还剩12页未读，
继续阅读
2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一（上）期末数学试卷
展开
这是一份2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知角α＝k•180°﹣2022°，k∈Z，则符合条件的最大负角为（ ）
A．﹣42°B．﹣220°C．﹣202°D．﹣158°
2．（5分）若函数y＝a2x+4+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知，则csαcsβ的值为（ ）
A．0B．C．D．0或±
4．（5分）设集合A＝{y|y＝x2﹣4x+2a}，B＝{y|y＝﹣sin2x+2sinx}，若A∪B＝A，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．（﹣∞，1]D．[7，+∞）
5．（5分）已知函数f（x）＝lg2x，g（x）＝a﹣2sinx，若∃x1∈[1，2]，∃x2∈[0，2π]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
C．（﹣2，3）D．[﹣2，3]
6．（5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）函数f（x）＝sin（2x+φ）（φ＞0）对任意实数x，都有，则φ的最小值为（ ）
A．πB．C．D．
8．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣lg2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（ ）
A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列函数中，既为偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．y＝sin|x|B．y＝|sinx|
C．D．y＝tanx﹣csx
（多选）10．（5分）已知0＜lga2022＜lgb2022，则下列说法正确的是（ ）
A．b＞a＞1B．a﹣2＜b﹣2
C．D．若m＞0，则
（多选）11．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数、奇函数，且f（x）+g（x）＝（sinx+csx）2，则（ ）
A．f（x）＝cs2xB．g（x）＝sin 2x
C．f（g（x））＜g（f（x））D．f（g（x））＞g（f（x））
（多选）12．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝|lgx|，且f（m）＝f（n），则m•n＝10
B．a＝lg43，b＝sin的大小关系为b＞a＞c
C．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
D．函数f（x）＝ln（x2﹣1）+2x+2﹣x，则使不等式f（x+1）＜f（2x）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分） ．
14．（5分）e＝2.71828⋯为自然对数的底数，则e2lnsin30°＝ ．
15．（5分）已知α，β∈R，且满足α2﹣2sinβ＝1，则4α+sinβ的值域为 ．
16．（5分）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC为斜三角形．
（1）证明：tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC；
（2）若，求tanA的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝|ex﹣cs0|，e为自然对数的底数e＝2.71828⋯．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2）时，证明：x1+x2＜0．
19．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间上的最大值为2，求m的最小值．
20．（12分）已知函数f（x）a．
（1）若，证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求a的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝2sin（）•sin（）﹣sin（π+x），且函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线x对称．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2＝0成立，求实数m的最大值和最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx，以下证明可能用到下列结论：x∈（0，1）时，①sinx＜x＜tanx；②lnx＜x﹣1．
（1）x∈（0，1），求证：x＜ln；
（2）证明：sin．
2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知角α＝k•180°﹣2022°，k∈Z，则符合条件的最大负角为（ ）
A．﹣42°B．﹣220°C．﹣202°D．﹣158°
【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解．
【解答】解：依题意，α＝k⋅180°﹣2022°，k∈Z，
取k＝11时，有最大负角α＝11⋅180°﹣2022°＝﹣42°．
故选：A．
【点评】本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
2．（5分）若函数y＝a2x+4+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出点A的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得的值．
【解答】解：当2x+4＝0，即x＝﹣2时，y＝4，所以A（﹣2，4），
所以，由诱导公式可得．
故选：C．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
3．（5分）已知，则csαcsβ的值为（ ）
A．0B．C．D．0或±
【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得．
【解答】解：因为，
两式相加可得2csαcsβ＝1，即．
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）设集合A＝{y|y＝x2﹣4x+2a}，B＝{y|y＝﹣sin2x+2sinx}，若A∪B＝A，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．（﹣∞，1]D．[7，+∞）
【分析】分别求出集合A、B的范围，利用A∪B＝A的性质即可求解．
【解答】解：依题意，对于A集合：y＝x2﹣4x+2a＝（x﹣2）2+2a﹣4≥2a﹣4，
所以A＝{y|y≥2a﹣4}；
对于B集合：y＝﹣sin2x+2sinx＝﹣（sinx﹣1）2+1，
因为﹣1≤sinx≤1，所以﹣3≤y≤1，
所以B＝{y|﹣3≤y≤1}；
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
所以2a﹣4≤﹣3，解得，
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：集合的运算，函数的值域，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5．（5分）已知函数f（x）＝lg2x，g（x）＝a﹣2sinx，若∃x1∈[1，2]，∃x2∈[0，2π]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
C．（﹣2，3）D．[﹣2，3]
【分析】根据题意，求出函数f（x）在[1，2]上的值域，再求出函数g（x）在[0，2π]上的值域，分析可知[0，1]∩[a﹣2，a+2]≠∅，结合补集思想可求得实数a的取值范围．
【解答】解：当x1∈[1，2]时，f（x1）＝lg2x1∈[0，1]，
当x2∈[0，2π]时，g（x2）＝a﹣2sinx2∈[a﹣2，a+2]，
因为∃x1∈[1，2]，∃x2∈[0，2π]，使得f（x1）＝g（x2），
所以[0，1]∩[a﹣2，a+2]≠∅，
考查[0，1]∩[a﹣2，a+2]＝∅的情形，则a+2＜0或a﹣2＞1，解得a＜﹣2或a＞3，
故当[0，1]∩[a﹣2，a+2]≠∅时，﹣2≤a≤3．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数函数与正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解．
【解答】解：依题意，，
故选：B．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
7．（5分）函数f（x）＝sin（2x+φ）（φ＞0）对任意实数x，都有，则φ的最小值为（ ）
A．πB．C．D．
【分析】由已知得是最大值或最小值，是函数图象的对称轴，利用正弦函数的对称轴可得结论．
【解答】解：由知是最大值或最小值，
所以，是f（x）的一条对称轴的方程，
所以，满足，k∈Z，
所以．
因为φ＞0，所以最小值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
8．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣lg2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（ ）
A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）
【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解
【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），
又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），
即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，
又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，
其图象如图所示：
在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），
故选：A．
【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列函数中，既为偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．y＝sin|x|B．y＝|sinx|
C．D．y＝tanx﹣csx
【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可．
【解答】解：对于A，∵函数y＝sin|x|为偶函数，又x＞0时，函数y＝sinx在上单调递增，
∴函数y＝sin|x|在上单调递减，故A符合题意；
对于B，∵|sin（﹣x）|＝|sinx|，且函数y＝|sinx|定义域为R，
∴函数y＝|sinx|为偶函数，当时，y＝|sinx|＝﹣sinx，
且函数y＝﹣sinx在上单调递减，
∴函数y＝|sinx|在上单调递减，故B符合题意；
对于C，∵，
∴函数在上单调递增，故C不符合题意；
对于D，记y＝f（x）＝tanx﹣csx，
则f（﹣x）＝tan（﹣x）﹣cs（﹣x）＝﹣tanx﹣csx，∴f（﹣x）≠f（x），
∴函数y＝tanx﹣csx不是偶函数，故D不符合题意．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知0＜lga2022＜lgb2022，则下列说法正确的是（ ）
A．b＞a＞1B．a﹣2＜b﹣2
C．D．若m＞0，则
【分析】根据题干条件得到a＞b＞1判断A；由y＝x﹣2在（0，+∞）上单调性判断B；由基本不等式得到判断C；作差法比较出得出D．
【解答】解：因为0＜lga2022＜lgb2022，所以a＞1，b＞1，
不妨令0＜lga2022＜lgb2022＝m，则am＞2022，bm＝2022，故a＞b＞1，故A错误；
因为y＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，故a﹣2＜b﹣2，B正确；
因为2，故C正确；
若m＞0，因为，故，D正确．
故选：BCD．
【点评】此题考查不等式的性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数、奇函数，且f（x）+g（x）＝（sinx+csx）2，则（ ）
A．f（x）＝cs2xB．g（x）＝sin 2x
C．f（g（x））＜g（f（x））D．f（g（x））＞g（f（x））
【分析】分别计算出函数f（x），g（x），即可解出．
【解答】解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数、奇函数，
∴，
∴g（x）＝sin2x，f（x）＝1，
∴f（g（x））＝1，g（f（x））＝sin2＜1，
故选项B、D正确，
故选：BD．
【点评】本题考查了函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝|lgx|，且f（m）＝f（n），则m•n＝10
B．a＝lg43，b＝sin的大小关系为b＞a＞c
C．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
D．函数f（x）＝ln（x2﹣1）+2x+2﹣x，则使不等式f（x+1）＜f（2x）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
【分析】根据函数f（x）＝|lgx|，的图象性质可求解A，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可比较B，结合钟表图形可判断C，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D．
【解答】解：对于A，由f（m）＝f（n），可得|lgm|＝|lgn|，不妨设m＜n，
则有﹣lgm＝lgn，所以m⋅n＝1，故A错误；
对于B，，所以b＞c，
因为，
所以，所以c＜a，
因为，所以，
所以，所以b＞a，
所以b＞a＞c，故B正确；
对于C，八点二十分，如图，，
所以，故C错误；
对于D，f（x）＝ln（x2﹣1）+2x+2﹣x中，令x2﹣1＞0解得x＜﹣1或x＞1，
所以定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，
且f（﹣x）＝ln（x2﹣1）+2﹣x+2x＝f（x），所以函数为偶函数，
当x＞1时，设t＝2x＞2，此时单调递增，
再结合复合函数单调性可知y＝ln（x2﹣1）单调递增，
所以f（x）＝ln（x2﹣1）+2x+2﹣x在（1，+∞）单调递增，
则在（﹣∞，﹣1）单调递减，
所以由f（x+1）＜f（2x）可得1＜|x+1|＜|2x|，
即，解得，
解得x＜﹣2或x＞1，故D正确．
故选：BD．
【点评】此题考查了对数函数的性质，考查了利用函数单调性比较大小，考查了函数奇偶性的应用，考查了转化思想，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分） 1 ．
【分析】由于，利用公式tan即可求得答案．
【解答】解：∵tan1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二倍角的正切，考查观察与运用公式的能力，属于中档题．
14．（5分）e＝2.71828⋯为自然对数的底数，则e2lnsin30°＝ ．
【分析】根据对数运算求解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了对数恒等式的应用，属于基础题．
15．（5分）已知α，β∈R，且满足α2﹣2sinβ＝1，则4α+sinβ的值域为 ．
【分析】根据已知条件α2﹣2sinβ＝1，运用三角函数的有界性，可得，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．
【解答】解：∵α2﹣2sinβ＝1，
∴，可得，
4α+sinβ，，
设f（α），，
∵f（α）的对称轴为α＝﹣4，
∴f（α）在区间上单调递增，
∴，，
∴4α+sinβ的值域为 ．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的有界性与二次函数的综合应用，需要学生有一定的综合能力，属于中档题．
16．（5分）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为 ．
【分析】由弧长公式可求得等边△ABC的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个△ABC的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解．
【解答】解：由题意可知，设AB＝r，
则弧的长度为，所以r＝6，
设弧所对的扇形的面积为S，，
则该鲁洛克斯三角形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC为斜三角形．
（1）证明：tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC；
（2）若，求tanA的值．
【分析】（1）结合诱导公式与两角和的正切公式进行运算，即可得证；
（2）将两边同时平方，求出，再根据sinA和csA的符号，利用完全平方差公式，求得sinA﹣csA的值，然后联立方程，求解即可．
【解答】（1）证明：因为A+B＝180°﹣C，所以tan（A+B）＝﹣tanC，
因为C≠90°，所以tanAtanB≠1，所以，
由，得tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC．
（2）解：因为，
所以，
所以①，
又0＜A＜π，所以sinA＞0，csA＜0，
因为（sinA﹣csA）2＝1﹣2sinAcsA，所以②，
由①②解得，sinA，csA，
所以tanA．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知函数f（x）＝|ex﹣cs0|，e为自然对数的底数e＝2.71828⋯．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2）时，证明：x1+x2＜0．
【分析】（1）根据，结合指数函数单调性求解即可；
（2）不妨设x1＜x2，进而根据，结合指对互化得x1＝ln（1﹣t），x2＝ln（1+t），0＜t＜1，再结合t的范围即可得答案．
【解答】解：（1）因为函数，
所以，根据指数函数的单调性得，当x≥0时，f（x）单调递增；当x＜0时，f（x）单调递减；
所以，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）．
（2）证明：由（1）知，当x＜0时，f（x）∈（0，1），
当x≥0时，f（x）∈[0，+∞），
∵f（x1）＝f（x2），不妨设x1＜x2，
∴x1＜0＜x2，
∴，0＜t＜1，
∴，即，
∴两边取以e为底的对数得x1＝ln（1﹣t），x2＝ln（1+t），
∴，
∵0＜t＜1，ln（1﹣t2）＜0，
∴x1+x2＜0．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间上的最大值为2，求m的最小值．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x）+1，进而利用正弦函数的周期公式即可求解．
（2）由题意可求范围2x∈[，2m]，可得sin（2x）的最大值为1，利用正弦函数的性质可得2m，即可解得m的最小值．
【解答】解：（1）因为
＝1+cs2xsin（2x）
＝1+cs2x（sin2xcs2x）
＝1sin2xcs2x
＝sin（2x）+1，
所以函数f（x）的最小正周期Tπ；
（2）因为x∈，
所以2x∈[，2m]，
又因为f（x）的最大值是2，所以sin（2x）的最大值为1，
所以2m，
所以m，
所以m的最小值为．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）a．
（1）若，证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）根据三角恒等变换，得，，再判断函数奇偶性即可；
（2）由题意知f（x）min≥0，令t＝2x，得，，再根据单调性求最值即可．
【解答】解：（1）证明：
．
所以，即，定义域为R，
所以，
所以f（x）为奇函数．
（2）因为f（x）≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以f（x）min≥0．
令t＝2x，因为x∈[﹣1，1]，所以，
所以，，
因为在单调递增，
所以，即，
所以，解得，
所以a的取值范围是．
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质和判断，不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝2sin（）•sin（）﹣sin（π+x），且函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线x对称．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2＝0成立，求实数m的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用三角函数图象的对称性求得函数g（x）的解析式．
（Ⅱ）利用余弦函数的定义域和值域，求得t＝g（x）∈[1，2]．由题意可得，即t2﹣mt+2＝0能成立，即m＝t，t∈[1，2]．再利用对勾函数的单调性，求得实数m的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（）•sin（）﹣sin（π+x）
＝2sin（）•cs（）+sinx
sin（x）+sinxcsx+sinx＝2sin（x），
∵函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线x对称，
∴g（x）＝f（x）＝2sin（x）＝2sin（x）＝2cs（x）＝2cs（x）．
（Ⅱ）由x∈[0，），可得x∈[，），∴cs（x）∈[，1]，∴t＝g（x）∈[1，2]．
若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2＝0成立，即t2﹣mt+2＝0能成立，
即m＝t，t∈[1，2]．
由对勾函数的单调性可得，函数m在[1，]上单调递减，在（，2]上单调递增，
当t＝1时，m＝3；t时，m＝2，t＝2时，m＝3，
故实数m的最大值为3，最小值为2．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，函数的能成立问题，对勾函数的单调性，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx，以下证明可能用到下列结论：x∈（0，1）时，①sinx＜x＜tanx；②lnx＜x﹣1．
（1）x∈（0，1），求证：x＜ln；
（2）证明：sin．
【分析】（1）利用x∈（0，1）时，lnx＜x﹣1，通过多次代换，即可证明；
（2）首先（1）得，令，⋯得到一系列不等式，相加即可．
【解答】证明：（1）由已知x∈（0，1）时，lnx＜x﹣1，
用x+1代换x得ln（1+x）＜x，再以﹣x代换x得ln（1﹣x）＜﹣x，
即﹣ln（1﹣x）＞x，即，得证．
（2）由（1）可知x∈（0，1）时，
则，
令得，
令得，⋯，
令x＝n得，
相加得
，（n≥2，n∈N），
故原命题得证．
【点评】本题考查导数的综合应用，换元法，放缩法，属中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/4 9:17:06；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231
1．（5分）已知角α＝k•180°﹣2022°，k∈Z，则符合条件的最大负角为（ ）
A．﹣42°B．﹣220°C．﹣202°D．﹣158°
2．（5分）若函数y＝a2x+4+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知，则csαcsβ的值为（ ）
A．0B．C．D．0或±
4．（5分）设集合A＝{y|y＝x2﹣4x+2a}，B＝{y|y＝﹣sin2x+2sinx}，若A∪B＝A，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．（﹣∞，1]D．[7，+∞）
5．（5分）已知函数f（x）＝lg2x，g（x）＝a﹣2sinx，若∃x1∈[1，2]，∃x2∈[0，2π]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
C．（﹣2，3）D．[﹣2，3]
6．（5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）函数f（x）＝sin（2x+φ）（φ＞0）对任意实数x，都有，则φ的最小值为（ ）
A．πB．C．D．
8．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣lg2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（ ）
A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列函数中，既为偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．y＝sin|x|B．y＝|sinx|
C．D．y＝tanx﹣csx
（多选）10．（5分）已知0＜lga2022＜lgb2022，则下列说法正确的是（ ）
A．b＞a＞1B．a﹣2＜b﹣2
C．D．若m＞0，则
（多选）11．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数、奇函数，且f（x）+g（x）＝（sinx+csx）2，则（ ）
A．f（x）＝cs2xB．g（x）＝sin 2x
C．f（g（x））＜g（f（x））D．f（g（x））＞g（f（x））
（多选）12．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝|lgx|，且f（m）＝f（n），则m•n＝10
B．a＝lg43，b＝sin的大小关系为b＞a＞c
C．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
D．函数f（x）＝ln（x2﹣1）+2x+2﹣x，则使不等式f（x+1）＜f（2x）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分） ．
14．（5分）e＝2.71828⋯为自然对数的底数，则e2lnsin30°＝ ．
15．（5分）已知α，β∈R，且满足α2﹣2sinβ＝1，则4α+sinβ的值域为 ．
16．（5分）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC为斜三角形．
（1）证明：tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC；
（2）若，求tanA的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝|ex﹣cs0|，e为自然对数的底数e＝2.71828⋯．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2）时，证明：x1+x2＜0．
19．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间上的最大值为2，求m的最小值．
20．（12分）已知函数f（x）a．
（1）若，证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求a的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝2sin（）•sin（）﹣sin（π+x），且函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线x对称．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2＝0成立，求实数m的最大值和最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx，以下证明可能用到下列结论：x∈（0，1）时，①sinx＜x＜tanx；②lnx＜x﹣1．
（1）x∈（0，1），求证：x＜ln；
（2）证明：sin．
2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知角α＝k•180°﹣2022°，k∈Z，则符合条件的最大负角为（ ）
A．﹣42°B．﹣220°C．﹣202°D．﹣158°
【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解．
【解答】解：依题意，α＝k⋅180°﹣2022°，k∈Z，
取k＝11时，有最大负角α＝11⋅180°﹣2022°＝﹣42°．
故选：A．
【点评】本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
2．（5分）若函数y＝a2x+4+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出点A的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得的值．
【解答】解：当2x+4＝0，即x＝﹣2时，y＝4，所以A（﹣2，4），
所以，由诱导公式可得．
故选：C．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，属于基础题．
3．（5分）已知，则csαcsβ的值为（ ）
A．0B．C．D．0或±
【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得．
【解答】解：因为，
两式相加可得2csαcsβ＝1，即．
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）设集合A＝{y|y＝x2﹣4x+2a}，B＝{y|y＝﹣sin2x+2sinx}，若A∪B＝A，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．（﹣∞，1]D．[7，+∞）
【分析】分别求出集合A、B的范围，利用A∪B＝A的性质即可求解．
【解答】解：依题意，对于A集合：y＝x2﹣4x+2a＝（x﹣2）2+2a﹣4≥2a﹣4，
所以A＝{y|y≥2a﹣4}；
对于B集合：y＝﹣sin2x+2sinx＝﹣（sinx﹣1）2+1，
因为﹣1≤sinx≤1，所以﹣3≤y≤1，
所以B＝{y|﹣3≤y≤1}；
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
所以2a﹣4≤﹣3，解得，
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：集合的运算，函数的值域，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5．（5分）已知函数f（x）＝lg2x，g（x）＝a﹣2sinx，若∃x1∈[1，2]，∃x2∈[0，2π]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）
C．（﹣2，3）D．[﹣2，3]
【分析】根据题意，求出函数f（x）在[1，2]上的值域，再求出函数g（x）在[0，2π]上的值域，分析可知[0，1]∩[a﹣2，a+2]≠∅，结合补集思想可求得实数a的取值范围．
【解答】解：当x1∈[1，2]时，f（x1）＝lg2x1∈[0，1]，
当x2∈[0，2π]时，g（x2）＝a﹣2sinx2∈[a﹣2，a+2]，
因为∃x1∈[1，2]，∃x2∈[0，2π]，使得f（x1）＝g（x2），
所以[0，1]∩[a﹣2，a+2]≠∅，
考查[0，1]∩[a﹣2，a+2]＝∅的情形，则a+2＜0或a﹣2＞1，解得a＜﹣2或a＞3，
故当[0，1]∩[a﹣2，a+2]≠∅时，﹣2≤a≤3．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数函数与正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解．
【解答】解：依题意，，
故选：B．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
7．（5分）函数f（x）＝sin（2x+φ）（φ＞0）对任意实数x，都有，则φ的最小值为（ ）
A．πB．C．D．
【分析】由已知得是最大值或最小值，是函数图象的对称轴，利用正弦函数的对称轴可得结论．
【解答】解：由知是最大值或最小值，
所以，是f（x）的一条对称轴的方程，
所以，满足，k∈Z，
所以．
因为φ＞0，所以最小值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
8．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣lg2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（ ）
A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）
【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解
【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），
又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），
即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，
又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，
其图象如图所示：
在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），
故选：A．
【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列函数中，既为偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．y＝sin|x|B．y＝|sinx|
C．D．y＝tanx﹣csx
【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可．
【解答】解：对于A，∵函数y＝sin|x|为偶函数，又x＞0时，函数y＝sinx在上单调递增，
∴函数y＝sin|x|在上单调递减，故A符合题意；
对于B，∵|sin（﹣x）|＝|sinx|，且函数y＝|sinx|定义域为R，
∴函数y＝|sinx|为偶函数，当时，y＝|sinx|＝﹣sinx，
且函数y＝﹣sinx在上单调递减，
∴函数y＝|sinx|在上单调递减，故B符合题意；
对于C，∵，
∴函数在上单调递增，故C不符合题意；
对于D，记y＝f（x）＝tanx﹣csx，
则f（﹣x）＝tan（﹣x）﹣cs（﹣x）＝﹣tanx﹣csx，∴f（﹣x）≠f（x），
∴函数y＝tanx﹣csx不是偶函数，故D不符合题意．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知0＜lga2022＜lgb2022，则下列说法正确的是（ ）
A．b＞a＞1B．a﹣2＜b﹣2
C．D．若m＞0，则
【分析】根据题干条件得到a＞b＞1判断A；由y＝x﹣2在（0，+∞）上单调性判断B；由基本不等式得到判断C；作差法比较出得出D．
【解答】解：因为0＜lga2022＜lgb2022，所以a＞1，b＞1，
不妨令0＜lga2022＜lgb2022＝m，则am＞2022，bm＝2022，故a＞b＞1，故A错误；
因为y＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，故a﹣2＜b﹣2，B正确；
因为2，故C正确；
若m＞0，因为，故，D正确．
故选：BCD．
【点评】此题考查不等式的性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数、奇函数，且f（x）+g（x）＝（sinx+csx）2，则（ ）
A．f（x）＝cs2xB．g（x）＝sin 2x
C．f（g（x））＜g（f（x））D．f（g（x））＞g（f（x））
【分析】分别计算出函数f（x），g（x），即可解出．
【解答】解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的偶函数、奇函数，
∴，
∴g（x）＝sin2x，f（x）＝1，
∴f（g（x））＝1，g（f（x））＝sin2＜1，
故选项B、D正确，
故选：BD．
【点评】本题考查了函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．f（x）＝|lgx|，且f（m）＝f（n），则m•n＝10
B．a＝lg43，b＝sin的大小关系为b＞a＞c
C．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为
D．函数f（x）＝ln（x2﹣1）+2x+2﹣x，则使不等式f（x+1）＜f（2x）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
【分析】根据函数f（x）＝|lgx|，的图象性质可求解A，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可比较B，结合钟表图形可判断C，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D．
【解答】解：对于A，由f（m）＝f（n），可得|lgm|＝|lgn|，不妨设m＜n，
则有﹣lgm＝lgn，所以m⋅n＝1，故A错误；
对于B，，所以b＞c，
因为，
所以，所以c＜a，
因为，所以，
所以，所以b＞a，
所以b＞a＞c，故B正确；
对于C，八点二十分，如图，，
所以，故C错误；
对于D，f（x）＝ln（x2﹣1）+2x+2﹣x中，令x2﹣1＞0解得x＜﹣1或x＞1，
所以定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，
且f（﹣x）＝ln（x2﹣1）+2﹣x+2x＝f（x），所以函数为偶函数，
当x＞1时，设t＝2x＞2，此时单调递增，
再结合复合函数单调性可知y＝ln（x2﹣1）单调递增，
所以f（x）＝ln（x2﹣1）+2x+2﹣x在（1，+∞）单调递增，
则在（﹣∞，﹣1）单调递减，
所以由f（x+1）＜f（2x）可得1＜|x+1|＜|2x|，
即，解得，
解得x＜﹣2或x＞1，故D正确．
故选：BD．
【点评】此题考查了对数函数的性质，考查了利用函数单调性比较大小，考查了函数奇偶性的应用，考查了转化思想，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分） 1 ．
【分析】由于，利用公式tan即可求得答案．
【解答】解：∵tan1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二倍角的正切，考查观察与运用公式的能力，属于中档题．
14．（5分）e＝2.71828⋯为自然对数的底数，则e2lnsin30°＝ ．
【分析】根据对数运算求解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了对数恒等式的应用，属于基础题．
15．（5分）已知α，β∈R，且满足α2﹣2sinβ＝1，则4α+sinβ的值域为 ．
【分析】根据已知条件α2﹣2sinβ＝1，运用三角函数的有界性，可得，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．
【解答】解：∵α2﹣2sinβ＝1，
∴，可得，
4α+sinβ，，
设f（α），，
∵f（α）的对称轴为α＝﹣4，
∴f（α）在区间上单调递增，
∴，，
∴4α+sinβ的值域为 ．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的有界性与二次函数的综合应用，需要学生有一定的综合能力，属于中档题．
16．（5分）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为 ．
【分析】由弧长公式可求得等边△ABC的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个△ABC的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解．
【解答】解：由题意可知，设AB＝r，
则弧的长度为，所以r＝6，
设弧所对的扇形的面积为S，，
则该鲁洛克斯三角形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC为斜三角形．
（1）证明：tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC；
（2）若，求tanA的值．
【分析】（1）结合诱导公式与两角和的正切公式进行运算，即可得证；
（2）将两边同时平方，求出，再根据sinA和csA的符号，利用完全平方差公式，求得sinA﹣csA的值，然后联立方程，求解即可．
【解答】（1）证明：因为A+B＝180°﹣C，所以tan（A+B）＝﹣tanC，
因为C≠90°，所以tanAtanB≠1，所以，
由，得tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC．
（2）解：因为，
所以，
所以①，
又0＜A＜π，所以sinA＞0，csA＜0，
因为（sinA﹣csA）2＝1﹣2sinAcsA，所以②，
由①②解得，sinA，csA，
所以tanA．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知函数f（x）＝|ex﹣cs0|，e为自然对数的底数e＝2.71828⋯．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2）时，证明：x1+x2＜0．
【分析】（1）根据，结合指数函数单调性求解即可；
（2）不妨设x1＜x2，进而根据，结合指对互化得x1＝ln（1﹣t），x2＝ln（1+t），0＜t＜1，再结合t的范围即可得答案．
【解答】解：（1）因为函数，
所以，根据指数函数的单调性得，当x≥0时，f（x）单调递增；当x＜0时，f（x）单调递减；
所以，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）．
（2）证明：由（1）知，当x＜0时，f（x）∈（0，1），
当x≥0时，f（x）∈[0，+∞），
∵f（x1）＝f（x2），不妨设x1＜x2，
∴x1＜0＜x2，
∴，0＜t＜1，
∴，即，
∴两边取以e为底的对数得x1＝ln（1﹣t），x2＝ln（1+t），
∴，
∵0＜t＜1，ln（1﹣t2）＜0，
∴x1+x2＜0．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间上的最大值为2，求m的最小值．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x）+1，进而利用正弦函数的周期公式即可求解．
（2）由题意可求范围2x∈[，2m]，可得sin（2x）的最大值为1，利用正弦函数的性质可得2m，即可解得m的最小值．
【解答】解：（1）因为
＝1+cs2xsin（2x）
＝1+cs2x（sin2xcs2x）
＝1sin2xcs2x
＝sin（2x）+1，
所以函数f（x）的最小正周期Tπ；
（2）因为x∈，
所以2x∈[，2m]，
又因为f（x）的最大值是2，所以sin（2x）的最大值为1，
所以2m，
所以m，
所以m的最小值为．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）a．
（1）若，证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）根据三角恒等变换，得，，再判断函数奇偶性即可；
（2）由题意知f（x）min≥0，令t＝2x，得，，再根据单调性求最值即可．
【解答】解：（1）证明：
．
所以，即，定义域为R，
所以，
所以f（x）为奇函数．
（2）因为f（x）≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以f（x）min≥0．
令t＝2x，因为x∈[﹣1，1]，所以，
所以，，
因为在单调递增，
所以，即，
所以，解得，
所以a的取值范围是．
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质和判断，不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝2sin（）•sin（）﹣sin（π+x），且函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线x对称．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2＝0成立，求实数m的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用三角函数图象的对称性求得函数g（x）的解析式．
（Ⅱ）利用余弦函数的定义域和值域，求得t＝g（x）∈[1，2]．由题意可得，即t2﹣mt+2＝0能成立，即m＝t，t∈[1，2]．再利用对勾函数的单调性，求得实数m的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（）•sin（）﹣sin（π+x）
＝2sin（）•cs（）+sinx
sin（x）+sinxcsx+sinx＝2sin（x），
∵函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线x对称，
∴g（x）＝f（x）＝2sin（x）＝2sin（x）＝2cs（x）＝2cs（x）．
（Ⅱ）由x∈[0，），可得x∈[，），∴cs（x）∈[，1]，∴t＝g（x）∈[1，2]．
若存在x∈[0，），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2＝0成立，即t2﹣mt+2＝0能成立，
即m＝t，t∈[1，2]．
由对勾函数的单调性可得，函数m在[1，]上单调递减，在（，2]上单调递增，
当t＝1时，m＝3；t时，m＝2，t＝2时，m＝3，
故实数m的最大值为3，最小值为2．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，函数的能成立问题，对勾函数的单调性，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx，以下证明可能用到下列结论：x∈（0，1）时，①sinx＜x＜tanx；②lnx＜x﹣1．
（1）x∈（0，1），求证：x＜ln；
（2）证明：sin．
【分析】（1）利用x∈（0，1）时，lnx＜x﹣1，通过多次代换，即可证明；
（2）首先（1）得，令，⋯得到一系列不等式，相加即可．
【解答】证明：（1）由已知x∈（0，1）时，lnx＜x﹣1，
用x+1代换x得ln（1+x）＜x，再以﹣x代换x得ln（1﹣x）＜﹣x，
即﹣ln（1﹣x）＞x，即，得证．
（2）由（1）可知x∈（0，1）时，
则，
令得，
令得，⋯，
令x＝n得，
相加得
，（n≥2，n∈N），
故原命题得证．
【点评】本题考查导数的综合应用，换元法，放缩法，属中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/4 9:17:06；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231
相关试卷
2022-2023学年广东省深圳中学高一（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年广东省深圳中学高一（上）期末数学试卷，共20页。
2022-2023学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题： 这是一份广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题，文件包含深圳实验学校高中部2022-2023学年度第一学期期末考试高一数学试题答案解析pdf、深圳实验学校高中部2022-2023学年度第一学期期末考试高一数学试题pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
