云南省大理州下关第一中学2023~2024学年高二下学期3月段考（一）数学试题（一+一）

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
2 若复数，则（）
A. 1B. C. D.
3. 已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（）．
A 21B. 81C. 243D. 729
4. 设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为，，则此直三棱柱的高是（）
A. 1B. 2C. D. 4
5. 已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（）
A. 1B. 2C. 4D. 5
6. 在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（）
A. B. 1C. D.
7. 已知，则（）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，不选、有选错得0分）
9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则向量在上的投影向量为D. 若，则向量与的夹角为锐角
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象的一条对称轴方程为
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数区间上单调递增
11. 某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（）

A. 病人甲体温的极差为
B. 病人乙的体温比病人甲的体温稳定
C. 病人乙体温的众数、中位数与平均数都为
D. 病人甲体温的上四分位数为
12. 点是直线上一个动点，，是圆上的两点．则（）
A. 存在，，，使得
B. 若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C. 若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D. 若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 如图，直线是曲线在处的切线，则___________.
14. 用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是______．
15. 设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为__.
16. 如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
18. 如图，在四边形中，，，，．
（1）求；
（2）求．
19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD菱形，，，平面平面ABCD，，平面ABCD.
（1）证明：.
（2）若，求直线EF与平面AEB所成角的正弦值.
20. 记数列的前n项和为.已知，且满足___________.
从①记，且有；②；③中选出一个能确定的条件，补充到上面横线处，并解答下面的问题.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
21. 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且．
（1）求的值；
（2）若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．
22. 已知函数．
（1）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）判断函数的零点的个数