云南省下关第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试卷（含答案）

云南省下关第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B.

C. D.

2、复数对应的点所在象限是(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、已知正数项等比数列的前n项积为，若，则(   )

A.18 B.512 C.1024 D.与首项有关

4、下列命题正确的是(   )

A.对任意的两个随机事件M、N，

B.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，“正面朝上”的次数一定为50次

C.某班有50人，从中“选出20人，且其中2人要担任指挥”参加一项活动，则完成这件事情的做法可以为或

D.若，，则

5、如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则(   )

A. B. C. D.

6、将4名学生志愿者分配到A、B、C社区参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(   )

A.12种 B.24种 C.36种 D.48种

7、在三角形ABC中，已知，则有(   )

A. B. C. D.

8、如图，在圆柱中，AB为底面直径，E是的中点，D是母线BC的中点，M是上底面上的动点，若，，且，则线段OM的轨迹面积为(   )

A. B. C. D.6

二、多项选择题

9、下列判断错误的是(   )

A.二项分布，则随机变量的期望

B.若，则

C.已知，直线恒经过定点

D.若，则

10、已知数列，满足，为的前n项和，且，，则(   )

A.  B.

C.是等差数列  D.取得最大值16

11、下列命题正确的是(   )

A.，，

B.，

C.，，函数在点处的切线方程是

D.若有解，则函数必有极值点

12、下列说法正确的是(   )

A.抛物线的准线方程是

B.双曲线的离心率

C.双曲线的焦点F到渐近线的距离是b

D.双曲线，直线l与双曲线交于A，B两点，若AB的中点坐标是，则直线l的斜率为-4

三、填空题

13、__________.

14、已知多项式，则__________.

15、一批产品共100件，不合格品率为0.05.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.则这批产品被接受的概率为________.

16、用不等号“<”将，，按从小到大排序为____________.

四、解答题

17、如图，在锐角中，，，，点D在BC边的延长线上，且.

(1)求；

(2)求的周长.

18、两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.

(1)求这件产品是合格品的概率；

(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.

19、设数列的前n项和为，若，.，2，3，…

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项和为，证明：.

20、如图，在多面体ABCDE中，已知，，均为等边三角形，平面平面ABC，平面平面ABC，H为AB的中点.

(1)判断DE与平面ABC的位置关系，并加以证明；

(2)求直线DH与平面ACE所成角的正弦值.

21、从抛物线上各点向x轴作垂线段.

(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；

(2)直线与抛物线交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.

22、给定函数.

(1)判断函数的单调性，并求出的极值；

(2)画出函数的大致图象；

(3)求出方程解的个数.

参考答案

1、答案：D

解析：由题意可知集合为数集，集合表示点集，二者元素类型不同，所以，故选D.

2、答案：D

解析：，复数的对应的点在第四象限，故选D.

3、答案：B

解析：因为是等比数列，所以，故选B.

4、答案：C

解析：A：对任意的两个随机事件M、N，成立条件是事件独立，所以错误；

B：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，“正面朝上”的次数一定为50次，只能说接近，不等肯定，故而错误；

C：完成一件事，可以有不同方式，方法一，先选2人担任指挥，再从剩余48人中选18人；方法二，也可以先整体选出20人，再从20人中选2人担任指挥，所以选项正确；

D：，，则，所以选项错误，故选C.

5、答案：A

解析：由题可知，点F在BE上，，故选A.

6、答案：C

解析：根据题意，分2步进行分析：①将4名大学生分为3组，有种分组方法，②将分好的3组安排参加3个社区参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案，故选C.

7、答案：C

解析：，，，，故选C.

8、答案：B

解析：如图，连接OE，作，交CF于点N，E是的中点，，平面，平面，，，，平面，平面ABCF，又平面，，又，，，平面，平面ONE，设平面ONE与上底面交于，，点M的轨迹为；，，D是母线BC中点，，，，，，故选B.

9、答案：BCD

解析：A是正确的：二项分布，则随机变量的期望；

B是错的：举，易知不成立；

C是错的：已知，直线恒经过定点；

D是错的：，显然不成立，故选BCD.

10、答案：ABC

解析：对A：，，，，则数列为等差数列，，，即，，则，则，故A正确；

对B：，则，故B正确；

对C：显然成立；

对D：，开口向下，对称轴为，，故当或时，取得最大值56，故D错误，故选ABC.

11、答案：ABC

解析：A：，，，所以正确；

B：，，，，所以函数单调递减，故而有，，，所以正确；

C：，，，，切点为，所以切线方程是，，所以命题正确；

D：有解，，，但在两侧导函数为正，所以函数无极值，所以命题错误，故选ABC.

12、答案：BC

解析：A：抛物线的准线方程是，所以答案是错的；

B：因为双曲线，所以，，所以离心率，故正确；

C：因为双曲线，所以焦点坐标为，，渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，故正确；

D：设，，则，，两式相减得：，因为AB的中点坐标是，所以直线的斜率为，故错误，故选BC.

13、答案：

解析：.

14、答案：74

解析：.

15、答案：

解析：抽检第1件产品不合格的概率为，抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为，所以这批产品被拒绝的概率为，所以被接受的概率为.

16、答案：

解析：由正弦函数的单调性可知，由不等式，所以.

17、答案：(1)

(2)的周长为30

解析：(1)在中，，，

又，，

由正弦定理可得，故，

因为是锐角三角形，所以.

(2)由(1)得，所以，

在中，，，，

所以，

所以的周长为.

18、答案：(1)0.956

(2)

解析：(1)求这件产品是合格品的概率为.

(2)设{取到的是合格品}，{产品来自第i批}，

则，，

则，，

根据公式得：

.

19、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)解：因为，

当时，，

，

，

，

，又，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，

.

(2)证明：由(1)可得，

，

单调递增，，

又，，

综上可得.

20、答案：(1)平面ABC，证明见解析

(2)

解析：(1)证明：平面ABC，理由如下：

如图，分别取AC，BC的中点O，P，连接DO，EP，OP，

因为，所以，

又平面平面ABC，平面平面，平面ACD，所以平面ABC，

同理平面ABC，所以，

又因为，是全等的正三角形，所以，

所以四边形DOPE是平行四边形，

所以，

因为平面，平面ABC，

所以平面ABC.

(2)解：连接BO，则易知平面ACD，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，令，

则，，，，

，，，，

所以，，，

设平面ACE的法向量为，

所以所以

则，取，，则，

所以，

设直线DH与平面ACE所成的角为，则.

21、答案：(1)垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线

(2)证明见解析

解析：(1)解：设抛物线上的点，过M作轴于Q，

设线段MQ中点，

当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点P与M重合，坐标也满足上述方程，

所以垂线段的中点的轨迹方程是，它是顶点在原点，焦点为，开口向右的抛物线.

(2)证明：由得，设，，

则有，，

，即，

所以，

所以原点O在以AB为直径的圆上.

22、答案：(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增；极小值

(2)见解析

(3)当时，解为0个；当或时，解为1个；当时，解为2个

解析：(1)函数的定义域为.

，

今，解得，

，的变化情况如下表所示：

所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，有极小值.

(2)令，解得.

当时，；当时，，

所以，的图象经过特殊点，，.

当时，与一次函数相比，

指数函数呈爆炸性增长，

从而；

当时，，.

根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示.

(3)方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数，由(1)及图可得，当时，有最小值，

所以，关于方程的解的个数有如下结论：

当时，解为0个；当或时，解为1个；当时，解为2个.