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2024年广西钦州市中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年广西钦州市中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2的绝对值是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.下列几何体中，俯视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3.我国自主研发的500m口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为2500000m2.用科学记数法表示数据250000为( )
A. 0.25×106B. 25×104C. 2.5×104D. 2.5×105
4.任意画一个三角形，其内角和是360°.这个事件是( )
A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 不确定性事件
5.在数轴上表示不等式x−1<0的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列运算中，正确的是( )
A. (a2)3=a8B. (−3a)2=6a2C. a2⋅a3=a5D. a9÷a3=a3
7.一元二次方程x2+3x−1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
8.如图，已知圆锥的底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为( )
A. 9π
B. 6π
C. 3π
D. π
9.如图，直线y=−32x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是( )
A. (2,5)B. (3,5)C. (5,2)D. ( 13,2)
10.2023年5月23日，平陆运河全线动工建设，某运输公司承担该建设项目某段总量为250000立方米土石方的运送任务，原计划每天运送土石方a立方米，但由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2000立方米，结果工期比原计划减少了12天，则可列方程( )
A. 250000a+2000−12=250000aB. 250000a+2000−250000a=12
C. 250000a−2500002000=12D. 250000a−250000a+2000=12
11.由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是( )
A. B. C. D.
12.如图，点A在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB//x轴，BC=2AC，D是x轴上一点，连接AD，BD，则△ABD的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 52
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13. x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
14.因式分解：x2−2x+1= ．
15.“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德.小刚和小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，分别随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是______．
16.圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，⊙O的半径为4cm，圆心O到油面AB的距离为2cm，则水面AB的宽度为______cm．
17.对于两个非零数x，y，定义一种新的运算：x*y=ax+by，若1*(−1)=2，则(−3)*3的值为______．
18.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB//CD，BC=3，DC=4，点E在BC上，且BE=1，F，G为边AB上的两个动点，且FG=1，则四边形DGFE的周长的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：1×(−2)3−4×(−3)+5．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(2m−1)(2m+1)−4m(m+1)，其中m=14．
21.(本小题10分)
如图，AC是菱形ABCD的对角线．
(1)作边AB的垂直平分线EF，分别与AB，AC交于点E，F(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，连接FB，若∠D=130°，求∠CBF的度数．
22.(本小题10分)
“三月三”是广西重要的传统节日，在节日期间人们会开展丰富多彩的活动，其中“抛绣球”是壮族最为流行的传统体育项目之一.在某次民族运动会的高杆投绣球团体比赛中，共有30支代表队参赛，每支代表队10人，每人投10次，投进1个计1分，不进或违规投球计0分，随机抽取两个代表队的比赛得分如下：
甲队：5 6 6 8 8 9 9 9 10 10
乙队：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
得分统计图：
得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)S甲2 ______S乙2(填“>”“=”或“<”)；
(2)请直接写出m，n的值；
(3)按比赛规定，得分9分以上为A等级，请估计本次比赛30支代表队中获得A等级共有多少人？
(4)从中位数和方差中任选其一进行分析，你认为甲，乙哪个队发挥的更好？请说明理由．
23.(本小题10分)
综合与实践：某校数学活动小组要测量校园内一棵树的高度，小王同学带领小组成员进行此项实践活动，活动过程如下：
24.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，已知AC平分∠EAB．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AC=8，求DE的长．
25.(本小题10分)
许多数学问题源于生活.如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线.在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点.点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称.OC=4分米，点A到x轴的距离是2分米，A，B两点之间的距离是12分米．
(1)求抛物线的解析式(不要求写自变量x取值范围)；
(2)如图③，分别延长AO，BO交抛物线于点E，F，请直接写出E，F两点间距离的值；
(3)如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向左平移m(m>0)个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2.若S2=12S1，求m的值．
26.(本小题10分)
【问题情境】小杨在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究：在正方形ABCD的边AD上任意取一点G，以AG为边长向外作正方形AEFG，连接FC．
【尝试探究】
(1)如图①，连接EG，并延长EG，与FC交于点O，与BC的延长线交于点P．
求证：点O是FC的中点；
(2)如图②，连接BD，与FC交于点O，小杨发现点O也是FC的中点，请证明该发现；
【拓展延伸】
(3)如图③，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转α，若点O是FC的中点，连接OB，OE，BE，请判断△BOE的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的绝对值是2，
即|−2|=2．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据常见简单几何体的三视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：250000=2.5×105，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：任意画一个三角形，其内角和是180°，所以“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件．
故选：B．
根据三角形内角和是180度，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
本题考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
【解答】
解：x−1<0，
∴x<1，
在数轴上表示不等式的解集为：，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：(a2)3=a6，故A计算错误，不符合题意；
(−3a)2=9a2，故B计算错误，不符合题意；
a2⋅a3=a5，故C计算正确，符合题意；
a9÷a3=a6，故D计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．
本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．熟练掌握各运算法则是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵Δ=b2−4ac=32−4×(−1)=9+4=13>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
利用一元二次方程根的判别式，得出Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程没有实数根．确定a，b，c的值，代入公式判断出Δ的符号．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的应用在中考中是热点问题，特别注意运算的正确性．
8.【答案】B
【解析】解：∵圆锥底面圆的半径为3，
∴圆锥底面圆的周长为：2πr=2π×3=6π，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为：6π．
故选：B．
根据圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长，所以只要求出圆锥底面圆的周长即可．
此题主要考查了圆锥侧面展开图与圆锥各部分对应情况，这个问题在中考中是重点题型．
9.【答案】C
【解析】解：当x=0时，y=−32x+3=3，则B点坐标为(0,3)；
当y=0时，−32x+3=0，解得x=2，则A点坐标为(2,0)，
则OA=2，OB=3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC=90°，∠ACD=∠AOB=90°，AC=AO=2，CD=OB=3，
即AC⊥x轴，CD//x轴，
∴点D的坐标为(5,2)．
故选：C．
先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为(0,3)，A点坐标为(2,0)，则OA=2，OB=3，再根据旋转的性质得∠OAC=90°，∠ACD=∠AOB=90°，AC=AO=2，CD=OB=3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：原计划每天运送土石方a立方米，则实际平均每天运送土石(a+2000)立方米，
由题意得：250000a−250000a+2000=12．
故选：D．
原计划每天运送土石方a立方米，则实际平均每天运送土石(a+2000)立方米，根据题意列出分式方程即可．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找到等量关系是解题关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】
根据化学知识和函数图象的知识，逐项分析即可．
本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图象即可．
【解答】
解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始PH>7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，PH值逐渐减小，趋近于7．
故选：B．
12.【答案】C
【解析】解：∵点A在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，
∴设A的坐标为(n,1n)，
∵AB//x轴，且点B在反比例函数y=kx(x<0)，
∴1n=kx，
∴x=nk，
即点B的坐标为(nk,1n)，
∵BC=2AC，
∴−nk=2n，
此时k=−2，
∴S△ABD=AB×1n×12=(−k+1)×12=32，
故选：C．
先表示A的坐标为(n,1n)，结合AB//x轴，且点B在反比例函数y=kx(x<0)，得出点B的坐标为(nk,1n)，因为BC=2AC，得出k=−2，再根据k的几何意义进行列式计算，即可作答．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是学会利用参数解决问题．
13.【答案】x≥0
【解析】解：由题意可知：x≥0．
故答案为：x≥0．
根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
14.【答案】x−12．
【解析】【分析】
本题考查了公式法分解因式，根据完全平方公式分解，即可得到答案．
【解答】
解：原式=x−12．
故答案为x−12．
15.【答案】13
【解析】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一处的结果数为3，
∴小刚和小强两人恰好选择同一处的概率=39=13，
故答案为：13．
画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
16.【答案】4 3
【解析】解：过点O作OD⊥AB，连接OA，
由题意可知，OA=4，OD=2，
在Rt△OAD中，AD= OA2−OD2= 42−22=2 3，
∴AB=2AD=4 3，
故答案为：4 3．
过点O作OD⊥AB，连接OA，根据勾股定理计算即可．
本题主要考查勾股定理和垂径定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17.【答案】−6
【解析】解：∵1*(−1)=2，
∴a×1+b×(−1)=2，即a−b=2，
∴(−3)*3=a×(−3)+b×3=−3a+3b=−3(a−b)=−3×2=−6，
故答案为：−6．
根据新定义的运算法则即可求出答案．
本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】2 5+6
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB//CD，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∵BE=1，BC=3，
∴CE=BC−BE=3−1=2，
在Rt△DCE中，DC=4，CE=2，
∴DE= DC2+CE2= 42+22=2 5，
∵FG=1，
∴四边形DEFG的周长为=DG+EF+2 5+1，
要使四边形DEFG的周长最小，只要DG+EF最小即可，
过点F作FP//DC交DC于点P，则四边形DGFP是平行四边形，
∴FP=DG，DP=FG=1，
∵DC=4，
∴CP=DC−DP=4−1=3
延长CB到点Q，使BQ=BE=1，连接QF，则QF=EF，
∴CQ=BC+BQ=3+1=4，
∴DG+EF=PF+QF，
当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP，
∴DG+EF的最小值为QP，
在Rt△PCQ中，QP= PC2+QC2= 32+42=5，
∴四边形DEFG的周长为=5+2 5+1=2 5+6，
故答案为：2 5+6．
先确定DE和FG的长为确定的值，得到四边形DEFG的周长最小时，即为DG+EF最小时，过点F作FP//DG得平行四边形DGFP，知FP=DG，DP=FG=1，作点E关于AB对称点Q，连接QF，则QF=EF，连接QP，当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP，得到DG+EF最小为QP，在Rt△PCQ中由勾股定理可得QP，从而可求出结论．
本题考查轴对称−最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键．
19.【答案】解：原式=1×(−8)+12+5
=−8+17
=9．
【解析】先计算乘方，再算乘除，然后算加减即可．
本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(2m−1)(2m+1)−4m(m+1)
=(2m)2−1−4m2−4n
=4m2−1−4m2−4m
=−1−4m，
当m=14时，
=−1−4×14
=−1−1
=−2．
【解析】首先计算平方差公式和单项式乘以多项式，然后计算加减，代入求解即可．
此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式，熟练掌握平方差公式是关键．
21.【答案】解：(1)见图：直线 EF 为所求的图形；
(2)如图，连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠D=130°，
∴∠BAC=12×(180°−130°)=25°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠ABF=∠BAC=25°，
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=130°−25°=105°．
【解析】(1)按照尺规作图的要求作出边AB的垂直平分线即可；
(2)由菱形的性质以及垂直平分线的性质计算即可．
本题主要考查尺规作图，菱形的性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
22.【答案】>
【解析】解：(1)由折线统计图可知，甲的波动大，故甲的方差大，
故答案为：>；
(2)根据甲的数据按由小到大排列，第5个数和第6个数分别是8，9，故甲的中位数是m=8+92=8.5，
乙队的平均数n=110(6+7+7+8+8+8+8+9+9+10)=8，
(3)30×10×820=120(人)；
答：所有代表队获得 A 等级共有 120 人．
(4)方法一：甲代表队发挥的更好，因为：甲代表队成绩的中位数 8.5 高于乙代表队成绩的中位数 8，说明甲代表队得分超 过 8.5 的人超过一半．
方法二：乙代表队发挥的更好，因为：甲，乙两队的平均分相同，而乙代表队成绩的方差低于甲代表队的方差，说明 乙代表队的得分更稳定．
(1)根据折线统计图可得甲的波动大，即得甲的方差大，
(2)分别根据中位数、平均数的定义求解；
(3)由A等级的百分比乘以总人数即可求出，
(4)根据甲乙两队的中位数、或方差、平均数比较即可得出结论．
本题考查了数据统计与分析，掌握平均数、中位数、方差的定义是解题的关键．
23.【答案】解：∵AE⊥EG，BG⊥EG，AC⊥BG，
∴∠AEG=∠CGE=∠ACG=90°，
∴四边形AEGC是矩形，
∴CG=AE=1.53m，
在Rt△ACB中，BC=AC⋅tanα=(4+CD)⋅tan30°，
在Rt△BCD中，BC=CD⋅tanβ=CD⋅tan45°=CD，
∴BC=(4+BC)⋅tan30°，
即 33(4+BC)=BC，
解得BC=2 3+2，
BG=BC+CG=2 3+2+1.53=2 3+3.53≈7.0(m)，
答：树高度BG约为7.0m．
【解析】先证明四边形AEGC是矩形，得出CG=AE=1.53m，解直角三角形得出BC=AC⋅tanα=(4+CD)⋅tan30°，BC=CD⋅tanβ=CD⋅tan45°=CD，得出BC=(4+BC)⋅tan30°，求出BC=2 3+2，最后求出结果即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC//AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC 是半径，
∴CE 是⊙O 的切线；
(2)解：∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ACB=90°，
在 Rt△ABC中，BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵∠OAC=∠CAE，
∴BC=CD，
∴CD=BC=6，
∵∠ABC+∠ADC=∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
又∵∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
∴BCAB=DECD，
即610=DE6，
解得DE=3.6．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE=∠OCA，进而得到OC//AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
(2)利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系进行计算即可求出DE的长．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握这些性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+c，
由题意得，抛物线过点A(6,2)，C(0,4)，
∴36a+c=2c=4，
解得a=−118c=4，
∴抛物线的解析式为：y=−118x2+4；
(2)设直线OA的解析式为y=kx，
∵直线OA过点A(6,2)，
∴6k=2，解得k=13，
∴直线OA的解析式为y=13x，
解方程组y=13xy=−118x2+4，
解得x1=−12y1=−4或x2=6y2=2，
∴点E的坐标为(−12,−4)，
根据对称可得点F的坐标为(12,−4)，
∴EF=12−(−12)=24(分米)；
(3)设平移后的抛物线解析式为：y=−118(x+m)2+4，
令x=0，则y=−118m2+4；
此时抛物线与 y 轴的交点设为D(0,−118m2+4)，
∵平移前后抛物线和 x 轴交点间的距离不变，又S2=12S1，
则OD=12OC，
即|−118m2+4|=12×|4|，
解得：m=±6或m=±6 3(舍去负值)，
∴m的值为m=6或m=6 3．
【解析】(1)根据题意得到点A，C的坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+c，把点A，C的坐标代入，即可求解；
(2)运用待定系数法求出直线OA的解析式为y=13x，方程组y=13xy=−118x2+4得到点E的坐标，根据对称得到点F的坐标，进而可解答；
(3)设平移后的抛物线解析式为y=−118(x+m)2+4，则得到此时抛物线与 y 轴的交点D(0,−118m2+4)，根据S2=12S1，结合两个三角形的底相同，即可得到OD=12OC，进而即可解答．
本题考查待定系数法，抛物线与直线的交点，函数图象的平移，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴BC=BA，FE=AE，∠AEF+∠ABC=90°，∠AEG=∠FEG=45°，
∴∠P=45°，
∴BE=BP，
∴BA+AE=BC+CP，
∴AE=CP，即FE=CP，
在△OFE和△OCP中，
∠FOE=∠COP∠FEO=∠CPO=45°FE=CP，
∴△OFE≌△OCP(AAS)，
∴OF=OC，
∴点O是FC的中点；
(2)证明：如图②，延长EF，交BD的延长线于点M，
由题意可知：∠E=90°，∠EBM=∠CBM=45°，EF=EA，AB=BC，
∴∠M=∠EBM=45°，
∴EM=EB，则EM−EF=EB−EA，
∴MF=AB=BC，
在△OMF和△OBC中，
∠MOF=∠BOC∠M=∠OBC=45°MF=BC，
∴△OMF≌△OBC(AAS)，
∴OF=OC，
∴点O是FC的中点；
(3)解：△BOE是等腰直角三角形，理由如下：
如图③，延长EO至Q，使OQ=OE，连接CQ，BQ，延长BC和EF，交于点N，
在△OFE和△OCQ中，
OQ=OE∠COQ=∠FOEOC=OF，
∴△OFE≌△OCQ(SAS)，
∴CQ=FE，∠CQO=∠FEO，
∴CQ//FE，
∴∠N=∠NCQ，
∴∠BCQ=180°−∠NCQ=180°−∠N，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴∠NEA=∠NBA=90°，BC=BA，AE=EF=QC，
∴∠BAE=360°−∠NEA−∠NBA−∠N=180°−∠N，
∴∠BCQ=∠BAE，
∴△ABE≌△CBQ(SAS)，
∴BE=BQ，∠ABE=∠CBQ，
∴∠EBC+∠CBQ=∠EBC+∠ABE=90°，
∴∠QBE=90°，
∴BO⊥QE，OE=OB=12EQ，
∴△BOE是等腰直角三角形．
【解析】(1)根据正方形的性质得到BC=BA，FE=AE，∖angAEF=∖angABC=90°，∠AEG=∠FEG=45°，进而证得FE=CP，证明△OFE≌△OCP(AAS)得到OF=OC即可；
(2)如图2，延长EF，交BD的延长线于点M，证明△OMF≌△OBC(AAS)即可得到OF=OC；
(3)如图3，延长EO至 Q，使OQ=OE，连接CQ，BQ，延长BC和EF，交于点N，证明△OFE≌△OCQ得到CQ=FE，∠CQO=∠FEO，进而∠N=∠NCQ，再证明△ABE≌△CBQ得到BE=BQ，∠ABE=∠CBQ，进而∠QBE=90°，得到BO⊥QE，OE=OB=12EQ即可得结论．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定等知识，熟练掌握正方形的性质，利用全等三角形的性质求解是解答的关键．平均数
中位数
方差
甲
8
m
S甲2
乙
n
8
S乙2
【自制工具】
如图①，自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角．
【实地测量】
如图②，小王同学站在离树一定距离的平地上，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点，测量后得出仰角α=30°.小王继续往前走，如图③，从水平地面的E点向前走4米到达点F，测量后得出仰角β=45°，眼睛到地面的距离AE=1.53m．
【问题解决】
计算树的高度BG，结果精确到0.1m.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
1.−2的绝对值是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.下列几何体中，俯视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3.我国自主研发的500m口径球面射电望远镜(FAST)有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为2500000m2.用科学记数法表示数据250000为( )
A. 0.25×106B. 25×104C. 2.5×104D. 2.5×105
4.任意画一个三角形，其内角和是360°.这个事件是( )
A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 不确定性事件
5.在数轴上表示不等式x−1<0的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列运算中，正确的是( )
A. (a2)3=a8B. (−3a)2=6a2C. a2⋅a3=a5D. a9÷a3=a3
7.一元二次方程x2+3x−1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
8.如图，已知圆锥的底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为( )
A. 9π
B. 6π
C. 3π
D. π
9.如图，直线y=−32x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是( )
A. (2,5)B. (3,5)C. (5,2)D. ( 13,2)
10.2023年5月23日，平陆运河全线动工建设，某运输公司承担该建设项目某段总量为250000立方米土石方的运送任务，原计划每天运送土石方a立方米，但由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2000立方米，结果工期比原计划减少了12天，则可列方程( )
A. 250000a+2000−12=250000aB. 250000a+2000−250000a=12
C. 250000a−2500002000=12D. 250000a−250000a+2000=12
11.由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是( )
A. B. C. D.
12.如图，点A在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB//x轴，BC=2AC，D是x轴上一点，连接AD，BD，则△ABD的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 52
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13. x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
14.因式分解：x2−2x+1= ．
15.“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德.小刚和小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，分别随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是______．
16.圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，⊙O的半径为4cm，圆心O到油面AB的距离为2cm，则水面AB的宽度为______cm．
17.对于两个非零数x，y，定义一种新的运算：x*y=ax+by，若1*(−1)=2，则(−3)*3的值为______．
18.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB//CD，BC=3，DC=4，点E在BC上，且BE=1，F，G为边AB上的两个动点，且FG=1，则四边形DGFE的周长的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：1×(−2)3−4×(−3)+5．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(2m−1)(2m+1)−4m(m+1)，其中m=14．
21.(本小题10分)
如图，AC是菱形ABCD的对角线．
(1)作边AB的垂直平分线EF，分别与AB，AC交于点E，F(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，连接FB，若∠D=130°，求∠CBF的度数．
22.(本小题10分)
“三月三”是广西重要的传统节日，在节日期间人们会开展丰富多彩的活动，其中“抛绣球”是壮族最为流行的传统体育项目之一.在某次民族运动会的高杆投绣球团体比赛中，共有30支代表队参赛，每支代表队10人，每人投10次，投进1个计1分，不进或违规投球计0分，随机抽取两个代表队的比赛得分如下：
甲队：5 6 6 8 8 9 9 9 10 10
乙队：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
得分统计图：
得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)S甲2 ______S乙2(填“>”“=”或“<”)；
(2)请直接写出m，n的值；
(3)按比赛规定，得分9分以上为A等级，请估计本次比赛30支代表队中获得A等级共有多少人？
(4)从中位数和方差中任选其一进行分析，你认为甲，乙哪个队发挥的更好？请说明理由．
23.(本小题10分)
综合与实践：某校数学活动小组要测量校园内一棵树的高度，小王同学带领小组成员进行此项实践活动，活动过程如下：
24.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，已知AC平分∠EAB．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AC=8，求DE的长．
25.(本小题10分)
许多数学问题源于生活.如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线.在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点.点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称.OC=4分米，点A到x轴的距离是2分米，A，B两点之间的距离是12分米．
(1)求抛物线的解析式(不要求写自变量x取值范围)；
(2)如图③，分别延长AO，BO交抛物线于点E，F，请直接写出E，F两点间距离的值；
(3)如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向左平移m(m>0)个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2.若S2=12S1，求m的值．
26.(本小题10分)
【问题情境】小杨在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究：在正方形ABCD的边AD上任意取一点G，以AG为边长向外作正方形AEFG，连接FC．
【尝试探究】
(1)如图①，连接EG，并延长EG，与FC交于点O，与BC的延长线交于点P．
求证：点O是FC的中点；
(2)如图②，连接BD，与FC交于点O，小杨发现点O也是FC的中点，请证明该发现；
【拓展延伸】
(3)如图③，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转α，若点O是FC的中点，连接OB，OE，BE，请判断△BOE的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的绝对值是2，
即|−2|=2．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据常见简单几何体的三视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：250000=2.5×105，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：任意画一个三角形，其内角和是180°，所以“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件．
故选：B．
根据三角形内角和是180度，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
本题考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
【解答】
解：x−1<0，
∴x<1，
在数轴上表示不等式的解集为：，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：(a2)3=a6，故A计算错误，不符合题意；
(−3a)2=9a2，故B计算错误，不符合题意；
a2⋅a3=a5，故C计算正确，符合题意；
a9÷a3=a6，故D计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．
本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．熟练掌握各运算法则是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵Δ=b2−4ac=32−4×(−1)=9+4=13>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
利用一元二次方程根的判别式，得出Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程没有实数根．确定a，b，c的值，代入公式判断出Δ的符号．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的应用在中考中是热点问题，特别注意运算的正确性．
8.【答案】B
【解析】解：∵圆锥底面圆的半径为3，
∴圆锥底面圆的周长为：2πr=2π×3=6π，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为：6π．
故选：B．
根据圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长，所以只要求出圆锥底面圆的周长即可．
此题主要考查了圆锥侧面展开图与圆锥各部分对应情况，这个问题在中考中是重点题型．
9.【答案】C
【解析】解：当x=0时，y=−32x+3=3，则B点坐标为(0,3)；
当y=0时，−32x+3=0，解得x=2，则A点坐标为(2,0)，
则OA=2，OB=3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC=90°，∠ACD=∠AOB=90°，AC=AO=2，CD=OB=3，
即AC⊥x轴，CD//x轴，
∴点D的坐标为(5,2)．
故选：C．
先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为(0,3)，A点坐标为(2,0)，则OA=2，OB=3，再根据旋转的性质得∠OAC=90°，∠ACD=∠AOB=90°，AC=AO=2，CD=OB=3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：原计划每天运送土石方a立方米，则实际平均每天运送土石(a+2000)立方米，
由题意得：250000a−250000a+2000=12．
故选：D．
原计划每天运送土石方a立方米，则实际平均每天运送土石(a+2000)立方米，根据题意列出分式方程即可．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找到等量关系是解题关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】
根据化学知识和函数图象的知识，逐项分析即可．
本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图象即可．
【解答】
解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始PH>7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，PH值逐渐减小，趋近于7．
故选：B．
12.【答案】C
【解析】解：∵点A在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，
∴设A的坐标为(n,1n)，
∵AB//x轴，且点B在反比例函数y=kx(x<0)，
∴1n=kx，
∴x=nk，
即点B的坐标为(nk,1n)，
∵BC=2AC，
∴−nk=2n，
此时k=−2，
∴S△ABD=AB×1n×12=(−k+1)×12=32，
故选：C．
先表示A的坐标为(n,1n)，结合AB//x轴，且点B在反比例函数y=kx(x<0)，得出点B的坐标为(nk,1n)，因为BC=2AC，得出k=−2，再根据k的几何意义进行列式计算，即可作答．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是学会利用参数解决问题．
13.【答案】x≥0
【解析】解：由题意可知：x≥0．
故答案为：x≥0．
根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
14.【答案】x−12．
【解析】【分析】
本题考查了公式法分解因式，根据完全平方公式分解，即可得到答案．
【解答】
解：原式=x−12．
故答案为x−12．
15.【答案】13
【解析】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一处的结果数为3，
∴小刚和小强两人恰好选择同一处的概率=39=13，
故答案为：13．
画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
16.【答案】4 3
【解析】解：过点O作OD⊥AB，连接OA，
由题意可知，OA=4，OD=2，
在Rt△OAD中，AD= OA2−OD2= 42−22=2 3，
∴AB=2AD=4 3，
故答案为：4 3．
过点O作OD⊥AB，连接OA，根据勾股定理计算即可．
本题主要考查勾股定理和垂径定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17.【答案】−6
【解析】解：∵1*(−1)=2，
∴a×1+b×(−1)=2，即a−b=2，
∴(−3)*3=a×(−3)+b×3=−3a+3b=−3(a−b)=−3×2=−6，
故答案为：−6．
根据新定义的运算法则即可求出答案．
本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】2 5+6
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB//CD，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∵BE=1，BC=3，
∴CE=BC−BE=3−1=2，
在Rt△DCE中，DC=4，CE=2，
∴DE= DC2+CE2= 42+22=2 5，
∵FG=1，
∴四边形DEFG的周长为=DG+EF+2 5+1，
要使四边形DEFG的周长最小，只要DG+EF最小即可，
过点F作FP//DC交DC于点P，则四边形DGFP是平行四边形，
∴FP=DG，DP=FG=1，
∵DC=4，
∴CP=DC−DP=4−1=3
延长CB到点Q，使BQ=BE=1，连接QF，则QF=EF，
∴CQ=BC+BQ=3+1=4，
∴DG+EF=PF+QF，
当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP，
∴DG+EF的最小值为QP，
在Rt△PCQ中，QP= PC2+QC2= 32+42=5，
∴四边形DEFG的周长为=5+2 5+1=2 5+6，
故答案为：2 5+6．
先确定DE和FG的长为确定的值，得到四边形DEFG的周长最小时，即为DG+EF最小时，过点F作FP//DG得平行四边形DGFP，知FP=DG，DP=FG=1，作点E关于AB对称点Q，连接QF，则QF=EF，连接QP，当Q，F，P三点共线时，QF+PF的值最小，为QP，得到DG+EF最小为QP，在Rt△PCQ中由勾股定理可得QP，从而可求出结论．
本题考查轴对称−最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键．
19.【答案】解：原式=1×(−8)+12+5
=−8+17
=9．
【解析】先计算乘方，再算乘除，然后算加减即可．
本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：(2m−1)(2m+1)−4m(m+1)
=(2m)2−1−4m2−4n
=4m2−1−4m2−4m
=−1−4m，
当m=14时，
=−1−4×14
=−1−1
=−2．
【解析】首先计算平方差公式和单项式乘以多项式，然后计算加减，代入求解即可．
此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式，熟练掌握平方差公式是关键．
21.【答案】解：(1)见图：直线 EF 为所求的图形；
(2)如图，连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠D=130°，
∴∠BAC=12×(180°−130°)=25°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠ABF=∠BAC=25°，
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=130°−25°=105°．
【解析】(1)按照尺规作图的要求作出边AB的垂直平分线即可；
(2)由菱形的性质以及垂直平分线的性质计算即可．
本题主要考查尺规作图，菱形的性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
22.【答案】>
【解析】解：(1)由折线统计图可知，甲的波动大，故甲的方差大，
故答案为：>；
(2)根据甲的数据按由小到大排列，第5个数和第6个数分别是8，9，故甲的中位数是m=8+92=8.5，
乙队的平均数n=110(6+7+7+8+8+8+8+9+9+10)=8，
(3)30×10×820=120(人)；
答：所有代表队获得 A 等级共有 120 人．
(4)方法一：甲代表队发挥的更好，因为：甲代表队成绩的中位数 8.5 高于乙代表队成绩的中位数 8，说明甲代表队得分超 过 8.5 的人超过一半．
方法二：乙代表队发挥的更好，因为：甲，乙两队的平均分相同，而乙代表队成绩的方差低于甲代表队的方差，说明 乙代表队的得分更稳定．
(1)根据折线统计图可得甲的波动大，即得甲的方差大，
(2)分别根据中位数、平均数的定义求解；
(3)由A等级的百分比乘以总人数即可求出，
(4)根据甲乙两队的中位数、或方差、平均数比较即可得出结论．
本题考查了数据统计与分析，掌握平均数、中位数、方差的定义是解题的关键．
23.【答案】解：∵AE⊥EG，BG⊥EG，AC⊥BG，
∴∠AEG=∠CGE=∠ACG=90°，
∴四边形AEGC是矩形，
∴CG=AE=1.53m，
在Rt△ACB中，BC=AC⋅tanα=(4+CD)⋅tan30°，
在Rt△BCD中，BC=CD⋅tanβ=CD⋅tan45°=CD，
∴BC=(4+BC)⋅tan30°，
即 33(4+BC)=BC，
解得BC=2 3+2，
BG=BC+CG=2 3+2+1.53=2 3+3.53≈7.0(m)，
答：树高度BG约为7.0m．
【解析】先证明四边形AEGC是矩形，得出CG=AE=1.53m，解直角三角形得出BC=AC⋅tanα=(4+CD)⋅tan30°，BC=CD⋅tanβ=CD⋅tan45°=CD，得出BC=(4+BC)⋅tan30°，求出BC=2 3+2，最后求出结果即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC//AE，
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC 是半径，
∴CE 是⊙O 的切线；
(2)解：∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ACB=90°，
在 Rt△ABC中，BC= AB2−AC2= 102−82=6，
∵∠OAC=∠CAE，
∴BC=CD，
∴CD=BC=6，
∵∠ABC+∠ADC=∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
又∵∠ABC=∠CDE，
∴△ABC∽△CDE，
∴BCAB=DECD，
即610=DE6，
解得DE=3.6．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE=∠OCA，进而得到OC//AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；
(2)利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系进行计算即可求出DE的长．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握这些性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+c，
由题意得，抛物线过点A(6,2)，C(0,4)，
∴36a+c=2c=4，
解得a=−118c=4，
∴抛物线的解析式为：y=−118x2+4；
(2)设直线OA的解析式为y=kx，
∵直线OA过点A(6,2)，
∴6k=2，解得k=13，
∴直线OA的解析式为y=13x，
解方程组y=13xy=−118x2+4，
解得x1=−12y1=−4或x2=6y2=2，
∴点E的坐标为(−12,−4)，
根据对称可得点F的坐标为(12,−4)，
∴EF=12−(−12)=24(分米)；
(3)设平移后的抛物线解析式为：y=−118(x+m)2+4，
令x=0，则y=−118m2+4；
此时抛物线与 y 轴的交点设为D(0,−118m2+4)，
∵平移前后抛物线和 x 轴交点间的距离不变，又S2=12S1，
则OD=12OC，
即|−118m2+4|=12×|4|，
解得：m=±6或m=±6 3(舍去负值)，
∴m的值为m=6或m=6 3．
【解析】(1)根据题意得到点A，C的坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+c，把点A，C的坐标代入，即可求解；
(2)运用待定系数法求出直线OA的解析式为y=13x，方程组y=13xy=−118x2+4得到点E的坐标，根据对称得到点F的坐标，进而可解答；
(3)设平移后的抛物线解析式为y=−118(x+m)2+4，则得到此时抛物线与 y 轴的交点D(0,−118m2+4)，根据S2=12S1，结合两个三角形的底相同，即可得到OD=12OC，进而即可解答．
本题考查待定系数法，抛物线与直线的交点，函数图象的平移，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴BC=BA，FE=AE，∠AEF+∠ABC=90°，∠AEG=∠FEG=45°，
∴∠P=45°，
∴BE=BP，
∴BA+AE=BC+CP，
∴AE=CP，即FE=CP，
在△OFE和△OCP中，
∠FOE=∠COP∠FEO=∠CPO=45°FE=CP，
∴△OFE≌△OCP(AAS)，
∴OF=OC，
∴点O是FC的中点；
(2)证明：如图②，延长EF，交BD的延长线于点M，
由题意可知：∠E=90°，∠EBM=∠CBM=45°，EF=EA，AB=BC，
∴∠M=∠EBM=45°，
∴EM=EB，则EM−EF=EB−EA，
∴MF=AB=BC，
在△OMF和△OBC中，
∠MOF=∠BOC∠M=∠OBC=45°MF=BC，
∴△OMF≌△OBC(AAS)，
∴OF=OC，
∴点O是FC的中点；
(3)解：△BOE是等腰直角三角形，理由如下：
如图③，延长EO至Q，使OQ=OE，连接CQ，BQ，延长BC和EF，交于点N，
在△OFE和△OCQ中，
OQ=OE∠COQ=∠FOEOC=OF，
∴△OFE≌△OCQ(SAS)，
∴CQ=FE，∠CQO=∠FEO，
∴CQ//FE，
∴∠N=∠NCQ，
∴∠BCQ=180°−∠NCQ=180°−∠N，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴∠NEA=∠NBA=90°，BC=BA，AE=EF=QC，
∴∠BAE=360°−∠NEA−∠NBA−∠N=180°−∠N，
∴∠BCQ=∠BAE，
∴△ABE≌△CBQ(SAS)，
∴BE=BQ，∠ABE=∠CBQ，
∴∠EBC+∠CBQ=∠EBC+∠ABE=90°，
∴∠QBE=90°，
∴BO⊥QE，OE=OB=12EQ，
∴△BOE是等腰直角三角形．
【解析】(1)根据正方形的性质得到BC=BA，FE=AE，∖angAEF=∖angABC=90°，∠AEG=∠FEG=45°，进而证得FE=CP，证明△OFE≌△OCP(AAS)得到OF=OC即可；
(2)如图2，延长EF，交BD的延长线于点M，证明△OMF≌△OBC(AAS)即可得到OF=OC；
(3)如图3，延长EO至 Q，使OQ=OE，连接CQ，BQ，延长BC和EF，交于点N，证明△OFE≌△OCQ得到CQ=FE，∠CQO=∠FEO，进而∠N=∠NCQ，再证明△ABE≌△CBQ得到BE=BQ，∠ABE=∠CBQ，进而∠QBE=90°，得到BO⊥QE，OE=OB=12EQ即可得结论．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定等知识，熟练掌握正方形的性质，利用全等三角形的性质求解是解答的关键．平均数
中位数
方差
甲
8
m
S甲2
乙
n
8
S乙2
【自制工具】
如图①，自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角．
【实地测量】
如图②，小王同学站在离树一定距离的平地上，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点，测量后得出仰角α=30°.小王继续往前走，如图③，从水平地面的E点向前走4米到达点F，测量后得出仰角β=45°，眼睛到地面的距离AE=1.53m．
【问题解决】
计算树的高度BG，结果精确到0.1m.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
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