由正弦定理可得2ac﹣3accosB＝0，因为ac≠0，所以；
（2）解：因为，所以accosB＝2，所以ac＝3，
因为c＝1，所以a＝3，
由余弦定理，
所以．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
19．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）若，求x的值；
（2）若x∈[0，3]时，不等式f（t﹣2x）+f（x2）≤0恒成立，求实数t的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数的性质得到f（0）＝0，即可求出a，从而得到f（x）的解析式，再解方程即可；
（2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到t﹣2x≤﹣x2在x∈[0，3]上恒成立，参变分离可得t≤﹣x2+2x，x∈[0，3]恒成立，根据二次函数的性质求出﹣x2+2x的最小值，即可得解．
【解答】解：（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
即，解得a＝1，
所以，即f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），符合题意，
又，即，
即2⋅4x﹣3⋅2x﹣2＝0，即（2⋅2x+1）（2x﹣2）＝0，
即2x﹣2＝0，解得x＝1；
解：因为，
所以f（x）在定义域上单调递增，又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（t﹣2x）+f（x2）≤0在x∈[0，3]恒成立，
等价于f（t﹣2x）≤﹣f（x2）＝f（﹣x2）在x∈[0，3]上恒成立，
即t﹣2x≤﹣x2在x∈[0，3]上恒成立，即t≤﹣x2+2x，x∈[0，3]恒成立，
令g（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，x∈[0，3]，
所以g（x）在[0，1]上单调递增，在（1，3]上单调递减，g（0）＝0，g（3）＝﹣3，
所以g（x）min＝﹣3，所以t≤﹣3，
即t∈（﹣∞，﹣3]；
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
20．（12分）BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．在我国，成人的BMI数值参考标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；28≤BMI为肥胖．某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的BMI，整理得到如图的频率分布表和频率分布直方图．同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体．
分组
频数
频率
[14，18）
15
0.15
[18，22）
40
0.40
[22，26）
30
0.30
[26，30）
10
0.10
[30，34）
5
0.05
合计
100
1.00
（1）根据BMI及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；
（2）已知样本中60名男学生BMI的平均数为μ1＝22.8，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生BMI的平均数μ2．
【分析】（1）由频率分布直方图求得28≤BMI≤30的频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比；
（2）先根据频率分布直方图求出样本的BMI的平均数，再根据样本的BMI的平均数等于，即可得解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知28≤BMI≤30的频率为＝0.05，
所以28≤BMI的频率为：0.05+0.05＝0.1，
所以估计该校学生为肥胖的百分比为10%；
（2）样本的BMI的平均数为16×0.15+20×0.4+24×0.3+28×0.1+32×0.05＝22，
则＝22，
解得：μ2＝20.8，
所以估计样本中40名女学生BMI的平均数20.8．
【点评】本题考查由频率分布表、直方图求频率、平均数，属于基础题．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为梯形，且，BC∥AD，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，BC⊥PD．
（1）求证：BC⊥平面PCD；
（2）若直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．
【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得异面直线垂直，可证线面垂直；
（2）分别过点D与点P作直线AB的垂线，再通过平行，构造二面角的平面角，进而可得二面角余弦值．
【解答】证明：（1）如图所示，取CD中点O，连接PO，
∵△PCD是正三角形，∴PO⊥CD
又平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC，
∵BC⊥PD，且PO∩PD＝P，
∴BC⊥平面PCD；
如图所示，连接OB，BD，过点D，P作DM⊥AB，PN⊥AB，分别与AB交于点M，N，过点M作MQ∥NP，交AP于点Q
，连接DQ，
设AD＝2BC＝2，CD＝2a，a＞0，则，
由（1）得OP⊥平面ABCD，∴∠OBP即为直线PB与平面ABCD所成角的平面角，
BC⊥平面PCD，∴BC⊥CP，
则，
解得：a＝1，
故，且，
即，解得
又BC∥AD，所以AD⊥平面PCD，AD⊥PD，
，且，
即，解得，
所以点M为线段AN的中点，故点Q也为线段AP中点，
所以，
所以∠DMQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角，
．
【点评】本题考查二面角，考查学生的运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过原点，且y＝f（x﹣1）是偶函数，方程f（x）+1＝0有两相等实根．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）讨论函数与h（x）＝2m2ex﹣m+2的图象的公共点个数．
【分析】（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），易得c＝0，根据y＝f（x﹣1）是偶函数，可得a，b的一个关系式，再根据方程ax2+2ax+1＝0有两相等实根，可得根的判别式Δ＝0，从而可求得a，b，即可得解；
（2）函数g（x）与h（x）的图象的公共点个数，即方程＝2m2ex﹣m+2的实数根的个数，即方程（2m2﹣1）（ex）2﹣mex﹣1＝0的实数根的个数，令t＝ex，t∈（0，+∞），故所求转化为方程（2m2﹣1）t2﹣mt﹣1＝0在t∈（0，+∞）在实根的个数，再分2m2﹣1＝0，2m2﹣1＞0，2m2﹣1＜0三种情况讨论，从而可得出结论．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
因为二次函数y＝f（x）的图象经过原点，
所以c＝0，
y＝f（x﹣1）＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝ax2+（b﹣2a）x+a﹣b，
因为y＝f（x﹣1）是偶函数，
所以b﹣2a＝0，
即b＝2a，
所以f（x）＝ax2+2ax（a≠0），
又方程ax2+2ax+1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝4a2﹣4a＝0，
解得a＝1（a＝0舍去），
所以f（x）＝x2+2x；
（2）由（1）得＝，
令g（x）＝h（x），
则＝2m2ex﹣m+2，
即（ex）2+2ex+1＝2m2（ex）2﹣mex+2ex，
即（2m2﹣1）（ex）2﹣mex﹣1＝0，
令t＝ex，t∈（0，+∞），
则（2m2﹣1）t2﹣mt﹣1＝0，
故所求转化为方程（2m2﹣1）t2﹣mt﹣1＝0在t∈（0，+∞）实根的个数，
令φ（t）＝（2m2﹣1）t2﹣mt﹣1，t∈（0，+∞），
①当2m2﹣1＝0，即m＝时，
若m＝，则﹣t﹣1＝0，故t＝﹣＜0，
所以m＝时，方程无实根；
若m＝﹣，则t﹣1＝0，故t＝，
所以m＝﹣时，方程有1个实根；
②当2m2﹣1＞0，即m＜﹣或m＞时，
因为Δ＝m2+8m2﹣4＝9m2﹣4＞0，且φ（0）＝﹣1，两根之积＜0，
所以当m＜﹣或m＞时，方程有1正个实根；
③当2m2﹣1＜0，即﹣＜m＜时，＞0，即如果有两根，则两根同号
若，即﹣＜m＜﹣时，方程有两正实数根，
若，即＜m＜时，方程有两个不相等的负实根，不符题意；
若，即m＝﹣时，方程有1个实根，
若，即m＝时，方程无正实根，
若，即﹣＜m＜时，方程无实根，
综上所述，m＝时，方程无实根；
当m∈（﹣∞，﹣]∪{﹣}∪（，+∞）时，函数的g（x），h（x）图象有1个公共点；
当m∈（﹣，﹣）时，函数g（x），h（x）的图象有2个公共点
当（﹣，）时，函数g（x），h（x）的图象没有公共点；
当m∈（，）时，函数g（x），h（x）的图象没有公共点．
【点评】本题考查了根据待定系数法球二次函数的解析式，考查了偶函数的性质及一元二次方程的根的问题，考查了一元二次方程在某个区间上的实根的个数问题，考查了分类讨论思想，对数据分析的能力要求较高，属于难题．
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2021-2022学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{2，3}
2．（5分）设复数z＝i（i+2）（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知向量，，且，则λ＝（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
4．（5分）已知，，则sin（π+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β成立的充分条件是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ B．m∥α，m∥β
C．m∥α，m⊥β D．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β
6．（5分）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．a2+b2≥﹣2ab
7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平．根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（ ）
A．近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势
B．历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高
C．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人
D．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人
（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．在区间上的最大值为
C．图象的一个对称中心为
D．图象的一条对称轴为直线
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则（ ）
A．f（x）的最小值为﹣1
B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减
C．f（x）≤0的解集为[﹣2，2]
D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0
（多选）12．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，，将△ABD沿BD折起，使A到A'，点A'不落在底面BCD内，若M为线段A'C的中点，则在△ABD翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）
A．四面体A'﹣BCD的体积的最大值为1
B．存在某一位置，使得BM⊥CD
C．异面直线BM，A'D所成的角为定值
D．当二面角A'﹣BD﹣C的余弦值为时，四面体A'﹣BCD的外接球的半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）计算的结果为 ．
14．（5分）从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 ．
15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ．
16．（5分）已知，若存在x2＞x1＞0，使得f（x2）＝2f（x1），x1⋅f（x2）的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinC﹣3csinAcosB＝0．
（1）求cosB的值；
（2）若，c＝1，求b的值．
19．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）若，求x的值；
（2）若x∈[0，3]时，不等式f（t﹣2x）+f（x2）≤0恒成立，求实数t的取值范围．
20．（12分）BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．在我国，成人的BMI数值参考标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；28≤BMI为肥胖．某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的BMI，整理得到如图的频率分布表和频率分布直方图．同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体．
分组
频数
频率
[14，18）
15
0.15
[18，22）
40
0.40
[22，26）
30
0.30
[26，30）
10
0.10
[30，34）
5
0.05
合计
100
1.00
（1）根据BMI及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；
（2）已知样本中60名男学生BMI的平均数为μ1＝22.8，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生BMI的平均数μ2．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为梯形，且，BC∥AD，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，BC⊥PD．
（1）求证：BC⊥平面PCD；
（2）若直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．
22．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过原点，且y＝f（x﹣1）是偶函数，方程f（x）+1＝0有两相等实根．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）讨论函数与h（x）＝2m2ex﹣m+2的图象的公共点个数．
2021-2022学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{2，3}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）设复数z＝i（i+2）（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的四则运算，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：z＝i（i+2）＝﹣1+2i，
则复数z在复平面内对应的点（﹣1，2）位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）已知向量，，且，则λ＝（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵，，且，
∴1×λ﹣2×1＝0，解得λ＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4．（5分）已知，，则sin（π+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知求得sinα，再由诱导公式求sin（π+α）的值．
【解答】解：∵，，∴sinα＝，
∴sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
5．（5分）已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β成立的充分条件是（ ）
A．α⊥γ，β⊥γ B．m∥α，m∥β
C．m∥α，m⊥β D．m⊥n，α∩β＝m，n⊂β
【分析】根据线面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断即可．
【解答】解：对于A，平面间的垂直关系，不具有传递性，故A错误；
对于B，如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，EF∥平面ABCD，EF∥平面DCGH，但平面ABCD∩平面DCGH＝CD，故B错误；
对于C，若m∥α，则必在α中存在直线l∥m，因为m⊥β，则l⊥β，故α⊥β，故C正确；
对于D，如图，平面ADHE∩平面BDHF＝HD，AD⊥HD，HD⊂平面ADHE，但平面ADHE与平面BDHF不垂直，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间位置关系的判断，注意以长方体为载体分析解决有关问题，属于中档题．
6．（5分）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．a2+b2≥﹣2ab
【分析】利用a，b异号可判断A，B不成立，a，b均小于0可判断C，利用（a+b）2≥0可判断D．
【解答】解：对于A：a，b异号是显然不成立，∴A不正确；
对于B：a，b异号是显然不成立，∴B不正确；
对于C：a，b均小于0时，显然不成立，∴C不正确；
对于D：∵（a+b）2≥0 （a，b∈R），∴a2+b2≥﹣2ab （a，b∈R），∴D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式的成立条件的检验，属于基础题．
7．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先由三角形AOM与三角形DOC相似可得DO＝2OM，从而可得，再利用三角形法则转化即可．
【解答】解：因为ABCD为平行四边形，故AB∥CD，故易知△AOM∽△COD，
故可得，
故＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】令y＝3|x|，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数即函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数．
【解答】解：令f（x）﹣3|x|＝0，得f（x）＝3|x|，
则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数即函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．
作出函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解的个数，也考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平．根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（ ）
A．近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势
B．历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高
C．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人
D．根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人
【分析】根据统计图提供的数据判断．
【解答】解：近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势，所以A正确；
由统计图数据知，历次人口普查，1953年我国总人口性别比最高，所以B不正确；
根据第七次全国人口普查总人口性别比，设男性人口为x，，x≈72334，则估计男性人口为72334万人，故C正确，D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查由频率分布直方图求频数，属于基础题．
（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（x）的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．在区间上的最大值为
C．图象的一个对称中心为
D．图象的一条对称轴为直线
【分析】首先利用平移变换和伸缩变换的应用求出函数g（x）的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
【解答】解：f（x）＝sinx的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（2x+）的图象；
所以函数的最小正周期为π，
当x＝时，函数取得最大值1．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则（ ）
A．f（x）的最小值为﹣1
B．f（x）在（﹣2，0）上单调递减
C．f（x）≤0的解集为[﹣2，2]
D．存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0
【分析】由偶函数的定义可得f（x）的解析式，由二次函数的最值求法和单调性的判断、二次不等式的解法和f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，可得结论．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
可得f（x）＝，
可得x≥0时，f（x）在x＝1时取得最小值﹣1，由偶函数的图象关于y轴对称，可得f（x）在 R上取得最小值﹣1，故A正确；
f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，0）递增，故 B错误；
由或，
解得：0≤x≤2，或﹣2≤x＜0，故C正确；
由f（0）＝0，f（﹣2）＝f（2）＝0，即存在实数x满足f（x+2）+f（﹣x）＝0，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的性质和运用，考查转化思想、运算能力，属于中档题
（多选）12．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，，将△ABD沿BD折起，使A到A'，点A'不落在底面BCD内，若M为线段A'C的中点，则在△ABD翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）
A．四面体A'﹣BCD的体积的最大值为1
B．存在某一位置，使得BM⊥CD
C．异面直线BM，A'D所成的角为定值
D．当二面角A'﹣BD﹣C的余弦值为时，四面体A'﹣BCD的外接球的半径为
【分析】连接AC交BD于O，连接OA′，取CD的中点N，连接MN，BN，当平面A′BD⊥平面BCD时，四面体A'﹣BCD的体积最大，从而可判断A；
易得BN⊥CD，说明成立MN⊥CD，再根据线面垂直的判定定理及性质即可判断B；
证明异面直线BM，A′D，所成的角即为∠BMN或其补角，再根据BM不为定值，即可判断C；
说明∠A′OC即为二面角的平面角，再根据二面角的余弦值可得A′C＝2，补全为正方体，从而可判断D．
【解答】解：连接AC交BD于O，连接OA′，取CD的中点N，连接MN，BN，
对于A，当平面A′BD⊥平面BCD时，四面体A'﹣BCD的体积最大，
点A′到平面BCD的距离最大，此时在菱形ABCD中AB＝2，∠BAD＝，
则△ABD，△BCD都是等边三角形，
则OA′＝OA＝OC＝，
此时四面体A'﹣BCD的体积为＝1，
所以四面体A'﹣BCD的体积的最大值为1，故A正确；
对于B，因为M，N分别为′C，CD的中点，
所以BN⊥CD，MN∥A′D且MN＝A′D＝1，
由题意∠A′DC∈（0，），则∠MNC∈（0，），
当∠MNC＝时，MN⊥CD，
因为MN∩BN＝N，
所以当∠MNC＝时，CD⊥平面BMN，
又BM⊂平面BMN，
所以CD⊥BM，
所以存在某一位置，使得BM⊥CD，故B正确；
对于C，因为MN∥A′D，
所以异面直线BM，A′D所成的角即为∠BMN或其补角，
cos∠BMN＝＝﹣，
因为BM不为定值，所以cos∠BMN不为定值，
即异面直线BM，A′D，所成的角不为定值，故C错误；
对于D，因为OC⊥BD，OA′⊥BD，
所以∠A′OC即为二面角A'﹣BD﹣C的平面角，
则∠A′OC＝＝＝，所以A′C＝2，
所以四面体A'﹣BCD为正四面体，
如图，补全正四面体A'﹣BCD为正方体，
则正方体的棱长为，
则这个正方体外接球的半径为＝，
即四面体的A'﹣BCD外接球的半径为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了直线与直线所成角、二面角、棱锥的体积公式及用补形法求几何体外接圆的半径，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）计算的结果为 2 ．
【分析】根据指数与对数的运算性质化简即可求解．
【解答】解：（+ln＝[（3]+ln
＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 ．
【分析】由题意可得：从2，3，4，5这四个数中任取两个共有6个基本事件，而符合条件的共有2个，由古典概型的公式可得答案．
【解答】解：由题意可得：从2，3，4，5四个数中任取两个数，共有6个基本事件，
即（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）；
而符合条件的共有（2，4），（3，5）共2个，
故所求概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
15．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 2π ．
【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．
【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
则所得几何体的侧面积为：1×2π×1＝2π，
故答案为：2π
【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．
16．（5分）已知，若存在x2＞x1＞0，使得f（x2）＝2f（x1），x1⋅f（x2）的取值范围是 （0，）∪[4，+∞） ．
【分析】分0＜x1＜x2＜1，0＜x1＜1≤x2，1≤x1＜x2三种情况讨论，由题意x1⋅f（x2）＝2x1⋅f（x1），分别确定x1的范围，再结合函数的单调性即可得出答案．
【解答】解：当0＜x1＜x2＜1时，
则f（x2）＝2f（x1）∈（0，1），
所以f（x1）∈（0，），即x12∈（0，），
所以x1∈（0，），
则x1⋅f（x2）＝2x1⋅f（x1）＝2x13，
因为函数y＝x3在（0，1）上递增，
所以x1⋅f（x2）＝2x13∈（0，）；
当0＜x1＜1≤x2，
f（x1）＝x12∈（0，1），
所以f（x2）＝∈[2，+∞），
所以f（x2）＞2f（x1），不存在0＜x1＜1≤x2，使得f（x2）＝2f（x1）；
当1≤x1＜x2时，
则f（x1）＝，f（x2）＝，
因为f（x2）＝2f（x1），
所以＝×2，
所以x2＝x1+1，
则x1⋅f（x2）＝2x1⋅f（x1）＝2x1•，
令g（x）＝2x•2x，x∈[1，+∞），
则＝＝•，
因为1≤x1＜x2，
所以＜1，x1﹣x2＜0，
所以＜1，所以•＜1，
即g（x1）＜g（x2），
所以函数g（x）＝2x•2x在[1，+∞）上递增，
所以g（x）≥g（1）＝4，即x1⋅f（x2）∈[4，+∞），
综上所述，x1⋅f（x2）的取值范围是（0，）∪[4，+∞）．
故答案为：（0，）∪[4，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的值域，也考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期公式可求ω，可得函数解析式为f（x）＝2sin（2x+），即可计算求解．
（2）利用正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）因为函数（ω＞0）的最小正周期为π，
所以π＝，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2x+），
所以＝2sin（2×+）＝；
（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x+），
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题考查了正弦函数的周期公式以及正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinC﹣3csinAcosB＝0．
（1）求cosB的值；
（2）若，c＝1，求b的值．
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出cosB；
（2）根据数量积的定义求出ac，即可求出a，再由余弦定理计算可得．
【解答】（1）解：因为2asinC﹣3csinAcosB＝0，
由正弦定理可得2ac﹣3accosB＝0，因为ac≠0，所以；
（2）解：因为，所以accosB＝2，所以ac＝3，
因为c＝1，所以a＝3，
由余弦定理，
所以．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
19．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）若，求x的值；
（2）若x∈[0，3]时，不等式f（t﹣2x）+f（x2）≤0恒成立，求实数t的取值范围．
【分析】（1）根据奇函数的性质得到f（0）＝0，即可求出a，从而得到f（x）的解析式，再解方程即可；
（2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到t﹣2x≤﹣x2在x∈[0，3]上恒成立，参变分离可得t≤﹣x2+2x，x∈[0，3]恒成立，根据二次函数的性质求出﹣x2+2x的最小值，即可得解．
【解答】解：（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
即，解得a＝1，
所以，即f（x）＝2x﹣2﹣x，则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），符合题意，
又，即，
即2⋅4x﹣3⋅2x﹣2＝0，即（2⋅2x+1）（2x﹣2）＝0，
即2x﹣2＝0，解得x＝1；
解：因为，
所以f（x）在定义域上单调递增，又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（t﹣2x）+f（x2）≤0在x∈[0，3]恒成立，
等价于f（t﹣2x）≤﹣f（x2）＝f（﹣x2）在x∈[0，3]上恒成立，
即t﹣2x≤﹣x2在x∈[0，3]上恒成立，即t≤﹣x2+2x，x∈[0，3]恒成立，
令g（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，x∈[0，3]，
所以g（x）在[0，1]上单调递增，在（1，3]上单调递减，g（0）＝0，g（3）＝﹣3，
所以g（x）min＝﹣3，所以t≤﹣3，
即t∈（﹣∞，﹣3]；
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
20．（12分）BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．在我国，成人的BMI数值参考标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；28≤BMI为肥胖．某大学为了解学生的身体肥胖情况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的BMI，整理得到如图的频率分布表和频率分布直方图．同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体．
分组
频数
频率
[14，18）
15
0.15
[18，22）
40
0.40
[22，26）
30
0.30
[26，30）
10
0.10
[30，34）
5
0.05
合计
100
1.00
（1）根据BMI及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；
（2）已知样本中60名男学生BMI的平均数为μ1＝22.8，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学生BMI的平均数μ2．
【分析】（1）由频率分布直方图求得28≤BMI≤30的频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比；
（2）先根据频率分布直方图求出样本的BMI的平均数，再根据样本的BMI的平均数等于，即可得解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知28≤BMI≤30的频率为＝0.05，
所以28≤BMI的频率为：0.05+0.05＝0.1，
所以估计该校学生为肥胖的百分比为10%；
（2）样本的BMI的平均数为16×0.15+20×0.4+24×0.3+28×0.1+32×0.05＝22，
则＝22，
解得：μ2＝20.8，
所以估计样本中40名女学生BMI的平均数20.8．
【点评】本题考查由频率分布表、直方图求频率、平均数，属于基础题．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为梯形，且，BC∥AD，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，BC⊥PD．
（1）求证：BC⊥平面PCD；
（2）若直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．
【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得异面直线垂直，可证线面垂直；
（2）分别过点D与点P作直线AB的垂线，再通过平行，构造二面角的平面角，进而可得二面角余弦值．
【解答】证明：（1）如图所示，取CD中点O，连接PO，
∵△PCD是正三角形，∴PO⊥CD
又平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC，
∵BC⊥PD，且PO∩PD＝P，
∴BC⊥平面PCD；
如图所示，连接OB，BD，过点D，P作DM⊥AB，PN⊥AB，分别与AB交于点M，N，过点M作MQ∥NP，交AP于点Q
，连接DQ，
设AD＝2BC＝2，CD＝2a，a＞0，则，
由（1）得OP⊥平面ABCD，∴∠OBP即为直线PB与平面ABCD所成角的平面角，
BC⊥平面PCD，∴BC⊥CP，
则，
解得：a＝1，
故，且，
即，解得
又BC∥AD，所以AD⊥平面PCD，AD⊥PD，
，且，
即，解得，
所以点M为线段AN的中点，故点Q也为线段AP中点，
所以，
所以∠DMQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角，
．
【点评】本题考查二面角，考查学生的运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过原点，且y＝f（x﹣1）是偶函数，方程f（x）+1＝0有两相等实根．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）讨论函数与h（x）＝2m2ex﹣m+2的图象的公共点个数．
【分析】（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），易得c＝0，根据y＝f（x﹣1）是偶函数，可得a，b的一个关系式，再根据方程ax2+2ax+1＝0有两相等实根，可得根的判别式Δ＝0，从而可求得a，b，即可得解；
（2）函数g（x）与h（x）的图象的公共点个数，即方程＝2m2ex﹣m+2的实数根的个数，即方程（2m2﹣1）（ex）2﹣mex﹣1＝0的实数根的个数，令t＝ex，t∈（0，+∞），故所求转化为方程（2m2﹣1）t2﹣mt﹣1＝0在t∈（0，+∞）在实根的个数，再分2m2﹣1＝0，2m2﹣1＞0，2m2﹣1＜0三种情况讨论，从而可得出结论．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
因为二次函数y＝f（x）的图象经过原点，
所以c＝0，
y＝f（x﹣1）＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝ax2+（b﹣2a）x+a﹣b，
因为y＝f（x﹣1）是偶函数，
所以b﹣2a＝0，
即b＝2a，
所以f（x）＝ax2+2ax（a≠0），
又方程ax2+2ax+1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝4a2﹣4a＝0，
解得a＝1（a＝0舍去），
所以f（x）＝x2+2x；
（2）由（1）得＝，
令g（x）＝h（x），
则＝2m2ex﹣m+2，
即（ex）2+2ex+1＝2m2（ex）2﹣mex+2ex，
即（2m2﹣1）（ex）2﹣mex﹣1＝0，
令t＝ex，t∈（0，+∞），
则（2m2﹣1）t2﹣mt﹣1＝0，
故所求转化为方程（2m2﹣1）t2﹣mt﹣1＝0在t∈（0，+∞）实根的个数，
令φ（t）＝（2m2﹣1）t2﹣mt﹣1，t∈（0，+∞），
①当2m2﹣1＝0，即m＝时，
若m＝，则﹣t﹣1＝0，故t＝﹣＜0，
所以m＝时，方程无实根；
若m＝﹣，则t﹣1＝0，故t＝，
所以m＝﹣时，方程有1个实根；
②当2m2﹣1＞0，即m＜﹣或m＞时，
因为Δ＝m2+8m2﹣4＝9m2﹣4＞0，且φ（0）＝﹣1，两根之积＜0，
所以当m＜﹣或m＞时，方程有1正个实根；
③当2m2﹣1＜0，即﹣＜m＜时，＞0，即如果有两根，则两根同号
若，即﹣＜m＜﹣时，方程有两正实数根，
若，即＜m＜时，方程有两个不相等的负实根，不符题意；
若，即m＝﹣时，方程有1个实根，
若，即m＝时，方程无正实根，
若，即﹣＜m＜时，方程无实根，
综上所述，m＝时，方程无实根；
当m∈（﹣∞，﹣]∪{﹣}∪（，+∞）时，函数的g（x），h（x）图象有1个公共点；
当m∈（﹣，﹣）时，函数g（x），h（x）的图象有2个公共点
当（﹣，）时，函数g（x），h（x）的图象没有公共点；
当m∈（，）时，函数g（x），h（x）的图象没有公共点．
【点评】本题考查了根据待定系数法球二次函数的解析式，考查了偶函数的性质及一元二次方程的根的问题，考查了一元二次方程在某个区间上的实根的个数问题，考查了分类讨论思想，对数据分析的能力要求较高，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/27 16:18:32；用户：数学；邮箱：13172290467；学号：37324361
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