山东省烟台市莱阳市2022-2023学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2. 下列命题是假命题的是（ ）
A 一个三角形中至少有两个锐角B. 两直线平行，内错角相等
C. 对顶角相等D. 三角形的一个外角等于两个内角的和
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了假命题，三角形的性质、平行线的性质、对顶角、三角形外角的定义及性质，根据三角形的性质、平行线的性质、对顶角、三角形外角的定义及性质逐项判断即可．
【详解】解：A．一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；
B．两直线平行，内错角相等，是真命题；
C．对顶角相等，是真命题；
D．三角形的一个外角等于两个内角的和，不是真命题，三角形的一个外角应该等于不相邻的两个内角的和；
故选：D．
3. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 太阳从西方升起B. 任意画一个三角形，其内角和180°
C. 世界杯足球赛罚点球，一定进球D. 抛掷一枚硬币，一定正面朝上
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【详解】解：A．太阳从西边升起，是不可能事件，故此选项不符合题意；
B．任意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项符合题意；
C．世界杯足球赛罚点球，一定进球，是随机事件，故此选项不符合题意；
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 下图中，由，能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可.
【详解】A、∵，
∴．故本选项不符合题意；
B、如图，∵，
∴，

∵，
∴．故本选项正确．
C、∵，
∴，不能得到．故本选项不符合题意；
D、当梯形是等腰梯形时才有，．故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.
5. 二元一次方程的正整数解有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 无数组
【答案】B
【解析】
【分析】求出，根据x、y为正整数得出，求出，再求出和2即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴，
即，
∴y只能为1和2，
∴当时，，
当时，，
即方程的正整数解有和两组，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能求出y只能为1和2是解此题的关键．
6. 如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄扇形的圆心角度数分别为210°，90°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出蓝色部分所占整体的几分之几即可．
【详解】解：蓝色部分所在的圆心角的度数为360°-210°-90°=60°，
因此蓝色部分所占整体的=，即转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键．
7. 一个盒子里装有仅颜色不同的10张红色和若干张蓝色卡片，随机从盒子里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在附近，则估计盒子中蓝色卡片有（ ）
A. 50张B. 40张C. 36张D. 30张
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率估计概率，然后根据概率公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设盒子中蓝色卡片张，根据题意可得，
，
解得：，
经检验，时原方程的解，
则估计盒子中蓝色卡片有张；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．
8. 如图，下列条件：其中能判定的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：
【详解】解：①，由内错角相等，两直线平行，判定，故①符合题意；
②和是同旁内角不能判定，故②不符合题意；
③判定，不能判定，故③不符合题意；
④，由同旁内角互补，两直线平行判定，故④符合题意．
∴其中能判定的有2个．
故选：B．
9. 两个直角三角形如图放置，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在图中标出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：在图中标出，如图所示．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，利用三角形内角和定理及平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 方程组解为，则被和遮盖的两个数分别为______．
【答案】2，
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解．
【详解】解：，
将代入方②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴被和遮盖的两个数分别为2，．
故答案为：2，．
12. 如图，，平分，若，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，由角平分线定义得到即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.
【详解】图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形，
所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案为．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比几何概率．
14. 如图，小明的奶奶家在公园的正北方向处，从公园到奶奶家需要走一条弯路才能到达，小明从公园出发，先沿北偏东方向行走到处，再转弯沿北偏西方向走一段才能到达奶奶家，则转弯处的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了方向角，平行线的性质，邻补角的定义，准确识图，熟练掌握方向角，平行线的性质，邻补角的定义是解决问题的关键．依题意得，根据平行线的性质得，再根据邻补角的定义得，据此可得出转弯处的度数．
【详解】解：如图所示：
依题意得：，，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15. 一颗质地均匀的骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为，共有种可能，大于的点数有，，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数大于的概率．
【详解】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有种可能，而只有出现点数为，才大于，
∴这个骰子向上的一面点数大于的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，正确记忆随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题关键．
16. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
把代入求得A点的纵坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值．
【详解】解：把代入，得：，
∴，
∵点A在直线的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分69分）
17. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组，
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是；
【小问2详解】
解：，
，得，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
所以方程组的解是．
18. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如下图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据：
（1）完成上述表格：______，______；
（2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是______；（结果都精确到0.1）
（3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是______．（用“＞”连接）
【答案】（1））0.305，148
（2）0.3，0.3 （3）
【解析】
【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可；
（2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；
（3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可．
【小问1详解】
a＝122÷400＝0.305；b＝500×0.296＝148；
故答案为：0.305；148；
【小问2详解】
若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3；
故答案为：0.3，0.3；
【小问3详解】
＝；＝；＝，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是统计的综合知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
19. 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为888；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为861，求原来两个加数分别是多少？
【答案】81，78
【解析】
【详解】试题分析：设原来的一个加数为x，另一个加数为y，根据两个加数的和分别为888和861建立二元一次方程组，求出其解即可．
试题解析：解：设原来的一个加数为x，另一个加数为y，由题意，得：，解得：．
答：原来的两个加数分别是81，78．
点睛：本题考查了数字问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时根据数字问题的数量关系建立方程组是关键．
20. 如图，，，.求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质证明即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等），
∵，（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
【点睛】此题主要考查了平行线，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
21. 如图，长青化工厂与、两地有公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路运价为元（吨千米），铁路运价为元（吨千米），且这两次运输共支出公路运输费元，铁路运输费元．求：
（1）该工厂从地购买了多少吨原料？制成运往地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【答案】（1）工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元
【解析】
【分析】（1）设工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨，利用题中两个等量关系，列出关于与的二元一次方程组，求出方程组的解集得到与的值，即可得到该工厂从地购买原料的吨数以及制成运往地的产品的吨数．
（2）根据（1）的结论，列式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：设工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨，
依题意得：
∴方程组的解为：．
答：工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨．
【小问2详解】
解：依题意得：（元），
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22. 如图，在中，平分交于点，点分别在的延长线上，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义等，解题的关键是熟练进行等量代换．
（1）由角平分线的定义可得，由可得，等量代换可得，利用内错角相等、两直线平行，可证；
（2）由可得，由平分可得，结合，可得，根据求出，最后根据三角形内角和定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为．
（1）如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．
【答案】（1），理由见解析；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，折叠的性质：
（1）利用三角形两次外角定理得出结论；
（2）由三角形外角定理，，故，再由折叠可得：即可得出结论．
【小问1详解】
解：，理由如下：
连接
∵∠1是的外角，
∴．
同理，．
∴．
由折叠性质得．
∴．
【小问2详解】
解：，证明如下：
连接，
∵∠1是的外角，
∴．
同理，．
∴．
由折叠性质得．
∴，
∴．
24. 周末，小明和小亮去植物园，两人同时骑自行车从各自家中沿同一条道路出发，如图中和分别表示小明和小亮距离植物园的路程（千米）与骑行时间（分钟）的关系，请根据图象解答下列问题：
（1）分别求出直线和的函数表达式；
（2）小明出发多长时间追上小亮？此时距离植物园还有多远？
（3）两人在前往植物园的过程中始终保持各自速度不变，请通过计算说明：谁先到达植物园？先到了多长时间？
【答案】（1）：，：；
（2）小明出发50分钟追上小亮，此时距离植物园还有5千米；
（3）小明先到达植物园，先到了25分钟．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数表达式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令两函数值相等，求出时间，将的值代入任意一个函数求出函数值即可；
（3）分别令两函数值为0，求出对应，从而作答即可．
【小问1详解】
解：设直线的函数表达式为（、为常数，且）．
将和代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
设直线的函数表达式为（、为常数，且）．
将和代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：当小明追上小亮时，得，
解得，
此时距离植物园为（千米），
∴小明出发50分钟追上小亮，此时距离植物园还有5千米．
【小问3详解】
解：当小明到达植物园时，得，
解得；
当小亮到达植物园时，得，
解得；
（分钟），
∴小明先到达植物园，先到了25分钟．
转动转盘的次数n
100
200
300
400
500
落在“谢谢参与”区域的次数m
29
60
93
122
b
落在“谢谢参与”区域的频率
0.29
0.3
0.31
a
0.296