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    2024年广西钦州市部分学校中考数学一模试卷(含解析)
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    2024年广西钦州市部分学校中考数学一模试卷(含解析)

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    这是一份2024年广西钦州市部分学校中考数学一模试卷(含解析),共25页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3分)如果存入银行1000元钱,记作“+1000”元,那么从银行提取600元钱,记作( )
    A.﹣600元B.600元C.400元D.﹣400元
    2.(3分)下列图形中,可以看作是中心对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    3.(3分)要使分式有意义,则x的值是( )
    A.x=±2B.x=2C.x≠﹣2D.x≠2
    4.(3分)如图,在⊙O中,∠ABC=60°,则∠AOC的大小是( )
    A.30°B.120°C.135°D.150°
    5.(3分)不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    6.(3分)甲、乙、丙三个人进行排球垫球测试,他们的平均成绩相同,方差分别是:S甲2=0.62,S乙2=0.45,S丙2=0.53,成绩最稳定的是( )
    A.甲B.乙
    C.丙D.三个都一样
    7.(3分)如图,水面AB与水杯下沿CD平行,光线EF从水中射向空气时发生折射,光线变成FH,点G在射线EF上,已知∠HFB=20°,∠FED=45°,则∠GFH的度数是( )
    A.65°B.60°C.45°D.25°
    8.(3分)下列运算正确的是( )
    A.2a+3b=5abB.(a2)3=a5C.a2•a4=a8D.a3÷a=a2
    9.(3分)将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )
    A.y=﹣2(x+1)2﹣1B.y=﹣2(x+1)2+3
    C.y=﹣2(x﹣1)2﹣1D.y=﹣2(x﹣1)2+3
    10.(3分)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气.”某校为响应阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,第三个月进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.若设进馆人次的月平均增长率为x,则根据题意,可列方程是( )
    A.608(1﹣x)2=128B.128(1﹣x)2=608
    C.128(1+x)2=608D.608(1+x)2=128
    11.(3分)图1是木马玩具,图2是木马玩具底座水平放置的示意图,点O是所在圆的圆心,点A,B离地高度均为15cm,水平距离AB=90cm,则OA的长为( )
    A.60cmB.65cmC.70cmD.75cm
    12.(3分)点P,Q,R在反比例函数(常数k>0,x>0)图象上的位置如图所示,分别过这三个点作x轴、y轴的平行线,图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3.若OE=ED=DC,S1+S3=15,则S2的值为( )
    A.2B.3C.4D.5
    二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.)
    13.(2分)= .
    14.(2分)分解因式:4a2+a= .
    15.(2分)若一次函数y=mx+3的图象经过点(2,9),则m的值是 .
    16.(2分)用单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为 .
    17.(2分)如图,△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AF∥BE,AC⊥BE,FD⊥BE,若A点到B点的距离AB=1.6m,则盲区中DE的长度是 米.
    (参考数据:sin43°≈0.7,tan43°≈0.9,sin20°≈0.3,tan20°≈0.4)
    18.(2分)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=2,AD=2,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 .
    三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    19.(6分)计算:(﹣3)×2+(﹣2)2÷4.
    20.(6分)解方程:=.
    21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
    (1)在边BC上求作一点P,使PA=PB(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
    (2)连接AP,若AC=4,BC=8,试求线段PA的长.
    22.(10分)为了调动员工的积极性,商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标,对完成目标的员工进行奖励.家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析.
    数据收集(单位:万元):
    数据整理:
    数据分析:
    问题解决:
    (1)填空:a= ,b= .
    (2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标,则有 名员工获得奖励.
    (3)经理对数据分析以后,最终对一半的员工进行了奖励:员工甲找到经理说:“我这个月的销售额是7.5万元,比平均数7.44万元高,所以我的销售额超过一半员工,为什么我没拿到奖励?”假如你是经理,请你给出合理解释.
    23.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,BD平分∠ABC,AC与BD相交于E点,AD=AE.
    (1)求证:DA是⊙O的切线;
    (2)若∠CAB=40°,AB=8,求的长.
    24.(10分)如图,是一种学生双肩背包,其背带由固定带、活动带和调节扣构成.使用时,可以通过调节调节扣使背带的总长度(固定带与活动带使用部分的长度总和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设活动带未使用部分的长度为x cm,背带的总长度为y cm,经测量,得到如下数据:(说明:本题只讨论一条背带)
    (1)根据表中数据的规律,填空:m= ,n= ;
    (2)当5≤x≤30时,求y关于x的函数解析式;
    (3)在下面的平面直角坐标系中,请直接画出(2)中的函数图象;
    (4)根据小敏的身高和习惯,背带的总长度为52cm时,背起来最合适,请求出此时活动带未使用部分的长度.
    25.(10分)问题探究
    (1)如图1,在菱形ABCD中,∠A=120°,AB=4,点P为边CD的中点,Q为边AD上一点,且DP+DQ=5,连接BP、PQ、BQ,求△BPQ的面积;
    问题解决
    (2)为响应市政府“建设美丽城市,改善生活环境”的号召,某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场,∠A=∠ABC=∠C=90°,AB=40米,BC=60米.按照规划要求,点P、Q分别在边CD、AD上,满足DP+DQ=40米,连接BP、PQ、BQ,其中△PBQ为健身休闲区,其他区域为景观绿化区,为了使绿化面积尽可能大,希望健身休闲区的面积尽可能小,那么按此要求修建的这个健身休闲区(△PBQ)是否存在最小面积?若存在,求出最小面积及此时DP的长;若不存在,请说明理由.
    26.(10分)综合与实践段BN.
    【问题情境】如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作60°、30°、15°等大小的角,该怎么办呢?
    【实践探究】小西进行了以下操作研究(如图1):
    第1步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平.
    第2步:再次折叠纸片,使点4落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到了线段BN.
    小雅在小西研究的基础上,再次动手操作(如图2):
    (1)直接写出BE和BN的数量关系: ;
    (2)请求出∠ABM的度数;
    (3)求证:四边形BGHM是菱形.
    2024年广西钦州市部分学校中考数学一模试卷
    参考答案与试题解析
    一、单项选择题(共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑)
    1.(3分)如果存入银行1000元钱,记作“+1000”元,那么从银行提取600元钱,记作( )
    A.﹣600元B.600元C.400元D.﹣400元
    【分析】存入银行记为正,则取出就为负,由此直接表示即可.
    【解答】解:∵存入银行1000元钱,记作“+1000”元,
    ∴从银行提取600元钱,记作“﹣600”元,
    故选:A.
    2.(3分)下列图形中,可以看作是中心对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
    【解答】解:中心对称图形,即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合,A、C、D都不符合题意;是中心对称图形的只有B选项中的图形.
    故选:B.
    3.(3分)要使分式有意义,则x的值是( )
    A.x=±2B.x=2C.x≠﹣2D.x≠2
    【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零,进而得出答案.
    【解答】解:∵分式有意义,
    ∴x﹣2≠0.
    解得x≠2.
    故选:D.
    4.(3分)如图,在⊙O中,∠ABC=60°,则∠AOC的大小是( )
    A.30°B.120°C.135°D.150°
    【分析】直接利用圆周角定理求解.
    【解答】解:∵∠AOC和∠ABC都对,
    ∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°.
    故选:B.
    5.(3分)不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可.
    【解答】解:∵x≥1,
    ∴1处是实心原点,且折线向右.
    故选:D.
    6.(3分)甲、乙、丙三个人进行排球垫球测试,他们的平均成绩相同,方差分别是:S甲2=0.62,S乙2=0.45,S丙2=0.53,成绩最稳定的是( )
    A.甲B.乙
    C.丙D.三个都一样
    【分析】根据方差的意义,方差越小数据越稳定即可求解.
    【解答】解:∵S甲2=0.62,S乙2=0.45,S丙2=0.53,
    ∴S乙2<S丙2<S甲2,
    ∴成绩最稳定的是乙,
    故选:B.
    7.(3分)如图,水面AB与水杯下沿CD平行,光线EF从水中射向空气时发生折射,光线变成FH,点G在射线EF上,已知∠HFB=20°,∠FED=45°,则∠GFH的度数是( )
    A.65°B.60°C.45°D.25°
    【分析】根据水面AB与水杯下沿CD平行,则有∠GFB=∠FED=45°,结合∠HFB=20°即可解答.
    【解答】解:∵水面AB与水杯下沿CD平行,
    ∴∠GFB=∠FED=45°,
    ∵∠HFB=20°,
    ∴∠GFH=25°.
    故选:D.
    8.(3分)下列运算正确的是( )
    A.2a+3b=5abB.(a2)3=a5C.a2•a4=a8D.a3÷a=a2
    【分析】分别根据合并同类项法则,幂的乘方,同底数幂的乘法,同底数幂的除法法则即可得出答案.
    【解答】解:A、2a与3b不是同类项,没法合并,故选项A不符合题意;
    B、(a2)3=a6,故选项B不符合题意;
    C、a2•a4=a6,故选项C不符合题意;
    D、a3÷a=a2,故选项D符合题意.
    故选:D.
    9.(3分)将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )
    A.y=﹣2(x+1)2﹣1B.y=﹣2(x+1)2+3
    C.y=﹣2(x﹣1)2﹣1D.y=﹣2(x﹣1)2+3
    【分析】根据图象右移减,上移加,可得答案.
    【解答】解;将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y=﹣2(x﹣1)2+3,
    故选:D.
    10.(3分)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气.”某校为响应阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,第三个月进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.若设进馆人次的月平均增长率为x,则根据题意,可列方程是( )
    A.608(1﹣x)2=128B.128(1﹣x)2=608
    C.128(1+x)2=608D.608(1+x)2=128
    【分析】利用第三个月进馆人次=第一个月进馆人次×(1+进馆人次的月平均增长率)2,即可列出关于x的一元二次方程,此题得解.
    【解答】解:根据题意得:128(1+x)2=608.
    故选:C.
    11.(3分)图1是木马玩具,图2是木马玩具底座水平放置的示意图,点O是所在圆的圆心,点A,B离地高度均为15cm,水平距离AB=90cm,则OA的长为( )
    A.60cmB.65cmC.70cmD.75cm
    【分析】如图,连接AB,过点O作OE⊥AB于点E,交弧AB于点F.利用勾股定理求出OA即可.
    【解答】解:如图,连接AB,过点O作OE⊥AB于点E,交弧AB于点F.
    ∵OF⊥AB,OF是半径,
    ∴AE=EB=45cm,
    设OA=OF=r cm,则有r2=452+(r﹣15)2,
    ∴r=75.
    故选:D.
    12.(3分)点P,Q,R在反比例函数(常数k>0,x>0)图象上的位置如图所示,分别过这三个点作x轴、y轴的平行线,图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3.若OE=ED=DC,S1+S3=15,则S2的值为( )
    A.2B.3C.4D.5
    【分析】设CD=DE=OE=a,则P(,3a),Q(,2a),R(,a),推出CP=,DQ=,ER=,推出OG=AG,OF=2FG,OF=GA,推出S1=2S2,S3=3S2,根据S1+S3=15,求出S1,S3,S2即可.
    【解答】解:∵CD=DE=OE,
    ∴可以假设CD=DE=OE=a,
    则P(,3a),Q(,2a),R(,a),
    ∴CP=,DQ=,ER=,
    ∴OG=AG,OF=2FG,OF=GA,
    ∴S1=S3=2S2,
    ∵S1+S3=15,
    ∴S3=9,S1=6,S2=3,
    故选:B.
    二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.)
    13.(2分)= 9 .
    【分析】根据算术平方根的定义即可求解.
    【解答】解:∵92=81,
    ∴=9.
    故答案为:9.
    14.(2分)分解因式:4a2+a= a(4a+1) .
    【分析】根据提公因式可进行求解.
    【解答】解:原式=a(4a+1).
    故答案为:a(4a+1).
    15.(2分)若一次函数y=mx+3的图象经过点(2,9),则m的值是 3 .
    【分析】将点(2,9)代入解析式,可求出m的值.
    【解答】解:依题意得:9=2m+3,
    解得:m=3,
    故答案为:3.
    16.(2分)用单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为 .
    【分析】由单词“happy”中有2个p,直接利用概率公式求解即可求得答案.
    【解答】解:∵单词“happy”中有2个p,
    ∴从单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为:.
    故答案为:.
    17.(2分)如图,△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AF∥BE,AC⊥BE,FD⊥BE,若A点到B点的距离AB=1.6m,则盲区中DE的长度是 2.8 米.
    (参考数据:sin43°≈0.7,tan43°≈0.9,sin20°≈0.3,tan20°≈0.4)
    【分析】先证明四边形ACDE是矩形,得到ED=AC,然后分别在Rt△ABC和Rt△EFD中,利用三角函数关系求出AC和DE即可.
    【解答】解:∵AC⊥BE,FD⊥BE,
    ∴AC∥FD,∠ACD=∠FDC=∠ACB=∠FDE=90°,
    ∵AF∥BE,
    ∴四边形ACDF是矩形,
    △ACB和△EDF均为Rt△,
    ∴FD=AC,
    在Rt△ABC中,
    ∵AB=1.6m,∠ABC=43°,
    sin∠ABC=,
    ∴AC=ABsin∠ABC=1.6sin43°≈1.6×0.7=1.12(m),
    在Rt△EFD中,
    ∵FD=AC=1.12m,∠FED=20°,
    tan∠FED=,
    ∴DE==(m),
    故答案为:2.8.
    18.(2分)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=2,AD=2,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 2 .
    【分析】连接DN、DB,先根据勾股定理求出BD,再根据三角形中位线定理得到EF=DN,然后结合图形解答即可.
    【解答】解:连接DN、DB,如图所示:
    在Rt△DAB中,∠A=90°,AB=2,AD=2,
    ∴BD===4,
    ∵点E,F分别为DM,MN的中点,
    ∴EF是△DMN的中位线,
    ∴EF=DN,
    由题意得,当点N与点B重合时DN最大,最大值为4,
    ∴EF长度的最大值为2,
    故答案为:2.
    三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    19.(6分)计算:(﹣3)×2+(﹣2)2÷4.
    【分析】先算乘方,再算乘除法,然后算加法即可.
    【解答】解:(﹣3)×2+(﹣2)2÷4
    =(﹣3)×2+4÷4
    =(﹣6)+1
    =﹣5.
    20.(6分)解方程:=.
    【分析】根据解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.依次计算可得.
    【解答】解:去分母,得:x=2(x﹣1),
    去括号,得:x=2x﹣2,
    移项,得:x﹣2x=﹣2,
    合并同类项,得:﹣x=﹣2,
    两边同除以﹣1,得:x=2,
    经检验:x=2是原方程的根,
    ∴原方程的根为x=2.
    21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
    (1)在边BC上求作一点P,使PA=PB(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
    (2)连接AP,若AC=4,BC=8,试求线段PA的长.
    【分析】(1)作AB的垂足平分线交BC于P,点P即为所求;
    (2)设PA=x=PB,由勾股定理可得42+(8﹣x)2=x2,即可解得线段PA的长为5.
    【解答】解:(1)作AB的垂足平分线交BC于P,如图:
    点P即为所求;
    (2)设PA=x=PB,则CP=8﹣x,
    ∵AC2+CP2=PA2,
    ∴42+(8﹣x)2=x2,
    解得x=5,
    ∴线段PA的长为5.
    22.(10分)为了调动员工的积极性,商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标,对完成目标的员工进行奖励.家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析.
    数据收集(单位:万元):
    数据整理:
    数据分析:
    问题解决:
    (1)填空:a= 4 ,b= 7.7 .
    (2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标,则有 12 名员工获得奖励.
    (3)经理对数据分析以后,最终对一半的员工进行了奖励:员工甲找到经理说:“我这个月的销售额是7.5万元,比平均数7.44万元高,所以我的销售额超过一半员工,为什么我没拿到奖励?”假如你是经理,请你给出合理解释.
    【分析】(1)利用频数和中位数的定义解答即可;
    (2)利用表格一的信息解答即可;
    (3)利用中位数的定义解答即可.
    【解答】解:(1)a=20﹣3﹣5﹣4﹣4=4,
    将20个数据按由大到小的顺序排列如下:
    5.0,5.1,5.2,6.0,6.1,6.2,6.3,6.7,7.5,7.6,7.8,7.9,8.2,8.2,8.2,8.5,9.2,9.4,9.8,9.9,
    位置在中间的两个数为7.6,7.8,它们的平均数为7.7,
    ∴这组数据的中位数为7.7,
    ∴b=7.7.
    故答案为:4;7.7;
    (2)由20个数据可知:不低于7万元的个数为12,
    ∴若将月销售额不低于7万元确定为销售目标,则有12名员工获得奖励,
    故答案为:12;
    (3)由(1)可知:20名员工的销售额的中位数为7.7万元,
    ∴20名员工的销售额有一半的人,即10人超过7.7万元,
    公司对一半的员工进行了奖励,说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得,
    而员工甲的销售额是7.5万元,低于7.7万元,
    ∴员工甲不能拿到奖励.
    23.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,BD平分∠ABC,AC与BD相交于E点,AD=AE.
    (1)求证:DA是⊙O的切线;
    (2)若∠CAB=40°,AB=8,求的长.
    【分析】(1)根据角的等量代换和三角形内角和可证明∠DAB=∠C=90°,即可证明DA是⊙O的切线;
    (2)连接OC,求得∠AOC=100°,利用弧长公式即可求解.
    【解答】(1)证明:∵BD平分∠ABC,
    ∴∠CBD=∠ABD,
    ∵AD=AE,
    ∴∠ADE=∠AED,
    ∵∠CEB=∠AED,
    ∴∠DAB=180°﹣∠ADB﹣∠DBA=180°﹣∠CEB﹣∠CBE=∠C,
    又∵AB为⊙O的直径,
    ∴∠C=90°,
    ∴∠DAB=90°,
    ∴DA是⊙O的切线;
    (2)解:如图,连接OC,
    ∵OA=OC,
    ∴∠OAC=∠OCA=40°,
    ∴∠AOC=180°﹣40°﹣40°=100°,
    ∴的长为.
    24.(10分)如图,是一种学生双肩背包,其背带由固定带、活动带和调节扣构成.使用时,可以通过调节调节扣使背带的总长度(固定带与活动带使用部分的长度总和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设活动带未使用部分的长度为x cm,背带的总长度为y cm,经测量,得到如下数据:(说明:本题只讨论一条背带)
    (1)根据表中数据的规律,填空:m= 50 ,n= 40 ;
    (2)当5≤x≤30时,求y关于x的函数解析式;
    (3)在下面的平面直角坐标系中,请直接画出(2)中的函数图象;
    (4)根据小敏的身高和习惯,背带的总长度为52cm时,背起来最合适,请求出此时活动带未使用部分的长度.
    【分析】(1)观察表格可知,y是x的一次函数,设y=kx+b,利用待定系数法即可解决问题;
    (2)列出方程组即可解决问题;
    (3)由题意当y=0,x=130,当x=0时,y=65,可得65≤a≤130.
    【解答】解:(1)观察表格可知,y是x的一次函数,设y=kx+b,
    则有,
    解得,
    ∴y=﹣x+70.
    当x=20时,m=50,当x=30时,n=40;
    故答案为:m=50,n=40;
    (2)当5≤x≤30时,y关于x的函数解析式为y=﹣x+70;
    (3)图象如下图:
    (4)由题意当y=52,
    ∴52=﹣x+70,
    ∴x=18,
    ∴活动带未使用部分的长度为18cm.
    25.(10分)问题探究
    (1)如图1,在菱形ABCD中,∠A=120°,AB=4,点P为边CD的中点,Q为边AD上一点,且DP+DQ=5,连接BP、PQ、BQ,求△BPQ的面积;
    问题解决
    (2)为响应市政府“建设美丽城市,改善生活环境”的号召,某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场,∠A=∠ABC=∠C=90°,AB=40米,BC=60米.按照规划要求,点P、Q分别在边CD、AD上,满足DP+DQ=40米,连接BP、PQ、BQ,其中△PBQ为健身休闲区,其他区域为景观绿化区,为了使绿化面积尽可能大,希望健身休闲区的面积尽可能小,那么按此要求修建的这个健身休闲区(△PBQ)是否存在最小面积?若存在,求出最小面积及此时DP的长;若不存在,请说明理由.
    【分析】(1)过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E,过点P作PM⊥AD于点M,延长MP交BC的延长线于点N,如何根据S△BPQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ即可得出答案;
    (2)由题意可知四边形ABCD是矩形,设DP=x米,则CP=(40﹣x)米,DQ=(40﹣x)米,AQ=(20+x)米,可得S△BPQ=S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ=x2﹣10x+800,然后化为顶点式即可求得结果.
    【解答】解:(1)如图,过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E,过点P作PM⊥AD于点M,延长MP交BC的延长线于点N,
    ∴∠BAE=∠ABC=∠DCN=∠D=60°,
    在菱形ABCD中,AB=4,点P为边CD的中点,
    ∴DP=CP=2,
    ∵DP+DQ=5,
    ∴DQ=3,
    ∴AQ=1,
    在Rt△ABE中,BE=AB•sin60°=2,
    在Rt△CPN中,PN=CP•sin60°=,
    在Rt△DPM中,PM=DP•sin60°=,
    ∴S△BPQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ
    =4×2﹣×1×2﹣×4×﹣×3×
    =.
    (2)∵∠A=∠ABC=∠C=90°,
    ∴四边形ABCD是矩形,
    ∴AB=CD=40米,BC=AD=60米,
    设DP=x米,则CP=(40﹣x)米,DQ=(40﹣x)米,AQ=(20+x)米,
    ∴S△BPQ=S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△BCP﹣S△DPQ
    =40×60﹣×40(20+x)﹣×60×(40﹣x)﹣x(40﹣x)
    =x2﹣10x+800
    =(x﹣10)2+750.
    ∴当x=10时,S△BPQ的最小值为750.
    ∴按此要求修建的这个健身休闲区(△PBQ)存在最小面积,最小面积为750平方米,此时DP的长为10米.
    26.(10分)综合与实践段BN.
    【问题情境】如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作60°、30°、15°等大小的角,该怎么办呢?
    【实践探究】小西进行了以下操作研究(如图1):
    第1步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平.
    第2步:再次折叠纸片,使点4落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到了线段BN.
    小雅在小西研究的基础上,再次动手操作(如图2):
    (1)直接写出BE和BN的数量关系: BE=BN ;
    (2)请求出∠ABM的度数;
    (3)求证:四边形BGHM是菱形.
    【分析】(1)根据折叠的性质即可解决问题;
    (2)结合(1)证明∠BNE=30°,由折叠可得BM平分∠ABN,进而可以解决问题;
    (3)根据翻折的性质证明△BNM≌△BNG(ASA),得BM=BG,然后证明四边形BGHM是平行四边形,进而可以解决问题.
    【解答】(1)解:BE=BN,理由如下:
    ∵对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,
    ∴AE=BE=AB,AB=BN,
    ∴BE=BN,
    故答案为:BE=BN;
    (2)解:∵∠BEN=90°,BE=BN,
    ∴sin∠BNE==,
    ∴∠BNE=30°,
    ∴∠ABN=60°,
    由折叠可知:BM平分∠ABN,
    ∴∠ABM=ABN=30°;
    (3)证明:由(1)知:∠NBM=∠ABM=30°,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD∥BC,∠A=∠ABC=90°,
    ∴∠CBN=30°,
    ∴∠MBN=∠CBN=30°,
    由翻折可知:∠BNM=∠A=90°,
    ∵BN=BN,
    ∴△BNM≌△BNG(ASA),
    ∴BM=BG,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠BHM=∠CBN=30°,
    ∴∠BHM=∠MBN=30°,
    ∴BM=HM,
    ∴BG=HM,
    ∵AD∥BC,
    ∴四边形BGHM是平行四边形,
    ∵BM=HM,
    ∴四边形BGHM是菱形.
    5.9
    9.9
    6.0
    5.2
    8.2
    6.2
    7.6
    9.4
    8.2
    7.8
    5.1
    7.5
    6.1
    6.3
    6.7
    7.9
    8.2
    8.5
    9.2
    9.8
    销售额/万元
    5≤x<6
    6≤x<7
    7≤x<8
    8≤x<9
    9≤x<10
    频数
    3
    5
    a
    4
    4
    平均数
    众数
    中位数
    7.44
    8.2
    b
    活动带未使用部分的
    长度x(cm分)
    5
    10
    15
    20

    30
    背带的总长度y(cm)
    65
    60
    55
    m

    n
    5.9
    9.9
    6.0
    5.2
    8.2
    6.2
    7.6
    9.4
    8.2
    7.8
    5.1
    7.5
    6.1
    6.3
    6.7
    7.9
    8.2
    8.5
    9.2
    9.8
    销售额/万元
    5≤x<6
    6≤x<7
    7≤x<8
    8≤x<9
    9≤x<10
    频数
    3
    5
    a
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    4
    平均数
    众数
    中位数
    7.44
    8.2
    b
    活动带未使用部分的
    长度x(cm分)
    5
    10
    15
    20

    30
    背带的总长度y(cm)
    65
    60
    55
    m

    n
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