广东省深圳市深圳中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

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广东省深圳市深圳中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．（       ）

A． B． C． D．

2．=（       ）

A． B． C． D．

3．已知，则（       ）

A． B． C． D．

4．如图，在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则（       ）

A． B． C． D．

5．的内角所对的边分别为，已知，（       ）

A． B． C． D．

6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（     ）

A． B． C． D．

7．已知向量，且，则的值是（       ）

A．1 B． C．3 D．

8．在中，，若，则向量在上的投影是（       ）

A． B． C． D．

9．已知复数，下列说法正确的是（       ）

A．复数z的虚部是 B．复数z的模为5

C．复数z的共轭复数是 D．在复平面内复数z对应的点在第四象限

10．（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）

A．－2 B． C．1 D．－1

11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中不正确的是（       ）

A．向量，则

B．若点G为的重心，则

C．若O为所在平面内一点，且，则

D．若I为的内心，则

12．如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面正确的是（       ）

A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/小时

C．甲乙两船相遇时，甲行驶了小时 D．甲乙两船不可能相遇

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．函数的最大值为________．

14．已知在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是_________．

15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_______．

16．中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为________

17．已知复数满足为虚数单位)，复数.

（1）求；

（2）若是纯虚数，求的值.

18．已知为锐角，．

(1)求的值；

(2)求的值．

19．如图，已知内接于以O圆心，半径为2的圆O中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径．若和是圆O的弦，且．

(1)求；

(2)求弦的长．

20．己知函数，在锐角中，．

(1)求A的值；

(2)角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求锐角面积最大值．

21．如图，在直角梯形中，，，，M为上靠近B的三等分点，交于．

(1)用和表示；

(2)求．

22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量．

(1)若，且，求向量的坐标；

(2)若，求的取值范围．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

由的幂运算的周期性可直接求得结果.

【详解】

，，，，其中，.

故选：B.

2．D

【解析】

【分析】

利用两角差的正弦可求三角函数式的值.

【详解】

,

故选：D.

3．B

【解析】

【分析】

利用同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式进行求解即可.

【详解】

由

，

故选：B

4．B

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用向量的线性运算计算作答.

【详解】

在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则，

所以.

故选：B

5．A

【解析】

【分析】

结合正弦定理求得正确答案.

【详解】

，

由正弦定理得.

故选：A

6．B

【解析】

【分析】

利用余弦定理求即可.

【详解】

由b2＝ac，

又c＝2a，

得，

由余弦定理，

得cos B＝＝.

故选：B.

7．D

【解析】

【分析】

根据向量垂直的坐标表示求，再利用两角和的正切公式，求.

【详解】

，，得，

.

故选：D

8．C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用正弦定理求出，进而求出，再利用向量投影的意义计算作答.

【详解】

在中，，，由正弦定理得：，

即有，整理得，解得，，

因此，，，

，

所以向量在上的投影是.

故选：C

9．BD

【解析】

【分析】

根据复数的相关定义、模的运算与几何意义即可求得答案.

【详解】

复数的虚部为-3，A错误；

复数的模为，B正确；

复数的共轭复数为，C错误；

复数对应的点的坐标为，在第四象限，D正确.

故选：BD.

10．ABD

【解析】

【分析】

先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．

【详解】

因为，

．

假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.

故选：ABD．

11．AC

【解析】

【分析】

利用向量坐标运算及模的坐标表示计算判断A；利用三角形重心定理计算判断B；利用数量积运算律计算判断C；利用三角形内角平分线性质推理计算判断D作答.

【详解】

对于A，，则，，A不正确；

对于B，点G为的重心，如图，延长交BC于E，则E是BC中点，

则，因此，，B正确；

对于C，由得：，即，

点O在边BC的高所在直线上，显然，C不正确；

对于D，I为的内心，如图，延长交BC于D，

显然分别平分，则有，，，，

，

同理，，

所以，D正确.

故选：AC

【点睛】

易错点睛：平面向量数量积的关系等式中，不能全与代数等式的相关性质类比，如：不能推出.

12．AD

【解析】

【分析】

连接，求出，再用余弦定理求出，计算乙船速度判断A，B；延长与延长线交于O，计算甲乙到达点O的时间判断C，D作答.

【详解】

如图，连接，依题意，（海里），而海里，，

则是正三角形，，海里，在中，，海里，

由余弦定理得：，且有，

所以乙船的行驶速度是海里/小时，A正确，B不正确；

延长与延长线交于O，显然有，即，海里，海里，海里，

甲船从出发到点O用时（小时），乙船从出发到点O用时（小时），，即甲船先到达点O，

所以，甲乙两船不可能相遇，C不正确，D正确.

故选：AD

【点睛】

关键点睛：解三角形应用问题，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型是解题的关键．

13．2

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简即可求解.

【详解】

解：，

当时，函数取得最大值为2．

故答案为：2．

14．

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则和复数的几何意义即可列式计算.

【详解】

，

由题可知，.

故答案为：.

15．1

【解析】

【分析】

根据给定条件，确定角A与B的关系，结合诱导公式计算作答.

【详解】

在中，因，则，，

所以.

故答案为：1

16．

【解析】

【分析】

根据即可得，进而得答案.

【详解】

因为，

所以

，

所以，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助得，进而求解.

17．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用复数代数形式的乘除运算化简即可，

（2）先求出，再利用纯虚数的概念列出方程组得答案.

【详解】

解：（1），，

（2），

是纯虚数，，

.

18．(1)；

(2)1.

【解析】

【分析】

（1）由二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式法计算作答.

（2）由同角公式求出，再利用差角的正切公式计算作答.

(1)

因，所以.

(2)

因为锐角，则，而，则，

于是得，所以.

19．(1)30°；

(2).

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理求出，进而根据角的范围求得答案；

（2）通过正弦定理并结合两角和与差的正弦公式即可求得答案.

(1)

由正弦定理可知，因为，所以，则.

(2)

由（1）可知，于是由正弦定理可得，即弦AB的长为.

20．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用给定函数及，借助同角公式求出A作答.

（2）利用余弦定理结合均值不等式，求出的最大值，再由三角形面积定理求解作答.

(1)

依题意，，则，

在锐角中，，，于是得，解得，

所以.

(2)

在锐角中，由余弦定理得：，

即，当且仅当时取“=”，

于是得，

所以锐角面积最大值为.

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算即可求解；

（2）选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示及三点共线即可求解.

(1)

由题意可知，因为，所以.

又因为M为上靠近B的三等分点，所以.

.

.

(2)

因为交于，由（1）知，，

所以，

因为三点共线，所以，解得，

所以，即，于是有.

所以.

22．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）运用向量平行的条件和向量的模长公式，解方程可得，进而得到所求向量的坐标；

（2）由向量垂直数量积为零的条件求出，代入函数式子化简，利用余弦函数的性质，可得所求函数的最小值.

(1)

，

，

        ①

又

             ②

由①②得，

当时，（舍去）

当时，

(2)

由（1）知，

即

又

的取值范围为.