2024年河北省部分学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河北省部分学校中考数学一模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算中正确的是( )
A. −|−3|=3B. 40=−1
C. 51=2D. −7x=−7和x的积
2.若a=3，b=2，则 14a2b2=(保留一位小数)( )
A. 5.6B. 6.5C. 5.5D. 6.6
3.结果是xy的原式可能是( )
A. yxB. yxC. xyD. x2y2
4.若n为任意的正整数，则(3n+1)2−9n2总是能被( )
A. 2整除B. 绘画成一次函数
C. 当成任意方程的负数解D. 绘画成二次函数
5.位于廊坊的金金要到哈尔滨参观，哈尔滨位于金金家西偏南40°的方向，则金金家位于哈尔滨( )
A. 南偏西40°B. 东偏北40°C. 北偏东40°D. 西偏南40°
6.将九年级中考的七科试卷放到桌面上，分为“文科”(语文英语道德与法治历史)和“理科”(数学物理化学)两类.随机抽取，抽到文科的概率是( )
A. 37B. 12C. 47D. 34
7.天文单位是天文学中的重要单位，缩写一般记作AU，1AU=149597870700m，则其用科学记数法表示为( )
A. 1.4×1011B. 1.495978707×1011
C. 1.495978707×1010D. 1.4×1010
8.手机设计淋漓尽致的展示着美感，下列手机的后壳中，是对称图形(忽略LOGO)的是( )
A. B. C. D.
9.已知A(−1,a)，B(−2,b)，C(8,c)，均在反比例函数y=1x上，则a、b、c的大小关系是( )
A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. b>a>c
10.如图，几何体由五个完全一致的正方体组成，则其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共5小题，共15分）
11.中国铁路的转弯处可以抽象为以下模型，如图，若CA和CB都是扇形的切线，α为60°，OA=1.5km，则可以求AB的长是______．
12.打出租汽车是城市中最常见的运输方式.若出租汽车1km的起步价是5元，之后的每公里车程需要支付2元，则出租车价格y(元)和里程x(km)对应的函数是______．
13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为______．
14.若不等式2|x−1|+3|x−3|15.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BDD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，AD= 973，则命题∠ADB=2∠CBD为______命题．
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16.为了丰富学生的假期生活，美丽中学准备购买生物学、地理两科寒假作业.已知买10本生物学和40本地理学的费用是1900元，购买30本生物学和20本地理学的费用是2200元．
(1)生物学和地理寒假作业的单价分别是多少？
(2)若学校是地理强校，教研能力较强；若需要共购买600本生物学和地理的作业，并且支出不超过26000元，则能购买生物学寒假作业至多能买多少本？
17.为了丰富学生的在校生活，美丽中学准备开设A：历史，B：化学，C：生涯，D：心理四个社团，并要求每个学生只能参与并且只能参与一项社团.学校随机抽查部分学生进行调查，方便了解学生参与社团的情况，根据调查结果绘制了两张统计图，但是被小明同学的墨水浸染了统计图.请结合统计图所在的信息，解决下列问题．

(1)扇形统计图中，B所对的扇形圆心角的度数是多少？
(2)补充条形统计图．
(3)估计美丽中学2000名学生中参加心理社团的学生人数是多少？
(4)美丽中学思政部要求各社团进行思想政治建设，并且要求英语素质高的学生.学校将符合条件的两名学生(2男2女)担任思想政治引领人.请用画树状图的方法，求出恰好选中1男1女的概率．
18.如图，小祺在焦作游玩时想利用手中的手机测量焦作云台山的高度，云台山化简的模型近似为垂直于地面的模型，如图.小祺从手机处A看向云台山寺庙B的仰角是45°，从云台山寺庙到云台山顶端C的仰角是30°，看山崖底部俯角D的俯角是60°，手机B到山崖E的水平距离是50米．
(1)绘画出小祺测量云台山的模型．
(2)山崖的高度是多少？
(3)如果点A距离地面2m，求小祺到山崖E的水平距离．
19.如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8，BC=2 11，CD=12，DA=6.∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(00)，连接A′P．

(1)若点P在AB上，证明：A′P=AP；
(2)如图2，连接BD．
①求∠CBD的度数；
②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值．
20.综合与探究
如图，二次函数y=−x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①当PD=12OC时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、−|−3|=−3≠3，计算错误，不符合题意；
B、40=1≠−1，计算错误，不符合题意；
C、51=5≠2，计算错误，不符合题意；
D、根据单项式定义，−7x表示−7与x的积，计算正确，符合题意；
故选：D．
根据相关定义与运算逐项验证即可得到答案，
本题考查绝对值运算、零指数幂运算、乘方预算及代数式的意义，熟记绝对值运算、零指数幂运算、乘方预算及代数式的意义是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵ 14a2b2= 14×|ab|，a=3，b=2，
∴ 14a2b2= 14×32，
∵9<14<16，
∴3< 14<4，则4.5<32 14<6，即4.5< 632<6，
取5与6中间的数5+62=112，则(112)2=1214，
∵632=1264>1214，
∴5.5< 632<6，
由题中所给4个选项， 14a2b2≈5.6，
故选：A．
根据二次根式性质得到， 14a2b2= 14×|ab|，再由无理数估算方法，首先得到4.5< 632<6，再取5与6中间的数5+62=112确定5.5< 632<6即可得到答案．
本题考查二次根式性质及无理数估算，熟练掌握二次根式性质及无理数估算方法是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：当xy>0时， x2y2=xy，而yx不一定等于xy，yx不一定等于xy，xy不一定等于xy，
故选：D．
利用二次根式的性质化简即可判断．
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵(3n+1)2−9n2
=(3n+1+3n)(3n+1−3n)
=6n+1，
∴(3n+1)2−9n2总是能被绘画成一次函数，
故选：B．
把(3n+1)2−9n2利用平方差公式分解因式即可得到答案．
本题考查的是利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵哈尔滨位于金金家西偏南40°的方向，
∴金金家位于哈尔滨东偏北40°，
故选：B．
直接由方位角定义及表示方法即可得到答案．
本题考查方位角的定义，熟记方位角的定义及方位表示方法是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：一共有七科试卷，其中文科有四科，
∴抽到文科的概率是47．
故选：C．
根据概率公式解答即可．
本题考查了概率公式，正确记忆概率公式是解题解关键．
7.【答案】B
【解析】解：149597870700=1.495978707×1011，
故选：B．
对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是比原整数位数少1的数．
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8.【答案】AC
【解析】解：A、该图是轴对称图形，故符合题意；
B、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图是轴对称图形，故符合题意；
D、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：AC．
轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵A(−1,a)，B(−2,b)，C(8,c)，均在反比例函数y=1x上，
∴a=1−1=−1，b=1−2=−12，c=18，
∵−1<−12<18，
∴a故选：B．
将A(−1,a)，B(−2,b)，C(8,c)代入函数y=1x，比较a、b、c的大小即可得到答案．
本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：从物体左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
11.【答案】1.5km
【解析】解：连接AB，如图所示：
∵CA和CB都是扇形的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥BC，
∵α为60°，
∴∠ACB=120°，
在四边形AOBC中，∠OAC=∠OBC=90°，∠ACB=120°，则∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，即AB=OA=1.5km，
故答案为：1.5km．
连接AB，如图所示，根据邻补角定义、切线性质及圆内角和可得∠AOB=60°，再利用圆的性质，由等边三角形的判定与性质即可得到答案．
本题考查扇形中求线段长，涉及切线性质、邻补角定义、四边形内角和及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
12.【答案】y=2x+3
【解析】解：根据题意，得y=5+2(x−1)=2x+3，
故答案为：y=2x+3．
根据出租车价格=起步价+超过1km的付费，即可进行解答．
此题考查根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
13.【答案】50°
【解析】解：∵∠BAC=40°，
∴∠BDC=40°，
∵BD经过圆心O，
∴∠BCD=90°，
∴∠DBC=90°−∠BDC=50°，
故答案为：50°
先求出∠BDC=40°，再得出∠BCD=90°，最后根据直角三角形两锐角互余，即可求解．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角．
14.【答案】4
【解析】解：①当x<1时，x−1<0，x−3<0，
∴2|x−1|+3|x−3|=−2(x−1)−3(x−3)=−5x+1111−a5，
∵不等式2|x−1|+3|x−3|∴11−a5<1，解得a>6；
②当1≤x≤3时，x−1≥0，x−3≤0，
∴2|x−1|+3|x−3|=2(x−1)−3(x−3)=−x+77−a，
∵不等式2|x−1|+3|x−3|∴7−a≤3，解得a≥4；
③当x>3时，x−1>0，x−3>0，
∴2|x−1|+3|x−3|=2(x−1)+3(x−3)=5x−11∵不等式2|x−1|+3|x−3|∴11+a5>3，解得a>4；
综上所述，若不等式2|x−1|+3|x−3|故答案为：4．
根据代数意义去绝对值，分类讨论求解即可得到答案．
本题考查绝对值的代数意义，熟练掌握利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
15.【答案】真
【解析】解：过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，如图所示：
则∠AHC=∠AHB=90°，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=HC=12BC=3，
∴AH= AC2−CH2=4，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD//AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴CDAH=CEHE=DEAE，
设CD=x，
则 x4=CECE+3=DEDE+ 973，
解得CE=3x4−x，EE= 973x4−x，
∵CD2+CE2=DE2，
∴x2+(3x4−x)2=( 973x4−x)2，
解得x1=83，x2=163(舍去)，x3=0(舍去)，
∴CE=6=BC，
∴CD=DE，
∴∠DBE=∠E，
又∠ADB=∠DBE+∠E，
∴∠ADB=2∠DBE，即∠ADB=2∠DBC，
则该命题是真命题．
故答案为：真．
过点A作AH⊥BC于点H，延长AD，BC交于点E，根据等腰三角形性质得出BH=HC=12BC=3，根据勾股定理求出AH= AC2−CH2=4，证明△ECD∽△EHA，得出CDAH=CEHE=DEAE，设CD=x，求出CE=3x4−x，EE= 973x4−x，在Rt△CDE中，利用勾股定理可求出x的值，进而求出CE，即可判断出BC=CE，根据垂直平分线的性质可得出DB=DE，利用等腰三角形的性质和外角的性质可得出∠ADB=2∠CBD，即可判断．
本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质．
16.【答案】解：(1)设生物学和地理寒假作业的单价分别x元，y元，
根据题意，得10x+40y=190030x+20y=2200，
解得x=50y=35，
答：生物学和地理寒假作业的单价分别50元，35元；
(2)设购买生物学寒假作业m本，
根据题意，得50m+35(600−m)≤26000，
解得m≤33313，
答：购买生物学寒假作业至多能买333本．
【解析】(1)设生物学和地理寒假作业的单价分别x元，y元．根据题意，列出方程组求解即可．
(2)设购买生物学寒假作业m本，根据题意，列出不等式，求整数解即可．
本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，根据数量关系列出方程组和不等式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)总人数为：14÷35%=40，
B所对的扇形圆心角的度数是1240×360°=108°；
(2)A组人数为40−12−14−10=4(人)，
补图如下：

(3)1040×2000=500，
估计美丽中学2000名学生中参加心理社团的学生人数是500人；
(4)画树状图，如图，

总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中所评选2名学生为1名男生1名女生的结果有8种，所以恰好选中1名男生和1名女生的概率812=23．
【解析】(1)算出调查的总人数，然后求出B的占比，再乘以360°即可；
(2)利用调查总人数减去被调查的参与其余三类的学生人数，即可得到参与A类型的学生人数，将条形统计图补充完成即可；
(3)利用参加心理社团的学生占比乘以该中学2000名学生，即可解答；
(4)画树状图分析，根据概率公式，即可解答．
本题考查了条形统计图与扇形统计图的结合，用样本估计总体，利用列表法求概率，正确地求出利用条形统计图和扇形统计图计算出各类型的人数是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，

(2)解：由题意可知：∠CBE=30°，∠DBE=60°，BE=50，
在Rt△BEC中，tan∠CBE=CEBE，
∴CE=tan30°⋅BE= 33×50=50 33，
在Rt△BED中，tan∠DBE=EDBE，
∴ED=tan60°⋅BE= 3×50=50 3，
∴CD=CE+ED=50 33+50 3=200 33米，
答：山崖的高度约为200 33米；
(3)解：如图，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥AF于点G，得矩形BEFG，

则FD=2，GF=BE=50，
∴BG=EF=ED−FD=50 3−2，
在Rt△ABG中，∠BAG=45°，
∴∠ABG=∠GAB=45°，
∴AG=BG=50 3−2，
∴AF=AG+GF=50 3−2+50=50 3+48，
答：小明到山崖的距离约为(50 3+48)米．
【解析】(1)根据题意，补图即可；
(2)利用锐角三角函数求得CE和ED，根据CD=CE+ED，即可得到答案；
(3)过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥AF于点G，得矩形BEFG，进而求得BG，利用锐角三角函数求得AG，即可得到答案．
本题考查了解直角三角形的应用−仰俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵将线段MA绕点M顺时针旋转n° (0∴A′M=AM，
∵∠A′MA的平分线MP所在的直线交折线AB−BC于点P，
∴∠A′MP=∠AMP，
∵PM=PM，
∴△A′MP≌△AMP(SAS)，
∴A′P=AP；
(2)解：①∵AB=8，DA=6，∠A=90°，
∴BD= AB2+AD2=10，
又∵BC=2 11，CD=12，
∴BD2+BC2=100+44=144，CD2=144，
∴BD2+BC2=CD2，
∴∠CBD=90°；
②当P点在AB上时，PQ=2，∠A′MP=∠AMP，如图2所示：

∴AB=8，DA=6，∠A=90°，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10，
∴sin∠DBA=ADBD=610=35，
∴BPPQsin∠DBA=235=103，
∴AP=AB−BP=8−103=143，
∴tan∠AMP=APAM=1434=76；
当P在BC上时，则PB=2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，如图3所示：

∵∠PQB=∠CBD=∠DAB=90°，
∴∠QPB=90°−∠PBQ=∠DBA，
∴△PQB∽△BAD，
∴PQBA=QBAD=PBBD，即PQ8=QB6=PB10，
∴PQ=45PB=85，BQ=35PB=65，
∴AQ=AB+BQ=465，
∵PQ⊥AB，DA⊥AB，
∴PQ/​/AD，
∴△HPQ∽△HMA，
∴HQHA=PQAM，
∴HQHQ+465=85，解得HQ=9215，
∴tan∠AMP=tan∠QPH=HQPQ=921585=236；
综上所述，tan∠A′MP的值为76或236．
【解析】(1)根据旋转的性质和角平分线的概念得到A′M=AM，∠A′MP=∠AMP，然后证明出△A′MP≌△AMP(SAS)，即可得到A′P=AP；
(2)①首先根据勾股定理得到BD= AB2+AD2=10，然后利用勾股定理的逆定理即可求出∠CBD=90°；②当P点在AB上时，PQ=2，∠A′MP=∠AMP，分别求得BP，AP，根据正切的定义即可求解；当P在BC上时，则PB=2，过点P作PQ⊥AB，AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，证明△PQB∽△BAD，得PQ=45PB=85，BQ=35PB=65，进而求得AQ，证明△HPQ∽△HMA，即可得到答案．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由y=−x2+4x得，当y=0时，−x2+4x=0，
解得x1=0，x2=4，
∵点A在x轴正半轴上．
∴点A的坐标为(4,0)．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
将A，B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代入y=kx+b，
得4k+b=0k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+4．
将x=0代入y=−x+4，得y=4．
∴点C的坐标为(0,4)；
(2)①解：∵点P在第一象限内二次函数y=−x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m．
∴点P，D的坐标分别为P(m,−m2+4m)，D(m,−m+4)，
∴PE=−m2+4m.DE=−m+4，OE=m，
∵点C的坐标为(0,4)，
∴OC=4．PD=12OC，
∴PD=2．
如图1，当点P在直线AB上方时，PD=PE−DE=−m2+4m−(−m+4)=−m2+5m−4，

∵PD=2，
∴−m2+5m−4=2，
解得m1=2.m2=3．
如图2，当点P在直线AB下方时，PD=DE−PE=−m+4−(−m2+4m)=m2−5m+4，

∵PD=2，
∴m2−5m+4=2，
解得m=5± 172，
∵0综上所述，m的值为2或3或5− 172；
②解：如图3，

由(1)得，OE=m，PE=−m2+4m，DE=−m+4．
∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1,3)，
∴OQ=1，
∵点P在直线AB上方，
∴EQ=m−1．
∵PE⊥x轴于点E，
∴∠OQF=∠OEP=90°，
∴FQ//DE，∠FOQ=∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴FQPE=OQOE，
∴FQ−m2+4m=1m，
∴FQ=−m2+4mm=−m+4，
∴FQ=DE，
∴四边形FQED为平行四边形，
∵PE⊥x轴，
∴四边形FQED为矩形．
∴S=EQ+FQ=(m−1)(−m+4)，即S=−m2+5m−4=−(m−52)2+94，
∵−1<0，1∴当m=52时，S的最大值为94；
【解析】(1)利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
(2)①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据PD=2列一元二次方程求解即可；
②证明△FOQ∽△POE，推出FQ=−m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．