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物理培优(重点高中自主招生竞赛)第12章 杠杆较难 难题练习 （附答案解析）
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这是一份物理培优(重点高中自主招生竞赛)第12章 杠杆较难 难题练习 （附答案解析），共79页。试卷主要包含了有人设计了一种新型伸缩拉杆秤，如图所示的图线，某商店有一不等臂天平等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc31651" 一．杠杆的平衡条件（共20小题） PAGEREF _Tc31651 \h 2
\l "_Tc18925" 二．力臂的画法（共4小题） PAGEREF _Tc18925 \h 10
\l "_Tc1760" 三．杠杆的动态平衡分析（共4小题） PAGEREF _Tc1760 \h 12
\l "_Tc21056" 四．杠杆的平衡分析法及其应用（共13小题） PAGEREF _Tc21056 \h 14
\l "_Tc15465" 参考答案与试题解析 PAGEREF _Tc15465 \h 23
\l "_Tc24644" 一．杠杆的平衡条件（共20小题） PAGEREF _Tc24644 \h 23
\l "_Tc14364" 二．力臂的画法（共4小题） PAGEREF _Tc14364 \h 47
\l "_Tc26380" 三．杠杆的动态平衡分析（共4小题） PAGEREF _Tc26380 \h 51
\l "_Tc29894" 四．杠杆的平衡分析法及其应用（共13小题） PAGEREF _Tc29894 \h 56
___________ 校__________老师
初物培优(重高自招 竞赛)之第12章 杠杆较难
原题
一．杠杆的平衡条件（共20小题）
1．如图所示是一种水闸，闸门的底部与铰轴O相连，厚度不计的闸门高为H、宽为a。AB为一根不计质量的杆，A端通过铰链与闸门相连，B端通过铰链与地面相连，杆AB与地面成60°角，A端距离地面高h。已知水的密度为ρ，闸门右侧水位高为h，水对闸门的压力作用点等效在距离O点 13h高度处，试求杆AB对闸门的作用力。
2．用同种材料制成的实心物体A与B，分别挂在杠杆的两端，且GA＞GB，此时杠杆平衡，如图（a）所示。若将两物体全部浸入水中，如图（b）所示，试问杠杆是否还能平衡。
请运用所学知识做出判断，并写出必要的公式和推导过程，已知材料的密度ρ0大于水的密度ρ水。
3．如图甲所示在容器底部用吸盘固定一个滑轮，轻质杠杆A端的细线通过滑轮与水中的实心长方体C相连，C的底面积为0.2m2，轻质杠杆OA：OB＝3：2．容器内有一定质量的水，实心长方体C漂浮在水面上，此时物体D对杠杆B端的拉力恰好为零。继续向容器中加水，D物体对地面压力随C下底面的深度h变化的图象如图乙所示。不计摩擦、绳重和水的阻力，求：
（1）C的重力GC；
（2）D物体的重力GD。
4．如图为一个简易雨量测试仪，质量均匀的直杆AB外均匀包裹着海绵，直杆与干海绵的总质量为1.5kg，且可绕垂直纸面的转轴O转动，OA：OB＝7：3，杆右端B点连接一个质量不计的滑轮，绕在滑轮上的细绳一端固定在地面上，另一端系在质量为1kg的重物C上。晴天时，直杆AB呈水平状态，重物静止在地面上。g取10N/kg，求：
（1）晴天时，重物C对地面的压力是多大
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收多少质量的雨水，直杆开始绕O点旋转
5．有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在的位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置）。秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡。当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量。已知秤杆和两个套筒的长度均为L＝16cm，套筒可移出的最大距离为L1＝14cm，秤纽到挂钩的距离为d＝2cm，两个套筒的质量均为m＝0.1kg。取重力加速度g＝10N/kg。求：
（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M。
（2）该秤的量程m0。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示多少质量。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1多大。
6．有四条完全相同的刚性长条薄片AiBi（i＝1，2，3，4），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将四薄片架在一只水平的碗口上，使每条薄片一端的小突起Bi搭在碗口上，另一小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示。现将一个质量为2m的小物体放在薄片A4B4上的一点，这一点与A3，A4的距离相等，则薄片A4B4中点受A3的压力是 牛。
7．如图（1）所示，均匀长方体木块长b＝18cm，高h＝16cm，宽L＝10cm，被两个力传感器支撑起来，两传感器间距为a＝10cm且到木块两边的距离相等，传感器能够将支撑点的受力情况通过数据采集器在计算机屏幕上反映出来。现用一弹簧测力计水平拉木块，拉力作用在木块的中点且缓慢均匀增大，木块则始终保持静止状态，计算机屏上出现如图（2）所示的图线。问：
图（2）上的直线A反映的是传感器上的受力情况 （“左边”或“右边”），弹簧测力计的最大拉力是 N。
8．如图所示，OA是起重机的吊臂，可绕O点转动，在距O点6m远的B处吊有重3000N的物体。为保证吊臂在水平位置平衡，则绕过定滑轮斜向下的拉力F为 N，将吊臂缓慢拉起，使用 A 点升高 2m 的过程中，拉力变 。（绳重、吊臂重、摩擦均不计）
9．某商店有一不等臂天平（砝码准确），一顾客要买2kg白糖，营业员先在左盘放一包白糖右盘加1kg砝码，待天平平衡后；接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg砝码，待天平平衡后。然后把两包白糖交给顾客。则两包白糖的总质量（ ）
A．等于2kgB．小于2kgC．大于2kgD．无法知道
10．一个600N重的成年人和一个小孩都要过一道5m宽的水渠。成人从左岸到右岸，而小孩从水渠右岸到左岸，两岸各有一块4m长的坚实木板，他们想出右图所示的方式过渠。请分析在忽略木板自身重量和木板叠交距离的情况下，要使成年人和小孩都能平安过渠，小孩的体重不能轻于多少牛？（ ）
A．100NB．200NC．300ND．400N
11．如图是一副称量准确的杆秤示意图，秤砣质量为1kg，秤杆和秤盘总质量为O.5kg，定盘星B到提纽O的距离OB为2cm，秤盘到提纽O的距离OA为10cm。若有人换了一个质量为0.8kg的秤砣，实际质量3kg的物品，让顾客误以为得到物品的质量是多少（ ）
A．3.8kgB．3.6kgC．3.96kgD．3.75kg
12．如图（a）所示，一根质量分布均匀的细直硬杆，长度为L，质量为m，在杆的最左端A与距右端L4的B处立两个相同的支撑物，将细杆水平支起，求：
（1）A处与B处的支持力NA和NB。
（2）在杆的最右端C再加上一个同样的支撑物，如图（b）所示，假设支撑物均由相同的弹性材料制成，当它们受到挤压时会产生微小形变，其竖直方向上发生的微小形变与弹力成正比，则A、B、C三处的支持力NA、NB和NC分别为多少？
13．如图所示，一重为G＝100N的均匀厚长钢板借助于一圆柱形铁桶将其一端向上抬起，圆柱形铁桶半径为R＝0.5m，厚长钢板AO的O端用铰链固定于地面，AO长为5R，各处摩擦均不计，现用通过圆柱形桶圆心的水平向左的推力F使圆柱体水平向左缓慢移动。
（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为多少？
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为多少？（已知sin30°＝cs60°＝0.5；sin60°＝cs30°＝0.866；tan15°＝0.268）
14．有一均匀直杆，重力为G，杆的重心即为其对称中心C．用细线拴住杆的两端点A、B，把它挂在两个竖直悬挂的弹簧测力计下面，并在A、C中点D处挂上4个相同的钩码，如图所示，杆在水平方向上达到平衡状态。已知A点处绳上拉力F1＝10N，B点处绳上拉力F2＝8N，求：直杆的重力G和每个钩码的重力G1。
15．边长为0.1m质量均匀的正方体物体M，放在水平地面上对地面的压强为4.8×103Pa．如图装置中，桶D固定，高h＝0.5m；横杆可绕固定点O在竖直平面内转动，系在横杆B端的细绳通过动滑轮连着物体M，用大小为24N的力F在A点竖直向上提横杆时，横杆在水平位置平衡，此时物体M对桶底的压强为1.6×103Pa，若仍用力F在C点处竖直向上提横杆（C点未在杆上标出），使横杆仍在水平位置平衡，此时物体M对桶底压强为1.0×103Pa，已知横杆长OB＝0.8m，OA＝0.6m，g取10N/kg，一个标准大气压1×105Pa，不计横杆质量、绳质量和摩擦。
（1）求物体M的密度 。
（2）求OC长度 。
（3）现在桶内放满水，物体的底面与容器底部紧密接触，至少需要多大的竖直向上的力才能将物体拉离桶底 。
16．道闸又称栏杆机、挡车器，是现代停车场管理的智能化高科技产品，主要应用于各类停车场、封闭式管理小区出入口等场所。如图甲所示的是某停车场安装的道闸结构示意图，合金制作的空心栏杆，通过固定装置安装在箱体，能绕固定轴O转动90°，固定轴到箱底的高度为h，箱体固定在地面上。弹簧通过连接钢丝一端固定在箱体底面，另一端固定在固定装置上的A点，使用时弹簧保持竖直。可以使栏杆在水平位置和竖直位置间转动。弹簧自重G弹簧＝30N，钢丝重忽略不计，固定轴到弹簧的距离是OA＝20cm．通过调节连接钢丝的长度，使弹簧的长度为l1＝80cm，这时栏杆在水平位置平衡。在栏杆的重心位置上安装了5N重的警示牌，需要调节连接钢丝长度，改变弹簧的拉力，使栏杆仍然在水平位置平衡。栏杆与固定装置总重为G栏杆，重心B点到O点距离为1.2m，若弹簧的长度l与拉力F拉的关系图象如图乙所示。
求：
（1）栏杆和固定装置总重G栏杆；
（2）第二次弹簧的长度。
17．如图AB、BC、CD是三根相同的轻杆，彼此之间用绞链连接，轻杆与墙壁之间也以绞链连接。A、D两点在同一水平面内。绞链B上悬挂一质量为m的物体，为使BC保持水平，在绞链C上至少要施加多大的作用力？
18．如图所示，质量m＝2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，导轨及支架ABCD总质量M＝4.0kg，形状及尺寸已在图中注明，该支架只可以绕着过D点的转动轴在图示竖直平面内转动。为简便起见，可将导轨及支架ABCD所受的重力看作集中作用于图中的O点。现用一沿导轨的拉力F通过细线拉铁块，假定铁块起动后立即以0.1m/s的速度匀速运动，此时拉力F＝10N。
（1）铁块运动时所受摩擦力多大？
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂多大？
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是多少？（g＝10N/kg）
19．塔式起重机的结构如图所示，设机架重P＝400kN，悬臂长度为L＝10m，平衡块重GW＝200kN，平衡块与中心线OO′的距离可在1m到6m间变化，轨道A、B间的距离为4m。当平衡块离中心线1m，右侧轨道对轮子的支持力FB是左侧轨道对轮子支持力FA的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．机架重心离中心线的距离为1.5m
B．该起重机最多能吊起的重物不能超过225kN
C．起重机的平稳度与轨道的间距无关
D．当起重机挂钩在离中心线OO'的距离为10m处吊起重为G＝100kN的重物时，平衡块离OO'的距离为6m，此时轨道B对轮子的作用力FB＝450kN
20．如图甲所示，底面积为50cm2的圆柱形玻璃筒中装有一定量的水，放在水平台面上，底面积为10cm2的圆柱形物体B浸没在水中，杠杆CD可绕支点O在竖直平面内转动，CO＝2DO；物体A是质量100g的配重。作用在物体A上的向下的拉力F为0.6N时，杠杆在水平位置平衡，如图乙所示，此时物体B有25的体积露出水面，物体B所受的浮力为F浮，水在物体B底面处产生的压强为P，筒中水的深度比图甲中水的深度下降了0.4cm。g取10N/kg，杠杆、悬挂物体的细绳的质量均忽略不计，则下列选项正确的是（ ）
A．P的大小为500PaB．F浮的大小为0.3N
C．物体B的密度为7g/cm3D．物体B的体积为100cm3
二．力臂的画法（共4小题）
21．如图所示，轻质杠杆OA可绕O点转动，通过定滑轮用力拉动杠杆缓慢转动，在图示位置时，杠杆的动力臂力L作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．如图所示，一轻质杠杆OA可绕O点转动，A端用绳子系住，绳子的另一端系于竖赶墙壁的C点，在杠杆中点B处悬挂一重为G的重物，杠杆处于水平静止状态。已知杠杆OA长为2L，O点到C点距离为L。
（1）请在图上画出拉力F的力臂；
（2）求出拉力F的大小；
（3）若绳子能承受的最大拉力为32G，则重物最多能悬挂在离O点多远处？
23．如图所示，O是轻质杠杆的支点，L1是使杠杆保持水平平衡的动力F1的力臂，请你画出动力F1示意图（要求保留作图痕迹）。
24．如图所示，杠杆OA在力F1、F2的作用下处于静止状态，L2是力F2的力臂，请在图中作出F1的力臂L1和力F2。
三．杠杆的动态平衡分析（共4小题）
25．密度为ρ＝500kg/m3、长a、高b、宽c分别为0.9m、3310m、3310m的匀质长方体，其表面光滑，静止在水平面上，并被一个小木桩抵住，如图（a）所示。（g取10N/kg）
（1）无风情况下，地面的支持力为多大？
（2）当有风与水平方向成45°斜向上吹到长方体的一个面上，如图（b）所示。风在长方体光滑侧面产生的压力为F，则力F要多大才能将长方体翘起？
（3）实验表明，风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。现让风从长方体左上方吹来，风向与水平方向成θ角，如图（c）所示。当θ大于某个值时，无论风速多大，都不能使长方体翘起。请通过计算确定θ的值。
26．如图是农村曾用的舂米工具的结构示意图。杆AB可绕O点转动，杆右端均匀柱形物体的长度与杆右侧的OB相等，杆AB的重力不计，柱形物体较重。若作用在A点的动力F方向始终与杆垂直，则杆从水平位置缓慢转动45°角的过程中，动力F大小的变化是 。
27．如图所示，均匀杆AB长为L，可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离L处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起。已知杆水平时，细绳的拉力为T1，杆与水平面夹角为30°时，细绳的拉力为T2，则T1：T2是（ ）
A．2：1B．2：1C．1：2D．1：1
28．如图所示，一块均匀的厚木板长15m，重为400N，对称的搁在相距8m的A、B两个支架上，一个体重为500N的人，从A点出发向左走，求到离A点多远时，木板将开始翘起？
四．杠杆的平衡分析法及其应用（共13小题）
29．某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，其中的一部分结构如图所示，OA是一个均匀钢管，每米长度所受重力为30N，O是转动轴；重物的质量m为150kg，挂在B处，OB＝1m；拉力F作用在A点，竖直向上。为维持平衡，钢管OA为多长时所用的拉力最小？这个最小拉力是多少？
30．如图所示，粗细相同密度均匀的细棒做成“L”形，其中AC与CB垂直，AC长L，CB长L/2，整根细棒的重力是G，并放在固定的圆筒内，圆筒内侧面和底面均光滑，圆筒横截面的直径为L．平衡时细棒正好处于经过圆简直径的竖直平面内。此时细棒对圆筒底面的压力大小为 ；细棒B端对圆筒侧面的压力为 。
31．某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，如图所示是这个机械一个组成部分的示意图。OA是根钢管，每米受重力为30N；O是转动轴；重物的质量m为150kg，挂在B处，OB＝1m；拉力F加在A点，竖直向上，取g＝10N/kg．为维持钢管水平平衡，OA为 m时所用的拉力最小。
32．如图所示，两个相同的轴轮A和B处于同一水平面位置，且以相同大小的角速度ω按图示方向匀速转动。在其上面放置一匀质木板C，C与两轮间的动摩擦因数相同。若初始时C的重心O处于轴轮A和B之间且偏近于轴轮A，则木板C将 （选填“一直向左运动”“做左右往复运动”或“保持原来位置”）。
33．如图所示，轻绳的一端系有质量为2kg的物体C，另一端系在质量为1kg的均匀木棒AO的A端；木棒AO可绕O端无摩擦转动，在水平拉力F的作用下木棒AO与水平墙面的夹角由30°缓慢增加到60°（g＝10N/kg），则（ ）
A．拉力F的大小一直不变
B．棒与墙面成45°时拉力F＝25N
C．棒与墙面成30°时拉力F=2533N
D．棒与墙面成60°时拉力F=2533
34．在一次校运动会，小明骑一质量为m的独轮车，以速度v匀速通过一重为G、长为L的水平独木桥，独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，如图所示。设独轮车骑上A端支柱处为初始时刻（t＝0），下面哪一个图正确地表示了B端支柱所受压力FB与时间t的函数关系？（不考虑独木桥的形变）（ ）
A．B．
C．D．
35．如图所示，质量分布均匀的细杆水平放置，支座A在杆重心的右侧，杆的右端被位于其上面的支座B顶住。现在杆的左端C处施加一个向下的作用力，则（ ）
A．A、B两处的弹力均增加，且△FA＝△FB
B．A、B两处的弹力均增加，且△FA＞△FB
C．A处的弹力减小，B处的弹力增大，且|△FA|＞△FB
D．A处的弹力增大，B处的弹力减小，且△FA＞|△FB|
36．现有一个弹簧测力计（可随便找地方悬挂），一把匀质的长为1的有刻度、零点位于端点的直尺，一个木块及质量不计的细线。试用这些器件设计一实验装置（要求画出示意图），通过一次测量（弹簧测力计只准读一次数），求出木块的质量和尺的质量（已知重力加速度为g）。
37．如图1，一根长为20cm，横截面积为10cm2的均匀木杆用细线和弹簧测力计竖直悬挂起立，置于烧杯内水平面上方。现将烧杯竖直缓缓提升，木杆逐渐浸入水中，已知木杆的密度为ρ1＝0.8×103kg/m3，水的密度为ρ0＝1.0×103kg/m3
（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，求木杆浸入水中的长度。
（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，如图2所示，求木杆浸入水中的长度。（忽略木杆横截面积的影响）
38．某同学用一根粗细均匀的铁棒，将一个边长为a的正方形重物箱撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被放大）．已知：铁棒单位长度的质量为m，在另一端施加一个向上的力撬动重物箱。如果插入的长度为箱宽的五分之一，并保持该长度不变，求：
（1）重物对铁棒的压力为多大？
（2）当选用的铁棒长度满足什么条件时，施加的力最小，此最小的力为多大？
39．三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d≪a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：
（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向；
（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？
40．小强为课题研究小组提供了一把家中收藏的旧杆秤。杆秤的刻度模糊不清，只有5kg和6kg的刻度清晰可辨，秤砣遗失。小组成员对杆秤的外形进行了测量，测量结果如图所示。请根据以上信息
（1）判断该杆秤的重心（不包括秤砣）应该在提纽的哪一侧；
（2）求出秤砣的质量。
41．某工厂设计了一个蓄水池（如图所示），水源A罐的液面高度h1保持不变。罐底有一个小出水口，面积为S1．孔下通过一个截面积为S2活塞与杠杆BC相连。杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱形浮子，横截面积为S3，BO是杠杆总长的13．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h2，活塞恰好能堵住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有极小一段距离时，浮子便不再上浮，此时浮子没入水深为h3．为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的重量减去G′．试求浮子应减去重量G′的大小。（活塞及连杆的重量不计，杠杆所受浮力不记。）
五．杠杆中最小力的问题（共4小题）
42．小明推一辆满载重物的独轮车，手握在车把A处（图中未画人），遇到一个较高的台阶，他自己推不上去，小华赶快跑来帮忙。小华选择了一种最省力且效果最好的施力方法，请画出小华所施力F的示意图。
43．有一边长为a，密度为ρ的立方体大理石，工人用一根粗细均匀的单位长度重为P牛的铁棒将石块撬起一个很小的角度。如图所示，如果插入的长度为石块边长的四分之一，并保持该长度不变，则当选用的铁棒多长时，向上施加的力最小？此最小的力多大？
44．如图所示，画出使杠杆平衡最小力的示意图，要求保留作图痕迹。
45．一块高40厘米、宽30厘米、厚10厘米，质量为1.5千克的砖，竖直立在水平地面上，如图所示，若按图示的方向将它推倒，最小推力为 牛。（g＝10N/Kg）
六．杠杆的应用（共2小题）
46．如图是利用电子秤显示水库水位装置的示意图。
该装置主要由不计重力的滑轮C、D，长方体物块A、B以及轻质杠杆MN组成。物块A通过细绳与滑轮C相连，物块B通过细绳与杠杆相连。杠杆可以绕支点O在竖直平面内转动，杠杆始终在水平位置平衡，且MO：ON＝1：2．已知物块A的密度为1.5×103kg/m3，底面积为0.04m2，高1m，物块B的重力为100N．所有摩擦和绳重忽略不计，g取10N/kg。求：
（1）当物块A的顶部刚好没入水中时，物块A受到的拉力是多大？
（2）若水位发生变化，电子秤的示数为55N时，物块A露出水面的高度是多少？
47．如图所示，AB为一轻质杠杆，O为支点，在O点两侧分别悬挂体积相等的实心铜球和实心铁球，杠杆在水平位置平衡。若将两球分别远离O点向外移动相同的距离（未脱离杠杆），则 （选填“铜球”或“铁球”）一端下降。
七．探究杠杆的平衡条件实验（共1小题）
48．在探究“杠杆的平衡条件”的实验中，某同学记录了三次实验数据如表：
（1）这三次实验数据中有一次是错误的，错误数据的实验次数是 。改正错误数据后，同学得出了杠杆的平衡条件，
（2）在该实验后，有同学认为杠杆的力臂就是动力阻力的作用点到支点的距离，据此请指出该实验的不足之处
（3）若某次实验中用弹簧测力计竖直向上拉杠杆一端的A点，如图乙所示，杠杆水平平衡时弹簧测力计的示数为Fa，若在A点斜向上拉，杠杆要求在水平位置再次平衡时，弹簧测力计的示数为Fb，则Fa Fb（填“大于、小于、等于”）。
八．滑轮（组）的机械效率（共2小题）
49．小峰利用滑轮组将一个正方体金属块A从某溶液池内匀速提出液面，当金属块A浸没在液面下，上表面距液面的距离为h时开始计时，如图甲，计时后调整滑轮组绳端竖直向上拉力F的大小使金属块A始终以大小不变的速度匀速上升，提升过程中拉力F与金属块A向上运动时间关系如图乙。已知金属块A被提出液面后，滑轮组的机械效率为80%，h＝0.25m，（假设溶液池足够大，金属块被提出液面前后液面高度不变，不计绳重及摩擦，）。求：
（1）金属块A的重力；
（2）动滑轮的总重；
（3）正方体A的体积；
（4）溶液的密度。
50．两个实心正方体A、B由密度均为ρ的同种材料制成，它们重力分别是GA、GB，将A、B均放置在水平桌面上时，如图a所示，两物体对桌面的压强分别是pA、pB，且pA：pB＝1：2，当用甲、乙两滑轮组分别匀速提升A、B两物体，如图b所示，两动滑轮重均为G0，此时两滑轮组的机械效率之比为33：40；若将A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升，如图c所示，匀速提升A物体过程拉力F随时间t的变化如图d所示。不计绳重和摩擦，ρ水＝1.0×103kg/m3，求：
（1）A、B两物体的重力之比GA：GB是多少？
（2）滑轮组中的动滑轮重力G0是A物体重力GA的多少倍？
（3）A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升时机械效率是多少？
（4）A、B两个实心正方体的材料密度是多少？
参考答案与试题解析
一．杠杆的平衡条件（共20小题）
1．如图所示是一种水闸，闸门的底部与铰轴O相连，厚度不计的闸门高为H、宽为a。AB为一根不计质量的杆，A端通过铰链与闸门相连，B端通过铰链与地面相连，杆AB与地面成60°角，A端距离地面高h。已知水的密度为ρ，闸门右侧水位高为h，水对闸门的压力作用点等效在距离O点 13h高度处，试求杆AB对闸门的作用力。
【分析】水对闸门产生压强的深度可以看做闸门右侧水位高的一半，根据p＝ρgh求出闸门受到水的平均压强，利用F＝pS求出闸门受到水的压力，装置中杆对闸门的作用力沿杆，根据几何关系求出其力臂，根据杠杆的平衡条件求出杆AB对闸门的作用力。
【解答】解：由题意可知，闸门右侧水位高为h，则水对闸门产生压强的深度可以看做h2，
闸门受到水的平均压强为p＝ρgh2，
闸门受到水压强的受力面积S＝ah，
由p=FS可得，闸门受到水的压力F＝pS＝ρgh2×ah=12ρgah2，
设杆对闸门的作用力为F杆，将闸门看做以O为支点的杠杆，如下图所示：
图中，闸门受到水的压力的力臂LF=h3，
在直角三角形AOC中，∠AOC＝60°，杆对闸门作用力的力臂L杆＝AOcsθ＝hcs60°=12h，
由杠杆的平衡条件可得：F杆×L杆＝F×LF，即F杆×12h=12ρgah2×h3，
则杆AB对闸门的作用力F杆=13ρgah2。
答：杆AB对闸门的作用力为13ρgah2。
【点评】本题考查了液体压强公式和固体压强公式、杠杆平衡条件的应用，知道装置中杆作用的方向和正确得出对应的力臂是关键。
2．用同种材料制成的实心物体A与B，分别挂在杠杆的两端，且GA＞GB，此时杠杆平衡，如图（a）所示。若将两物体全部浸入水中，如图（b）所示，试问杠杆是否还能平衡。
请运用所学知识做出判断，并写出必要的公式和推导过程，已知材料的密度ρ0大于水的密度ρ水。
【分析】（1）要解决此题，首先要掌握杠杆的平衡条件：F1L1＝F2L2。
（2）掌握阿基米德原理，知道F浮＝ρ液gV排；计算出两金属块没在水中后杠杆两端力和力臂的乘积，根据乘积的大小变化，判断杠杆的状态。
【解答】解：杠杆两端分别挂上体积不同的两个金属块A、B时，杠杆在水平位置平衡。
因为杠杆平衡，
所以GA×OA＝GB×OB
mAg×OA＝mBg×OB
ρ0VAg×OA＝ρ0VBg×OB，
即：VA×OA＝VB×OB，
若将两球同时浸没在水中，则：
左端＝（ρ0VAg﹣ρ水VAg）×OA＝ρ0VAg×OA﹣ρ水VAg×OA
右端＝（ρ0VBg﹣ρ水VBg）×OB＝ρ0VBg×OB﹣ρ水VBg×OB
又因为VA×OA＝VB×OB，
所以ρ水VAg×OA＝ρ水VBg×OB，
即ρ0VAg×OA﹣ρ水VAg×OA＝ρ0VBg×OB﹣ρ水VBg×OB，
因此杠杆仍然平衡。
【点评】本题主要通过判断杠杆的平衡情况，考查了对杠杆平衡条件的应用和阿基米德原理的应用。首先要掌握杠杆的平衡条件和浮力的计算公式，分别计算出杠杆两端力和力臂的乘积，根据乘积的大小关系判断杠杆的平衡情况。
3．如图甲所示在容器底部用吸盘固定一个滑轮，轻质杠杆A端的细线通过滑轮与水中的实心长方体C相连，C的底面积为0.2m2，轻质杠杆OA：OB＝3：2．容器内有一定质量的水，实心长方体C漂浮在水面上，此时物体D对杠杆B端的拉力恰好为零。继续向容器中加水，D物体对地面压力随C下底面的深度h变化的图象如图乙所示。不计摩擦、绳重和水的阻力，求：
（1）C的重力GC；
（2）D物体的重力GD。
【分析】（1）当C下底面的深度为0.3m时，C对绳子的拉力为0，此时物体C的重力等于浮力，根据阿基米德原理求出C受到的浮力即为C的重力；
（2）由图乙可知，当C下底面水的深度为0.3m时，物体C受的浮力开始增大，并开始大于自身重力，当C下底面水的深度等于0.5m，物体C完全浸没到水中，且物体C的高度为0.5m，利用阿基米德原理可以求出物体C此时所受到的浮力，对C进行受力分析，可以求出C对绳子的拉力；此时杠杆平衡，利用杠杆的平衡条件即可求出绳子对D的拉力，物体D的重力即为绳子对D的拉力和地面对D的支持力之和。
【解答】解：
（1）由乙图可知，当水的深度h＝0.3m时，物体C对绳子的拉力为0，
此时，物体C只受到重力和浮力，且GC＝F浮，
由阿基米德原理可知：F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSCh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.2m2×0.3m＝600N，
则物体C的重力GC＝F浮＝600N；
（2）当C下底面水的深度h'＝0.5m时，物体C受到的浮力为：
F浮'＝ρ水gV排＝ρ水gSCh'＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.2m2×0.5m＝1000N，
此时物体C对绳子的拉力为：
FC＝F浮'﹣GC＝1000N﹣600N＝400N，
设OA＝3l，则0B＝2l，
根据杠杆的平衡条件：F1L1＝F2L2，
带入数值可得：FD×2l＝400N×3l，
可得绳子对D 的拉力为：FD＝600N，
由图象可知，当C下底面的深度为0.5m时，D对地面的压力为200N，
根据相互作用力可知：地面对D的支持力F支＝200N，
则物体D的重力为：GD＝FD+F支＝600N+200N＝800N。
答：
（1）C的重力GC为600N；
（2）D物体的重力GD为800N。
【点评】本题是将杠杆的平衡条件和阿基米德原理结合在一起考察，需要学生学会对物体进行受力分析。
4．如图为一个简易雨量测试仪，质量均匀的直杆AB外均匀包裹着海绵，直杆与干海绵的总质量为1.5kg，且可绕垂直纸面的转轴O转动，OA：OB＝7：3，杆右端B点连接一个质量不计的滑轮，绕在滑轮上的细绳一端固定在地面上，另一端系在质量为1kg的重物C上。晴天时，直杆AB呈水平状态，重物静止在地面上。g取10N/kg，求：
（1）晴天时，重物C对地面的压力是多大
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收多少质量的雨水，直杆开始绕O点旋转
【分析】（1）设直杆长为10L0，直杆与干海绵重心在其几何中心，由已知条件得出动力臂和阻力臂大小，根据G＝mg
得出阻力大小，根据杠杆的平衡条件得出动力FB大小，由力的作用是相互的可知杆对绳子的拉力为，即绳子对滑轮向上的拉力为10N，从而可知与C相连的绳子对C竖直向上的拉力大小，从而得出重物C对地面的压力大小；
（2）设吸收质量为m′的雨水，直杆开始绕O点旋转，阻力为直杆和雨水的重力和，动力为物体C重力的2倍，根据杠杆的平衡条件求出直杆开始绕O点旋转时吸收雨水的质量。
【解答】解：（1）设直杆长为10L0，直杆与干海绵重心在其几何中心，距B端长为5L0，O不支点，故直杆与干海绵重力的力臂（阻力力臂）为：
L2＝5L0﹣3L0＝2L0，阻力G＝mg＝1.5kg×10N/kg＝15N，
动力臂L1＝3L0，
根据杠杆的平衡条件：
G×2L0＝FB×3L0，
FB=2L03L0×G=23×15N＝10N；
由力的作用是相互的，杆对绳子的拉力为10N，即绳子对滑轮向上的拉力为10N，因有两段绳子分担10N的拉力，由力的平衡，故与C相连的绳子对C竖直向下的拉力大小为：T=10N2=5N，由力的相互性，绳子对C竖直向上的拉力大小为：T′＝5N，故重物C对地面的压力：
F压＝GC﹣T′＝mCg﹣T＝1kg×10N/kg＝10N﹣5N＝5N；
（2）设吸收质量为m′的雨水，直杆开始绕O点旋转，
则阻力F2′＝（m′+1.5kg）g，
动力为：FB′＝2GC＝2×1kg×10N/kg＝20N，
根据杠杆的平衡条件：
F2′×2L0＝FB′×3L0，
即（m′+1.5kg）g×2L0＝20N×3L0，
吸收雨水的质量：m′＝1.5kg时直杆开始绕O点旋转。
答：（1）晴天时，重物C对地面的压力是5N；
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收1.5kg的雨水，直杆开始绕O点旋转。
【点评】本题考查重力公式、力的平衡、力的相互性和动滑轮的知识及杠杆的平衡条件的运用，关键是找出杠杆的五要素，综合性较强。
5．有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在的位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置）。秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡。当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量。已知秤杆和两个套筒的长度均为L＝16cm，套筒可移出的最大距离为L1＝14cm，秤纽到挂钩的距离为d＝2cm，两个套筒的质量均为m＝0.1kg。取重力加速度g＝10N/kg。求：
（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M。
（2）该秤的量程m0。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示多少质量。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1多大。
【分析】（1）根据平衡时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相等求解；
（2）物体的力矩与内外套筒增加的力矩之和平衡，据此分析求解；
（3）设内套筒向右移动长度x1，外套筒相对内套筒向右移动长度x2，
根据力矩平衡分析秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，并求出1cm的长度分别表示多少质量；
（4）正常称量重物时，内外套筒可一起向外拉出，由力矩平衡求出内外套筒可一 起向外拉出，再由力矩平衡求解物体实际质量。
【解答】解析：
（1）套筒不拉出时杆恰平衡，两套筒相对秤纽的力矩与所求力矩相等，
则M＝2 mg（L2-d）＝2×0.1kg×10N/kg×（16×10-2m2-2×10﹣2m）＝0.12 N•m；
（2）根据力矩平衡可得：m0gd＝mgL1+mg2L1，
即：m0×10N/kg×2×10﹣2m＝0.1kg×10N/kg×14×10﹣2m+0.1kg×10N/kg×2×14×10﹣2m，
解出m0＝2.1kg；
（3）设内套筒向右移动长度x1，外套筒相对内套筒向右移动长度x2，
力矩平衡mxgd＝mgx1+mg（x1+x2），
①若只移动内套筒，则x2＝0，
mxgd＝2mgx1，
mx=2mx1d=2×0.1kg×x12cm=0.1kg×x11cm，故秤杆刻度均匀，1cm长度表示0.1kg，
②若只移动外套筒，则x1＝0，
mxgd＝mgx2，mx=mx2d=0.1kg×x22cm=0.05kg×x21cm，
故内层套筒刻度均匀，1cm长度表示0.05kg；
（4）由（3）问可知，内层套筒的左端在读数为1kg处对应刻度x′＝0.1m，
外筒丢失后，内套筒离左端秤纽距离x′﹣d＝0.1m﹣2×10﹣2m＝0.08m，
则m1gd+M＝mg（x′﹣d+L2），
解出m1＝0.2 kg。
答：（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M为0.12N•m。
（2）该秤的量程m0为2.1 kg。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示0.1kg和0.05kg。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1为0.2 kg。
【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，并考查了运用物理知识解决实际问题的能力。
6．有四条完全相同的刚性长条薄片AiBi（i＝1，2，3，4），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将四薄片架在一只水平的碗口上，使每条薄片一端的小突起Bi搭在碗口上，另一小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示。现将一个质量为2m的小物体放在薄片A4B4上的一点，这一点与A3，A4的距离相等，则薄片A4B4中点受A3的压力是 0.2mg 牛。
【分析】根据图示得出不同的钢片将的压力关系，然后以B4为支点，根据杠杆平衡的条件列出关系式即可求出薄片A4B4中点受A3的压力。
【解答】解：设A3对A4B4的压力为F，根据杠杆平衡的原理和力的作用是相互的，A2对A3B3的压力为2F，A1对A2B2的压力为4F，A4对A1B1的压力为8F，那么A1B1对A4B4的压力为8F，以B4为支点，根据杠杆平衡的条件可得：
8F×4＝2mg×3+F×2
F＝0.2mg。
故答案为：0.2mg。
【点评】本题考查杠杆平衡条件的分析法及应用，关键是明确各薄片间的相互作用力。
7．如图（1）所示，均匀长方体木块长b＝18cm，高h＝16cm，宽L＝10cm，被两个力传感器支撑起来，两传感器间距为a＝10cm且到木块两边的距离相等，传感器能够将支撑点的受力情况通过数据采集器在计算机屏幕上反映出来。现用一弹簧测力计水平拉木块，拉力作用在木块的中点且缓慢均匀增大，木块则始终保持静止状态，计算机屏上出现如图（2）所示的图线。问：
图（2）上的直线A反映的是传感器上的受力情况 右边 （“左边”或“右边”），弹簧测力计的最大拉力是 3.5 N。
【分析】以右边传感器为支点，根据力矩平衡条件和力平衡条件分析在拉力增大的过程中，水平面对右边力传感器的支持力逐渐增大，即可根据图象判断直线A反映的是右边传感器的受力情况。
由图读出，t＝15s，A传感器读数为5.6N．B传感器的读数为0，以右边传感器为支点，根据力矩平衡条件列式，求出此时弹簧的拉力，即为木块能保持平衡的最大拉力。
【解答】解：
以右边传感器为支点，木块保持静止，木块受到拉力F顺时针力矩、左边传感器支持力顺时针力矩，及重力逆时针力矩，根据力矩平衡条件得知，顺时针力矩之和等于逆时针力矩之和，拉力增大，拉力的力矩增大，而重力的力矩不变，则知左边传感器支持力力矩减小，其力臂不变，则左边传感器支持力，根据竖直方向的力平衡得知，右边传感器的支持力增大，所以直线A反映的是右边传感器上的受力情况。
由图读出，0﹣5s内，两个传感器读数相等，则知木块的重力G＝2×2.8N＝5.6N；
t＝15s，A传感器读数为5.6N．B传感器的读数为0，以右边传感器为支点，根据力矩平衡条件列式：
Fh2=Ga2；
解得：F＝3.5N。
故答案为：右边；3.5。
【点评】本题考查了共点力平衡的条件及其应用和力的合成与分解的运用，是一道难题。
8．如图所示，OA是起重机的吊臂，可绕O点转动，在距O点6m远的B处吊有重3000N的物体。为保证吊臂在水平位置平衡，则绕过定滑轮斜向下的拉力F为 3600 N，将吊臂缓慢拉起，使用 A 点升高 2m 的过程中，拉力变 小 。（绳重、吊臂重、摩擦均不计）
【分析】OAB构成杠杆，F的力臂图中标出为5m，阻力臂为OB的长度。根据杠杆平衡条件可解第一问。 在动态提升过程中抓好杠杆要素中的不变量与变量的关系。
【解答】解：
（1）杠杆阻力为物体对杠杆的拉力，大小等于物重，为3000N，阻力臂为OB＝6m，由图可知绳子绕过定滑轮只改变了力的方向，因此动力臂为5m。根据杠杆平衡条件F1l1＝F2l2得：F×5m＝3000N×6m，解得F＝3600N。
（2）在动态提升的过程中阻力（物重）不变，阻力臂变小，动力臂同时变大。由杠杆平衡条件可知拉力变小。
故答案为：3600；小。
【点评】对于杠杆类习题首先从确定动力、阻力、动力臂、阻力臂入手。动态杠杆问题要分析好变量与不变量。再根据杠杆平衡条件解答。
9．某商店有一不等臂天平（砝码准确），一顾客要买2kg白糖，营业员先在左盘放一包白糖右盘加1kg砝码，待天平平衡后；接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg砝码，待天平平衡后。然后把两包白糖交给顾客。则两包白糖的总质量（ ）
A．等于2kgB．小于2kgC．大于2kgD．无法知道
【分析】此题要根据天平的有关知识来解答，即在此题中天平的臂长不等，这是此题的关键。行分析。
【解答】解：
由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设a＞b），
设第一包白糖的实际质量为m1，第二包白糖的实际质量为m2，
先在左盘放一包白糖右盘加1kg砝码，天平平衡，
由杠杆的平衡条件可得：am1＝b×1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，
接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg砝码，天平平衡，
则由杠杆的平衡条件可得：a（m1+1）＝b（m2+1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，
联立①②解得m1=ba，m2=ab，
则两包白糖的总质量为m2+m1=ab+ba，
因为（m1+m2）﹣2=ab+ba--2=(a-b)2ab≥0
又因为a≠b，所以（m1+m2）﹣2＞0，即m1+m2＞2，
这样可知称出的两包白糖的总质量大于2kg。
故选：C。
【点评】此题学生要利用物理知识来求解，所以学生平时在学习时要各科融汇贯通，同时体现了物理与数学的联系。
10．一个600N重的成年人和一个小孩都要过一道5m宽的水渠。成人从左岸到右岸，而小孩从水渠右岸到左岸，两岸各有一块4m长的坚实木板，他们想出右图所示的方式过渠。请分析在忽略木板自身重量和木板叠交距离的情况下，要使成年人和小孩都能平安过渠，小孩的体重不能轻于多少牛？（ ）
A．100NB．200NC．300ND．400N
【分析】（1）可让成年人先过水渠，只要成年人能安全过水渠，小孩也能安全过水渠；
（2）木板A′B′是一个杠杆，成年人对木板A′B′的压力为阻力，小孩对木板A′B′的压力为动力，由杠杆平衡条件列方程，然后求出小孩的重力。
【解答】解：（1）因成年人较重，所以只要成年人能安全过水渠，则小孩也能安全过水渠；
小孩站在B′处让成年人先从木板上过水渠，当成年人到达水渠对岸后，站在B′处，然后再让小孩过水渠如图所示：
；
（2）把木板A′B′视为杠杆，O为支点，成年人对A′B′的压力视为阻力F2，小孩对木板的压力视为动力F1，
当成年人在A′时，阻力（成年人对A′B′的压力）最大，为F2＝G成年人＝600N，
由题意和图示可知：OA′＝1m，OB′＝3m，
由杠杆平衡条件可得：F1×OB′＝F2×A′O，
则F1=F2×OA'OB'=600N×1m3m=200N，
即小孩的体重不能轻于200N；
故选：B。
【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，分析清楚在何处阻力最大是本题的难点，也是正确解题的关键。
11．如图是一副称量准确的杆秤示意图，秤砣质量为1kg，秤杆和秤盘总质量为O.5kg，定盘星B到提纽O的距离OB为2cm，秤盘到提纽O的距离OA为10cm。若有人换了一个质量为0.8kg的秤砣，实际质量3kg的物品，让顾客误以为得到物品的质量是多少（ ）
A．3.8kgB．3.6kgC．3.96kgD．3.75kg
【分析】首先求出秤杆和秤盘的重心所在位置，即重心D到O点的距离，此时秤砣放在B点，根据杠杆平衡条件求OD的大小；
然后求出在正常情况下（用1kg秤砣称3kg物品），秤砣到O点的距离L；算出秤杆上标定的质量值与标定的质量值位置到定盘星B点的距离的关系；
根据杠杆的平衡条件求出使用不标准的秤砣时，不标准秤砣到定盘星的距离，由此求出秤杆上的标定的质量值即顾客误以为的质量。
【解答】解：设秤杆和秤盘的重心为D，当杠杆平衡时秤砣放在B点，
因为G秤×OD＝G砣×OB，即：m秤g×OD＝m砣g×OB，
0.5kg×OD＝1kg×2cm，
所以OD＝4cm，
使用1kg秤砣（正常情况下），设秤砣到O点的距离L，
因为m物g×OA+m秤g×OD＝m砣g×L 即：3kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm＝1kg×g×L，
解得：L＝32cm，
即OC＝L＝32cm；
秤杆上标定的质量值与标定的质量值位置到定盘星B点的距离的关系是3kgOC-OB=3kg32cm-2cm=0.1kg/cm；
当使用0.8kg秤砣时，秤量3kg的质量时，秤砣到O点的距离设为OE，
因为m物g×OA+m秤g×OD＝m砣′g×OE，
即：3kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm＝0.8kg×g×OE，
解得：OE＝40cm；
此时E位置标定的质量值m＝0.1kg/cm×（OE﹣OB）＝0.1kg/cm×（40cm﹣2cm）＝3.8kg。
则实际3千克的物品会让顾客误以为质量为3.8kg，故A正确，BCD错误。
故选：A。
【点评】本题考查杠杆平衡条件的计算，关键是将课本知识内容记忆清楚，仔细分析计算即可。
12．如图（a）所示，一根质量分布均匀的细直硬杆，长度为L，质量为m，在杆的最左端A与距右端L4的B处立两个相同的支撑物，将细杆水平支起，求：
（1）A处与B处的支持力NA和NB。
（2）在杆的最右端C再加上一个同样的支撑物，如图（b）所示，假设支撑物均由相同的弹性材料制成，当它们受到挤压时会产生微小形变，其竖直方向上发生的微小形变与弹力成正比，则A、B、C三处的支持力NA、NB和NC分别为多少？
【分析】（1）先以A为转轴，由力矩的平衡条件来求B点的弹力；再以B为转轴以同样的方法求A的弹力；
（2）三处支持力的合力等于重力；分别以ABC为转轴可列力矩平衡方程式求各弹力。
【解答】解：（1）以A为转轴，由力矩的平衡条件有NB×34L＝mg×12L；即NB=23mg；
以B转轴，同理有NA×34L＝mg14L；
解得NA=13mg；
故A处与B处的支持力NA=13mg，NB=23mg；
（2）对整个木棒来说，有：NA+NB+NC＝mg；
以A为转轴，有NB×34L+NCL＝mg×12L；
以B为转轴，有NA×34L＝NC×14L+mg×（12L-14L）
以C为转轴，有NAL+NB×14L＝mg×12L；
由于支撑物发生微小形变，杆倾斜，
根据几何关系得：（△hA﹣△hB）：（△hB﹣△hC）＝A′B′：B′C'＝3：1，
∴（NA﹣NB）：（NB﹣NC）＝3；
联立以上各式解得NA=1126mg；NB=413mg；NC=726mg；
故ABC三点弹力分别为1126mg、826mg、726mg。
答：（1）A处与B处的支持力NA、NB分别为13mg、23mg；
（2）ABC三点弹力分别为1126mg、413mg、726mg。
【点评】本题的关键于受力分析后利用物体的平衡条件和力矩平衡条件来列方程求解。
13．如图所示，一重为G＝100N的均匀厚长钢板借助于一圆柱形铁桶将其一端向上抬起，圆柱形铁桶半径为R＝0.5m，厚长钢板AO的O端用铰链固定于地面，AO长为5R，各处摩擦均不计，现用通过圆柱形桶圆心的水平向左的推力F使圆柱体水平向左缓慢移动。
（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为多少？
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为多少？（已知sin30°＝cs60°＝0.5；sin60°＝cs30°＝0.866；tan15°＝0.268）
【分析】（1）圆柱体对木棒的支持力过圆柱体的轴线垂直于木棒，支点O到支持力作用线的垂线段即为支持力的力臂；
木棒的中心位置中心处，方向竖直向下，根据三角函数求出力臂的大小，根据杠杆的平衡条件求出木棒与地面的夹角θ＝30°时柱体对木棒的支持力。
（2）分别计算出两种情况下中心的高度，根据W＝Fs＝Gh计算出F做的功。
【解答】解：（1）厚钢板的重力、圆柱形桶对厚钢板的支持力和力臂的示意图如下：
当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，则重力的力臂LG=12OAcsθ=12×5R×cs30°=12×5R×0.866=12×5×0.5m×0.866＝1.0825m，
支持力力臂LN=Rtan15°=≈1.866m，
根据杠杆平衡条件得：NLN＝GLG，
所以，N=GLGLN=100N×≈58N。
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角为30°时，由上图可知：钢板的重心高度h1=12OAsinθ=12×5R×sin30°=12×5R×12=12×5×0.5m×12=0.625m，
当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角为60°时，由上图可知：钢板的重心高度h2=12OAsinθ=12×5R×sin60°=12×5R×0.866=12×5×0.5m×0.866＝1.0825m，
所以，△h＝h2﹣h1＝1.0825m﹣0.625m＝0.4575m，
F做的功W＝Fs＝Gh＝100N×0.4575m＝45.75J。
答：（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为58N。
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为45.75J。
【点评】本题考查了支持力的示意图和力臂以及杠杆平衡条件的应用，正确的找出钢板受到的力和力臂是解题的前提与关键。
14．有一均匀直杆，重力为G，杆的重心即为其对称中心C．用细线拴住杆的两端点A、B，把它挂在两个竖直悬挂的弹簧测力计下面，并在A、C中点D处挂上4个相同的钩码，如图所示，杆在水平方向上达到平衡状态。已知A点处绳上拉力F1＝10N，B点处绳上拉力F2＝8N，求：直杆的重力G和每个钩码的重力G1。
【分析】杠杆处于平衡状态，根据杠杆的受力情况，列等式F1+F2＝G+4G1 ；根据杠杆平衡原理列等式F2×AB＝G×AC+4G1×AD；又知AB＝2AC＝4AD；
将三个等式联立解答即可。
【解答】解：根据受力分析，得：F1+F2＝G+4G1，
10N+8N＝G+4G1①，
根据杠杆原理，以A为转动轴得：F2×AB＝G×AC+4G1×AD，
8N×AB＝G×AC+4G1×AD，②
根据几何关系，可得：AB＝2AC＝4AD，③
联立①②③解得：G＝14N，G1＝1N。
答：直杆的重力G为14N，每个钩码的重力G1为1N。
【点评】本题考查了杠杆平衡原理的运用和杠杆受力分析，一个杠杆受三个力平衡的情况对初中生理解有一定的难度，要注意全面分析。
15．边长为0.1m质量均匀的正方体物体M，放在水平地面上对地面的压强为4.8×103Pa．如图装置中，桶D固定，高h＝0.5m；横杆可绕固定点O在竖直平面内转动，系在横杆B端的细绳通过动滑轮连着物体M，用大小为24N的力F在A点竖直向上提横杆时，横杆在水平位置平衡，此时物体M对桶底的压强为1.6×103Pa，若仍用力F在C点处竖直向上提横杆（C点未在杆上标出），使横杆仍在水平位置平衡，此时物体M对桶底压强为1.0×103Pa，已知横杆长OB＝0.8m，OA＝0.6m，g取10N/kg，一个标准大气压1×105Pa，不计横杆质量、绳质量和摩擦。
（1）求物体M的密度 4.8×103kg/m3 。
（2）求OC长度 0.7m 。
（3）现在桶内放满水，物体的底面与容器底部紧密接触，至少需要多大的竖直向上的力才能将物体拉离桶底 546N 。
【分析】（1）根据重力、密度以及压强公式表示出压力与重力的关系，从而求出正方体的密度（注意放在水平面上的物体，水平面受到的压力等于物体的重力）；
（2）当F在A点时，根据杠杆平衡的条件求出作用在动滑轮绳子上的拉力，然后对M和动滑轮进行受力分析，求出动滑轮和M的总重力；
当F在C点时，根据杠杆平衡的条件表示出作用在动滑轮绳子上的拉力和力臂的关系，然后对M和动滑轮进行受力分析，根据平衡力的特点表示出动滑轮和M受到力的关系，最后联立关系式即可求出OC的长度；
（3）先根据M和动滑轮的关系求出动滑轮重；然后确定最小作用力的作用点，根据受力平衡以及浮力、压强的计算公式表示出M和动滑轮受到的平衡力，然后解之即可。
【解答】解：（1）∵ρ=mV，并且放在水平地面上的物体，地面受到的压力等于物体的重力
∴G＝F
mg＝pS
ρVg＝pS
ρa3g＝pa2
ρ=pag=4.8×103Pa0.1m×10N/kg=4.8×103kg/m3；
（2）设动滑轮质量为m，作用在动滑轮绳子上的力为T；
当F在A点时，根据杠杆平衡的条件可得：
T1LB＝FLA
T1×0.8m＝24N×0.6m
T1＝18N
对动滑轮和M进行受力分析可得：
2T1+p1a2＝mMg+mg
2×18N+1.6×103Pa×（0.1m）2＝（mM+m）g
（mM+m）g＝52N﹣﹣﹣﹣①
当F在A点时，根据杠杆平衡的条件可得：
T2LB＝FLC
T2×0.8m＝24N×LC﹣﹣﹣﹣②
2T2+1.0×103Pa×（0.1m）2＝（mM+m）g﹣﹣﹣﹣③
联立①②③可得，LC＝0.7m；
（3）M的重力：GM＝mMg＝ρVMg＝4.8×103kg/m3×（0.1m）3×10N/kg＝48N，
则动滑轮的重力：mg＝52N﹣48N＝4N；
当力F的作用点在B点时，作用力最小的力，设最小力F为T3，则
2T3＝GM+mg+[ρ水g（h﹣a）+p0]×a2
2T3＝48N+4N+[1×103kg/m3×10N/kg×（0.5m﹣0.1m）+1×105Pa]×（0.1m）2＝1092N
则T3＝546N。
答：（1）4.8×103kg/m3；（2）0.7m；（3）546N。
【点评】本题将受力分析、杠杆的平衡条件、压强的计算公式以及浮力的计算公式相结合，还涉及到重力公式、动滑轮的特点，具有一定的难度。
16．道闸又称栏杆机、挡车器，是现代停车场管理的智能化高科技产品，主要应用于各类停车场、封闭式管理小区出入口等场所。如图甲所示的是某停车场安装的道闸结构示意图，合金制作的空心栏杆，通过固定装置安装在箱体，能绕固定轴O转动90°，固定轴到箱底的高度为h，箱体固定在地面上。弹簧通过连接钢丝一端固定在箱体底面，另一端固定在固定装置上的A点，使用时弹簧保持竖直。可以使栏杆在水平位置和竖直位置间转动。弹簧自重G弹簧＝30N，钢丝重忽略不计，固定轴到弹簧的距离是OA＝20cm．通过调节连接钢丝的长度，使弹簧的长度为l1＝80cm，这时栏杆在水平位置平衡。在栏杆的重心位置上安装了5N重的警示牌，需要调节连接钢丝长度，改变弹簧的拉力，使栏杆仍然在水平位置平衡。栏杆与固定装置总重为G栏杆，重心B点到O点距离为1.2m，若弹簧的长度l与拉力F拉的关系图象如图乙所示。
求：
（1）栏杆和固定装置总重G栏杆；
（2）第二次弹簧的长度。
【分析】（1）杠杆的平衡条件是 动力×动力臂＝阻力×阻力臂，栏杆作为杠杆受力示意图如下：
所以有等式：F1•OA＝G栏杆•OB
其中，OA＝20cm＝0.2m，OB＝1.2m，
F1＝F拉1+G弹簧，其中G弹簧＝30N，F拉1通过L1＝80cm时丙图图象中看出，即 F拉1＝300N。
把这些数据代入杠杆平衡条件解方程，得出G栏杆。
（2）根据杠杆的平衡条件F2•OA＝G栏杆′•OB，G栏杆增加5N时G栏杆′＝55N+5N＝60N
解出F2，用F2减去弹簧重力就是第二次弹簧的拉力，
即：F拉2＝F2﹣G弹簧
弹簧的特点是在弹性限度内，弹簧伸长的长度与拉力成正比，即先后两次弹簧的伸长量与弹簧的拉力成正比，这样列出方程即可求出第二次弹簧长度。
方程为：（l2﹣l0）：（l1﹣l0）＝F拉2：F拉1。
【解答】解：（1）栏杆绕O点转动，可以看作杠杆。当杠杆水平平衡时，受力示意图如下
根据杠杆平衡条件：F1•OA＝G栏杆•OB
F1＝F拉1+G弹簧，从图丙中可以知道：F拉1＝300N
G栏杆(F拉1+G弹簧)⋅OAOB=(300N+30N)×
（2）栏杆上加了警示牌后G栏杆′＝G栏杆+G警示牌＝55N+5N＝60N
根据杠杆平衡条件：F2•OA＝G栏杆′•OB
F2=G栏杆'⋅OBOA=60N×
F2＝F拉2+G弹簧 F拉2＝F2﹣G弹簧＝360N﹣30N＝330N
设弹簧原长为l0，由于弹簧伸长的长度与拉力成正比，
所以有等式（l2﹣l0）：（l1﹣l0）＝F拉2：F拉1
（l2﹣50cm）：（80cm﹣50cm）＝330N：300N
解出l2＝83cm。
答：（1）栏杆和固定装置总重G栏杆＝55N。
（2）第二次弹簧的长度是83cm。
【点评】熟练掌握杠杆的平衡条件和弹簧的特点是解答本题的基础，同时还要具备在所给信息中挑出相关信息列方程的能力。
17．如图AB、BC、CD是三根相同的轻杆，彼此之间用绞链连接，轻杆与墙壁之间也以绞链连接。A、D两点在同一水平面内。绞链B上悬挂一质量为m的物体，为使BC保持水平，在绞链C上至少要施加多大的作用力？
【分析】当物体悬挂在B点后，其对杠杆AB施加了一个向下的力，使其顺时针旋转，同时带动BC转动。以杠杆AB为研究对象，作用在上面的力有悬挂物体的重力和杆BC对它向右的拉力。
利用杠杆的平衡条件即可求出BC对AB的拉力。
【解答】解：对杠杆AB而言，支点是A，动力臂为AH，阻力臂AE，动力为悬挂物体的重力G＝mg，动力为沿BC方向的拉力F，
设杠杆AB长为L，则AE=12L，AH=32L
杠杆处于平衡状态，所以：F×AH＝G×AE，即F×32L＝mg×12L
解得：F=33mg。
答：为使BC保持水平，在绞链C上至少要施加F=33mg的作用力
【点评】在此题中，三个轻杆连接在一起，只要一个动，其它两个也要运动，因此保持AB静止，就维持住了BC水平。因确定此研究对象是AB。
18．如图所示，质量m＝2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，导轨及支架ABCD总质量M＝4.0kg，形状及尺寸已在图中注明，该支架只可以绕着过D点的转动轴在图示竖直平面内转动。为简便起见，可将导轨及支架ABCD所受的重力看作集中作用于图中的O点。现用一沿导轨的拉力F通过细线拉铁块，假定铁块起动后立即以0.1m/s的速度匀速运动，此时拉力F＝10N。
（1）铁块运动时所受摩擦力多大？
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂多大？
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是多少？（g＝10N/kg）
【分析】（1）由题意知：铁块起动后立即以0.1m/s的速度匀速运动，此时拉力就等于铁块运动时所受摩擦力；
（2）铁块对导轨的摩擦力作用线沿着导轨AB，所求力臂即为力的作用点D到AB的距离；
（3）设当铁块运动到E点时，支架刚好开始转动，此时过E点的竖直线在D点右侧，距D点为x，根据杠杆平衡条件及已知条即可求得的。
【解答】解：（1）铁块起动后匀速运动，此时拉力就等于铁块运动时所受摩擦力，
用f表示铁块所受摩擦力，f＝F＝10N。
（2）铁块对导轨的摩擦力作用线沿着导轨AB，所求力臂即为D到AB的距离。用L表示该力臂，L＝0.8m。
（3）设当铁块运动到E点时，支架刚好开始转动，此时过E点的竖直线在D点右侧，距D点为x，根据杠杆平衡条件及已知条件：4.0kg×10N/kg×0.10m＝2.0kg×10N/kgx+10N×0.8m（只要意义正确，其他形式也同样给分）
得x＝﹣0.2m，t=0.6+0.1-＝5s
答：（1）铁块运动时所受摩擦力为10N；
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂为0.8m；
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是5s。
【点评】此题考查的知识点较多，由二力平衡条件的应用、速度的计算，杠杆平衡条件等一系列知识点，此题将这些知识点综合起来，提高了学生用物理知识和规律解决问题的能力，因此是一道好题。
19．塔式起重机的结构如图所示，设机架重P＝400kN，悬臂长度为L＝10m，平衡块重GW＝200kN，平衡块与中心线OO′的距离可在1m到6m间变化，轨道A、B间的距离为4m。当平衡块离中心线1m，右侧轨道对轮子的支持力FB是左侧轨道对轮子支持力FA的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．机架重心离中心线的距离为1.5m
B．该起重机最多能吊起的重物不能超过225kN
C．起重机的平稳度与轨道的间距无关
D．当起重机挂钩在离中心线OO'的距离为10m处吊起重为G＝100kN的重物时，平衡块离OO'的距离为6m，此时轨道B对轮子的作用力FB＝450kN
【分析】（1）知道机架重和平衡块重，可求左、右两侧轨道对轮子作用力的合力；由题可知，右侧轨道对轮子的作用力是左侧轨道对轮子作用力的2倍，求出左、右两侧轨道对轮子的作用力；以左侧轮为支点，由杠杆平衡条件可求机架重力的力臂；
（2）根据杠杆的平衡条件求出重物的最大重力；
（3）稳度的大小与支持面面积的大小和重心的高低有关；
（4）当起重机挂钩在距离中心线10米处吊起重G＝1×105N的重物时，以左侧轮为支点，求出各力臂大小，由杠杆平衡条件求此时右侧轨道对轮子的作用力。
【解答】解：
A、由图知，左、右两侧轨道对轮子的作用力FA、FB：
由于空载时合力为零：FA+FB＝P+GW＝4×105N+2×105N＝6×105N，
已知：FB＝2FA，则FA＝2×105N，FB＝4×105N，
以左侧轮为支点，设机架重心离中心线的距离为Lj，由杠杆平衡条件可知：
FB×4m＝GW×（2m﹣1m）+P×（2m+Lj），
即：4×105N×4m＝2×105N×（2m﹣1m）+4×105N×（2m+Lj），
解得：Lj＝1.5m，故A正确；
B、起重臂拉起重物时的力臂是不变的，而平衡块可以移动，平衡块的重力不变，根据杠杆的平衡条件GWL1+PL2＝GLG可知，当平衡块在最左端时，以右侧轮为支点，平衡块的力臂最大，吊起的物体的重力最大，所以：
2×105N×（6m+2m）+4×105N×（2m﹣1.5m）＝G最大×（10m﹣2m），
解得最大重力为：G最大＝2.25×105N＝225kN，故B正确；
C、起重机的平稳度与轨道的间距有关，间距越大，支持面越大，稳度越高，故C错误；
D、当起重机挂钩在距离中心线10米处吊起重G＝1×103N的重物时，以左侧轮为支点，根据杠杆的平衡条件可知：
GW×（6m﹣2m）+FB×4m＝P×（2m+1.5m）+G×（10m+2m）
即：2×105N×（6m﹣2m）+FB×4m＝4×105N×（2+1.5）+1×105N×（10m+2m）
解得：FB＝4.5×105N＝450kN，故D正确。
故选：ABD。
【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的掌握和运用，找出以左侧轮为支点各个力的力臂是本题的关键。
20．如图甲所示，底面积为50cm2的圆柱形玻璃筒中装有一定量的水，放在水平台面上，底面积为10cm2的圆柱形物体B浸没在水中，杠杆CD可绕支点O在竖直平面内转动，CO＝2DO；物体A是质量100g的配重。作用在物体A上的向下的拉力F为0.6N时，杠杆在水平位置平衡，如图乙所示，此时物体B有25的体积露出水面，物体B所受的浮力为F浮，水在物体B底面处产生的压强为P，筒中水的深度比图甲中水的深度下降了0.4cm。g取10N/kg，杠杆、悬挂物体的细绳的质量均忽略不计，则下列选项正确的是（ ）
A．P的大小为500PaB．F浮的大小为0.3N
C．物体B的密度为7g/cm3D．物体B的体积为100cm3
【分析】（1）当物体25露出水面时，水面下降了0.4cm，根据V＝Sh求出物体B露出水面的体积，进一步求出物体B的体积；
（2）根据F浮＝ρ液gV排求出物体B受到的浮力；
（3）根据浮力产生的原因求出物体B下表面受到的压力，再根据p=FS求出水在物体B底面处产生的压强；
（4）根据杠杆平衡的条件求出B的重力，进一步求出质量，再根据密度公式求出B的密度。
【解答】解：由题意知：当物体25露出水面时，B露出水面的体积：V1＝S1×h＝50×10﹣4m2×0.4×10﹣2m＝2×10﹣5m3，
则物体B的体积为：V=2×10-5m325=5×10﹣5m3，故D错误；
B有25的体积露出水面，物体B所受的浮力：F浮＝ρ水g 35V＝1.0×103kg/m3×10N/Kg×35×5×10﹣5m3＝0.3N，故B正确；
由于浮力产生的原因是物体上下表面的压力差，所以物体B下表面受到的压力F＝F浮，
所以水在物体B底面处产生的压强：p=FS=F浮S=0.3N10×10-4m2=300Pa，故A错误；
已知CO＝2DO，
由杠杆的平衡条件可得：（GB﹣0.3N）×OD＝（GA+0.6N）×CO
即GB﹣0.3N＝（GA+0.6N）×2
解得：GB＝3.5N，
由G＝mg可得：mB=GBg=3.5N10N/kg=0.35kg，
则B的密度：ρB=mBVB=0.35kg5×10-5m3=7g/cm3，故C正确。
故选：BC。
【点评】本题综合考查了体积、质量、密度、浮力的计算以及杠杆平衡知识的应用，关键是公式及其变形的灵活运用，难点是对物体进行受力分析。
二．力臂的画法（共4小题）
21．如图所示，轻质杠杆OA可绕O点转动，通过定滑轮用力拉动杠杆缓慢转动，在图示位置时，杠杆的动力臂力L作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】绳的拉力沿着绳指向绳收缩的方向，力臂是从支点到力的作用线的距离。
【解答】解：由题知，杠杆的支点在O处，绳的拉力沿绳方向画，从支点向力的作用线引垂线，如图所示：
故选：C。
【点评】会找出杠杆的五要素，会根据力与力臂的关系画出相应的作用力和力臂。
22．如图所示，一轻质杠杆OA可绕O点转动，A端用绳子系住，绳子的另一端系于竖赶墙壁的C点，在杠杆中点B处悬挂一重为G的重物，杠杆处于水平静止状态。已知杠杆OA长为2L，O点到C点距离为L。
（1）请在图上画出拉力F的力臂；
（2）求出拉力F的大小；
（3）若绳子能承受的最大拉力为32G，则重物最多能悬挂在离O点多远处？
【分析】（1）力臂的画法：过支点作力的作用线的垂线段；因此根据力臂的画法作出绳子对杠杆拉力的F的力臂；
（2）杠杆平衡的条件：动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂；如图所示，根据直角三角形角与边的关系，求出绳子对杠杆拉力的力臂；再利用已知的重力和重力的力臂以及杠杆平衡的条件求出拉力F的大小。
（3）先根据相似三角形的知识求出OD的长度，然后根据杠杆平衡的条件求出重力的力臂。
【解答】解：（1）过支点O作垂直绳子对杠杆的拉力F作用线的垂线段（即力臂L）。
如图所示：
（2）根据杠杆平衡条件得：F×OD＝G×12OA
即F=12OAODG
又因为OC＝L，OA＝2L
所以AC=5L
则F=12OAODG=12ACOCG=52G。
（3）设重物最多能悬挂在离O点的距离为X。
∵OCAC=ODOA
∴OD=OCAC×OA=L5L×2L=255L
则根据杠杆平衡条件得：F×OD＝G×X
X=FG×OD=32GG×255L=355L
答：（2）拉力F的大小52G；
（3）重物最多能悬挂在离O点的距离为355L。
【点评】本题考查了力臂的画法，杠杆平衡条件的应用，两次利用杠杆平衡条件，物理量多，较为复杂，属于难题；本题的关键有两点：（1）知道力臂作图的步骤；（2）知道杠杆平衡的条件。
23．如图所示，O是轻质杠杆的支点，L1是使杠杆保持水平平衡的动力F1的力臂，请你画出动力F1示意图（要求保留作图痕迹）。
【分析】支点O、力臂L1已知，根据力臂的作法（从支点向力的作用线作垂线段）确定动力的作用点；然后根据动力和阻力的作用效果确定动力的方向，进而作出动力F1的示意图。
【解答】解：
过力臂的上端画出力臂L1的垂线，即动力F的作用线，与杠杆交于一点，该点为动力F的作用点A，由于物体对杠杆的作用力使杠杆沿逆时针方向转动，所以F1方向应使杠杆沿顺时针方向转动，动力F1的示意图如图示：
【点评】本题考查了力和力臂的作法。当杠杆平衡时，动力和阻力对杠杆的影响是使杠杆的运动趋势是相反。
24．如图所示，杠杆OA在力F1、F2的作用下处于静止状态，L2是力F2的力臂，请在图中作出F1的力臂L1和力F2。
【分析】力臂是由支点到力的作用线的距离，而画力时也可根据其作用线与力臂垂直这一特点，在已知力臂的情况下，画出对应的力。
【解答】解：做力Fl的延长线，过支点O做力F1作用线的垂线段L1，则线段L1为力F1的力臂；过力臂L2末端，作垂直于L2直线，与杠杆OA的交点为力F2作用点，方向斜向右上方，如图所示：
【点评】本题考查了力和力臂的作法。当杠杆平衡时，动力和阻力对杠杆的影响是：使杠杆的运动趋势是相反的。
三．杠杆的动态平衡分析（共4小题）
25．密度为ρ＝500kg/m3、长a、高b、宽c分别为0.9m、3310m、3310m的匀质长方体，其表面光滑，静止在水平面上，并被一个小木桩抵住，如图（a）所示。（g取10N/kg）
（1）无风情况下，地面的支持力为多大？
（2）当有风与水平方向成45°斜向上吹到长方体的一个面上，如图（b）所示。风在长方体光滑侧面产生的压力为F，则力F要多大才能将长方体翘起？
（3）实验表明，风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。现让风从长方体左上方吹来，风向与水平方向成θ角，如图（c）所示。当θ大于某个值时，无论风速多大，都不能使长方体翘起。请通过计算确定θ的值。
【分析】（1）无风时，长方体物体对地面的压力应等于其重力G＝mg＝ρVg；
（2）无论风向为哪个方向，他对物体产生的压力总是垂直于作用面的（流体的特点），该力均匀的作用在物体接触面，因此等效压力过物体的中心水平向右，根据力矩平衡条件列式求解。
（3）根据“风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。”列出关系式，利用杠杆平衡条件可确定θ的值。
【解答】解：（1）根据二力平衡条件，地面的支持力为：
F支＝G＝mg＝ρVg＝500kg/m3×0.9×3310×3310m3×10N/kg＝1215N；
（2）无论风向为哪个方向，他对物体产生的压力总是垂直于作用面的（流体的特点），因此风产生的压力为F，方向水平向右，如图所示：
根据杠杆平衡条件，有：F•b2=mg•a2，
解得：F=amgb=0.9×12153310N＝2104.4N；
（3）根据“风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比”可得：
风在顶面产生的压力：N1＝kacv2sin2θ，
风在侧面产生的压力：N2＝kbcv2cs2θ，
当（N1+mg）a2＞N2×b2时，长方体将不会翘起，即mga＞kc2（v2﹣bcs2θ﹣asin2θ），
由于kv2可以取足够大，为使上式对任意大kv2都成立，必须有b2cs2θ﹣a2sin2θ≤0，
即tanθ≥ba=33100.9，则θ≥30°；
答：（1）无风情况下，地面的支持力为1215N；
（2）力F为2104.4N时才能将长方体翘起。
（3）θ的值为30°。
【点评】此题考查了有关二力平衡条件的应用，重力的计算及杠杆平衡条件的应用，关键是确定压力和重力的方向及对应的力臂。
26．如图是农村曾用的舂米工具的结构示意图。杆AB可绕O点转动，杆右端均匀柱形物体的长度与杆右侧的OB相等，杆AB的重力不计，柱形物体较重。若作用在A点的动力F方向始终与杆垂直，则杆从水平位置缓慢转动45°角的过程中，动力F大小的变化是 先增大后减小 。
【分析】已知动力臂和阻力不变，根据杠杆从水平位置缓慢转动45°的过程中阻力臂的变化，再根据杠杆平衡的条件可知动力的变化情况。
【解答】解：动力F的方向始终与杆垂直，故动力臂不变；
阻力是柱形物体的重，阻力作用点在柱形物体的重心上；
如下图所示（只画了杠杆的右侧部分，图中虚线为重心运动的路线）：
0位置为原来的位置，1位置为阻力臂最大的位置，2位置为转过45°的位置，
由上图可知，整个过程中阻力臂先变大后变小；
因动力臂不变，阻力G不变，阻力臂先变大后变小，由杠杆平衡条件可知，动力F先增大后减小。
故答案为：先增大后减小。
【点评】此题考查了有关杠杆平衡条件的应用，要熟练掌握杠杆平衡条件。特别是在动态变化的题目中，要分析力的大小和力臂的大小变化情况。
27．如图所示，均匀杆AB长为L，可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离L处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起。已知杆水平时，细绳的拉力为T1，杆与水平面夹角为30°时，细绳的拉力为T2，则T1：T2是（ ）
A．2：1B．2：1C．1：2D．1：1
【分析】找出杠杆即将离开水平位置和把吊桥拉起到与水平面的夹角为30°时的动力臂和阻力臂，然后结合利用杠杆的平衡条件分别求出T1、T2的大小。
【解答】解：（1）杆在水平位置时，如图，△AOB和△ABE都为等腰直角三角形，则AE＝BE
∵BE2+AE2＝AB2
∴AE=22L，
由杠杆平衡可得：
T1×AE＝G×AC，
T1=G×ACAE=G×12L22L=22G。
（2）把吊桥拉起到与水平面的夹角为30°时，如图，
△ABO为等边三角形，AB＝L，BE′=12L，
∵BE′2+AE′2＝AB2
∴AE′=32L，
在△ACC′中，∠CAC′＝30°，CC′=12AC=14L，
∵AC′2+CC′2＝AC2，
∴AC′=34L，
根据杠杆平衡的条件可得
T2×AE′＝G×AC′，
T2=G×AC'AE'=G×34L32L=12G；
∴T1：T2=22G：12G=2：1。
故选：A。
【点评】本题考查考了杠杆平衡条件的应用，分析题意画出两种情况下的杠杆示意图是本题的关键，数学是基础！
28．如图所示，一块均匀的厚木板长15m，重为400N，对称的搁在相距8m的A、B两个支架上，一个体重为500N的人，从A点出发向左走，求到离A点多远时，木板将开始翘起？
【分析】知道木板重G＝400N，长15m，以A点为支点，它的重心在它的中点上，即重力的作用点在距离A点向右4m远的地方，也就是说重力的力臂AC＝4m；那么，人向左走到离A点的距离为AD处时，木板开始翘动，根据杠杆平衡条件可求AD的大小。
【解答】解：
如图，因为木板对称的搁在相距8m的A、B两个支架上，所以木板的重心在木板的中点上，以A为支点，木板的重心在离A点右边4m处，即木板重力的力臂AC＝4m．当人（重为G1＝500N）向左走到D处时，木板将开始翘动，根据杠杆平衡条件可得：
G1×AD＝G2×AC，
即：500N×AD＝400N×4m，
解得：
AD＝3.2m。
答：到离A点3.2m时，木板将开始翘起。
【点评】解答该题依据的是杠杆平衡条件，围绕杠杆平衡条件，找出支点、两个作用力和力臂大小是本题的关键。
四．杠杆的平衡分析法及其应用（共13小题）
29．某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，其中的一部分结构如图所示，OA是一个均匀钢管，每米长度所受重力为30N，O是转动轴；重物的质量m为150kg，挂在B处，OB＝1m；拉力F作用在A点，竖直向上。为维持平衡，钢管OA为多长时所用的拉力最小？这个最小拉力是多少？
【分析】解答本题需要根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2去分析计算。
本题中动力为F，动力臂为OA，而阻力有两个（一个是重物G，另一个是钢管本身的重力），所以阻力臂也有两个（重物G的力臂是OB，钢管重力的力臂是12OA），明确了动力、动力臂、阻力和阻力臂之后，我们就可以根据杠杆平衡条件列出一个方程，然后根据数学方面的知识求解方程。
【解答】解：由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为OA，阻力分别是重物G物和钢管的重力G钢管，阻力臂分别是OB和12OA，
重物的重力G物＝m物g＝150kg×10N/kg＝1500N，
钢管的重力G钢管＝30N×OA，
由杠杆平衡条件F1L1＝F2L2可得：F•OA＝G物•OB+G钢管•12OA，
则F•OA＝1500N×1m+30N•OA•12OA，
得：F•OA＝1500+15•（OA）2，
移项得：15•（OA）2﹣F•OA+1500＝0，
由于钢管的长度OA是确定的只有一个，所以该方程只能取一个解，
因此应该让根的判别式b2﹣4ac等于0，因为当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，即有一个解，
则F2﹣4×15×1500＝0，
则F2﹣90000＝0，
得F＝300N，
将F＝300N代入方程15•（OA）2﹣F•OA+1500＝0，
解得OA＝10m。
答：为维持平衡，钢管OA为10m长时所用的拉力最小，这个最小拉力是300N。
【点评】本题是一道跨学科题，解答此题不仅涉及到物理知识，还应用到数学方面的知识。本题的难度：①对于钢管重力的确定；②对于阻力及阻力臂的确定；③对于根的判别式的确定。
30．如图所示，粗细相同密度均匀的细棒做成“L”形，其中AC与CB垂直，AC长L，CB长L/2，整根细棒的重力是G，并放在固定的圆筒内，圆筒内侧面和底面均光滑，圆筒横截面的直径为L．平衡时细棒正好处于经过圆简直径的竖直平面内。此时细棒对圆筒底面的压力大小为 G ；细棒B端对圆筒侧面的压力为 415G 。
【分析】（1）因“L”形细棒处于静止状态，根据物体受力平衡，合力为零分析即可。
（2）将“L”形的细棒分为AC、BC两个部分，分别利用杠杆平衡条件列出等式，再结合几何知识找出各力臂之间的关系，即可解答。
【解答】解：（1）如图分析：“L”形细棒处于静止状态，根据物体受力平衡条件得：
物体在水平方向和竖直方向上和合力为零，
则：N=13G+23G=G，
N1＝N2，
（2）以C点为杠杆ACB的支点，则根据杠杆平衡条件得：
N2L2sinα+23GL2sinα=N1Lcsα+13GL4csα，
∴6N1sinα+4Gsinα＝12N2csα+Gcsα，
又∵N1＝N2，
∴N1（6sinα﹣12csα）＝（csα﹣4sinα）G，
∴N1=csα-4sinα6sinα-12csαG-------------①
因圆筒横截面的直径为L，由几何关系得：
L＝Lsinα+12Lcsα，
∴2sinα+csα﹣2＝0，
又知：sin2α+cs2α＝1，
解得：sinα=35，csα=45，
代入①式得：
N1=45-4×356×35-12×45G=415G。
故答案为：G；415G。
【点评】本题虽重点考查杠杆平衡条件的应用，但需结合几何知识，利用三角函数得出力臂的关系是解答本题的重点之重，是一道难度很大的题目。
31．某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，如图所示是这个机械一个组成部分的示意图。OA是根钢管，每米受重力为30N；O是转动轴；重物的质量m为150kg，挂在B处，OB＝1m；拉力F加在A点，竖直向上，取g＝10N/kg．为维持钢管水平平衡，OA为 10 m时所用的拉力最小。
【分析】应用杠杆平衡条件F1L1＝F2L2分析答题：本题中动力为F，动力臂为OA，而阻力有两个（一个是重物G，另一个是钢管本身的重力），所以阻力臂也有两个（重物G的力臂是OB，钢管重力的力臂是 12OA），明确了动力、动力臂、阻力和阻力臂之后，根据杠杆平衡条件列出一个方程，然后应用数学知识分析答题。
【解答】解：由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为OA，
阻力分别是重物G物和钢管的重力G钢管，阻力臂分别是OB和12OA，
重物的重力G物＝m物g＝150kg×10N/kg＝1500N，
钢管的重力G钢管＝30N×OA，
由杠杆平衡条件得：F•OA＝G物•OB+G钢管•12OA，
即F•OA＝1500N×1m+30N•OA•12OA，
得：F•OA＝1500+15•OA2，
移项得：15•OA2﹣F•OA+1500＝0，
由于钢管的长度OA是确定的只有一个，所以该方程只能取一个解，
因为当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，即有一个解，因此应该让根的判别式b2﹣4ac等于0，
即F2﹣4×15×1500＝0，F2﹣90000＝0，解得：F＝300N，
将F＝300N代入方程15•OA2﹣F•OA+1500＝0，解得OA＝10m。
故答案为：10。
【点评】本题是一道跨学科题，解答此题不仅涉及到物理知识，还应用到数学方面的知识。
本题的难点：①对于钢管重力的确定；②对于阻力及阻力臂的确定；③对于根的判别式的确定。
32．如图所示，两个相同的轴轮A和B处于同一水平面位置，且以相同大小的角速度ω按图示方向匀速转动。在其上面放置一匀质木板C，C与两轮间的动摩擦因数相同。若初始时C的重心O处于轴轮A和B之间且偏近于轴轮A，则木板C将 做左右往复运动 （选填“一直向左运动”“做左右往复运动”或“保持原来位置”）。
【分析】先根据杠杆平衡条件求出两个轮子对木板的支持力，再应用滑动摩擦力公式求出滑动摩擦力大小，然后判断加速度的方向与速度的方向，最后由运动的对称性判断即可．
【解答】解：设AB两轮之间的距离为L，木板的重力为G，设木板的重心到A轮的最高点的距离为x，先以A点为木板的转轴，则重力和B的支持力对木板的力与力臂的乘积平衡，如图，
则：NB•L＝G•x，
所以：NB=GL•x
同理，若以B为转轴，A点的支持力与重力的力矩平衡，（图略）得：NA=GL（L﹣x）；
由于滑动摩擦力的大小与正压力成正比，所以重心距离A点近时，A轮对木板的摩擦力就大于B轮对木板的摩擦力，木板受到的合力的方向就向右，则木板向右做加速运动，或向左做减速运动；反之，重心距离B点近时，B轮对木板的摩擦力就大于A轮对木板的摩擦力；木板受到的合力的方向就向左，则木板向左做加速运动，或向右做减速运动；
由于初始时C的重心O处于轴轮A和B之间且偏近于左轴轮A．则木板C将向右做加速运动，重心靠近B后木板先向右减速，若在速度等于0前木板已经翻倒，则整个的过程中木板一直向右运动；
若在速度等于0前木板没有翻倒，则木板一直向右运动到速度等于0后一定会再向左做加速运动，该向左的运动与向右的运动具有对称性，所以木板将做左右往复运动。
故答案为：做左右往复运动。
【点评】本题结合力矩平衡考查了摩擦力大小的相关因素，要明确物体所受的滑动摩擦力大小与物体的运动速度无关，应用滑动摩擦力公式与功的计算公式即可正确解题；同时要考虑到题目没有说明木板是否一直没有翻倒掉下来，所以要考虑掉下来的特殊情况。
33．如图所示，轻绳的一端系有质量为2kg的物体C，另一端系在质量为1kg的均匀木棒AO的A端；木棒AO可绕O端无摩擦转动，在水平拉力F的作用下木棒AO与水平墙面的夹角由30°缓慢增加到60°（g＝10N/kg），则（ ）
A．拉力F的大小一直不变
B．棒与墙面成45°时拉力F＝25N
C．棒与墙面成30°时拉力F=2533N
D．棒与墙面成60°时拉力F=2533
【分析】先根据G＝mg求出物体C和木棒AB的重力，然后根据杠杆平衡的条件求出F的大小。
【解答】解：GC＝2kg×10N/kg＝20N；G木＝1kg×10N/kg＝10N；
设木棒AB的长度为l，当棒与水平墙面成60°时，力与力臂的关系如图所示：
根据直角三角形的边角关系可知，L=32l，LG=12l，L木=14l；
其中F为动力，GC、G木均为阻力，
根据杠杆平衡的条件可得FL＝GCLG+G木L木，
即F×32l＝20N×12l+10N×14l，化简可得：F=2533N，故D错误；
同理，当棒与水平墙面成45°时，L=22l，LG=22l，L木=24l；
根据杠杆平衡的条件可得，F×22l＝20N×22l+10N×24l，化简可得：F＝25N，故B正确；故A错误；
同理，当棒与水平墙面成30°时，L=12l，LG=32l，L木=34l；
根据杠杆平衡的条件可得，F×12l＝20N×32l+10N×34l，化简可得：F＝253N，故C错误。
故选：B。
【点评】本题考查杠杆平衡条件的应用以及直角三角形中角、边的关系，关键是进行正确受力分析，并画出相应的力臂。
34．在一次校运动会，小明骑一质量为m的独轮车，以速度v匀速通过一重为G、长为L的水平独木桥，独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，如图所示。设独轮车骑上A端支柱处为初始时刻（t＝0），下面哪一个图正确地表示了B端支柱所受压力FB与时间t的函数关系？（不考虑独木桥的形变）（ ）
A．B．
C．D．
【分析】对独木桥进行受力分析：支柱对水平独木桥的支持力为FA、FB，水平独木桥受到重力为G，独轮车对独木桥的压力（大小等于独轮车重加上人重），若以A为支点，FB的力臂为L、G的力臂为12L、压力的力臂为vt，根据杠杆平衡条件可得FB与t的关系式，而压力与支持力是一对相互作用力，大小相等，也就得出B端支柱所受压力FB′与时间t的关系式，由此判断选择。
【解答】解：
重为G、长为L的水平独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，分别对水平独木桥的支持力为FA、FB，水平独木桥受到重力为G，独轮车对独木桥的压力为F＝（m+m人）g。
以A为支点，根据杠杆平衡条件：
FBL＝G12L+（m+m人）gvt，
∴FB=12G+1L（m+m人）gvt，
∵压力与支持力是一对相互作用力，
∴FB′＝FB=12G+1L（m+m人）gvt，由此可知B端支柱所受压力FB′与时间t是一条一次函数的图象（不经过原点）。
故选：B。
【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，要学会与数学图象相结合来解决物理问题。
35．如图所示，质量分布均匀的细杆水平放置，支座A在杆重心的右侧，杆的右端被位于其上面的支座B顶住。现在杆的左端C处施加一个向下的作用力，则（ ）
A．A、B两处的弹力均增加，且△FA＝△FB
B．A、B两处的弹力均增加，且△FA＞△FB
C．A处的弹力减小，B处的弹力增大，且|△FA|＞△FB
D．A处的弹力增大，B处的弹力减小，且△FA＞|△FB|
【分析】①在C点不施加力时，分别以B、O为支点，由杠杆平衡条件得出关于在A、B处弹力的方程；
②在C点施加力F时，分别以B、O为支点，由杠杆平衡条件得出关于在A、B处弹力的方程；
联立方程组求得弹力变化值进行比较得出答案。
【解答】解：
（1）在C点不施加力时，以B为支点，由杠杆平衡条件可知，G×BO＝FA×BA；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
以A为支点，由杠杆平衡条件可知，G×AO＝FB×AB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
（2）在C点施加力F时，以B为支点，由杠杆平衡条件可知，F×CB+G×BO＝FA′×BA；﹣﹣﹣﹣﹣③
以A为支点，由杠杆平衡条件可知，F×CA+G×AO＝FB′×AB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣④
③﹣①得：
FA′×BA﹣FA×BA＝F×CB+G×BO﹣G×BO＝F×CB，
∴△FA＝FA′﹣FA=F×CBBA，
④﹣②得：
FB′×AB﹣FB×AB＝F×CA+G×AO﹣G×AO＝F×CB
∴△FB＝FB′﹣FB=F×CABA，
∴△FA＞△FB，
故选：B。
【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的应用，知道选择不同的支点求弹力是本题的关键。
36．现有一个弹簧测力计（可随便找地方悬挂），一把匀质的长为1的有刻度、零点位于端点的直尺，一个木块及质量不计的细线。试用这些器件设计一实验装置（要求画出示意图），通过一次测量（弹簧测力计只准读一次数），求出木块的质量和尺的质量（已知重力加速度为g）。
【分析】本题关键是“通过一次测量”，就能计算出木块和直尺的质量，因此选择不同支点是解决问题的关键：
①很明显本题中，动力只有一个，就是弹簧测力计的拉力，阻力有木块重力和直尺重力两个；
②以提木块为主要目的时，就以直尺重心为支点，根据杠杆平衡条件列出式子求出木块的质量；
③以提直尺为主要目的时，就以木块重力在尺子上的作用点为支点，根据杠杆平衡条件列出式子求出尺的质量。
【解答】解：找个地方把弹簧测力计悬挂好，取一段细线做成一环，挂在弹簧测力计的挂钩上，让直尺穿在细环中，环与直尺的接触点就是直尺的悬挂点，它将尺分为长短不等的两段。用细线栓住木块挂在直尺较短的一段上，细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置，使直尺平衡在水平位置（为提高测量精度，尽量使二悬挂点相距远些），如图所示。设木块质量为m，直尺质量为M．记下二悬挂点在直尺上的读数x1、x2，弹簧测力计读数G．由平衡条件和图中所设的直尺零刻度线的位置有：
（m+M）g＝G﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
mg（x2﹣x1）＝Mg（12l﹣x2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由①②式联立可得：
m=G(l-2x2)g(l-2x1)，M=2G(x2-x1)g(l-2x1)。
答：木块的质量和尺的质量分别为G(l-2x2)g(l-2x1)、2G(x2-x1)g(l-2x1)。
【点评】解题的关键在于提拉木块和提拉直尺要以不同的支点分析，根据杠杆的平衡条件进行推理，类似的问题如两人用木棒抬东西时的支点确定等。解题时要正确画出装置示意图，来帮助分析和解答。
37．如图1，一根长为20cm，横截面积为10cm2的均匀木杆用细线和弹簧测力计竖直悬挂起立，置于烧杯内水平面上方。现将烧杯竖直缓缓提升，木杆逐渐浸入水中，已知木杆的密度为ρ1＝0.8×103kg/m3，水的密度为ρ0＝1.0×103kg/m3
（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，求木杆浸入水中的长度。
（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，如图2所示，求木杆浸入水中的长度。（忽略木杆横截面积的影响）
【分析】（1）知道木杆长和横截面积，可求木杆的体积；又知道木杆的密度，利用G＝mg＝ρVg求木杆的重力；而木杆的浮力加上拉力（弹簧测力计读数）等于木杆的重力，据此求木杆受到的浮力，再利用阿基米德原理求木杆浸入的长度；
（2）设木杆长为L，此时木杆浸入的长度为h，如图，木杆受水的浮力的作用点在D（浸入部分的中点），其力臂为OA；木块受到重力的作用，作用点在C点（木杆的中点），其力臂为OB，由于杠杆平衡，可得：F浮′×OA＝G×OB，将已知条件代入解方程求得h的大小。
【解答】解：
（1）木杆的体积：
V＝Sh＝10cm2×20cm＝200cm3＝2×10﹣4m3，
木杆的重力：
G＝mg＝ρ1Vg＝0.8×103kg/m3×2×10﹣4m3×10N/kg＝1.6N，
当弹簧测力计读数F示＝1.2N时，木杆受到的浮力：
F浮＝G﹣F示＝1.6N﹣1.2N＝0.4N，
∵F浮＝ρ0V排g＝ρ0SL浸g，
∴木杆浸入的长度：
L浸=F浮ρ0Sg=0.4N1×103kg/m3×10×10-4m2×10N/kg=0.04m＝4cm；
（2）设木杆长为L，此时木杆浸入的长度为h，如右图，
木杆受到水的浮力，作用点在D（浸入部分的中点），其力臂OA＝（L-12h）sin30°，
木块受到重力的作用，作用点在C点（木杆的中点），其力臂OB=12Lsin30°，
由于杠杆平衡条件可得：
F浮′×OA＝G×OB，
即：F浮′×（L-12h）sin30°＝G×12Lsin30°，
而F浮′＝ρ0V排′g＝ρ0Shg，
G＝ρ1Vg＝ρ1SLg，
sin30°=12，
代入得：
ρ0Shg×（L-12h）×12=ρ1SLg×12L×12，
再代入已知条件：L＝20cm，ρ1＝0.8×103kg/m3＝0.8g/cm3，ρ0＝1.0×103kg/m3＝1g/cm3，
1g/cm3×Shg×（20cm-12h）×12=0.8g/cm3×S×20cm×g×1220cm×12，
1g/cm3×h×（20cm-12h）＝0.8g/cm3×20cm×12×20cm，
h2﹣40h+320＝0，
解得：
h=40+402-4×1×3202≈29cm（大于20cm，舍去），h=40-402-4×1×3202≈11.06cm。
答：（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，木杆浸入水中的长度为4cm；
（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，木杆浸入水中的长度为11.06cm。
【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件、重力公式、密度公式、阿基米德原理的掌握和运用，难点在第二问，能画图确定浮力和重力的力臂是本题的关键。
38．某同学用一根粗细均匀的铁棒，将一个边长为a的正方形重物箱撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被放大）．已知：铁棒单位长度的质量为m，在另一端施加一个向上的力撬动重物箱。如果插入的长度为箱宽的五分之一，并保持该长度不变，求：
（1）重物对铁棒的压力为多大？
（2）当选用的铁棒长度满足什么条件时，施加的力最小，此最小的力为多大？
【分析】（1）由杠杆平衡条件分析答题。
（2）重物箱的重力与铁棒的重力是阻力，人的作用力是动力，由杠杆平衡条件列方程，然后应用数学知识分析答题。
【解答】解：（1）重物箱的重力是阻力，铁棒的支持力为动力，动力臂为a，
重物箱的重心在它的几何中心，阻力臂为a2，
由杠杆平衡条件得：G×a2=F×a，解得：F=G2，
铁棒对重物箱的支持力与重物箱对铁棒的压力相等，为G2。
（2）人的作用力F为动力，力臂为铁棒的长度L，
设铁棒长度为L，铁棒的重力mgL为其中一个阻力，力臂为L2，
由（1）知，重物箱作用在铁棒上的阻力为G2，铁棒插入的长度为箱宽的五分之一，
则重物箱阻力的力臂为a5，由杠杆平衡条件得：FL＝mgL×L2+G2×a5，则F=mgL2+Ga10L，
由数学知识得：mgL2+Ga10L≥2mgL2×Ga10L=mgGa5，即F≥mgGa5，
当mgL2=Ga10L，即L=Ga5mg时F最小，F的最小值F最小=aGmg5。
答：（1）重物对铁棒的压力为G2。
（2）当铁棒长度L=Ga5mg时F最小，最小作用力为aGmg5。
【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，应用杠杆平衡条件即可正确解题，本题的难点是数学知识的应用。
39．三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d≪a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：
（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向；
（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？
【分析】对A杆进行受力分析，由杠杆的平衡条件列方程求解。
【解答】解：三木杆组成一个正四面体，已知正四面体边长a，高三木杆h=63a，
设杆与底面的夹角β，则csβ=33，sinβ=63，
设BC的中垂线与底面的夹角是α，则sinα=223，csα=13。
（1）以A杆为研究对象，A杆受力如图一所示。
A杆与地面的接触点为支点，杆所受重力G的力臂L重=a2csβ=36a，
杆顶端所受力F的力臂，LF＝asinβ=63a，由杠杆平衡条件，
得：GL重＝FLF，即：G×36a＝F×63a，F=24G，方向水平向左。
（2）以A杆为研究对象，受力如图所示。由于人处于静止状态，
所以人对杆的压力F压力摩擦力f'大小等于人的重力G，方向竖直向下，
人对杆的作用力力臂L人=a2csβ=36a，
BC杆所组成面对杆的作用力FN，力臂等于四面体的高h，
LFN＝h=63a，由杠杆的平衡条件得：GL人+GL重＝FLF+FNLFN，
即G×36a+G×36a＝F×63a+FN×63a，解得：FN=24G，
A杆顶端所受作用力的大小：
F合=F2+FN2+2FFNcsα=(24G)2+(24G)2+2×24G×24G×13=33G，
方向斜向右上方，如图所示。
答：（1）A杆顶端所受作用力的大小为F=24G，方向水平向左。
（2）A杆顶端所受作用力的大小为33G，方向斜向右上方，如图所示。
【点评】本题考查了：受力分析、杠杆的平衡条件，考查了应用数学知识解决物理问题的能力，应用的数学知识较多，难度较大，解题的关键是熟悉并能熟练应用数学知识解题，是一道难题。
40．小强为课题研究小组提供了一把家中收藏的旧杆秤。杆秤的刻度模糊不清，只有5kg和6kg的刻度清晰可辨，秤砣遗失。小组成员对杆秤的外形进行了测量，测量结果如图所示。请根据以上信息
（1）判断该杆秤的重心（不包括秤砣）应该在提纽的哪一侧；
（2）求出秤砣的质量。
【分析】（1）从图可知，5kg到6kg质量增加了1kg，而杠杆的长增加了2cm，再由杆秤上的刻度是均匀的，并由此来判断杆秤的0刻度线，即为杆秤的重心。
（2）设杆秤的重心到提纽的距离为S，秤砣的质量为m，杆秤的质量为m杆，知道5kg和6kg时，秤砣所在的位置，根据杠杆的平衡条件F左L左＝F右L右，列出两个等式解答即可。
【解答】解：
（1）从图可知，5kg到6kg质量增加了1kg，而杠杆的长增加了2cm，杆秤上的刻度是均匀的，所以，从0刻度线到5kg的位置，杠杆的长应该为10cm，即零刻度线在提纽的右侧，所以该杆秤的重心应该在提纽的左侧。（因为0刻度线处要挂称砣才能使杠杆在水平位置平衡）
（2）我们用杆秤称物体时，物体在提纽的左侧，秤砣在提纽的右侧，该杆秤的重心在提纽的左侧，
设杆秤的重心到提纽的距离为S，秤砣的质量为m，杆秤的质量为m杆，
由杠杆的平衡条件G左L左＝G右L右可知，
∴5kg×g×3cm+m杆×g×S＝m×g×11cm，
6kg×g×3cm+m杆×g×S＝m×g×（11cm+2cm），
化简得：5kg×3cm+m杆×S＝m×11cm，①
6kg×3cm+m杆×S＝m×（11cm+2cm），②
解①②可得：m＝1.5kg。
答：（1）判断该杆秤的重心应该在提纽的左侧。（2）秤砣的质量为1.5kg。
【点评】本题考查学生对力臂概念的理解情况，需要熟练掌握杠杆平衡条件公式和重力计算公式G＝mg。
41．某工厂设计了一个蓄水池（如图所示），水源A罐的液面高度h1保持不变。罐底有一个小出水口，面积为S1．孔下通过一个截面积为S2活塞与杠杆BC相连。杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱形浮子，横截面积为S3，BO是杠杆总长的13．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h2，活塞恰好能堵住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有极小一段距离时，浮子便不再上浮，此时浮子没入水深为h3．为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的重量减去G′．试求浮子应减去重量G′的大小。（活塞及连杆的重量不计，杠杆所受浮力不记。）
【分析】（1）活塞上升的高度即为O点上升的距离。杠杆由原来的位置到水平位置，浮子进入水中的深度由现在的深度h3上升到设计的h2，同时O点上升到D点。通过两次位置的变化，得到一对相似三角形，利用相似形的对应边成比例可以求得OD的长度，即活塞上升的高度。
（2）以倾斜的杠杆为研究对象，分析出对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子原来的重力。
以水平的杠杆为研究对象，分析出此时对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子现在的重力。
两次重力之差即为减去的浮子的重力。
【解答】解：
设浮子原来重力为G，杠杆长为l。浮子减重后，重为G′，由倾斜变为水平，如图所示，杠杆C端上升高度为EC＝h3﹣h2，活塞上升的高度△h即为OD的长度，△h=h3-h23。
根据数学知识，三角形BDO相似于三角形BEC，
所以：DOEC=BOBC=BDBE
因为BO是杠杆总长13，
所以：DOEC=BOBC=BDBE=13，
（2）活塞减重前，杠杆平衡时，支点为B，
以浮子为研究对象，C端受到的合力为F浮﹣G＝（S3h3ρ水g﹣G），该力的力臂BE，
O点受到的力为F压＝ρ水gS2（h1+△h），该力的力臂设为BD，
根据杠杆平衡条件可得：（F浮﹣G）BE＝F压BD，
即：（S3h3ρ水g﹣G）BE＝ρ水gS2（h1+△h）BD，BDBE=13，
可得：3（S3h3ρ水g﹣G）＝ρ水gS2（h1+△h），
G＝S3h3ρ水g-13ρ水gS2（h1+h3-h23），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
浮子减重后，杠杆平衡时，以杠杆为研究对象，进行受力分析：
C端受到的合力为：
F′浮﹣G′＝S3h2ρ水g﹣G′，此力的力臂为BC，
（对浮子C受力分析：重力、浮力、杠杆的力，则杠杆施加的力等于浮力减去重力，根据力的作用是相互的，所以杠杆受到的力等于浮力减去重力）
O点受到的力为F´压＝ρ水gS2h1，此力的力臂为BO。
根据杠杆平衡有：（S3h2ρ水g﹣G′）BC＝ρ水gS2h1 BO，
即为：3〔S3h2ρ水g﹣G′〕＝ρ水gS2h1，
G′＝S3h2ρ水g-13ρ水gS2h1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
①﹣②得浮子应减去重量G′的大小：
△G＝S3h3ρ水g-13ρ水gS2（h1+h3-h23）﹣（S3h2ρ水g-13ρ水gS2h1）
＝ρ水g（h3﹣h2）（S3-19S2）
答：浮子应减去重量G′的大小为ρ水g（h3﹣h2）（S3-19S2）。
【点评】以杠杆的平衡条件为桥梁，将浮子受到的重力，浮力以及水池内水对活塞的压力联系起来，得到关于这几个力的方程，然后利用阿基米德原理将浮子受到的浮力表示出来，利用液体压强的特点和压力的计算公式将水对活塞的压力表示出来，即可求出浮子的重力，对浮子和活塞进行受力分析是解决此题的关键。
五．杠杆中最小力的问题（共4小题）
42．小明推一辆满载重物的独轮车，手握在车把A处（图中未画人），遇到一个较高的台阶，他自己推不上去，小华赶快跑来帮忙。小华选择了一种最省力且效果最好的施力方法，请画出小华所施力F的示意图。
【分析】根据杠杆平衡的条件进行分析，力臂越长，作用力越小，即车轮的直径为最长的力臂，然后根据力臂与作用力的关系画出最小的力。
【解答】解：根据杠杆的平衡条件可知，动力臂为车轮的直径时最省力；过O点作垂直于车轮直径的力；如图所示：
【点评】知道重力的方向总是竖直向下的，能根据杠杆的平衡条件分析杠杆的最小力，并能根据力臂的画法画出正确的力臂或作用力是解决本题的关键。
43．有一边长为a，密度为ρ的立方体大理石，工人用一根粗细均匀的单位长度重为P牛的铁棒将石块撬起一个很小的角度。如图所示，如果插入的长度为石块边长的四分之一，并保持该长度不变，则当选用的铁棒多长时，向上施加的力最小？此最小的力多大？
【分析】由题可知，铁棒的重力提供一部分阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为L2；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则一半物重提供阻力，阻力臂为14a；力F提供动力，动力臂为L．在动力和阻力的作用下，杠杆平衡。由杠杆的平衡条件求出关于F的表达式，则由数学知识要求得F的最小值及取最小值时L的长度。
【解答】解：由题意可知，物体的重力为G＝mg＝ρa3g；
设铁棒长为L，动力为F．由题可知铁棒的重力提供的阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为12L；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则重物的一半重力提供阻力，阻力臂为14a；力F提供动力，动力臂为L．由杠杆的平衡条件得：F1L1＝F2L2
即：14a•12ρa3g+LP•12L＝FL
解得人对杠杆的力：
F=ρa4g8+pL22L=ρa4g8L+p2L
由数学知识a2+b2≥2ab，当a＝b时取最小值，可得
当=ρa4g8L=p2L时，即L=a22ρgp时F有最小值。
F的最小值为：F=a22ρgP。
答：当选用的铁棒长度为L=a22ρgp时，施加的力最小；这个最小的力是F=a22ρgP。
【点评】本题是关于杠杆平衡条件的应用，关键点是结合题意：把重物箱撬起一个接近于0°的角度，准确找出阻力臂和动力臂。由于解题时需要用到数学上的知识，属于综合性较强的题目。
44．如图所示，画出使杠杆平衡最小力的示意图，要求保留作图痕迹。
【分析】要解决此题，首先要掌握杠杆的平衡条件，根据杠杆的平衡条件，动力臂越长越省力。所以需要找出杠杆的最长力臂，然后根据力臂的概念确定力的方向。
【解答】解：根据此杠杆的形状可知，从左端点O（支点）到此杠杆的最右端距离最大，这是最长的动力臂；根据杠杆的平衡条件，动力臂越长越省力，所以最小力作用在杠杆的最右端，动力的方向垂直于该力臂向上。如图所示：
【点评】此题主要考查了杠杆最小力的画法。解决此类题目的关键是找出最长的力臂，然后根据力臂的概念确定力的方向。
45．一块高40厘米、宽30厘米、厚10厘米，质量为1.5千克的砖，竖直立在水平地面上，如图所示，若按图示的方向将它推倒，最小推力为 4.5 牛。（g＝10N/Kg）
【分析】推长方块木块时，长方块木块是一个变形的杠杆，要使力最小，就要使力臂最长，用长方块的对角线作力臂，动力施加在B点。长方块木块的重力为阻力，OC是阻力臂。根据杠杆平衡条件，求出最小的力。
【解答】解：砖的重力：G＝mg＝1.5kg×10N/kg＝15N，
在阻力与阻力臂一定时，由杠杆平衡条件可知，动力臂越大，动力越小，
由图示可知，最大动力臂为OB，垂直于OB斜向上的力最小，在B端施加沿F方向的最小力能使长方块木块推倒，
根据杠杆平衡条件得：OC×G＝OB×F，
OC=12AO=12×30cm＝15cm＝0.15m，
OB=AB2+OA2=(0.4m)2+(0.3m)2=0.5cm，
则：0.15m×15N＝0.5m×F，F＝4.5N；
故答案为：4.5。
【点评】本题主要考查了杠杆的最小力的问题，本题确定最长力臂和升高的距离是关键。
六．杠杆的应用（共2小题）
46．如图是利用电子秤显示水库水位装置的示意图。
该装置主要由不计重力的滑轮C、D，长方体物块A、B以及轻质杠杆MN组成。物块A通过细绳与滑轮C相连，物块B通过细绳与杠杆相连。杠杆可以绕支点O在竖直平面内转动，杠杆始终在水平位置平衡，且MO：ON＝1：2．已知物块A的密度为1.5×103kg/m3，底面积为0.04m2，高1m，物块B的重力为100N．所有摩擦和绳重忽略不计，g取10N/kg。求：
（1）当物块A的顶部刚好没入水中时，物块A受到的拉力是多大？
（2）若水位发生变化，电子秤的示数为55N时，物块A露出水面的高度是多少？
【分析】（1）先计算A的重力和物块A所受的浮力，再计算A受到的拉力；
（2）当电子秤的示数为55N时，求出杠杆N端受到的拉力，根据杠杆的平衡条件计算杠杆M端受到的拉力；
由于滑轮组不是由一股绳子缠绕而成，对每一个动滑轮受力分析，利用力的平衡求滑轮组对A的拉力；
A受到的拉力加上浮力等于物体A的重力，据此求A受到的浮力，再根据阿基米德原理F浮＝ρ水V排g求排开水的体积，利用V排＝Sh浸求物块A浸入水中的深度。
【解答】解：
（1）物体A的重力：GA＝mAg＝ρAShg＝1.5×103kg/m3×0.04m2×1m×10N/kg＝600N，
当物块A的顶部刚好没入水中时，由阿基米德原理可得，物块A受到浮力：
F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSh＝103kg/m3×10N/kg×0.04m2×1 m＝400N，
所以物块A受到的拉力：
F＝GA﹣F浮＝600N﹣400N＝200N；
（2）电子秤的示数为55 N时，绳对N端的拉力：
FN＝GB﹣F示＝100N﹣55N＝45N，
杠杆平衡，所以有：FN•ON＝FM•OM，
由题知，MO：ON＝1：2，
所以，FM＝2FN＝2×45N＝90N，
由图知，两个滑轮都是动滑轮，FM=12FC，2FC＝F，
所以绳对A的拉力：F＝4FM＝4×90N＝360N，
此时A受到的浮力：F浮′＝GA﹣F＝600N﹣360N＝240N，
前后两次浮力之比：F浮F浮'=ρ水Shgρ水Sh'g=hh'，
即：400N240N=1mh'，
则此时物体A浸入水中的深度：h′＝0.6m，
所以此时物体A露出水面的高度：h露＝h﹣h′＝1m﹣0.6m＝0.4m。
答：（1）当物块A的顶部刚好没入水中时，物块A受到的拉力是200N；
（2）若水位发生变化，电子秤的示数为55N时，物块A露出水面的高度是0.4m。
【点评】本题为力学综合题，考查了浮力的计算、杠杆平衡条件的应用，正确判断通过动滑轮绳子段数是关键。
47．如图所示，AB为一轻质杠杆，O为支点，在O点两侧分别悬挂体积相等的实心铜球和实心铁球，杠杆在水平位置平衡。若将两球分别远离O点向外移动相同的距离（未脱离杠杆），则 铜球 （选填“铜球”或“铁球”）一端下降。
【分析】AB两端分别悬挂实心铜球和实心铁球，杠杆在水平位置平衡，根据杠杆平衡条件求出铜块和铁块的重力关系；
当两球同时向外移动相同的距离，两球增大相同的力臂，根据杠杆的平衡条件判断现在杠杆是否平衡。
【解答】解：如图，杠杆处于平衡状态，根据杠杆平衡条件得，
OA×G铜＝OB×G铁，
因为OA＜OB
所以G铜＞G铁
设两球向外移动的距离为△L，则G铜×（OA+△L）＝G铜×OA+G铜×△L
G铁×（OB+△L）＝G铁×OB+G铁×△L
又因为OA×G铜＝OB×G铁，G铜＞G铁
所以G铜×（OA+△L）＞G铁×（OB+△L），杠杆向铜球一端倾斜，即铜球一端下降。
故答案为：铜球。
【点评】此题是有关杠杆的动态平衡分析，关键是掌握杠杆平衡条件，分析两边力和力臂乘积的大小关系，杠杆将向乘积大的一端倾斜。
七．探究杠杆的平衡条件实验（共1小题）
48．在探究“杠杆的平衡条件”的实验中，某同学记录了三次实验数据如表：
（1）这三次实验数据中有一次是错误的，错误数据的实验次数是 3 。改正错误数据后，同学得出了杠杆的平衡条件，
（2）在该实验后，有同学认为杠杆的力臂就是动力阻力的作用点到支点的距离，据此请指出该实验的不足之处 没有改变拉力的方向
（3）若某次实验中用弹簧测力计竖直向上拉杠杆一端的A点，如图乙所示，杠杆水平平衡时弹簧测力计的示数为Fa，若在A点斜向上拉，杠杆要求在水平位置再次平衡时，弹簧测力计的示数为Fb，则Fa 小于 Fb（填“大于、小于、等于”）。
【分析】（1）杠杆的平衡条件是：动力×动力臂＝阻力×阻力臂（或F1L1＝F2L2），将题中表格中的已知数据代入F1L1＝F2L2中进行计算即可得到答案。
（2）根据杠杆的平衡条件，就可以计算出C处挂的钩码个数。
（3）若在A点斜向上拉，力的方向改变，力臂的长度改变，因此拉力的大小也就会变化。
【解答】解：（1）因为表格中第3次实验F1L1＝2.5N×0.03m＝0.075N•m，而F2L2＝1.5N×0.06m＝0.09N•m，所以F1L1≠F2L2，故第2次实验数据有误；
（2）由于杠杆在水平位置平衡，钩码对杠杆的力与杠杆垂直，所以此时杠杆的力臂就是动力阻力的作用点到支点的距离；应改变拉力的方向，使拉力不与杠杆垂直即可推翻上述结论；
（3）因为测力计在A点斜向上拉时，动力臂变小，由动力×动力臂＝阻力×阻力臂可知，在阻力和阻力臂不变的情况下，动力臂变小，则动力变大，所以，Fa小于Fb。
故答案为：（1）3；（2）没有改变拉力的方向；（3）小于。
【点评】此题是探究杠杆平衡条件的实验，考查了杠杆平衡条件及应用。要理解力臂的概念及测量方法。
八．滑轮（组）的机械效率（共2小题）
49．小峰利用滑轮组将一个正方体金属块A从某溶液池内匀速提出液面，当金属块A浸没在液面下，上表面距液面的距离为h时开始计时，如图甲，计时后调整滑轮组绳端竖直向上拉力F的大小使金属块A始终以大小不变的速度匀速上升，提升过程中拉力F与金属块A向上运动时间关系如图乙。已知金属块A被提出液面后，滑轮组的机械效率为80%，h＝0.25m，（假设溶液池足够大，金属块被提出液面前后液面高度不变，不计绳重及摩擦，）。求：
（1）金属块A的重力；
（2）动滑轮的总重；
（3）正方体A的体积；
（4）溶液的密度。
【分析】（1）由图象得到金属块离开水面后绳子自由端拉力，由图甲知，通过动滑轮绳子的段数，由η=W有W总=GhFs=G4F可计算出金属块重力；
（2）不计绳重及摩擦，由F=14（G动+G）计算动滑轮重力；
（3）先计算金属块在溶液中上升速度，再计算出从上面表面与液面相平到金属块离开水面的距离，即其边长，由体积公式计算金属块的体积；
（4）对金属块A浸没时受力分析，根据滑轮组特点计算其受到的浮力，再根据阿基米德原理计算溶液的密度。
【解答】解：
（1）金属块A在水中时受到浮力作用，提出液面后不再受到浮力，所以滑轮组对它的拉力会变大，
读图象可知，金属块离开水面后，作用在绳子自由端上的拉力F＝15N，
由图甲知，该滑轮组由四段绳子通过动滑轮，
滑轮组的机械效率：η=W有W总=GhFs=G4F，
由此可得，金属块A的重力：
G＝4ηF＝4×0.8×15N＝48N；
（2）不计绳重及摩擦，提出液面后作用在绳子自由端上的拉力：
F=14（G动+G），
所以动滑轮的重力：
G动＝4F﹣G＝4×15N﹣48N＝12N；
（3）金属块A的上表面离液面0.25m至金属块A上表面与液面相平，金属块上升的距离h＝0.25m，
由图象知，此过程中金属块上升的时间t＝5s，
金属块A上升的速度：v=ht=0.25m5s=0.05m/s，
从金属块A的上表面与液面相平上升至金属块A下表面刚离开液面，此过程金属块上升高度等于金属块A的高，由图象知，此段时间t′＝2s，
所以金属块A的高：h′＝vt′＝0.05m/s×2s＝0.1m，
金属块A是正方体，所以金属块A的体积：V＝（0.1m）3＝0.001m3；
（4）金属块A浸没时，金属块A在液体中受到三个力作用：向下的重力G、向上的浮力F浮、向上的拉力F拉
且F拉+F浮＝G，
所以绳子对金属块A的拉力：F拉＝G﹣F浮，
由图象可知，金属块A浸没时，作用滑轮组绳子自由端的拉力F′＝12N，
F′=14（G动+G﹣F浮），
金属块A浸没时受到的浮力：F浮＝G动+G﹣4F′＝12N+48N﹣4×12N＝12N，
由F浮＝ρ液V排g＝ρ液Vg可得，溶液的密度：
ρ液=F浮gV=12N10N/kg×0.001m3=1.2×103kg/m3。
答：（1）金属块A的重力为48N；
（2）动滑轮的总重为12N；
（3）正方体A的体积为0.001m3；
（4）溶液的密度为1.2×103kg/m3。
【点评】本题考查了滑轮组绳子自由端拉力、机械效率、阿基米德原理的应用等知识，认识、理解图象并能从中获取有用信息是解题的关键，注意物体在液面以下、露出液面过程中、露出液面以后的情况，并出找其中关键物理量的联系。
50．两个实心正方体A、B由密度均为ρ的同种材料制成，它们重力分别是GA、GB，将A、B均放置在水平桌面上时，如图a所示，两物体对桌面的压强分别是pA、pB，且pA：pB＝1：2，当用甲、乙两滑轮组分别匀速提升A、B两物体，如图b所示，两动滑轮重均为G0，此时两滑轮组的机械效率之比为33：40；若将A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升，如图c所示，匀速提升A物体过程拉力F随时间t的变化如图d所示。不计绳重和摩擦，ρ水＝1.0×103kg/m3，求：
（1）A、B两物体的重力之比GA：GB是多少？
（2）滑轮组中的动滑轮重力G0是A物体重力GA的多少倍？
（3）A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升时机械效率是多少？
（4）A、B两个实心正方体的材料密度是多少？
【分析】（1）实心正方体对桌面的压强p=FS=GS=mgS=ρVgS=ρL3gL2=ρgL，同种材料制成的实心正方体A、B的密度相等，根据p＝ρgL结合pA：pB＝1：2求出边长之比，利用G＝mg＝ρVg＝ρL3g求出A、B两物体的重力之比；
（2）不计绳重和摩擦，克服物体重力做的功为有用功、克服物体重力和动滑轮重力做的功为总功，根据η=W有W总×100%表示出滑轮组的机械效率之比，然后求出滑轮组中的动滑轮重力和A物体重力的关系；
（3）根据滑轮组可知绳子的有效股数，根据滑轮组绳子拉力公式结合图d得出等式即可求出物体A的重力和动滑轮的重力、物体A受到的浮力，滑轮组对A物体拉力做的功为有用功，克服动滑轮重力做的功为额外功，根据η=W有W总×100%求出A物体浸没在水中、用甲滑轮组匀速提升时机械效率；
（4）物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，根据F浮＝ρ液gV排求出物体A排开水的体积即为自身的体积，根据G＝mg＝ρVg求出A、B两个实心正方体的材料密度。
【解答】解：（1）因物体对水平面的压力和自身的重力相等，
所以，实心正方体对桌面的压强p=FS=GS=mgS=ρVgS=ρL3gL2=ρgL，
因实心正方体A、B是同种材料制成的，且pA：pB＝1：2，
所以，正方体A、B的边长之比LA：LB＝pA：pB＝1：2，
由G＝mg＝ρVg＝ρL3g可得，A、B两物体的重力之比GAGB=LA3LB3=（12）3=18；
（2）因不计绳重和摩擦，克服物体重力做的功为有用功、克服物体重力和动滑轮重力做的功为总功，
所以，滑轮组的机械效率η=W有W总×100%=Gh(G+G动)h×100%=GG+G动×100%，
则两滑轮组的机械效率之比η甲η乙=GAGA+G0GGB+G0=GAGA+G08GA8GA+G0=3340，
解得：G0＝0.25GA，即滑轮组中的动滑轮重力G0是A物体重力GA的0.25倍；
（3）由图c可知，滑轮组绳子的有效股数n＝3，
由图d可知，物体A浸没时滑轮组自由端绳子的拉力F1＝40N，物体A在空气中时滑轮组自由端绳子的拉力F2＝50N
则F2=13（GA+G0）=13（GA+0.25GA），F1=13（GA+G0﹣F浮），
即50N=13（GA+0.25GA），40N=13（GA+G0﹣F浮），
解得：GA＝120N，G0＝0.25GA＝30N，F浮＝30N，
A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升时机械效率：
η=W有W总×100%=(GA-F浮)h(GA-F浮+G0)h×100%=GA-F浮GA-F浮+G0×100%=120N-30N120N-30N+30N×100%＝75%；
（4）因物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，
所以，由F浮＝ρ液gV排可得，物体A的体积VA＝V排=F浮ρ水g，
由G＝mg＝ρVg可得，A、B两个实心正方体的材料密度：
ρ=mAVA=GAgF浮ρ水g=GAF浮ρ水=120N30N×1.0×103kg/m3＝4×103kg/m3。
答：（1）A、B两物体的重力之比GA：GB是1：8；
（2）滑轮组中的动滑轮重力G0是A物体重力GA的0.25倍；
（3）A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升时机械效率是75%；
（4）A、B两个实心正方体的材料密度是4×103kg/m3。
【点评】本题考查了压强公式和密度公式、重力公式、滑轮组机械效率公式、阿基米德原理的综合应用等，明确有用功和总功是关键。
声明：试题解实验次数
动力F1/N
动力臂L1/m
阻力F2/N
阻力臂L2/m
1
2.0
0.04
4.0
0.02
2
1.0
0.02
0.5
0.04
3
2.5
0.03
1.5
0.06
实验次数
动力F1/N
动力臂L1/m
阻力F2/N
阻力臂L2/m
1
2.0
0.04
4.0
0.02
2
1.0
0.02
0.5
0.04
3
2.5
0.03
1.5
0.06
\l "_Tc31651" 一．杠杆的平衡条件（共20小题） PAGEREF _Tc31651 \h 2
\l "_Tc18925" 二．力臂的画法（共4小题） PAGEREF _Tc18925 \h 10
\l "_Tc1760" 三．杠杆的动态平衡分析（共4小题） PAGEREF _Tc1760 \h 12
\l "_Tc21056" 四．杠杆的平衡分析法及其应用（共13小题） PAGEREF _Tc21056 \h 14
\l "_Tc15465" 参考答案与试题解析 PAGEREF _Tc15465 \h 23
\l "_Tc24644" 一．杠杆的平衡条件（共20小题） PAGEREF _Tc24644 \h 23
\l "_Tc14364" 二．力臂的画法（共4小题） PAGEREF _Tc14364 \h 47
\l "_Tc26380" 三．杠杆的动态平衡分析（共4小题） PAGEREF _Tc26380 \h 51
\l "_Tc29894" 四．杠杆的平衡分析法及其应用（共13小题） PAGEREF _Tc29894 \h 56
___________ 校__________老师
初物培优(重高自招 竞赛)之第12章 杠杆较难
原题
一．杠杆的平衡条件（共20小题）
1．如图所示是一种水闸，闸门的底部与铰轴O相连，厚度不计的闸门高为H、宽为a。AB为一根不计质量的杆，A端通过铰链与闸门相连，B端通过铰链与地面相连，杆AB与地面成60°角，A端距离地面高h。已知水的密度为ρ，闸门右侧水位高为h，水对闸门的压力作用点等效在距离O点 13h高度处，试求杆AB对闸门的作用力。
2．用同种材料制成的实心物体A与B，分别挂在杠杆的两端，且GA＞GB，此时杠杆平衡，如图（a）所示。若将两物体全部浸入水中，如图（b）所示，试问杠杆是否还能平衡。
请运用所学知识做出判断，并写出必要的公式和推导过程，已知材料的密度ρ0大于水的密度ρ水。
3．如图甲所示在容器底部用吸盘固定一个滑轮，轻质杠杆A端的细线通过滑轮与水中的实心长方体C相连，C的底面积为0.2m2，轻质杠杆OA：OB＝3：2．容器内有一定质量的水，实心长方体C漂浮在水面上，此时物体D对杠杆B端的拉力恰好为零。继续向容器中加水，D物体对地面压力随C下底面的深度h变化的图象如图乙所示。不计摩擦、绳重和水的阻力，求：
（1）C的重力GC；
（2）D物体的重力GD。
4．如图为一个简易雨量测试仪，质量均匀的直杆AB外均匀包裹着海绵，直杆与干海绵的总质量为1.5kg，且可绕垂直纸面的转轴O转动，OA：OB＝7：3，杆右端B点连接一个质量不计的滑轮，绕在滑轮上的细绳一端固定在地面上，另一端系在质量为1kg的重物C上。晴天时，直杆AB呈水平状态，重物静止在地面上。g取10N/kg，求：
（1）晴天时，重物C对地面的压力是多大
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收多少质量的雨水，直杆开始绕O点旋转
5．有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在的位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置）。秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡。当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量。已知秤杆和两个套筒的长度均为L＝16cm，套筒可移出的最大距离为L1＝14cm，秤纽到挂钩的距离为d＝2cm，两个套筒的质量均为m＝0.1kg。取重力加速度g＝10N/kg。求：
（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M。
（2）该秤的量程m0。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示多少质量。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1多大。
6．有四条完全相同的刚性长条薄片AiBi（i＝1，2，3，4），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将四薄片架在一只水平的碗口上，使每条薄片一端的小突起Bi搭在碗口上，另一小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示。现将一个质量为2m的小物体放在薄片A4B4上的一点，这一点与A3，A4的距离相等，则薄片A4B4中点受A3的压力是 牛。
7．如图（1）所示，均匀长方体木块长b＝18cm，高h＝16cm，宽L＝10cm，被两个力传感器支撑起来，两传感器间距为a＝10cm且到木块两边的距离相等，传感器能够将支撑点的受力情况通过数据采集器在计算机屏幕上反映出来。现用一弹簧测力计水平拉木块，拉力作用在木块的中点且缓慢均匀增大，木块则始终保持静止状态，计算机屏上出现如图（2）所示的图线。问：
图（2）上的直线A反映的是传感器上的受力情况 （“左边”或“右边”），弹簧测力计的最大拉力是 N。
8．如图所示，OA是起重机的吊臂，可绕O点转动，在距O点6m远的B处吊有重3000N的物体。为保证吊臂在水平位置平衡，则绕过定滑轮斜向下的拉力F为 N，将吊臂缓慢拉起，使用 A 点升高 2m 的过程中，拉力变 。（绳重、吊臂重、摩擦均不计）
9．某商店有一不等臂天平（砝码准确），一顾客要买2kg白糖，营业员先在左盘放一包白糖右盘加1kg砝码，待天平平衡后；接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg砝码，待天平平衡后。然后把两包白糖交给顾客。则两包白糖的总质量（ ）
A．等于2kgB．小于2kgC．大于2kgD．无法知道
10．一个600N重的成年人和一个小孩都要过一道5m宽的水渠。成人从左岸到右岸，而小孩从水渠右岸到左岸，两岸各有一块4m长的坚实木板，他们想出右图所示的方式过渠。请分析在忽略木板自身重量和木板叠交距离的情况下，要使成年人和小孩都能平安过渠，小孩的体重不能轻于多少牛？（ ）
A．100NB．200NC．300ND．400N
11．如图是一副称量准确的杆秤示意图，秤砣质量为1kg，秤杆和秤盘总质量为O.5kg，定盘星B到提纽O的距离OB为2cm，秤盘到提纽O的距离OA为10cm。若有人换了一个质量为0.8kg的秤砣，实际质量3kg的物品，让顾客误以为得到物品的质量是多少（ ）
A．3.8kgB．3.6kgC．3.96kgD．3.75kg
12．如图（a）所示，一根质量分布均匀的细直硬杆，长度为L，质量为m，在杆的最左端A与距右端L4的B处立两个相同的支撑物，将细杆水平支起，求：
（1）A处与B处的支持力NA和NB。
（2）在杆的最右端C再加上一个同样的支撑物，如图（b）所示，假设支撑物均由相同的弹性材料制成，当它们受到挤压时会产生微小形变，其竖直方向上发生的微小形变与弹力成正比，则A、B、C三处的支持力NA、NB和NC分别为多少？
13．如图所示，一重为G＝100N的均匀厚长钢板借助于一圆柱形铁桶将其一端向上抬起，圆柱形铁桶半径为R＝0.5m，厚长钢板AO的O端用铰链固定于地面，AO长为5R，各处摩擦均不计，现用通过圆柱形桶圆心的水平向左的推力F使圆柱体水平向左缓慢移动。
（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为多少？
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为多少？（已知sin30°＝cs60°＝0.5；sin60°＝cs30°＝0.866；tan15°＝0.268）
14．有一均匀直杆，重力为G，杆的重心即为其对称中心C．用细线拴住杆的两端点A、B，把它挂在两个竖直悬挂的弹簧测力计下面，并在A、C中点D处挂上4个相同的钩码，如图所示，杆在水平方向上达到平衡状态。已知A点处绳上拉力F1＝10N，B点处绳上拉力F2＝8N，求：直杆的重力G和每个钩码的重力G1。
15．边长为0.1m质量均匀的正方体物体M，放在水平地面上对地面的压强为4.8×103Pa．如图装置中，桶D固定，高h＝0.5m；横杆可绕固定点O在竖直平面内转动，系在横杆B端的细绳通过动滑轮连着物体M，用大小为24N的力F在A点竖直向上提横杆时，横杆在水平位置平衡，此时物体M对桶底的压强为1.6×103Pa，若仍用力F在C点处竖直向上提横杆（C点未在杆上标出），使横杆仍在水平位置平衡，此时物体M对桶底压强为1.0×103Pa，已知横杆长OB＝0.8m，OA＝0.6m，g取10N/kg，一个标准大气压1×105Pa，不计横杆质量、绳质量和摩擦。
（1）求物体M的密度 。
（2）求OC长度 。
（3）现在桶内放满水，物体的底面与容器底部紧密接触，至少需要多大的竖直向上的力才能将物体拉离桶底 。
16．道闸又称栏杆机、挡车器，是现代停车场管理的智能化高科技产品，主要应用于各类停车场、封闭式管理小区出入口等场所。如图甲所示的是某停车场安装的道闸结构示意图，合金制作的空心栏杆，通过固定装置安装在箱体，能绕固定轴O转动90°，固定轴到箱底的高度为h，箱体固定在地面上。弹簧通过连接钢丝一端固定在箱体底面，另一端固定在固定装置上的A点，使用时弹簧保持竖直。可以使栏杆在水平位置和竖直位置间转动。弹簧自重G弹簧＝30N，钢丝重忽略不计，固定轴到弹簧的距离是OA＝20cm．通过调节连接钢丝的长度，使弹簧的长度为l1＝80cm，这时栏杆在水平位置平衡。在栏杆的重心位置上安装了5N重的警示牌，需要调节连接钢丝长度，改变弹簧的拉力，使栏杆仍然在水平位置平衡。栏杆与固定装置总重为G栏杆，重心B点到O点距离为1.2m，若弹簧的长度l与拉力F拉的关系图象如图乙所示。
求：
（1）栏杆和固定装置总重G栏杆；
（2）第二次弹簧的长度。
17．如图AB、BC、CD是三根相同的轻杆，彼此之间用绞链连接，轻杆与墙壁之间也以绞链连接。A、D两点在同一水平面内。绞链B上悬挂一质量为m的物体，为使BC保持水平，在绞链C上至少要施加多大的作用力？
18．如图所示，质量m＝2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，导轨及支架ABCD总质量M＝4.0kg，形状及尺寸已在图中注明，该支架只可以绕着过D点的转动轴在图示竖直平面内转动。为简便起见，可将导轨及支架ABCD所受的重力看作集中作用于图中的O点。现用一沿导轨的拉力F通过细线拉铁块，假定铁块起动后立即以0.1m/s的速度匀速运动，此时拉力F＝10N。
（1）铁块运动时所受摩擦力多大？
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂多大？
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是多少？（g＝10N/kg）
19．塔式起重机的结构如图所示，设机架重P＝400kN，悬臂长度为L＝10m，平衡块重GW＝200kN，平衡块与中心线OO′的距离可在1m到6m间变化，轨道A、B间的距离为4m。当平衡块离中心线1m，右侧轨道对轮子的支持力FB是左侧轨道对轮子支持力FA的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．机架重心离中心线的距离为1.5m
B．该起重机最多能吊起的重物不能超过225kN
C．起重机的平稳度与轨道的间距无关
D．当起重机挂钩在离中心线OO'的距离为10m处吊起重为G＝100kN的重物时，平衡块离OO'的距离为6m，此时轨道B对轮子的作用力FB＝450kN
20．如图甲所示，底面积为50cm2的圆柱形玻璃筒中装有一定量的水，放在水平台面上，底面积为10cm2的圆柱形物体B浸没在水中，杠杆CD可绕支点O在竖直平面内转动，CO＝2DO；物体A是质量100g的配重。作用在物体A上的向下的拉力F为0.6N时，杠杆在水平位置平衡，如图乙所示，此时物体B有25的体积露出水面，物体B所受的浮力为F浮，水在物体B底面处产生的压强为P，筒中水的深度比图甲中水的深度下降了0.4cm。g取10N/kg，杠杆、悬挂物体的细绳的质量均忽略不计，则下列选项正确的是（ ）
A．P的大小为500PaB．F浮的大小为0.3N
C．物体B的密度为7g/cm3D．物体B的体积为100cm3
二．力臂的画法（共4小题）
21．如图所示，轻质杠杆OA可绕O点转动，通过定滑轮用力拉动杠杆缓慢转动，在图示位置时，杠杆的动力臂力L作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．如图所示，一轻质杠杆OA可绕O点转动，A端用绳子系住，绳子的另一端系于竖赶墙壁的C点，在杠杆中点B处悬挂一重为G的重物，杠杆处于水平静止状态。已知杠杆OA长为2L，O点到C点距离为L。
（1）请在图上画出拉力F的力臂；
（2）求出拉力F的大小；
（3）若绳子能承受的最大拉力为32G，则重物最多能悬挂在离O点多远处？
23．如图所示，O是轻质杠杆的支点，L1是使杠杆保持水平平衡的动力F1的力臂，请你画出动力F1示意图（要求保留作图痕迹）。
24．如图所示，杠杆OA在力F1、F2的作用下处于静止状态，L2是力F2的力臂，请在图中作出F1的力臂L1和力F2。
三．杠杆的动态平衡分析（共4小题）
25．密度为ρ＝500kg/m3、长a、高b、宽c分别为0.9m、3310m、3310m的匀质长方体，其表面光滑，静止在水平面上，并被一个小木桩抵住，如图（a）所示。（g取10N/kg）
（1）无风情况下，地面的支持力为多大？
（2）当有风与水平方向成45°斜向上吹到长方体的一个面上，如图（b）所示。风在长方体光滑侧面产生的压力为F，则力F要多大才能将长方体翘起？
（3）实验表明，风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。现让风从长方体左上方吹来，风向与水平方向成θ角，如图（c）所示。当θ大于某个值时，无论风速多大，都不能使长方体翘起。请通过计算确定θ的值。
26．如图是农村曾用的舂米工具的结构示意图。杆AB可绕O点转动，杆右端均匀柱形物体的长度与杆右侧的OB相等，杆AB的重力不计，柱形物体较重。若作用在A点的动力F方向始终与杆垂直，则杆从水平位置缓慢转动45°角的过程中，动力F大小的变化是 。
27．如图所示，均匀杆AB长为L，可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离L处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起。已知杆水平时，细绳的拉力为T1，杆与水平面夹角为30°时，细绳的拉力为T2，则T1：T2是（ ）
A．2：1B．2：1C．1：2D．1：1
28．如图所示，一块均匀的厚木板长15m，重为400N，对称的搁在相距8m的A、B两个支架上，一个体重为500N的人，从A点出发向左走，求到离A点多远时，木板将开始翘起？
四．杠杆的平衡分析法及其应用（共13小题）
29．某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，其中的一部分结构如图所示，OA是一个均匀钢管，每米长度所受重力为30N，O是转动轴；重物的质量m为150kg，挂在B处，OB＝1m；拉力F作用在A点，竖直向上。为维持平衡，钢管OA为多长时所用的拉力最小？这个最小拉力是多少？
30．如图所示，粗细相同密度均匀的细棒做成“L”形，其中AC与CB垂直，AC长L，CB长L/2，整根细棒的重力是G，并放在固定的圆筒内，圆筒内侧面和底面均光滑，圆筒横截面的直径为L．平衡时细棒正好处于经过圆简直径的竖直平面内。此时细棒对圆筒底面的压力大小为 ；细棒B端对圆筒侧面的压力为 。
31．某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，如图所示是这个机械一个组成部分的示意图。OA是根钢管，每米受重力为30N；O是转动轴；重物的质量m为150kg，挂在B处，OB＝1m；拉力F加在A点，竖直向上，取g＝10N/kg．为维持钢管水平平衡，OA为 m时所用的拉力最小。
32．如图所示，两个相同的轴轮A和B处于同一水平面位置，且以相同大小的角速度ω按图示方向匀速转动。在其上面放置一匀质木板C，C与两轮间的动摩擦因数相同。若初始时C的重心O处于轴轮A和B之间且偏近于轴轮A，则木板C将 （选填“一直向左运动”“做左右往复运动”或“保持原来位置”）。
33．如图所示，轻绳的一端系有质量为2kg的物体C，另一端系在质量为1kg的均匀木棒AO的A端；木棒AO可绕O端无摩擦转动，在水平拉力F的作用下木棒AO与水平墙面的夹角由30°缓慢增加到60°（g＝10N/kg），则（ ）
A．拉力F的大小一直不变
B．棒与墙面成45°时拉力F＝25N
C．棒与墙面成30°时拉力F=2533N
D．棒与墙面成60°时拉力F=2533
34．在一次校运动会，小明骑一质量为m的独轮车，以速度v匀速通过一重为G、长为L的水平独木桥，独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，如图所示。设独轮车骑上A端支柱处为初始时刻（t＝0），下面哪一个图正确地表示了B端支柱所受压力FB与时间t的函数关系？（不考虑独木桥的形变）（ ）
A．B．
C．D．
35．如图所示，质量分布均匀的细杆水平放置，支座A在杆重心的右侧，杆的右端被位于其上面的支座B顶住。现在杆的左端C处施加一个向下的作用力，则（ ）
A．A、B两处的弹力均增加，且△FA＝△FB
B．A、B两处的弹力均增加，且△FA＞△FB
C．A处的弹力减小，B处的弹力增大，且|△FA|＞△FB
D．A处的弹力增大，B处的弹力减小，且△FA＞|△FB|
36．现有一个弹簧测力计（可随便找地方悬挂），一把匀质的长为1的有刻度、零点位于端点的直尺，一个木块及质量不计的细线。试用这些器件设计一实验装置（要求画出示意图），通过一次测量（弹簧测力计只准读一次数），求出木块的质量和尺的质量（已知重力加速度为g）。
37．如图1，一根长为20cm，横截面积为10cm2的均匀木杆用细线和弹簧测力计竖直悬挂起立，置于烧杯内水平面上方。现将烧杯竖直缓缓提升，木杆逐渐浸入水中，已知木杆的密度为ρ1＝0.8×103kg/m3，水的密度为ρ0＝1.0×103kg/m3
（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，求木杆浸入水中的长度。
（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，如图2所示，求木杆浸入水中的长度。（忽略木杆横截面积的影响）
38．某同学用一根粗细均匀的铁棒，将一个边长为a的正方形重物箱撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被放大）．已知：铁棒单位长度的质量为m，在另一端施加一个向上的力撬动重物箱。如果插入的长度为箱宽的五分之一，并保持该长度不变，求：
（1）重物对铁棒的压力为多大？
（2）当选用的铁棒长度满足什么条件时，施加的力最小，此最小的力为多大？
39．三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d≪a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：
（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向；
（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？
40．小强为课题研究小组提供了一把家中收藏的旧杆秤。杆秤的刻度模糊不清，只有5kg和6kg的刻度清晰可辨，秤砣遗失。小组成员对杆秤的外形进行了测量，测量结果如图所示。请根据以上信息
（1）判断该杆秤的重心（不包括秤砣）应该在提纽的哪一侧；
（2）求出秤砣的质量。
41．某工厂设计了一个蓄水池（如图所示），水源A罐的液面高度h1保持不变。罐底有一个小出水口，面积为S1．孔下通过一个截面积为S2活塞与杠杆BC相连。杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱形浮子，横截面积为S3，BO是杠杆总长的13．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h2，活塞恰好能堵住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有极小一段距离时，浮子便不再上浮，此时浮子没入水深为h3．为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的重量减去G′．试求浮子应减去重量G′的大小。（活塞及连杆的重量不计，杠杆所受浮力不记。）
五．杠杆中最小力的问题（共4小题）
42．小明推一辆满载重物的独轮车，手握在车把A处（图中未画人），遇到一个较高的台阶，他自己推不上去，小华赶快跑来帮忙。小华选择了一种最省力且效果最好的施力方法，请画出小华所施力F的示意图。
43．有一边长为a，密度为ρ的立方体大理石，工人用一根粗细均匀的单位长度重为P牛的铁棒将石块撬起一个很小的角度。如图所示，如果插入的长度为石块边长的四分之一，并保持该长度不变，则当选用的铁棒多长时，向上施加的力最小？此最小的力多大？
44．如图所示，画出使杠杆平衡最小力的示意图，要求保留作图痕迹。
45．一块高40厘米、宽30厘米、厚10厘米，质量为1.5千克的砖，竖直立在水平地面上，如图所示，若按图示的方向将它推倒，最小推力为 牛。（g＝10N/Kg）
六．杠杆的应用（共2小题）
46．如图是利用电子秤显示水库水位装置的示意图。
该装置主要由不计重力的滑轮C、D，长方体物块A、B以及轻质杠杆MN组成。物块A通过细绳与滑轮C相连，物块B通过细绳与杠杆相连。杠杆可以绕支点O在竖直平面内转动，杠杆始终在水平位置平衡，且MO：ON＝1：2．已知物块A的密度为1.5×103kg/m3，底面积为0.04m2，高1m，物块B的重力为100N．所有摩擦和绳重忽略不计，g取10N/kg。求：
（1）当物块A的顶部刚好没入水中时，物块A受到的拉力是多大？
（2）若水位发生变化，电子秤的示数为55N时，物块A露出水面的高度是多少？
47．如图所示，AB为一轻质杠杆，O为支点，在O点两侧分别悬挂体积相等的实心铜球和实心铁球，杠杆在水平位置平衡。若将两球分别远离O点向外移动相同的距离（未脱离杠杆），则 （选填“铜球”或“铁球”）一端下降。
七．探究杠杆的平衡条件实验（共1小题）
48．在探究“杠杆的平衡条件”的实验中，某同学记录了三次实验数据如表：
（1）这三次实验数据中有一次是错误的，错误数据的实验次数是 。改正错误数据后，同学得出了杠杆的平衡条件，
（2）在该实验后，有同学认为杠杆的力臂就是动力阻力的作用点到支点的距离，据此请指出该实验的不足之处
（3）若某次实验中用弹簧测力计竖直向上拉杠杆一端的A点，如图乙所示，杠杆水平平衡时弹簧测力计的示数为Fa，若在A点斜向上拉，杠杆要求在水平位置再次平衡时，弹簧测力计的示数为Fb，则Fa Fb（填“大于、小于、等于”）。
八．滑轮（组）的机械效率（共2小题）
49．小峰利用滑轮组将一个正方体金属块A从某溶液池内匀速提出液面，当金属块A浸没在液面下，上表面距液面的距离为h时开始计时，如图甲，计时后调整滑轮组绳端竖直向上拉力F的大小使金属块A始终以大小不变的速度匀速上升，提升过程中拉力F与金属块A向上运动时间关系如图乙。已知金属块A被提出液面后，滑轮组的机械效率为80%，h＝0.25m，（假设溶液池足够大，金属块被提出液面前后液面高度不变，不计绳重及摩擦，）。求：
（1）金属块A的重力；
（2）动滑轮的总重；
（3）正方体A的体积；
（4）溶液的密度。
50．两个实心正方体A、B由密度均为ρ的同种材料制成，它们重力分别是GA、GB，将A、B均放置在水平桌面上时，如图a所示，两物体对桌面的压强分别是pA、pB，且pA：pB＝1：2，当用甲、乙两滑轮组分别匀速提升A、B两物体，如图b所示，两动滑轮重均为G0，此时两滑轮组的机械效率之比为33：40；若将A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升，如图c所示，匀速提升A物体过程拉力F随时间t的变化如图d所示。不计绳重和摩擦，ρ水＝1.0×103kg/m3，求：
（1）A、B两物体的重力之比GA：GB是多少？
（2）滑轮组中的动滑轮重力G0是A物体重力GA的多少倍？
（3）A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升时机械效率是多少？
（4）A、B两个实心正方体的材料密度是多少？
参考答案与试题解析
一．杠杆的平衡条件（共20小题）
1．如图所示是一种水闸，闸门的底部与铰轴O相连，厚度不计的闸门高为H、宽为a。AB为一根不计质量的杆，A端通过铰链与闸门相连，B端通过铰链与地面相连，杆AB与地面成60°角，A端距离地面高h。已知水的密度为ρ，闸门右侧水位高为h，水对闸门的压力作用点等效在距离O点 13h高度处，试求杆AB对闸门的作用力。
【分析】水对闸门产生压强的深度可以看做闸门右侧水位高的一半，根据p＝ρgh求出闸门受到水的平均压强，利用F＝pS求出闸门受到水的压力，装置中杆对闸门的作用力沿杆，根据几何关系求出其力臂，根据杠杆的平衡条件求出杆AB对闸门的作用力。
【解答】解：由题意可知，闸门右侧水位高为h，则水对闸门产生压强的深度可以看做h2，
闸门受到水的平均压强为p＝ρgh2，
闸门受到水压强的受力面积S＝ah，
由p=FS可得，闸门受到水的压力F＝pS＝ρgh2×ah=12ρgah2，
设杆对闸门的作用力为F杆，将闸门看做以O为支点的杠杆，如下图所示：
图中，闸门受到水的压力的力臂LF=h3，
在直角三角形AOC中，∠AOC＝60°，杆对闸门作用力的力臂L杆＝AOcsθ＝hcs60°=12h，
由杠杆的平衡条件可得：F杆×L杆＝F×LF，即F杆×12h=12ρgah2×h3，
则杆AB对闸门的作用力F杆=13ρgah2。
答：杆AB对闸门的作用力为13ρgah2。
【点评】本题考查了液体压强公式和固体压强公式、杠杆平衡条件的应用，知道装置中杆作用的方向和正确得出对应的力臂是关键。
2．用同种材料制成的实心物体A与B，分别挂在杠杆的两端，且GA＞GB，此时杠杆平衡，如图（a）所示。若将两物体全部浸入水中，如图（b）所示，试问杠杆是否还能平衡。
请运用所学知识做出判断，并写出必要的公式和推导过程，已知材料的密度ρ0大于水的密度ρ水。
【分析】（1）要解决此题，首先要掌握杠杆的平衡条件：F1L1＝F2L2。
（2）掌握阿基米德原理，知道F浮＝ρ液gV排；计算出两金属块没在水中后杠杆两端力和力臂的乘积，根据乘积的大小变化，判断杠杆的状态。
【解答】解：杠杆两端分别挂上体积不同的两个金属块A、B时，杠杆在水平位置平衡。
因为杠杆平衡，
所以GA×OA＝GB×OB
mAg×OA＝mBg×OB
ρ0VAg×OA＝ρ0VBg×OB，
即：VA×OA＝VB×OB，
若将两球同时浸没在水中，则：
左端＝（ρ0VAg﹣ρ水VAg）×OA＝ρ0VAg×OA﹣ρ水VAg×OA
右端＝（ρ0VBg﹣ρ水VBg）×OB＝ρ0VBg×OB﹣ρ水VBg×OB
又因为VA×OA＝VB×OB，
所以ρ水VAg×OA＝ρ水VBg×OB，
即ρ0VAg×OA﹣ρ水VAg×OA＝ρ0VBg×OB﹣ρ水VBg×OB，
因此杠杆仍然平衡。
【点评】本题主要通过判断杠杆的平衡情况，考查了对杠杆平衡条件的应用和阿基米德原理的应用。首先要掌握杠杆的平衡条件和浮力的计算公式，分别计算出杠杆两端力和力臂的乘积，根据乘积的大小关系判断杠杆的平衡情况。
3．如图甲所示在容器底部用吸盘固定一个滑轮，轻质杠杆A端的细线通过滑轮与水中的实心长方体C相连，C的底面积为0.2m2，轻质杠杆OA：OB＝3：2．容器内有一定质量的水，实心长方体C漂浮在水面上，此时物体D对杠杆B端的拉力恰好为零。继续向容器中加水，D物体对地面压力随C下底面的深度h变化的图象如图乙所示。不计摩擦、绳重和水的阻力，求：
（1）C的重力GC；
（2）D物体的重力GD。
【分析】（1）当C下底面的深度为0.3m时，C对绳子的拉力为0，此时物体C的重力等于浮力，根据阿基米德原理求出C受到的浮力即为C的重力；
（2）由图乙可知，当C下底面水的深度为0.3m时，物体C受的浮力开始增大，并开始大于自身重力，当C下底面水的深度等于0.5m，物体C完全浸没到水中，且物体C的高度为0.5m，利用阿基米德原理可以求出物体C此时所受到的浮力，对C进行受力分析，可以求出C对绳子的拉力；此时杠杆平衡，利用杠杆的平衡条件即可求出绳子对D的拉力，物体D的重力即为绳子对D的拉力和地面对D的支持力之和。
【解答】解：
（1）由乙图可知，当水的深度h＝0.3m时，物体C对绳子的拉力为0，
此时，物体C只受到重力和浮力，且GC＝F浮，
由阿基米德原理可知：F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSCh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.2m2×0.3m＝600N，
则物体C的重力GC＝F浮＝600N；
（2）当C下底面水的深度h'＝0.5m时，物体C受到的浮力为：
F浮'＝ρ水gV排＝ρ水gSCh'＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.2m2×0.5m＝1000N，
此时物体C对绳子的拉力为：
FC＝F浮'﹣GC＝1000N﹣600N＝400N，
设OA＝3l，则0B＝2l，
根据杠杆的平衡条件：F1L1＝F2L2，
带入数值可得：FD×2l＝400N×3l，
可得绳子对D 的拉力为：FD＝600N，
由图象可知，当C下底面的深度为0.5m时，D对地面的压力为200N，
根据相互作用力可知：地面对D的支持力F支＝200N，
则物体D的重力为：GD＝FD+F支＝600N+200N＝800N。
答：
（1）C的重力GC为600N；
（2）D物体的重力GD为800N。
【点评】本题是将杠杆的平衡条件和阿基米德原理结合在一起考察，需要学生学会对物体进行受力分析。
4．如图为一个简易雨量测试仪，质量均匀的直杆AB外均匀包裹着海绵，直杆与干海绵的总质量为1.5kg，且可绕垂直纸面的转轴O转动，OA：OB＝7：3，杆右端B点连接一个质量不计的滑轮，绕在滑轮上的细绳一端固定在地面上，另一端系在质量为1kg的重物C上。晴天时，直杆AB呈水平状态，重物静止在地面上。g取10N/kg，求：
（1）晴天时，重物C对地面的压力是多大
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收多少质量的雨水，直杆开始绕O点旋转
【分析】（1）设直杆长为10L0，直杆与干海绵重心在其几何中心，由已知条件得出动力臂和阻力臂大小，根据G＝mg
得出阻力大小，根据杠杆的平衡条件得出动力FB大小，由力的作用是相互的可知杆对绳子的拉力为，即绳子对滑轮向上的拉力为10N，从而可知与C相连的绳子对C竖直向上的拉力大小，从而得出重物C对地面的压力大小；
（2）设吸收质量为m′的雨水，直杆开始绕O点旋转，阻力为直杆和雨水的重力和，动力为物体C重力的2倍，根据杠杆的平衡条件求出直杆开始绕O点旋转时吸收雨水的质量。
【解答】解：（1）设直杆长为10L0，直杆与干海绵重心在其几何中心，距B端长为5L0，O不支点，故直杆与干海绵重力的力臂（阻力力臂）为：
L2＝5L0﹣3L0＝2L0，阻力G＝mg＝1.5kg×10N/kg＝15N，
动力臂L1＝3L0，
根据杠杆的平衡条件：
G×2L0＝FB×3L0，
FB=2L03L0×G=23×15N＝10N；
由力的作用是相互的，杆对绳子的拉力为10N，即绳子对滑轮向上的拉力为10N，因有两段绳子分担10N的拉力，由力的平衡，故与C相连的绳子对C竖直向下的拉力大小为：T=10N2=5N，由力的相互性，绳子对C竖直向上的拉力大小为：T′＝5N，故重物C对地面的压力：
F压＝GC﹣T′＝mCg﹣T＝1kg×10N/kg＝10N﹣5N＝5N；
（2）设吸收质量为m′的雨水，直杆开始绕O点旋转，
则阻力F2′＝（m′+1.5kg）g，
动力为：FB′＝2GC＝2×1kg×10N/kg＝20N，
根据杠杆的平衡条件：
F2′×2L0＝FB′×3L0，
即（m′+1.5kg）g×2L0＝20N×3L0，
吸收雨水的质量：m′＝1.5kg时直杆开始绕O点旋转。
答：（1）晴天时，重物C对地面的压力是5N；
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收1.5kg的雨水，直杆开始绕O点旋转。
【点评】本题考查重力公式、力的平衡、力的相互性和动滑轮的知识及杠杆的平衡条件的运用，关键是找出杠杆的五要素，综合性较强。
5．有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在的位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置）。秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡。当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量。已知秤杆和两个套筒的长度均为L＝16cm，套筒可移出的最大距离为L1＝14cm，秤纽到挂钩的距离为d＝2cm，两个套筒的质量均为m＝0.1kg。取重力加速度g＝10N/kg。求：
（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M。
（2）该秤的量程m0。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示多少质量。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1多大。
【分析】（1）根据平衡时两套筒的重力相对秤纽的力矩与所求的合力矩相等求解；
（2）物体的力矩与内外套筒增加的力矩之和平衡，据此分析求解；
（3）设内套筒向右移动长度x1，外套筒相对内套筒向右移动长度x2，
根据力矩平衡分析秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，并求出1cm的长度分别表示多少质量；
（4）正常称量重物时，内外套筒可一起向外拉出，由力矩平衡求出内外套筒可一 起向外拉出，再由力矩平衡求解物体实际质量。
【解答】解析：
（1）套筒不拉出时杆恰平衡，两套筒相对秤纽的力矩与所求力矩相等，
则M＝2 mg（L2-d）＝2×0.1kg×10N/kg×（16×10-2m2-2×10﹣2m）＝0.12 N•m；
（2）根据力矩平衡可得：m0gd＝mgL1+mg2L1，
即：m0×10N/kg×2×10﹣2m＝0.1kg×10N/kg×14×10﹣2m+0.1kg×10N/kg×2×14×10﹣2m，
解出m0＝2.1kg；
（3）设内套筒向右移动长度x1，外套筒相对内套筒向右移动长度x2，
力矩平衡mxgd＝mgx1+mg（x1+x2），
①若只移动内套筒，则x2＝0，
mxgd＝2mgx1，
mx=2mx1d=2×0.1kg×x12cm=0.1kg×x11cm，故秤杆刻度均匀，1cm长度表示0.1kg，
②若只移动外套筒，则x1＝0，
mxgd＝mgx2，mx=mx2d=0.1kg×x22cm=0.05kg×x21cm，
故内层套筒刻度均匀，1cm长度表示0.05kg；
（4）由（3）问可知，内层套筒的左端在读数为1kg处对应刻度x′＝0.1m，
外筒丢失后，内套筒离左端秤纽距离x′﹣d＝0.1m﹣2×10﹣2m＝0.08m，
则m1gd+M＝mg（x′﹣d+L2），
解出m1＝0.2 kg。
答：（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M为0.12N•m。
（2）该秤的量程m0为2.1 kg。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示0.1kg和0.05kg。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1为0.2 kg。
【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，并考查了运用物理知识解决实际问题的能力。
6．有四条完全相同的刚性长条薄片AiBi（i＝1，2，3，4），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将四薄片架在一只水平的碗口上，使每条薄片一端的小突起Bi搭在碗口上，另一小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示。现将一个质量为2m的小物体放在薄片A4B4上的一点，这一点与A3，A4的距离相等，则薄片A4B4中点受A3的压力是 0.2mg 牛。
【分析】根据图示得出不同的钢片将的压力关系，然后以B4为支点，根据杠杆平衡的条件列出关系式即可求出薄片A4B4中点受A3的压力。
【解答】解：设A3对A4B4的压力为F，根据杠杆平衡的原理和力的作用是相互的，A2对A3B3的压力为2F，A1对A2B2的压力为4F，A4对A1B1的压力为8F，那么A1B1对A4B4的压力为8F，以B4为支点，根据杠杆平衡的条件可得：
8F×4＝2mg×3+F×2
F＝0.2mg。
故答案为：0.2mg。
【点评】本题考查杠杆平衡条件的分析法及应用，关键是明确各薄片间的相互作用力。
7．如图（1）所示，均匀长方体木块长b＝18cm，高h＝16cm，宽L＝10cm，被两个力传感器支撑起来，两传感器间距为a＝10cm且到木块两边的距离相等，传感器能够将支撑点的受力情况通过数据采集器在计算机屏幕上反映出来。现用一弹簧测力计水平拉木块，拉力作用在木块的中点且缓慢均匀增大，木块则始终保持静止状态，计算机屏上出现如图（2）所示的图线。问：
图（2）上的直线A反映的是传感器上的受力情况 右边 （“左边”或“右边”），弹簧测力计的最大拉力是 3.5 N。
【分析】以右边传感器为支点，根据力矩平衡条件和力平衡条件分析在拉力增大的过程中，水平面对右边力传感器的支持力逐渐增大，即可根据图象判断直线A反映的是右边传感器的受力情况。
由图读出，t＝15s，A传感器读数为5.6N．B传感器的读数为0，以右边传感器为支点，根据力矩平衡条件列式，求出此时弹簧的拉力，即为木块能保持平衡的最大拉力。
【解答】解：
以右边传感器为支点，木块保持静止，木块受到拉力F顺时针力矩、左边传感器支持力顺时针力矩，及重力逆时针力矩，根据力矩平衡条件得知，顺时针力矩之和等于逆时针力矩之和，拉力增大，拉力的力矩增大，而重力的力矩不变，则知左边传感器支持力力矩减小，其力臂不变，则左边传感器支持力，根据竖直方向的力平衡得知，右边传感器的支持力增大，所以直线A反映的是右边传感器上的受力情况。
由图读出，0﹣5s内，两个传感器读数相等，则知木块的重力G＝2×2.8N＝5.6N；
t＝15s，A传感器读数为5.6N．B传感器的读数为0，以右边传感器为支点，根据力矩平衡条件列式：
Fh2=Ga2；
解得：F＝3.5N。
故答案为：右边；3.5。
【点评】本题考查了共点力平衡的条件及其应用和力的合成与分解的运用，是一道难题。
8．如图所示，OA是起重机的吊臂，可绕O点转动，在距O点6m远的B处吊有重3000N的物体。为保证吊臂在水平位置平衡，则绕过定滑轮斜向下的拉力F为 3600 N，将吊臂缓慢拉起，使用 A 点升高 2m 的过程中，拉力变 小 。（绳重、吊臂重、摩擦均不计）
【分析】OAB构成杠杆，F的力臂图中标出为5m，阻力臂为OB的长度。根据杠杆平衡条件可解第一问。 在动态提升过程中抓好杠杆要素中的不变量与变量的关系。
【解答】解：
（1）杠杆阻力为物体对杠杆的拉力，大小等于物重，为3000N，阻力臂为OB＝6m，由图可知绳子绕过定滑轮只改变了力的方向，因此动力臂为5m。根据杠杆平衡条件F1l1＝F2l2得：F×5m＝3000N×6m，解得F＝3600N。
（2）在动态提升的过程中阻力（物重）不变，阻力臂变小，动力臂同时变大。由杠杆平衡条件可知拉力变小。
故答案为：3600；小。
【点评】对于杠杆类习题首先从确定动力、阻力、动力臂、阻力臂入手。动态杠杆问题要分析好变量与不变量。再根据杠杆平衡条件解答。
9．某商店有一不等臂天平（砝码准确），一顾客要买2kg白糖，营业员先在左盘放一包白糖右盘加1kg砝码，待天平平衡后；接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg砝码，待天平平衡后。然后把两包白糖交给顾客。则两包白糖的总质量（ ）
A．等于2kgB．小于2kgC．大于2kgD．无法知道
【分析】此题要根据天平的有关知识来解答，即在此题中天平的臂长不等，这是此题的关键。行分析。
【解答】解：
由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设a＞b），
设第一包白糖的实际质量为m1，第二包白糖的实际质量为m2，
先在左盘放一包白糖右盘加1kg砝码，天平平衡，
由杠杆的平衡条件可得：am1＝b×1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，
接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg砝码，天平平衡，
则由杠杆的平衡条件可得：a（m1+1）＝b（m2+1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，
联立①②解得m1=ba，m2=ab，
则两包白糖的总质量为m2+m1=ab+ba，
因为（m1+m2）﹣2=ab+ba--2=(a-b)2ab≥0
又因为a≠b，所以（m1+m2）﹣2＞0，即m1+m2＞2，
这样可知称出的两包白糖的总质量大于2kg。
故选：C。
【点评】此题学生要利用物理知识来求解，所以学生平时在学习时要各科融汇贯通，同时体现了物理与数学的联系。
10．一个600N重的成年人和一个小孩都要过一道5m宽的水渠。成人从左岸到右岸，而小孩从水渠右岸到左岸，两岸各有一块4m长的坚实木板，他们想出右图所示的方式过渠。请分析在忽略木板自身重量和木板叠交距离的情况下，要使成年人和小孩都能平安过渠，小孩的体重不能轻于多少牛？（ ）
A．100NB．200NC．300ND．400N
【分析】（1）可让成年人先过水渠，只要成年人能安全过水渠，小孩也能安全过水渠；
（2）木板A′B′是一个杠杆，成年人对木板A′B′的压力为阻力，小孩对木板A′B′的压力为动力，由杠杆平衡条件列方程，然后求出小孩的重力。
【解答】解：（1）因成年人较重，所以只要成年人能安全过水渠，则小孩也能安全过水渠；
小孩站在B′处让成年人先从木板上过水渠，当成年人到达水渠对岸后，站在B′处，然后再让小孩过水渠如图所示：
；
（2）把木板A′B′视为杠杆，O为支点，成年人对A′B′的压力视为阻力F2，小孩对木板的压力视为动力F1，
当成年人在A′时，阻力（成年人对A′B′的压力）最大，为F2＝G成年人＝600N，
由题意和图示可知：OA′＝1m，OB′＝3m，
由杠杆平衡条件可得：F1×OB′＝F2×A′O，
则F1=F2×OA'OB'=600N×1m3m=200N，
即小孩的体重不能轻于200N；
故选：B。
【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，分析清楚在何处阻力最大是本题的难点，也是正确解题的关键。
11．如图是一副称量准确的杆秤示意图，秤砣质量为1kg，秤杆和秤盘总质量为O.5kg，定盘星B到提纽O的距离OB为2cm，秤盘到提纽O的距离OA为10cm。若有人换了一个质量为0.8kg的秤砣，实际质量3kg的物品，让顾客误以为得到物品的质量是多少（ ）
A．3.8kgB．3.6kgC．3.96kgD．3.75kg
【分析】首先求出秤杆和秤盘的重心所在位置，即重心D到O点的距离，此时秤砣放在B点，根据杠杆平衡条件求OD的大小；
然后求出在正常情况下（用1kg秤砣称3kg物品），秤砣到O点的距离L；算出秤杆上标定的质量值与标定的质量值位置到定盘星B点的距离的关系；
根据杠杆的平衡条件求出使用不标准的秤砣时，不标准秤砣到定盘星的距离，由此求出秤杆上的标定的质量值即顾客误以为的质量。
【解答】解：设秤杆和秤盘的重心为D，当杠杆平衡时秤砣放在B点，
因为G秤×OD＝G砣×OB，即：m秤g×OD＝m砣g×OB，
0.5kg×OD＝1kg×2cm，
所以OD＝4cm，
使用1kg秤砣（正常情况下），设秤砣到O点的距离L，
因为m物g×OA+m秤g×OD＝m砣g×L 即：3kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm＝1kg×g×L，
解得：L＝32cm，
即OC＝L＝32cm；
秤杆上标定的质量值与标定的质量值位置到定盘星B点的距离的关系是3kgOC-OB=3kg32cm-2cm=0.1kg/cm；
当使用0.8kg秤砣时，秤量3kg的质量时，秤砣到O点的距离设为OE，
因为m物g×OA+m秤g×OD＝m砣′g×OE，
即：3kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm＝0.8kg×g×OE，
解得：OE＝40cm；
此时E位置标定的质量值m＝0.1kg/cm×（OE﹣OB）＝0.1kg/cm×（40cm﹣2cm）＝3.8kg。
则实际3千克的物品会让顾客误以为质量为3.8kg，故A正确，BCD错误。
故选：A。
【点评】本题考查杠杆平衡条件的计算，关键是将课本知识内容记忆清楚，仔细分析计算即可。
12．如图（a）所示，一根质量分布均匀的细直硬杆，长度为L，质量为m，在杆的最左端A与距右端L4的B处立两个相同的支撑物，将细杆水平支起，求：
（1）A处与B处的支持力NA和NB。
（2）在杆的最右端C再加上一个同样的支撑物，如图（b）所示，假设支撑物均由相同的弹性材料制成，当它们受到挤压时会产生微小形变，其竖直方向上发生的微小形变与弹力成正比，则A、B、C三处的支持力NA、NB和NC分别为多少？
【分析】（1）先以A为转轴，由力矩的平衡条件来求B点的弹力；再以B为转轴以同样的方法求A的弹力；
（2）三处支持力的合力等于重力；分别以ABC为转轴可列力矩平衡方程式求各弹力。
【解答】解：（1）以A为转轴，由力矩的平衡条件有NB×34L＝mg×12L；即NB=23mg；
以B转轴，同理有NA×34L＝mg14L；
解得NA=13mg；
故A处与B处的支持力NA=13mg，NB=23mg；
（2）对整个木棒来说，有：NA+NB+NC＝mg；
以A为转轴，有NB×34L+NCL＝mg×12L；
以B为转轴，有NA×34L＝NC×14L+mg×（12L-14L）
以C为转轴，有NAL+NB×14L＝mg×12L；
由于支撑物发生微小形变，杆倾斜，
根据几何关系得：（△hA﹣△hB）：（△hB﹣△hC）＝A′B′：B′C'＝3：1，
∴（NA﹣NB）：（NB﹣NC）＝3；
联立以上各式解得NA=1126mg；NB=413mg；NC=726mg；
故ABC三点弹力分别为1126mg、826mg、726mg。
答：（1）A处与B处的支持力NA、NB分别为13mg、23mg；
（2）ABC三点弹力分别为1126mg、413mg、726mg。
【点评】本题的关键于受力分析后利用物体的平衡条件和力矩平衡条件来列方程求解。
13．如图所示，一重为G＝100N的均匀厚长钢板借助于一圆柱形铁桶将其一端向上抬起，圆柱形铁桶半径为R＝0.5m，厚长钢板AO的O端用铰链固定于地面，AO长为5R，各处摩擦均不计，现用通过圆柱形桶圆心的水平向左的推力F使圆柱体水平向左缓慢移动。
（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为多少？
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为多少？（已知sin30°＝cs60°＝0.5；sin60°＝cs30°＝0.866；tan15°＝0.268）
【分析】（1）圆柱体对木棒的支持力过圆柱体的轴线垂直于木棒，支点O到支持力作用线的垂线段即为支持力的力臂；
木棒的中心位置中心处，方向竖直向下，根据三角函数求出力臂的大小，根据杠杆的平衡条件求出木棒与地面的夹角θ＝30°时柱体对木棒的支持力。
（2）分别计算出两种情况下中心的高度，根据W＝Fs＝Gh计算出F做的功。
【解答】解：（1）厚钢板的重力、圆柱形桶对厚钢板的支持力和力臂的示意图如下：
当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，则重力的力臂LG=12OAcsθ=12×5R×cs30°=12×5R×0.866=12×5×0.5m×0.866＝1.0825m，
支持力力臂LN=Rtan15°=≈1.866m，
根据杠杆平衡条件得：NLN＝GLG，
所以，N=GLGLN=100N×≈58N。
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角为30°时，由上图可知：钢板的重心高度h1=12OAsinθ=12×5R×sin30°=12×5R×12=12×5×0.5m×12=0.625m，
当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角为60°时，由上图可知：钢板的重心高度h2=12OAsinθ=12×5R×sin60°=12×5R×0.866=12×5×0.5m×0.866＝1.0825m，
所以，△h＝h2﹣h1＝1.0825m﹣0.625m＝0.4575m，
F做的功W＝Fs＝Gh＝100N×0.4575m＝45.75J。
答：（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为58N。
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为45.75J。
【点评】本题考查了支持力的示意图和力臂以及杠杆平衡条件的应用，正确的找出钢板受到的力和力臂是解题的前提与关键。
14．有一均匀直杆，重力为G，杆的重心即为其对称中心C．用细线拴住杆的两端点A、B，把它挂在两个竖直悬挂的弹簧测力计下面，并在A、C中点D处挂上4个相同的钩码，如图所示，杆在水平方向上达到平衡状态。已知A点处绳上拉力F1＝10N，B点处绳上拉力F2＝8N，求：直杆的重力G和每个钩码的重力G1。
【分析】杠杆处于平衡状态，根据杠杆的受力情况，列等式F1+F2＝G+4G1 ；根据杠杆平衡原理列等式F2×AB＝G×AC+4G1×AD；又知AB＝2AC＝4AD；
将三个等式联立解答即可。
【解答】解：根据受力分析，得：F1+F2＝G+4G1，
10N+8N＝G+4G1①，
根据杠杆原理，以A为转动轴得：F2×AB＝G×AC+4G1×AD，
8N×AB＝G×AC+4G1×AD，②
根据几何关系，可得：AB＝2AC＝4AD，③
联立①②③解得：G＝14N，G1＝1N。
答：直杆的重力G为14N，每个钩码的重力G1为1N。
【点评】本题考查了杠杆平衡原理的运用和杠杆受力分析，一个杠杆受三个力平衡的情况对初中生理解有一定的难度，要注意全面分析。
15．边长为0.1m质量均匀的正方体物体M，放在水平地面上对地面的压强为4.8×103Pa．如图装置中，桶D固定，高h＝0.5m；横杆可绕固定点O在竖直平面内转动，系在横杆B端的细绳通过动滑轮连着物体M，用大小为24N的力F在A点竖直向上提横杆时，横杆在水平位置平衡，此时物体M对桶底的压强为1.6×103Pa，若仍用力F在C点处竖直向上提横杆（C点未在杆上标出），使横杆仍在水平位置平衡，此时物体M对桶底压强为1.0×103Pa，已知横杆长OB＝0.8m，OA＝0.6m，g取10N/kg，一个标准大气压1×105Pa，不计横杆质量、绳质量和摩擦。
（1）求物体M的密度 4.8×103kg/m3 。
（2）求OC长度 0.7m 。
（3）现在桶内放满水，物体的底面与容器底部紧密接触，至少需要多大的竖直向上的力才能将物体拉离桶底 546N 。
【分析】（1）根据重力、密度以及压强公式表示出压力与重力的关系，从而求出正方体的密度（注意放在水平面上的物体，水平面受到的压力等于物体的重力）；
（2）当F在A点时，根据杠杆平衡的条件求出作用在动滑轮绳子上的拉力，然后对M和动滑轮进行受力分析，求出动滑轮和M的总重力；
当F在C点时，根据杠杆平衡的条件表示出作用在动滑轮绳子上的拉力和力臂的关系，然后对M和动滑轮进行受力分析，根据平衡力的特点表示出动滑轮和M受到力的关系，最后联立关系式即可求出OC的长度；
（3）先根据M和动滑轮的关系求出动滑轮重；然后确定最小作用力的作用点，根据受力平衡以及浮力、压强的计算公式表示出M和动滑轮受到的平衡力，然后解之即可。
【解答】解：（1）∵ρ=mV，并且放在水平地面上的物体，地面受到的压力等于物体的重力
∴G＝F
mg＝pS
ρVg＝pS
ρa3g＝pa2
ρ=pag=4.8×103Pa0.1m×10N/kg=4.8×103kg/m3；
（2）设动滑轮质量为m，作用在动滑轮绳子上的力为T；
当F在A点时，根据杠杆平衡的条件可得：
T1LB＝FLA
T1×0.8m＝24N×0.6m
T1＝18N
对动滑轮和M进行受力分析可得：
2T1+p1a2＝mMg+mg
2×18N+1.6×103Pa×（0.1m）2＝（mM+m）g
（mM+m）g＝52N﹣﹣﹣﹣①
当F在A点时，根据杠杆平衡的条件可得：
T2LB＝FLC
T2×0.8m＝24N×LC﹣﹣﹣﹣②
2T2+1.0×103Pa×（0.1m）2＝（mM+m）g﹣﹣﹣﹣③
联立①②③可得，LC＝0.7m；
（3）M的重力：GM＝mMg＝ρVMg＝4.8×103kg/m3×（0.1m）3×10N/kg＝48N，
则动滑轮的重力：mg＝52N﹣48N＝4N；
当力F的作用点在B点时，作用力最小的力，设最小力F为T3，则
2T3＝GM+mg+[ρ水g（h﹣a）+p0]×a2
2T3＝48N+4N+[1×103kg/m3×10N/kg×（0.5m﹣0.1m）+1×105Pa]×（0.1m）2＝1092N
则T3＝546N。
答：（1）4.8×103kg/m3；（2）0.7m；（3）546N。
【点评】本题将受力分析、杠杆的平衡条件、压强的计算公式以及浮力的计算公式相结合，还涉及到重力公式、动滑轮的特点，具有一定的难度。
16．道闸又称栏杆机、挡车器，是现代停车场管理的智能化高科技产品，主要应用于各类停车场、封闭式管理小区出入口等场所。如图甲所示的是某停车场安装的道闸结构示意图，合金制作的空心栏杆，通过固定装置安装在箱体，能绕固定轴O转动90°，固定轴到箱底的高度为h，箱体固定在地面上。弹簧通过连接钢丝一端固定在箱体底面，另一端固定在固定装置上的A点，使用时弹簧保持竖直。可以使栏杆在水平位置和竖直位置间转动。弹簧自重G弹簧＝30N，钢丝重忽略不计，固定轴到弹簧的距离是OA＝20cm．通过调节连接钢丝的长度，使弹簧的长度为l1＝80cm，这时栏杆在水平位置平衡。在栏杆的重心位置上安装了5N重的警示牌，需要调节连接钢丝长度，改变弹簧的拉力，使栏杆仍然在水平位置平衡。栏杆与固定装置总重为G栏杆，重心B点到O点距离为1.2m，若弹簧的长度l与拉力F拉的关系图象如图乙所示。
求：
（1）栏杆和固定装置总重G栏杆；
（2）第二次弹簧的长度。
【分析】（1）杠杆的平衡条件是 动力×动力臂＝阻力×阻力臂，栏杆作为杠杆受力示意图如下：
所以有等式：F1•OA＝G栏杆•OB
其中，OA＝20cm＝0.2m，OB＝1.2m，
F1＝F拉1+G弹簧，其中G弹簧＝30N，F拉1通过L1＝80cm时丙图图象中看出，即 F拉1＝300N。
把这些数据代入杠杆平衡条件解方程，得出G栏杆。
（2）根据杠杆的平衡条件F2•OA＝G栏杆′•OB，G栏杆增加5N时G栏杆′＝55N+5N＝60N
解出F2，用F2减去弹簧重力就是第二次弹簧的拉力，
即：F拉2＝F2﹣G弹簧
弹簧的特点是在弹性限度内，弹簧伸长的长度与拉力成正比，即先后两次弹簧的伸长量与弹簧的拉力成正比，这样列出方程即可求出第二次弹簧长度。
方程为：（l2﹣l0）：（l1﹣l0）＝F拉2：F拉1。
【解答】解：（1）栏杆绕O点转动，可以看作杠杆。当杠杆水平平衡时，受力示意图如下
根据杠杆平衡条件：F1•OA＝G栏杆•OB
F1＝F拉1+G弹簧，从图丙中可以知道：F拉1＝300N
G栏杆(F拉1+G弹簧)⋅OAOB=(300N+30N)×
（2）栏杆上加了警示牌后G栏杆′＝G栏杆+G警示牌＝55N+5N＝60N
根据杠杆平衡条件：F2•OA＝G栏杆′•OB
F2=G栏杆'⋅OBOA=60N×
F2＝F拉2+G弹簧 F拉2＝F2﹣G弹簧＝360N﹣30N＝330N
设弹簧原长为l0，由于弹簧伸长的长度与拉力成正比，
所以有等式（l2﹣l0）：（l1﹣l0）＝F拉2：F拉1
（l2﹣50cm）：（80cm﹣50cm）＝330N：300N
解出l2＝83cm。
答：（1）栏杆和固定装置总重G栏杆＝55N。
（2）第二次弹簧的长度是83cm。
【点评】熟练掌握杠杆的平衡条件和弹簧的特点是解答本题的基础，同时还要具备在所给信息中挑出相关信息列方程的能力。
17．如图AB、BC、CD是三根相同的轻杆，彼此之间用绞链连接，轻杆与墙壁之间也以绞链连接。A、D两点在同一水平面内。绞链B上悬挂一质量为m的物体，为使BC保持水平，在绞链C上至少要施加多大的作用力？
【分析】当物体悬挂在B点后，其对杠杆AB施加了一个向下的力，使其顺时针旋转，同时带动BC转动。以杠杆AB为研究对象，作用在上面的力有悬挂物体的重力和杆BC对它向右的拉力。
利用杠杆的平衡条件即可求出BC对AB的拉力。
【解答】解：对杠杆AB而言，支点是A，动力臂为AH，阻力臂AE，动力为悬挂物体的重力G＝mg，动力为沿BC方向的拉力F，
设杠杆AB长为L，则AE=12L，AH=32L
杠杆处于平衡状态，所以：F×AH＝G×AE，即F×32L＝mg×12L
解得：F=33mg。
答：为使BC保持水平，在绞链C上至少要施加F=33mg的作用力
【点评】在此题中，三个轻杆连接在一起，只要一个动，其它两个也要运动，因此保持AB静止，就维持住了BC水平。因确定此研究对象是AB。
18．如图所示，质量m＝2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，导轨及支架ABCD总质量M＝4.0kg，形状及尺寸已在图中注明，该支架只可以绕着过D点的转动轴在图示竖直平面内转动。为简便起见，可将导轨及支架ABCD所受的重力看作集中作用于图中的O点。现用一沿导轨的拉力F通过细线拉铁块，假定铁块起动后立即以0.1m/s的速度匀速运动，此时拉力F＝10N。
（1）铁块运动时所受摩擦力多大？
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂多大？
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是多少？（g＝10N/kg）
【分析】（1）由题意知：铁块起动后立即以0.1m/s的速度匀速运动，此时拉力就等于铁块运动时所受摩擦力；
（2）铁块对导轨的摩擦力作用线沿着导轨AB，所求力臂即为力的作用点D到AB的距离；
（3）设当铁块运动到E点时，支架刚好开始转动，此时过E点的竖直线在D点右侧，距D点为x，根据杠杆平衡条件及已知条即可求得的。
【解答】解：（1）铁块起动后匀速运动，此时拉力就等于铁块运动时所受摩擦力，
用f表示铁块所受摩擦力，f＝F＝10N。
（2）铁块对导轨的摩擦力作用线沿着导轨AB，所求力臂即为D到AB的距离。用L表示该力臂，L＝0.8m。
（3）设当铁块运动到E点时，支架刚好开始转动，此时过E点的竖直线在D点右侧，距D点为x，根据杠杆平衡条件及已知条件：4.0kg×10N/kg×0.10m＝2.0kg×10N/kgx+10N×0.8m（只要意义正确，其他形式也同样给分）
得x＝﹣0.2m，t=0.6+0.1-＝5s
答：（1）铁块运动时所受摩擦力为10N；
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂为0.8m；
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是5s。
【点评】此题考查的知识点较多，由二力平衡条件的应用、速度的计算，杠杆平衡条件等一系列知识点，此题将这些知识点综合起来，提高了学生用物理知识和规律解决问题的能力，因此是一道好题。
19．塔式起重机的结构如图所示，设机架重P＝400kN，悬臂长度为L＝10m，平衡块重GW＝200kN，平衡块与中心线OO′的距离可在1m到6m间变化，轨道A、B间的距离为4m。当平衡块离中心线1m，右侧轨道对轮子的支持力FB是左侧轨道对轮子支持力FA的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．机架重心离中心线的距离为1.5m
B．该起重机最多能吊起的重物不能超过225kN
C．起重机的平稳度与轨道的间距无关
D．当起重机挂钩在离中心线OO'的距离为10m处吊起重为G＝100kN的重物时，平衡块离OO'的距离为6m，此时轨道B对轮子的作用力FB＝450kN
【分析】（1）知道机架重和平衡块重，可求左、右两侧轨道对轮子作用力的合力；由题可知，右侧轨道对轮子的作用力是左侧轨道对轮子作用力的2倍，求出左、右两侧轨道对轮子的作用力；以左侧轮为支点，由杠杆平衡条件可求机架重力的力臂；
（2）根据杠杆的平衡条件求出重物的最大重力；
（3）稳度的大小与支持面面积的大小和重心的高低有关；
（4）当起重机挂钩在距离中心线10米处吊起重G＝1×105N的重物时，以左侧轮为支点，求出各力臂大小，由杠杆平衡条件求此时右侧轨道对轮子的作用力。
【解答】解：
A、由图知，左、右两侧轨道对轮子的作用力FA、FB：
由于空载时合力为零：FA+FB＝P+GW＝4×105N+2×105N＝6×105N，
已知：FB＝2FA，则FA＝2×105N，FB＝4×105N，
以左侧轮为支点，设机架重心离中心线的距离为Lj，由杠杆平衡条件可知：
FB×4m＝GW×（2m﹣1m）+P×（2m+Lj），
即：4×105N×4m＝2×105N×（2m﹣1m）+4×105N×（2m+Lj），
解得：Lj＝1.5m，故A正确；
B、起重臂拉起重物时的力臂是不变的，而平衡块可以移动，平衡块的重力不变，根据杠杆的平衡条件GWL1+PL2＝GLG可知，当平衡块在最左端时，以右侧轮为支点，平衡块的力臂最大，吊起的物体的重力最大，所以：
2×105N×（6m+2m）+4×105N×（2m﹣1.5m）＝G最大×（10m﹣2m），
解得最大重力为：G最大＝2.25×105N＝225kN，故B正确；
C、起重机的平稳度与轨道的间距有关，间距越大，支持面越大，稳度越高，故C错误；
D、当起重机挂钩在距离中心线10米处吊起重G＝1×103N的重物时，以左侧轮为支点，根据杠杆的平衡条件可知：
GW×（6m﹣2m）+FB×4m＝P×（2m+1.5m）+G×（10m+2m）
即：2×105N×（6m﹣2m）+FB×4m＝4×105N×（2+1.5）+1×105N×（10m+2m）
解得：FB＝4.5×105N＝450kN，故D正确。
故选：ABD。
【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的掌握和运用，找出以左侧轮为支点各个力的力臂是本题的关键。
20．如图甲所示，底面积为50cm2的圆柱形玻璃筒中装有一定量的水，放在水平台面上，底面积为10cm2的圆柱形物体B浸没在水中，杠杆CD可绕支点O在竖直平面内转动，CO＝2DO；物体A是质量100g的配重。作用在物体A上的向下的拉力F为0.6N时，杠杆在水平位置平衡，如图乙所示，此时物体B有25的体积露出水面，物体B所受的浮力为F浮，水在物体B底面处产生的压强为P，筒中水的深度比图甲中水的深度下降了0.4cm。g取10N/kg，杠杆、悬挂物体的细绳的质量均忽略不计，则下列选项正确的是（ ）
A．P的大小为500PaB．F浮的大小为0.3N
C．物体B的密度为7g/cm3D．物体B的体积为100cm3
【分析】（1）当物体25露出水面时，水面下降了0.4cm，根据V＝Sh求出物体B露出水面的体积，进一步求出物体B的体积；
（2）根据F浮＝ρ液gV排求出物体B受到的浮力；
（3）根据浮力产生的原因求出物体B下表面受到的压力，再根据p=FS求出水在物体B底面处产生的压强；
（4）根据杠杆平衡的条件求出B的重力，进一步求出质量，再根据密度公式求出B的密度。
【解答】解：由题意知：当物体25露出水面时，B露出水面的体积：V1＝S1×h＝50×10﹣4m2×0.4×10﹣2m＝2×10﹣5m3，
则物体B的体积为：V=2×10-5m325=5×10﹣5m3，故D错误；
B有25的体积露出水面，物体B所受的浮力：F浮＝ρ水g 35V＝1.0×103kg/m3×10N/Kg×35×5×10﹣5m3＝0.3N，故B正确；
由于浮力产生的原因是物体上下表面的压力差，所以物体B下表面受到的压力F＝F浮，
所以水在物体B底面处产生的压强：p=FS=F浮S=0.3N10×10-4m2=300Pa，故A错误；
已知CO＝2DO，
由杠杆的平衡条件可得：（GB﹣0.3N）×OD＝（GA+0.6N）×CO
即GB﹣0.3N＝（GA+0.6N）×2
解得：GB＝3.5N，
由G＝mg可得：mB=GBg=3.5N10N/kg=0.35kg，
则B的密度：ρB=mBVB=0.35kg5×10-5m3=7g/cm3，故C正确。
故选：BC。
【点评】本题综合考查了体积、质量、密度、浮力的计算以及杠杆平衡知识的应用，关键是公式及其变形的灵活运用，难点是对物体进行受力分析。
二．力臂的画法（共4小题）
21．如图所示，轻质杠杆OA可绕O点转动，通过定滑轮用力拉动杠杆缓慢转动，在图示位置时，杠杆的动力臂力L作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】绳的拉力沿着绳指向绳收缩的方向，力臂是从支点到力的作用线的距离。
【解答】解：由题知，杠杆的支点在O处，绳的拉力沿绳方向画，从支点向力的作用线引垂线，如图所示：
故选：C。
【点评】会找出杠杆的五要素，会根据力与力臂的关系画出相应的作用力和力臂。
22．如图所示，一轻质杠杆OA可绕O点转动，A端用绳子系住，绳子的另一端系于竖赶墙壁的C点，在杠杆中点B处悬挂一重为G的重物，杠杆处于水平静止状态。已知杠杆OA长为2L，O点到C点距离为L。
（1）请在图上画出拉力F的力臂；
（2）求出拉力F的大小；
（3）若绳子能承受的最大拉力为32G，则重物最多能悬挂在离O点多远处？
【分析】（1）力臂的画法：过支点作力的作用线的垂线段；因此根据力臂的画法作出绳子对杠杆拉力的F的力臂；
（2）杠杆平衡的条件：动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂；如图所示，根据直角三角形角与边的关系，求出绳子对杠杆拉力的力臂；再利用已知的重力和重力的力臂以及杠杆平衡的条件求出拉力F的大小。
（3）先根据相似三角形的知识求出OD的长度，然后根据杠杆平衡的条件求出重力的力臂。
【解答】解：（1）过支点O作垂直绳子对杠杆的拉力F作用线的垂线段（即力臂L）。
如图所示：
（2）根据杠杆平衡条件得：F×OD＝G×12OA
即F=12OAODG
又因为OC＝L，OA＝2L
所以AC=5L
则F=12OAODG=12ACOCG=52G。
（3）设重物最多能悬挂在离O点的距离为X。
∵OCAC=ODOA
∴OD=OCAC×OA=L5L×2L=255L
则根据杠杆平衡条件得：F×OD＝G×X
X=FG×OD=32GG×255L=355L
答：（2）拉力F的大小52G；
（3）重物最多能悬挂在离O点的距离为355L。
【点评】本题考查了力臂的画法，杠杆平衡条件的应用，两次利用杠杆平衡条件，物理量多，较为复杂，属于难题；本题的关键有两点：（1）知道力臂作图的步骤；（2）知道杠杆平衡的条件。
23．如图所示，O是轻质杠杆的支点，L1是使杠杆保持水平平衡的动力F1的力臂，请你画出动力F1示意图（要求保留作图痕迹）。
【分析】支点O、力臂L1已知，根据力臂的作法（从支点向力的作用线作垂线段）确定动力的作用点；然后根据动力和阻力的作用效果确定动力的方向，进而作出动力F1的示意图。
【解答】解：
过力臂的上端画出力臂L1的垂线，即动力F的作用线，与杠杆交于一点，该点为动力F的作用点A，由于物体对杠杆的作用力使杠杆沿逆时针方向转动，所以F1方向应使杠杆沿顺时针方向转动，动力F1的示意图如图示：
【点评】本题考查了力和力臂的作法。当杠杆平衡时，动力和阻力对杠杆的影响是使杠杆的运动趋势是相反。
24．如图所示，杠杆OA在力F1、F2的作用下处于静止状态，L2是力F2的力臂，请在图中作出F1的力臂L1和力F2。
【分析】力臂是由支点到力的作用线的距离，而画力时也可根据其作用线与力臂垂直这一特点，在已知力臂的情况下，画出对应的力。
【解答】解：做力Fl的延长线，过支点O做力F1作用线的垂线段L1，则线段L1为力F1的力臂；过力臂L2末端，作垂直于L2直线，与杠杆OA的交点为力F2作用点，方向斜向右上方，如图所示：
【点评】本题考查了力和力臂的作法。当杠杆平衡时，动力和阻力对杠杆的影响是：使杠杆的运动趋势是相反的。
三．杠杆的动态平衡分析（共4小题）
25．密度为ρ＝500kg/m3、长a、高b、宽c分别为0.9m、3310m、3310m的匀质长方体，其表面光滑，静止在水平面上，并被一个小木桩抵住，如图（a）所示。（g取10N/kg）
（1）无风情况下，地面的支持力为多大？
（2）当有风与水平方向成45°斜向上吹到长方体的一个面上，如图（b）所示。风在长方体光滑侧面产生的压力为F，则力F要多大才能将长方体翘起？
（3）实验表明，风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。现让风从长方体左上方吹来，风向与水平方向成θ角，如图（c）所示。当θ大于某个值时，无论风速多大，都不能使长方体翘起。请通过计算确定θ的值。
【分析】（1）无风时，长方体物体对地面的压力应等于其重力G＝mg＝ρVg；
（2）无论风向为哪个方向，他对物体产生的压力总是垂直于作用面的（流体的特点），该力均匀的作用在物体接触面，因此等效压力过物体的中心水平向右，根据力矩平衡条件列式求解。
（3）根据“风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比。”列出关系式，利用杠杆平衡条件可确定θ的值。
【解答】解：（1）根据二力平衡条件，地面的支持力为：
F支＝G＝mg＝ρVg＝500kg/m3×0.9×3310×3310m3×10N/kg＝1215N；
（2）无论风向为哪个方向，他对物体产生的压力总是垂直于作用面的（流体的特点），因此风产生的压力为F，方向水平向右，如图所示：
根据杠杆平衡条件，有：F•b2=mg•a2，
解得：F=amgb=0.9×12153310N＝2104.4N；
（3）根据“风在光滑平面上会产生垂直平面的压强，压强的大小跟风速的平方成正比，跟风与光滑平面夹角正弦的平方成正比”可得：
风在顶面产生的压力：N1＝kacv2sin2θ，
风在侧面产生的压力：N2＝kbcv2cs2θ，
当（N1+mg）a2＞N2×b2时，长方体将不会翘起，即mga＞kc2（v2﹣bcs2θ﹣asin2θ），
由于kv2可以取足够大，为使上式对任意大kv2都成立，必须有b2cs2θ﹣a2sin2θ≤0，
即tanθ≥ba=33100.9，则θ≥30°；
答：（1）无风情况下，地面的支持力为1215N；
（2）力F为2104.4N时才能将长方体翘起。
（3）θ的值为30°。
【点评】此题考查了有关二力平衡条件的应用，重力的计算及杠杆平衡条件的应用，关键是确定压力和重力的方向及对应的力臂。
26．如图是农村曾用的舂米工具的结构示意图。杆AB可绕O点转动，杆右端均匀柱形物体的长度与杆右侧的OB相等，杆AB的重力不计，柱形物体较重。若作用在A点的动力F方向始终与杆垂直，则杆从水平位置缓慢转动45°角的过程中，动力F大小的变化是 先增大后减小 。
【分析】已知动力臂和阻力不变，根据杠杆从水平位置缓慢转动45°的过程中阻力臂的变化，再根据杠杆平衡的条件可知动力的变化情况。
【解答】解：动力F的方向始终与杆垂直，故动力臂不变；
阻力是柱形物体的重，阻力作用点在柱形物体的重心上；
如下图所示（只画了杠杆的右侧部分，图中虚线为重心运动的路线）：
0位置为原来的位置，1位置为阻力臂最大的位置，2位置为转过45°的位置，
由上图可知，整个过程中阻力臂先变大后变小；
因动力臂不变，阻力G不变，阻力臂先变大后变小，由杠杆平衡条件可知，动力F先增大后减小。
故答案为：先增大后减小。
【点评】此题考查了有关杠杆平衡条件的应用，要熟练掌握杠杆平衡条件。特别是在动态变化的题目中，要分析力的大小和力臂的大小变化情况。
27．如图所示，均匀杆AB长为L，可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离L处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起。已知杆水平时，细绳的拉力为T1，杆与水平面夹角为30°时，细绳的拉力为T2，则T1：T2是（ ）
A．2：1B．2：1C．1：2D．1：1
【分析】找出杠杆即将离开水平位置和把吊桥拉起到与水平面的夹角为30°时的动力臂和阻力臂，然后结合利用杠杆的平衡条件分别求出T1、T2的大小。
【解答】解：（1）杆在水平位置时，如图，△AOB和△ABE都为等腰直角三角形，则AE＝BE
∵BE2+AE2＝AB2
∴AE=22L，
由杠杆平衡可得：
T1×AE＝G×AC，
T1=G×ACAE=G×12L22L=22G。
（2）把吊桥拉起到与水平面的夹角为30°时，如图，
△ABO为等边三角形，AB＝L，BE′=12L，
∵BE′2+AE′2＝AB2
∴AE′=32L，
在△ACC′中，∠CAC′＝30°，CC′=12AC=14L，
∵AC′2+CC′2＝AC2，
∴AC′=34L，
根据杠杆平衡的条件可得
T2×AE′＝G×AC′，
T2=G×AC'AE'=G×34L32L=12G；
∴T1：T2=22G：12G=2：1。
故选：A。
【点评】本题考查考了杠杆平衡条件的应用，分析题意画出两种情况下的杠杆示意图是本题的关键，数学是基础！
28．如图所示，一块均匀的厚木板长15m，重为400N，对称的搁在相距8m的A、B两个支架上，一个体重为500N的人，从A点出发向左走，求到离A点多远时，木板将开始翘起？
【分析】知道木板重G＝400N，长15m，以A点为支点，它的重心在它的中点上，即重力的作用点在距离A点向右4m远的地方，也就是说重力的力臂AC＝4m；那么，人向左走到离A点的距离为AD处时，木板开始翘动，根据杠杆平衡条件可求AD的大小。
【解答】解：
如图，因为木板对称的搁在相距8m的A、B两个支架上，所以木板的重心在木板的中点上，以A为支点，木板的重心在离A点右边4m处，即木板重力的力臂AC＝4m．当人（重为G1＝500N）向左走到D处时，木板将开始翘动，根据杠杆平衡条件可得：
G1×AD＝G2×AC，
即：500N×AD＝400N×4m，
解得：
AD＝3.2m。
答：到离A点3.2m时，木板将开始翘起。
【点评】解答该题依据的是杠杆平衡条件，围绕杠杆平衡条件，找出支点、两个作用力和力臂大小是本题的关键。
四．杠杆的平衡分析法及其应用（共13小题）
29．某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，其中的一部分结构如图所示，OA是一个均匀钢管，每米长度所受重力为30N，O是转动轴；重物的质量m为150kg，挂在B处，OB＝1m；拉力F作用在A点，竖直向上。为维持平衡，钢管OA为多长时所用的拉力最小？这个最小拉力是多少？
【分析】解答本题需要根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2去分析计算。
本题中动力为F，动力臂为OA，而阻力有两个（一个是重物G，另一个是钢管本身的重力），所以阻力臂也有两个（重物G的力臂是OB，钢管重力的力臂是12OA），明确了动力、动力臂、阻力和阻力臂之后，我们就可以根据杠杆平衡条件列出一个方程，然后根据数学方面的知识求解方程。
【解答】解：由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为OA，阻力分别是重物G物和钢管的重力G钢管，阻力臂分别是OB和12OA，
重物的重力G物＝m物g＝150kg×10N/kg＝1500N，
钢管的重力G钢管＝30N×OA，
由杠杆平衡条件F1L1＝F2L2可得：F•OA＝G物•OB+G钢管•12OA，
则F•OA＝1500N×1m+30N•OA•12OA，
得：F•OA＝1500+15•（OA）2，
移项得：15•（OA）2﹣F•OA+1500＝0，
由于钢管的长度OA是确定的只有一个，所以该方程只能取一个解，
因此应该让根的判别式b2﹣4ac等于0，因为当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，即有一个解，
则F2﹣4×15×1500＝0，
则F2﹣90000＝0，
得F＝300N，
将F＝300N代入方程15•（OA）2﹣F•OA+1500＝0，
解得OA＝10m。
答：为维持平衡，钢管OA为10m长时所用的拉力最小，这个最小拉力是300N。
【点评】本题是一道跨学科题，解答此题不仅涉及到物理知识，还应用到数学方面的知识。本题的难度：①对于钢管重力的确定；②对于阻力及阻力臂的确定；③对于根的判别式的确定。
30．如图所示，粗细相同密度均匀的细棒做成“L”形，其中AC与CB垂直，AC长L，CB长L/2，整根细棒的重力是G，并放在固定的圆筒内，圆筒内侧面和底面均光滑，圆筒横截面的直径为L．平衡时细棒正好处于经过圆简直径的竖直平面内。此时细棒对圆筒底面的压力大小为 G ；细棒B端对圆筒侧面的压力为 415G 。
【分析】（1）因“L”形细棒处于静止状态，根据物体受力平衡，合力为零分析即可。
（2）将“L”形的细棒分为AC、BC两个部分，分别利用杠杆平衡条件列出等式，再结合几何知识找出各力臂之间的关系，即可解答。
【解答】解：（1）如图分析：“L”形细棒处于静止状态，根据物体受力平衡条件得：
物体在水平方向和竖直方向上和合力为零，
则：N=13G+23G=G，
N1＝N2，
（2）以C点为杠杆ACB的支点，则根据杠杆平衡条件得：
N2L2sinα+23GL2sinα=N1Lcsα+13GL4csα，
∴6N1sinα+4Gsinα＝12N2csα+Gcsα，
又∵N1＝N2，
∴N1（6sinα﹣12csα）＝（csα﹣4sinα）G，
∴N1=csα-4sinα6sinα-12csαG-------------①
因圆筒横截面的直径为L，由几何关系得：
L＝Lsinα+12Lcsα，
∴2sinα+csα﹣2＝0，
又知：sin2α+cs2α＝1，
解得：sinα=35，csα=45，
代入①式得：
N1=45-4×356×35-12×45G=415G。
故答案为：G；415G。
【点评】本题虽重点考查杠杆平衡条件的应用，但需结合几何知识，利用三角函数得出力臂的关系是解答本题的重点之重，是一道难度很大的题目。
31．某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，如图所示是这个机械一个组成部分的示意图。OA是根钢管，每米受重力为30N；O是转动轴；重物的质量m为150kg，挂在B处，OB＝1m；拉力F加在A点，竖直向上，取g＝10N/kg．为维持钢管水平平衡，OA为 10 m时所用的拉力最小。
【分析】应用杠杆平衡条件F1L1＝F2L2分析答题：本题中动力为F，动力臂为OA，而阻力有两个（一个是重物G，另一个是钢管本身的重力），所以阻力臂也有两个（重物G的力臂是OB，钢管重力的力臂是 12OA），明确了动力、动力臂、阻力和阻力臂之后，根据杠杆平衡条件列出一个方程，然后应用数学知识分析答题。
【解答】解：由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为OA，
阻力分别是重物G物和钢管的重力G钢管，阻力臂分别是OB和12OA，
重物的重力G物＝m物g＝150kg×10N/kg＝1500N，
钢管的重力G钢管＝30N×OA，
由杠杆平衡条件得：F•OA＝G物•OB+G钢管•12OA，
即F•OA＝1500N×1m+30N•OA•12OA，
得：F•OA＝1500+15•OA2，
移项得：15•OA2﹣F•OA+1500＝0，
由于钢管的长度OA是确定的只有一个，所以该方程只能取一个解，
因为当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，即有一个解，因此应该让根的判别式b2﹣4ac等于0，
即F2﹣4×15×1500＝0，F2﹣90000＝0，解得：F＝300N，
将F＝300N代入方程15•OA2﹣F•OA+1500＝0，解得OA＝10m。
故答案为：10。
【点评】本题是一道跨学科题，解答此题不仅涉及到物理知识，还应用到数学方面的知识。
本题的难点：①对于钢管重力的确定；②对于阻力及阻力臂的确定；③对于根的判别式的确定。
32．如图所示，两个相同的轴轮A和B处于同一水平面位置，且以相同大小的角速度ω按图示方向匀速转动。在其上面放置一匀质木板C，C与两轮间的动摩擦因数相同。若初始时C的重心O处于轴轮A和B之间且偏近于轴轮A，则木板C将 做左右往复运动 （选填“一直向左运动”“做左右往复运动”或“保持原来位置”）。
【分析】先根据杠杆平衡条件求出两个轮子对木板的支持力，再应用滑动摩擦力公式求出滑动摩擦力大小，然后判断加速度的方向与速度的方向，最后由运动的对称性判断即可．
【解答】解：设AB两轮之间的距离为L，木板的重力为G，设木板的重心到A轮的最高点的距离为x，先以A点为木板的转轴，则重力和B的支持力对木板的力与力臂的乘积平衡，如图，
则：NB•L＝G•x，
所以：NB=GL•x
同理，若以B为转轴，A点的支持力与重力的力矩平衡，（图略）得：NA=GL（L﹣x）；
由于滑动摩擦力的大小与正压力成正比，所以重心距离A点近时，A轮对木板的摩擦力就大于B轮对木板的摩擦力，木板受到的合力的方向就向右，则木板向右做加速运动，或向左做减速运动；反之，重心距离B点近时，B轮对木板的摩擦力就大于A轮对木板的摩擦力；木板受到的合力的方向就向左，则木板向左做加速运动，或向右做减速运动；
由于初始时C的重心O处于轴轮A和B之间且偏近于左轴轮A．则木板C将向右做加速运动，重心靠近B后木板先向右减速，若在速度等于0前木板已经翻倒，则整个的过程中木板一直向右运动；
若在速度等于0前木板没有翻倒，则木板一直向右运动到速度等于0后一定会再向左做加速运动，该向左的运动与向右的运动具有对称性，所以木板将做左右往复运动。
故答案为：做左右往复运动。
【点评】本题结合力矩平衡考查了摩擦力大小的相关因素，要明确物体所受的滑动摩擦力大小与物体的运动速度无关，应用滑动摩擦力公式与功的计算公式即可正确解题；同时要考虑到题目没有说明木板是否一直没有翻倒掉下来，所以要考虑掉下来的特殊情况。
33．如图所示，轻绳的一端系有质量为2kg的物体C，另一端系在质量为1kg的均匀木棒AO的A端；木棒AO可绕O端无摩擦转动，在水平拉力F的作用下木棒AO与水平墙面的夹角由30°缓慢增加到60°（g＝10N/kg），则（ ）
A．拉力F的大小一直不变
B．棒与墙面成45°时拉力F＝25N
C．棒与墙面成30°时拉力F=2533N
D．棒与墙面成60°时拉力F=2533
【分析】先根据G＝mg求出物体C和木棒AB的重力，然后根据杠杆平衡的条件求出F的大小。
【解答】解：GC＝2kg×10N/kg＝20N；G木＝1kg×10N/kg＝10N；
设木棒AB的长度为l，当棒与水平墙面成60°时，力与力臂的关系如图所示：
根据直角三角形的边角关系可知，L=32l，LG=12l，L木=14l；
其中F为动力，GC、G木均为阻力，
根据杠杆平衡的条件可得FL＝GCLG+G木L木，
即F×32l＝20N×12l+10N×14l，化简可得：F=2533N，故D错误；
同理，当棒与水平墙面成45°时，L=22l，LG=22l，L木=24l；
根据杠杆平衡的条件可得，F×22l＝20N×22l+10N×24l，化简可得：F＝25N，故B正确；故A错误；
同理，当棒与水平墙面成30°时，L=12l，LG=32l，L木=34l；
根据杠杆平衡的条件可得，F×12l＝20N×32l+10N×34l，化简可得：F＝253N，故C错误。
故选：B。
【点评】本题考查杠杆平衡条件的应用以及直角三角形中角、边的关系，关键是进行正确受力分析，并画出相应的力臂。
34．在一次校运动会，小明骑一质量为m的独轮车，以速度v匀速通过一重为G、长为L的水平独木桥，独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，如图所示。设独轮车骑上A端支柱处为初始时刻（t＝0），下面哪一个图正确地表示了B端支柱所受压力FB与时间t的函数关系？（不考虑独木桥的形变）（ ）
A．B．
C．D．
【分析】对独木桥进行受力分析：支柱对水平独木桥的支持力为FA、FB，水平独木桥受到重力为G，独轮车对独木桥的压力（大小等于独轮车重加上人重），若以A为支点，FB的力臂为L、G的力臂为12L、压力的力臂为vt，根据杠杆平衡条件可得FB与t的关系式，而压力与支持力是一对相互作用力，大小相等，也就得出B端支柱所受压力FB′与时间t的关系式，由此判断选择。
【解答】解：
重为G、长为L的水平独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，分别对水平独木桥的支持力为FA、FB，水平独木桥受到重力为G，独轮车对独木桥的压力为F＝（m+m人）g。
以A为支点，根据杠杆平衡条件：
FBL＝G12L+（m+m人）gvt，
∴FB=12G+1L（m+m人）gvt，
∵压力与支持力是一对相互作用力，
∴FB′＝FB=12G+1L（m+m人）gvt，由此可知B端支柱所受压力FB′与时间t是一条一次函数的图象（不经过原点）。
故选：B。
【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，要学会与数学图象相结合来解决物理问题。
35．如图所示，质量分布均匀的细杆水平放置，支座A在杆重心的右侧，杆的右端被位于其上面的支座B顶住。现在杆的左端C处施加一个向下的作用力，则（ ）
A．A、B两处的弹力均增加，且△FA＝△FB
B．A、B两处的弹力均增加，且△FA＞△FB
C．A处的弹力减小，B处的弹力增大，且|△FA|＞△FB
D．A处的弹力增大，B处的弹力减小，且△FA＞|△FB|
【分析】①在C点不施加力时，分别以B、O为支点，由杠杆平衡条件得出关于在A、B处弹力的方程；
②在C点施加力F时，分别以B、O为支点，由杠杆平衡条件得出关于在A、B处弹力的方程；
联立方程组求得弹力变化值进行比较得出答案。
【解答】解：
（1）在C点不施加力时，以B为支点，由杠杆平衡条件可知，G×BO＝FA×BA；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
以A为支点，由杠杆平衡条件可知，G×AO＝FB×AB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
（2）在C点施加力F时，以B为支点，由杠杆平衡条件可知，F×CB+G×BO＝FA′×BA；﹣﹣﹣﹣﹣③
以A为支点，由杠杆平衡条件可知，F×CA+G×AO＝FB′×AB；﹣﹣﹣﹣﹣﹣④
③﹣①得：
FA′×BA﹣FA×BA＝F×CB+G×BO﹣G×BO＝F×CB，
∴△FA＝FA′﹣FA=F×CBBA，
④﹣②得：
FB′×AB﹣FB×AB＝F×CA+G×AO﹣G×AO＝F×CB
∴△FB＝FB′﹣FB=F×CABA，
∴△FA＞△FB，
故选：B。
【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的应用，知道选择不同的支点求弹力是本题的关键。
36．现有一个弹簧测力计（可随便找地方悬挂），一把匀质的长为1的有刻度、零点位于端点的直尺，一个木块及质量不计的细线。试用这些器件设计一实验装置（要求画出示意图），通过一次测量（弹簧测力计只准读一次数），求出木块的质量和尺的质量（已知重力加速度为g）。
【分析】本题关键是“通过一次测量”，就能计算出木块和直尺的质量，因此选择不同支点是解决问题的关键：
①很明显本题中，动力只有一个，就是弹簧测力计的拉力，阻力有木块重力和直尺重力两个；
②以提木块为主要目的时，就以直尺重心为支点，根据杠杆平衡条件列出式子求出木块的质量；
③以提直尺为主要目的时，就以木块重力在尺子上的作用点为支点，根据杠杆平衡条件列出式子求出尺的质量。
【解答】解：找个地方把弹簧测力计悬挂好，取一段细线做成一环，挂在弹簧测力计的挂钩上，让直尺穿在细环中，环与直尺的接触点就是直尺的悬挂点，它将尺分为长短不等的两段。用细线栓住木块挂在直尺较短的一段上，细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置，使直尺平衡在水平位置（为提高测量精度，尽量使二悬挂点相距远些），如图所示。设木块质量为m，直尺质量为M．记下二悬挂点在直尺上的读数x1、x2，弹簧测力计读数G．由平衡条件和图中所设的直尺零刻度线的位置有：
（m+M）g＝G﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
mg（x2﹣x1）＝Mg（12l﹣x2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由①②式联立可得：
m=G(l-2x2)g(l-2x1)，M=2G(x2-x1)g(l-2x1)。
答：木块的质量和尺的质量分别为G(l-2x2)g(l-2x1)、2G(x2-x1)g(l-2x1)。
【点评】解题的关键在于提拉木块和提拉直尺要以不同的支点分析，根据杠杆的平衡条件进行推理，类似的问题如两人用木棒抬东西时的支点确定等。解题时要正确画出装置示意图，来帮助分析和解答。
37．如图1，一根长为20cm，横截面积为10cm2的均匀木杆用细线和弹簧测力计竖直悬挂起立，置于烧杯内水平面上方。现将烧杯竖直缓缓提升，木杆逐渐浸入水中，已知木杆的密度为ρ1＝0.8×103kg/m3，水的密度为ρ0＝1.0×103kg/m3
（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，求木杆浸入水中的长度。
（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，如图2所示，求木杆浸入水中的长度。（忽略木杆横截面积的影响）
【分析】（1）知道木杆长和横截面积，可求木杆的体积；又知道木杆的密度，利用G＝mg＝ρVg求木杆的重力；而木杆的浮力加上拉力（弹簧测力计读数）等于木杆的重力，据此求木杆受到的浮力，再利用阿基米德原理求木杆浸入的长度；
（2）设木杆长为L，此时木杆浸入的长度为h，如图，木杆受水的浮力的作用点在D（浸入部分的中点），其力臂为OA；木块受到重力的作用，作用点在C点（木杆的中点），其力臂为OB，由于杠杆平衡，可得：F浮′×OA＝G×OB，将已知条件代入解方程求得h的大小。
【解答】解：
（1）木杆的体积：
V＝Sh＝10cm2×20cm＝200cm3＝2×10﹣4m3，
木杆的重力：
G＝mg＝ρ1Vg＝0.8×103kg/m3×2×10﹣4m3×10N/kg＝1.6N，
当弹簧测力计读数F示＝1.2N时，木杆受到的浮力：
F浮＝G﹣F示＝1.6N﹣1.2N＝0.4N，
∵F浮＝ρ0V排g＝ρ0SL浸g，
∴木杆浸入的长度：
L浸=F浮ρ0Sg=0.4N1×103kg/m3×10×10-4m2×10N/kg=0.04m＝4cm；
（2）设木杆长为L，此时木杆浸入的长度为h，如右图，
木杆受到水的浮力，作用点在D（浸入部分的中点），其力臂OA＝（L-12h）sin30°，
木块受到重力的作用，作用点在C点（木杆的中点），其力臂OB=12Lsin30°，
由于杠杆平衡条件可得：
F浮′×OA＝G×OB，
即：F浮′×（L-12h）sin30°＝G×12Lsin30°，
而F浮′＝ρ0V排′g＝ρ0Shg，
G＝ρ1Vg＝ρ1SLg，
sin30°=12，
代入得：
ρ0Shg×（L-12h）×12=ρ1SLg×12L×12，
再代入已知条件：L＝20cm，ρ1＝0.8×103kg/m3＝0.8g/cm3，ρ0＝1.0×103kg/m3＝1g/cm3，
1g/cm3×Shg×（20cm-12h）×12=0.8g/cm3×S×20cm×g×1220cm×12，
1g/cm3×h×（20cm-12h）＝0.8g/cm3×20cm×12×20cm，
h2﹣40h+320＝0，
解得：
h=40+402-4×1×3202≈29cm（大于20cm，舍去），h=40-402-4×1×3202≈11.06cm。
答：（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，木杆浸入水中的长度为4cm；
（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，木杆浸入水中的长度为11.06cm。
【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件、重力公式、密度公式、阿基米德原理的掌握和运用，难点在第二问，能画图确定浮力和重力的力臂是本题的关键。
38．某同学用一根粗细均匀的铁棒，将一个边长为a的正方形重物箱撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被放大）．已知：铁棒单位长度的质量为m，在另一端施加一个向上的力撬动重物箱。如果插入的长度为箱宽的五分之一，并保持该长度不变，求：
（1）重物对铁棒的压力为多大？
（2）当选用的铁棒长度满足什么条件时，施加的力最小，此最小的力为多大？
【分析】（1）由杠杆平衡条件分析答题。
（2）重物箱的重力与铁棒的重力是阻力，人的作用力是动力，由杠杆平衡条件列方程，然后应用数学知识分析答题。
【解答】解：（1）重物箱的重力是阻力，铁棒的支持力为动力，动力臂为a，
重物箱的重心在它的几何中心，阻力臂为a2，
由杠杆平衡条件得：G×a2=F×a，解得：F=G2，
铁棒对重物箱的支持力与重物箱对铁棒的压力相等，为G2。
（2）人的作用力F为动力，力臂为铁棒的长度L，
设铁棒长度为L，铁棒的重力mgL为其中一个阻力，力臂为L2，
由（1）知，重物箱作用在铁棒上的阻力为G2，铁棒插入的长度为箱宽的五分之一，
则重物箱阻力的力臂为a5，由杠杆平衡条件得：FL＝mgL×L2+G2×a5，则F=mgL2+Ga10L，
由数学知识得：mgL2+Ga10L≥2mgL2×Ga10L=mgGa5，即F≥mgGa5，
当mgL2=Ga10L，即L=Ga5mg时F最小，F的最小值F最小=aGmg5。
答：（1）重物对铁棒的压力为G2。
（2）当铁棒长度L=Ga5mg时F最小，最小作用力为aGmg5。
【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，应用杠杆平衡条件即可正确解题，本题的难点是数学知识的应用。
39．三根重均为G、长均为a的相同均匀木杆（其直径d≪a）如图对称地靠在一起，三木杆底端间均相距a，求：
（1）A杆顶端所受作用力的大小和方向；
（2）若有一重为G的人坐在A杆中点处，则A杆顶端所受作用力的大小和方向又如何？
【分析】对A杆进行受力分析，由杠杆的平衡条件列方程求解。
【解答】解：三木杆组成一个正四面体，已知正四面体边长a，高三木杆h=63a，
设杆与底面的夹角β，则csβ=33，sinβ=63，
设BC的中垂线与底面的夹角是α，则sinα=223，csα=13。
（1）以A杆为研究对象，A杆受力如图一所示。
A杆与地面的接触点为支点，杆所受重力G的力臂L重=a2csβ=36a，
杆顶端所受力F的力臂，LF＝asinβ=63a，由杠杆平衡条件，
得：GL重＝FLF，即：G×36a＝F×63a，F=24G，方向水平向左。
（2）以A杆为研究对象，受力如图所示。由于人处于静止状态，
所以人对杆的压力F压力摩擦力f'大小等于人的重力G，方向竖直向下，
人对杆的作用力力臂L人=a2csβ=36a，
BC杆所组成面对杆的作用力FN，力臂等于四面体的高h，
LFN＝h=63a，由杠杆的平衡条件得：GL人+GL重＝FLF+FNLFN，
即G×36a+G×36a＝F×63a+FN×63a，解得：FN=24G，
A杆顶端所受作用力的大小：
F合=F2+FN2+2FFNcsα=(24G)2+(24G)2+2×24G×24G×13=33G，
方向斜向右上方，如图所示。
答：（1）A杆顶端所受作用力的大小为F=24G，方向水平向左。
（2）A杆顶端所受作用力的大小为33G，方向斜向右上方，如图所示。
【点评】本题考查了：受力分析、杠杆的平衡条件，考查了应用数学知识解决物理问题的能力，应用的数学知识较多，难度较大，解题的关键是熟悉并能熟练应用数学知识解题，是一道难题。
40．小强为课题研究小组提供了一把家中收藏的旧杆秤。杆秤的刻度模糊不清，只有5kg和6kg的刻度清晰可辨，秤砣遗失。小组成员对杆秤的外形进行了测量，测量结果如图所示。请根据以上信息
（1）判断该杆秤的重心（不包括秤砣）应该在提纽的哪一侧；
（2）求出秤砣的质量。
【分析】（1）从图可知，5kg到6kg质量增加了1kg，而杠杆的长增加了2cm，再由杆秤上的刻度是均匀的，并由此来判断杆秤的0刻度线，即为杆秤的重心。
（2）设杆秤的重心到提纽的距离为S，秤砣的质量为m，杆秤的质量为m杆，知道5kg和6kg时，秤砣所在的位置，根据杠杆的平衡条件F左L左＝F右L右，列出两个等式解答即可。
【解答】解：
（1）从图可知，5kg到6kg质量增加了1kg，而杠杆的长增加了2cm，杆秤上的刻度是均匀的，所以，从0刻度线到5kg的位置，杠杆的长应该为10cm，即零刻度线在提纽的右侧，所以该杆秤的重心应该在提纽的左侧。（因为0刻度线处要挂称砣才能使杠杆在水平位置平衡）
（2）我们用杆秤称物体时，物体在提纽的左侧，秤砣在提纽的右侧，该杆秤的重心在提纽的左侧，
设杆秤的重心到提纽的距离为S，秤砣的质量为m，杆秤的质量为m杆，
由杠杆的平衡条件G左L左＝G右L右可知，
∴5kg×g×3cm+m杆×g×S＝m×g×11cm，
6kg×g×3cm+m杆×g×S＝m×g×（11cm+2cm），
化简得：5kg×3cm+m杆×S＝m×11cm，①
6kg×3cm+m杆×S＝m×（11cm+2cm），②
解①②可得：m＝1.5kg。
答：（1）判断该杆秤的重心应该在提纽的左侧。（2）秤砣的质量为1.5kg。
【点评】本题考查学生对力臂概念的理解情况，需要熟练掌握杠杆平衡条件公式和重力计算公式G＝mg。
41．某工厂设计了一个蓄水池（如图所示），水源A罐的液面高度h1保持不变。罐底有一个小出水口，面积为S1．孔下通过一个截面积为S2活塞与杠杆BC相连。杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱形浮子，横截面积为S3，BO是杠杆总长的13．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h2，活塞恰好能堵住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有极小一段距离时，浮子便不再上浮，此时浮子没入水深为h3．为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的重量减去G′．试求浮子应减去重量G′的大小。（活塞及连杆的重量不计，杠杆所受浮力不记。）
【分析】（1）活塞上升的高度即为O点上升的距离。杠杆由原来的位置到水平位置，浮子进入水中的深度由现在的深度h3上升到设计的h2，同时O点上升到D点。通过两次位置的变化，得到一对相似三角形，利用相似形的对应边成比例可以求得OD的长度，即活塞上升的高度。
（2）以倾斜的杠杆为研究对象，分析出对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子原来的重力。
以水平的杠杆为研究对象，分析出此时对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子现在的重力。
两次重力之差即为减去的浮子的重力。
【解答】解：
设浮子原来重力为G，杠杆长为l。浮子减重后，重为G′，由倾斜变为水平，如图所示，杠杆C端上升高度为EC＝h3﹣h2，活塞上升的高度△h即为OD的长度，△h=h3-h23。
根据数学知识，三角形BDO相似于三角形BEC，
所以：DOEC=BOBC=BDBE
因为BO是杠杆总长13，
所以：DOEC=BOBC=BDBE=13，
（2）活塞减重前，杠杆平衡时，支点为B，
以浮子为研究对象，C端受到的合力为F浮﹣G＝（S3h3ρ水g﹣G），该力的力臂BE，
O点受到的力为F压＝ρ水gS2（h1+△h），该力的力臂设为BD，
根据杠杆平衡条件可得：（F浮﹣G）BE＝F压BD，
即：（S3h3ρ水g﹣G）BE＝ρ水gS2（h1+△h）BD，BDBE=13，
可得：3（S3h3ρ水g﹣G）＝ρ水gS2（h1+△h），
G＝S3h3ρ水g-13ρ水gS2（h1+h3-h23），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
浮子减重后，杠杆平衡时，以杠杆为研究对象，进行受力分析：
C端受到的合力为：
F′浮﹣G′＝S3h2ρ水g﹣G′，此力的力臂为BC，
（对浮子C受力分析：重力、浮力、杠杆的力，则杠杆施加的力等于浮力减去重力，根据力的作用是相互的，所以杠杆受到的力等于浮力减去重力）
O点受到的力为F´压＝ρ水gS2h1，此力的力臂为BO。
根据杠杆平衡有：（S3h2ρ水g﹣G′）BC＝ρ水gS2h1 BO，
即为：3〔S3h2ρ水g﹣G′〕＝ρ水gS2h1，
G′＝S3h2ρ水g-13ρ水gS2h1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
①﹣②得浮子应减去重量G′的大小：
△G＝S3h3ρ水g-13ρ水gS2（h1+h3-h23）﹣（S3h2ρ水g-13ρ水gS2h1）
＝ρ水g（h3﹣h2）（S3-19S2）
答：浮子应减去重量G′的大小为ρ水g（h3﹣h2）（S3-19S2）。
【点评】以杠杆的平衡条件为桥梁，将浮子受到的重力，浮力以及水池内水对活塞的压力联系起来，得到关于这几个力的方程，然后利用阿基米德原理将浮子受到的浮力表示出来，利用液体压强的特点和压力的计算公式将水对活塞的压力表示出来，即可求出浮子的重力，对浮子和活塞进行受力分析是解决此题的关键。
五．杠杆中最小力的问题（共4小题）
42．小明推一辆满载重物的独轮车，手握在车把A处（图中未画人），遇到一个较高的台阶，他自己推不上去，小华赶快跑来帮忙。小华选择了一种最省力且效果最好的施力方法，请画出小华所施力F的示意图。
【分析】根据杠杆平衡的条件进行分析，力臂越长，作用力越小，即车轮的直径为最长的力臂，然后根据力臂与作用力的关系画出最小的力。
【解答】解：根据杠杆的平衡条件可知，动力臂为车轮的直径时最省力；过O点作垂直于车轮直径的力；如图所示：
【点评】知道重力的方向总是竖直向下的，能根据杠杆的平衡条件分析杠杆的最小力，并能根据力臂的画法画出正确的力臂或作用力是解决本题的关键。
43．有一边长为a，密度为ρ的立方体大理石，工人用一根粗细均匀的单位长度重为P牛的铁棒将石块撬起一个很小的角度。如图所示，如果插入的长度为石块边长的四分之一，并保持该长度不变，则当选用的铁棒多长时，向上施加的力最小？此最小的力多大？
【分析】由题可知，铁棒的重力提供一部分阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为L2；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则一半物重提供阻力，阻力臂为14a；力F提供动力，动力臂为L．在动力和阻力的作用下，杠杆平衡。由杠杆的平衡条件求出关于F的表达式，则由数学知识要求得F的最小值及取最小值时L的长度。
【解答】解：由题意可知，物体的重力为G＝mg＝ρa3g；
设铁棒长为L，动力为F．由题可知铁棒的重力提供的阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为12L；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则重物的一半重力提供阻力，阻力臂为14a；力F提供动力，动力臂为L．由杠杆的平衡条件得：F1L1＝F2L2
即：14a•12ρa3g+LP•12L＝FL
解得人对杠杆的力：
F=ρa4g8+pL22L=ρa4g8L+p2L
由数学知识a2+b2≥2ab，当a＝b时取最小值，可得
当=ρa4g8L=p2L时，即L=a22ρgp时F有最小值。
F的最小值为：F=a22ρgP。
答：当选用的铁棒长度为L=a22ρgp时，施加的力最小；这个最小的力是F=a22ρgP。
【点评】本题是关于杠杆平衡条件的应用，关键点是结合题意：把重物箱撬起一个接近于0°的角度，准确找出阻力臂和动力臂。由于解题时需要用到数学上的知识，属于综合性较强的题目。
44．如图所示，画出使杠杆平衡最小力的示意图，要求保留作图痕迹。
【分析】要解决此题，首先要掌握杠杆的平衡条件，根据杠杆的平衡条件，动力臂越长越省力。所以需要找出杠杆的最长力臂，然后根据力臂的概念确定力的方向。
【解答】解：根据此杠杆的形状可知，从左端点O（支点）到此杠杆的最右端距离最大，这是最长的动力臂；根据杠杆的平衡条件，动力臂越长越省力，所以最小力作用在杠杆的最右端，动力的方向垂直于该力臂向上。如图所示：
【点评】此题主要考查了杠杆最小力的画法。解决此类题目的关键是找出最长的力臂，然后根据力臂的概念确定力的方向。
45．一块高40厘米、宽30厘米、厚10厘米，质量为1.5千克的砖，竖直立在水平地面上，如图所示，若按图示的方向将它推倒，最小推力为 4.5 牛。（g＝10N/Kg）
【分析】推长方块木块时，长方块木块是一个变形的杠杆，要使力最小，就要使力臂最长，用长方块的对角线作力臂，动力施加在B点。长方块木块的重力为阻力，OC是阻力臂。根据杠杆平衡条件，求出最小的力。
【解答】解：砖的重力：G＝mg＝1.5kg×10N/kg＝15N，
在阻力与阻力臂一定时，由杠杆平衡条件可知，动力臂越大，动力越小，
由图示可知，最大动力臂为OB，垂直于OB斜向上的力最小，在B端施加沿F方向的最小力能使长方块木块推倒，
根据杠杆平衡条件得：OC×G＝OB×F，
OC=12AO=12×30cm＝15cm＝0.15m，
OB=AB2+OA2=(0.4m)2+(0.3m)2=0.5cm，
则：0.15m×15N＝0.5m×F，F＝4.5N；
故答案为：4.5。
【点评】本题主要考查了杠杆的最小力的问题，本题确定最长力臂和升高的距离是关键。
六．杠杆的应用（共2小题）
46．如图是利用电子秤显示水库水位装置的示意图。
该装置主要由不计重力的滑轮C、D，长方体物块A、B以及轻质杠杆MN组成。物块A通过细绳与滑轮C相连，物块B通过细绳与杠杆相连。杠杆可以绕支点O在竖直平面内转动，杠杆始终在水平位置平衡，且MO：ON＝1：2．已知物块A的密度为1.5×103kg/m3，底面积为0.04m2，高1m，物块B的重力为100N．所有摩擦和绳重忽略不计，g取10N/kg。求：
（1）当物块A的顶部刚好没入水中时，物块A受到的拉力是多大？
（2）若水位发生变化，电子秤的示数为55N时，物块A露出水面的高度是多少？
【分析】（1）先计算A的重力和物块A所受的浮力，再计算A受到的拉力；
（2）当电子秤的示数为55N时，求出杠杆N端受到的拉力，根据杠杆的平衡条件计算杠杆M端受到的拉力；
由于滑轮组不是由一股绳子缠绕而成，对每一个动滑轮受力分析，利用力的平衡求滑轮组对A的拉力；
A受到的拉力加上浮力等于物体A的重力，据此求A受到的浮力，再根据阿基米德原理F浮＝ρ水V排g求排开水的体积，利用V排＝Sh浸求物块A浸入水中的深度。
【解答】解：
（1）物体A的重力：GA＝mAg＝ρAShg＝1.5×103kg/m3×0.04m2×1m×10N/kg＝600N，
当物块A的顶部刚好没入水中时，由阿基米德原理可得，物块A受到浮力：
F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSh＝103kg/m3×10N/kg×0.04m2×1 m＝400N，
所以物块A受到的拉力：
F＝GA﹣F浮＝600N﹣400N＝200N；
（2）电子秤的示数为55 N时，绳对N端的拉力：
FN＝GB﹣F示＝100N﹣55N＝45N，
杠杆平衡，所以有：FN•ON＝FM•OM，
由题知，MO：ON＝1：2，
所以，FM＝2FN＝2×45N＝90N，
由图知，两个滑轮都是动滑轮，FM=12FC，2FC＝F，
所以绳对A的拉力：F＝4FM＝4×90N＝360N，
此时A受到的浮力：F浮′＝GA﹣F＝600N﹣360N＝240N，
前后两次浮力之比：F浮F浮'=ρ水Shgρ水Sh'g=hh'，
即：400N240N=1mh'，
则此时物体A浸入水中的深度：h′＝0.6m，
所以此时物体A露出水面的高度：h露＝h﹣h′＝1m﹣0.6m＝0.4m。
答：（1）当物块A的顶部刚好没入水中时，物块A受到的拉力是200N；
（2）若水位发生变化，电子秤的示数为55N时，物块A露出水面的高度是0.4m。
【点评】本题为力学综合题，考查了浮力的计算、杠杆平衡条件的应用，正确判断通过动滑轮绳子段数是关键。
47．如图所示，AB为一轻质杠杆，O为支点，在O点两侧分别悬挂体积相等的实心铜球和实心铁球，杠杆在水平位置平衡。若将两球分别远离O点向外移动相同的距离（未脱离杠杆），则 铜球 （选填“铜球”或“铁球”）一端下降。
【分析】AB两端分别悬挂实心铜球和实心铁球，杠杆在水平位置平衡，根据杠杆平衡条件求出铜块和铁块的重力关系；
当两球同时向外移动相同的距离，两球增大相同的力臂，根据杠杆的平衡条件判断现在杠杆是否平衡。
【解答】解：如图，杠杆处于平衡状态，根据杠杆平衡条件得，
OA×G铜＝OB×G铁，
因为OA＜OB
所以G铜＞G铁
设两球向外移动的距离为△L，则G铜×（OA+△L）＝G铜×OA+G铜×△L
G铁×（OB+△L）＝G铁×OB+G铁×△L
又因为OA×G铜＝OB×G铁，G铜＞G铁
所以G铜×（OA+△L）＞G铁×（OB+△L），杠杆向铜球一端倾斜，即铜球一端下降。
故答案为：铜球。
【点评】此题是有关杠杆的动态平衡分析，关键是掌握杠杆平衡条件，分析两边力和力臂乘积的大小关系，杠杆将向乘积大的一端倾斜。
七．探究杠杆的平衡条件实验（共1小题）
48．在探究“杠杆的平衡条件”的实验中，某同学记录了三次实验数据如表：
（1）这三次实验数据中有一次是错误的，错误数据的实验次数是 3 。改正错误数据后，同学得出了杠杆的平衡条件，
（2）在该实验后，有同学认为杠杆的力臂就是动力阻力的作用点到支点的距离，据此请指出该实验的不足之处 没有改变拉力的方向
（3）若某次实验中用弹簧测力计竖直向上拉杠杆一端的A点，如图乙所示，杠杆水平平衡时弹簧测力计的示数为Fa，若在A点斜向上拉，杠杆要求在水平位置再次平衡时，弹簧测力计的示数为Fb，则Fa 小于 Fb（填“大于、小于、等于”）。
【分析】（1）杠杆的平衡条件是：动力×动力臂＝阻力×阻力臂（或F1L1＝F2L2），将题中表格中的已知数据代入F1L1＝F2L2中进行计算即可得到答案。
（2）根据杠杆的平衡条件，就可以计算出C处挂的钩码个数。
（3）若在A点斜向上拉，力的方向改变，力臂的长度改变，因此拉力的大小也就会变化。
【解答】解：（1）因为表格中第3次实验F1L1＝2.5N×0.03m＝0.075N•m，而F2L2＝1.5N×0.06m＝0.09N•m，所以F1L1≠F2L2，故第2次实验数据有误；
（2）由于杠杆在水平位置平衡，钩码对杠杆的力与杠杆垂直，所以此时杠杆的力臂就是动力阻力的作用点到支点的距离；应改变拉力的方向，使拉力不与杠杆垂直即可推翻上述结论；
（3）因为测力计在A点斜向上拉时，动力臂变小，由动力×动力臂＝阻力×阻力臂可知，在阻力和阻力臂不变的情况下，动力臂变小，则动力变大，所以，Fa小于Fb。
故答案为：（1）3；（2）没有改变拉力的方向；（3）小于。
【点评】此题是探究杠杆平衡条件的实验，考查了杠杆平衡条件及应用。要理解力臂的概念及测量方法。
八．滑轮（组）的机械效率（共2小题）
49．小峰利用滑轮组将一个正方体金属块A从某溶液池内匀速提出液面，当金属块A浸没在液面下，上表面距液面的距离为h时开始计时，如图甲，计时后调整滑轮组绳端竖直向上拉力F的大小使金属块A始终以大小不变的速度匀速上升，提升过程中拉力F与金属块A向上运动时间关系如图乙。已知金属块A被提出液面后，滑轮组的机械效率为80%，h＝0.25m，（假设溶液池足够大，金属块被提出液面前后液面高度不变，不计绳重及摩擦，）。求：
（1）金属块A的重力；
（2）动滑轮的总重；
（3）正方体A的体积；
（4）溶液的密度。
【分析】（1）由图象得到金属块离开水面后绳子自由端拉力，由图甲知，通过动滑轮绳子的段数，由η=W有W总=GhFs=G4F可计算出金属块重力；
（2）不计绳重及摩擦，由F=14（G动+G）计算动滑轮重力；
（3）先计算金属块在溶液中上升速度，再计算出从上面表面与液面相平到金属块离开水面的距离，即其边长，由体积公式计算金属块的体积；
（4）对金属块A浸没时受力分析，根据滑轮组特点计算其受到的浮力，再根据阿基米德原理计算溶液的密度。
【解答】解：
（1）金属块A在水中时受到浮力作用，提出液面后不再受到浮力，所以滑轮组对它的拉力会变大，
读图象可知，金属块离开水面后，作用在绳子自由端上的拉力F＝15N，
由图甲知，该滑轮组由四段绳子通过动滑轮，
滑轮组的机械效率：η=W有W总=GhFs=G4F，
由此可得，金属块A的重力：
G＝4ηF＝4×0.8×15N＝48N；
（2）不计绳重及摩擦，提出液面后作用在绳子自由端上的拉力：
F=14（G动+G），
所以动滑轮的重力：
G动＝4F﹣G＝4×15N﹣48N＝12N；
（3）金属块A的上表面离液面0.25m至金属块A上表面与液面相平，金属块上升的距离h＝0.25m，
由图象知，此过程中金属块上升的时间t＝5s，
金属块A上升的速度：v=ht=0.25m5s=0.05m/s，
从金属块A的上表面与液面相平上升至金属块A下表面刚离开液面，此过程金属块上升高度等于金属块A的高，由图象知，此段时间t′＝2s，
所以金属块A的高：h′＝vt′＝0.05m/s×2s＝0.1m，
金属块A是正方体，所以金属块A的体积：V＝（0.1m）3＝0.001m3；
（4）金属块A浸没时，金属块A在液体中受到三个力作用：向下的重力G、向上的浮力F浮、向上的拉力F拉
且F拉+F浮＝G，
所以绳子对金属块A的拉力：F拉＝G﹣F浮，
由图象可知，金属块A浸没时，作用滑轮组绳子自由端的拉力F′＝12N，
F′=14（G动+G﹣F浮），
金属块A浸没时受到的浮力：F浮＝G动+G﹣4F′＝12N+48N﹣4×12N＝12N，
由F浮＝ρ液V排g＝ρ液Vg可得，溶液的密度：
ρ液=F浮gV=12N10N/kg×0.001m3=1.2×103kg/m3。
答：（1）金属块A的重力为48N；
（2）动滑轮的总重为12N；
（3）正方体A的体积为0.001m3；
（4）溶液的密度为1.2×103kg/m3。
【点评】本题考查了滑轮组绳子自由端拉力、机械效率、阿基米德原理的应用等知识，认识、理解图象并能从中获取有用信息是解题的关键，注意物体在液面以下、露出液面过程中、露出液面以后的情况，并出找其中关键物理量的联系。
50．两个实心正方体A、B由密度均为ρ的同种材料制成，它们重力分别是GA、GB，将A、B均放置在水平桌面上时，如图a所示，两物体对桌面的压强分别是pA、pB，且pA：pB＝1：2，当用甲、乙两滑轮组分别匀速提升A、B两物体，如图b所示，两动滑轮重均为G0，此时两滑轮组的机械效率之比为33：40；若将A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升，如图c所示，匀速提升A物体过程拉力F随时间t的变化如图d所示。不计绳重和摩擦，ρ水＝1.0×103kg/m3，求：
（1）A、B两物体的重力之比GA：GB是多少？
（2）滑轮组中的动滑轮重力G0是A物体重力GA的多少倍？
（3）A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升时机械效率是多少？
（4）A、B两个实心正方体的材料密度是多少？
【分析】（1）实心正方体对桌面的压强p=FS=GS=mgS=ρVgS=ρL3gL2=ρgL，同种材料制成的实心正方体A、B的密度相等，根据p＝ρgL结合pA：pB＝1：2求出边长之比，利用G＝mg＝ρVg＝ρL3g求出A、B两物体的重力之比；
（2）不计绳重和摩擦，克服物体重力做的功为有用功、克服物体重力和动滑轮重力做的功为总功，根据η=W有W总×100%表示出滑轮组的机械效率之比，然后求出滑轮组中的动滑轮重力和A物体重力的关系；
（3）根据滑轮组可知绳子的有效股数，根据滑轮组绳子拉力公式结合图d得出等式即可求出物体A的重力和动滑轮的重力、物体A受到的浮力，滑轮组对A物体拉力做的功为有用功，克服动滑轮重力做的功为额外功，根据η=W有W总×100%求出A物体浸没在水中、用甲滑轮组匀速提升时机械效率；
（4）物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，根据F浮＝ρ液gV排求出物体A排开水的体积即为自身的体积，根据G＝mg＝ρVg求出A、B两个实心正方体的材料密度。
【解答】解：（1）因物体对水平面的压力和自身的重力相等，
所以，实心正方体对桌面的压强p=FS=GS=mgS=ρVgS=ρL3gL2=ρgL，
因实心正方体A、B是同种材料制成的，且pA：pB＝1：2，
所以，正方体A、B的边长之比LA：LB＝pA：pB＝1：2，
由G＝mg＝ρVg＝ρL3g可得，A、B两物体的重力之比GAGB=LA3LB3=（12）3=18；
（2）因不计绳重和摩擦，克服物体重力做的功为有用功、克服物体重力和动滑轮重力做的功为总功，
所以，滑轮组的机械效率η=W有W总×100%=Gh(G+G动)h×100%=GG+G动×100%，
则两滑轮组的机械效率之比η甲η乙=GAGA+G0GGB+G0=GAGA+G08GA8GA+G0=3340，
解得：G0＝0.25GA，即滑轮组中的动滑轮重力G0是A物体重力GA的0.25倍；
（3）由图c可知，滑轮组绳子的有效股数n＝3，
由图d可知，物体A浸没时滑轮组自由端绳子的拉力F1＝40N，物体A在空气中时滑轮组自由端绳子的拉力F2＝50N
则F2=13（GA+G0）=13（GA+0.25GA），F1=13（GA+G0﹣F浮），
即50N=13（GA+0.25GA），40N=13（GA+G0﹣F浮），
解得：GA＝120N，G0＝0.25GA＝30N，F浮＝30N，
A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升时机械效率：
η=W有W总×100%=(GA-F浮)h(GA-F浮+G0)h×100%=GA-F浮GA-F浮+G0×100%=120N-30N120N-30N+30N×100%＝75%；
（4）因物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，
所以，由F浮＝ρ液gV排可得，物体A的体积VA＝V排=F浮ρ水g，
由G＝mg＝ρVg可得，A、B两个实心正方体的材料密度：
ρ=mAVA=GAgF浮ρ水g=GAF浮ρ水=120N30N×1.0×103kg/m3＝4×103kg/m3。
答：（1）A、B两物体的重力之比GA：GB是1：8；
（2）滑轮组中的动滑轮重力G0是A物体重力GA的0.25倍；
（3）A物体浸没在水中，用甲滑轮组匀速提升时机械效率是75%；
（4）A、B两个实心正方体的材料密度是4×103kg/m3。
【点评】本题考查了压强公式和密度公式、重力公式、滑轮组机械效率公式、阿基米德原理的综合应用等，明确有用功和总功是关键。
声明：试题解实验次数
动力F1/N
动力臂L1/m
阻力F2/N
阻力臂L2/m
1
2.0
0.04
4.0
0.02
2
1.0
0.02
0.5
0.04
3
2.5
0.03
1.5
0.06
实验次数
动力F1/N
动力臂L1/m
阻力F2/N
阻力臂L2/m
1
2.0
0.04
4.0
0.02
2
1.0
0.02
0.5
0.04
3
2.5
0.03
1.5
0.06
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