江苏省宿迁市宿豫区宿豫区昆仑山路学校2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字旁边的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 航天神舟B. 中国行星探测
C. 中国火箭D. 中国探月
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
2. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此判断即可．
【详解】解：各式中是分式的有，，共2个，
故选：B．
3. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ）
A. 了解全国中学生的睡眠时间B. 了解一批LED灯的使用寿命
C. 了解某河流的水质情况D. 检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：A．了解全国中学生的睡眠时间，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．了解一批LED灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．了解某河流的水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D．检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量，事关重大，适合全面调查，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 下列事件中，是必然事件是（ ）
A. 购买一张彩票中奖B. 射击一千次，命中靶心
C. 太阳每天从西方升起D. 任意画一个三角形，其内角和
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查必然事件、随机事件的意义和判定方法，根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【详解】解：购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项A不正确；
射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能命不中靶心，因此选项B不正确；
太阳每天只从东方升起，不会从西方升起，因此选项C不正确；
任意三角形的内角和都是180°，因此选项D正确；
故选：D．
5. 一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数为（ ）
A. 12B. 18C. 27D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率及概率的关系和题意可直接列式计算．
【详解】解：由题意得：
不透明盒子中球的总数为：（个），则红球的个数为：（个）；
故选C．
【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
6. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，

菱形中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时最短，即最小，
菱形的边长为6，
，
．
的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
8. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由角平分线定义得是等边三角形，进而得E为中点，则可得，则可判定①；易得，则可判定②；由直角三角形中斜边最长则可判定③；由是等腰三角形及O为中点可判定⑤；由含角直角三角形性质可判定④，最后可确定答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，；
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴点E为中点，
∴，
∴
∴；
∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴；
故②正确；
∵，
∴直角三角形中斜边最长，即，
故③错误；
∵，
∴平分，，
∴；
故⑤正确；
在中，，
∴；
∵，
∴
故④正确；
故正确的有4个；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形性质，灵活运用这些性质是关键．
二．填空题（共10小题）
9. 已知一个样本：6，9，11，8，7，11，12，10，9，10，12，10，9，8，13，15，10，11，12，13，________出现的频数最多，________出现的频数最少．
【答案】 ①. 10 ②. 6，7，15
【解析】
【分析】本题考查频数的定义及求法，只需根据频数的定义，找到各个数据出现的次数，即可得到答案，熟记频数的定义及求法的关键．
【详解】解：根据题意，知10出现了4次，出现的最多；6，7，15出现了1次，出现的最少，
故答案为：10；6，7，15．
10. 在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个红球的概率为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】设红球有个，根据“随机摸出一个蓝球的概率为 ”，可以求出红球的个数，最后根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
【详解】解：设红球有个，
随机摸出一个蓝球的概率为 ，
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
∴红球有3个，
∴随机摸出一个红球的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11. 若分式有意义，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，先根据分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
【详解】解：要使分式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
12. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值为，则原分式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，用代替分式中的即可运算求解，掌握分式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
∴，
即原分式的值为，
故答案为：．
13. 在一个矩形中，两条对角线与相交于点，若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质．依据矩形的性质，可得到的长，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：矩形中，两条对角线与相交于点，，
，
又，，
，
故答案为：．
14. 菱形的对角线，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．利用菱形的面积公式求出，利用菱形的性质得到， ，，，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，
，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______．

【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
∴．
故答案为：9．
16. 如图，如果要测量池塘两端、的距离，可以在池塘外取一点，连接，，点、分别是，的中点，测得的长为米，则的长为________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半” ．根据三角形的中位线定理，即可求解．
【详解】解：点、分别是，的中点，
是的中位线．
（米）．
故答案为：．
17. 如图，菱形中，，，点为的中点，点为上一点，连接，作且面积为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作于，过点作于，求出相关线段与角度，进而得，再由的面积得到，设的中点为，连接，进而得，从而根据和相似得到，设的中点为，连接，则，确定点的轨迹，连接，根据“两点之间线段最短”得到点，，在同一条直线上时，为最小，为，在中由勾股定理得，由此可得的最小值．
【详解】解：连接，过点作于，过点作于，如图1所示：
在菱形中，，，点为的中点，
，，，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
设的中点为，连接，如图2所示：
，
，
，即，
又，
，
，
，
，
设的中点为，连接，则，
在点的运动过程中，点始终在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，如图3所示：
根据“两点之间线段最短”得，即，
当点，，在同一条直线上时，为最小，最小值为，
，，
，
，
在中，，，由勾股定理得，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，与圆有关的概念，熟练掌握菱形的性质，解直角三角形是解决问题的关键，难点是通过构造相似三角形得出点的轨迹是在圆上运动．
18. 如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠CAE＝15°．下列结论：①△OCD是等边三角形，②AC＝2DC，③，④∠COE＝45°．其中正确的有__________（填序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据矩形的性质，可得，，根据平分线的定义可得，，由，可得，进而可得△OCD是等边三角形，即可判断①，根据含30度角的直角三角形的性质可判断②，根据等底同高可判断③，由是等腰直角三角形，可得,由①可得，又进而可得,根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，进而求得，即可判断④．
【详解】四边形是矩形，
，,，
AE平分∠BAD，
，
，
，
，
△OCD是等边三角形，
故①正确；
，，
AC＝2DC，
故②正确；
，
与等底同高，
，
故③不正确；
，
，
，△OCD是等边三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确
综上所述，正确的为①②④
故答案：①②④
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
19. 为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校利用课外活动时间开设了“．园艺、．厨艺、．木工、．编织”四大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______；
（2）补全条形统计图：
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数．
【答案】（1）400；108
（2）见解析 （3）该校八年级800名学生中选择“厨艺”劳动课的大约有240人
【解析】
【分析】（1）由两个统计图可得，参加“园艺”的人数为100人，占调查人数的，然后样本容量即可；先求出“厨艺”的人数，然后用乘“”所占的百分比，即可得出“”所对应的圆心角的度数即可；
（2）根据求出的“厨艺”和“编织”的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据样本估计整体，求出样本中“厨艺”所占的百分比，进而估计整体中“厨艺”所占的百分比，进而求出答案．
【小问1详解】
解：由统计图可知：参加“园艺”劳动课的人数为100人，占调查人数的，
∴样本容量为：，
参加“编织”劳动课的学生人数为：（人），
参加“厨艺”劳动课的学生人数为：（人），
∴“”所对应的圆心角的度数为；
故答案为：400；108．
【小问2详解】
解：补全条形统计图，如图所示：
【小问3详解】
解：（人），
答：该校八年级800名学生中选择“厨艺”劳动课的大约有240人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的特点，是正确解答的关键．
20. 主题为“安全骑行，从头殟开始”的安全教育活动在某市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：
（1）表格中______；
（2）由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为______；（结果精确到0.01）
（3）若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1200辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？
【答案】（1）0.95
（2）0.95 （3）1140人
【解析】
【分析】本题考查运用频率估计概率，用样本反映总体，掌握通过大量实验得到的频率即为事件发生的概率是解题的关键.
（1）根据自觉佩戴头盔人数经过路口的电动自行车数量计算即可；
（2）根据实验发现频率稳定在0.95左右，即概率估计就为0.95；
（3）根据样本的概率解题即可.
【小问1详解】
解：，
故答案为：0.95；
【小问2详解】
解：根据实验发现频率稳定在0.95左右
则自觉佩戴头盔的频率为0.95，
∴经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95，
故答案为：0.95；
【小问3详解】
解：（人），
答：佩戴了头盔的骑行者大约有人.
21. 约分：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分子分母同时约去公因式即可得到答案；
（2）分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键．
22. 在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求证：平分．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进而得到，因此四边形是平行四边形，再由即可证得是矩形；
（2）由勾股定理可求得，从而得到，进而，由得到，因此，即可解答．
【小问1详解】
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵，
∴在中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，角平分线的判定以及平行线的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
23. 如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点，分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案．
【小问1详解】
证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，即线段的长度为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．

（1）画出关于轴对称的；
（2）将绕点逆时针旋转得到，画出；
（3）若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）由图可得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示：

即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：

即为所求．
小问3详解】
解：如图所示：

点坐标是，
故答案为：．
25. 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明，得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形，进一步由三线合一定理得到，由此即可证明四边形是矩形．
【详解】证明：∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
26. 如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）96
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边得到，进而利用菱形的判定定理即可证得结论；
（2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得，进而利用勾股定理求得即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，的周长为36，
∴，则，
在中，，
∴，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
27. 已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
（1）由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据“”证明；
（2）由，，证明，由全等三角形的性质得，即可证明四边形CEAF是平行四边形．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
CE⊥BD，AF⊥BD，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
证明：，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
28. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；
（2）DE=3
【解析】
【分析】（1）①由已知可知，AD⊥MN，BE⊥MN，得到，再根据三角形内角和与平角性质，得到，即可证明（AAS）；②根据，得到，，即可证明DE=AD+BE．
（2）由已知可知，AD⊥MN，BE⊥MN，得到，再根据、，得到，可证明，得到，，即可求出DE长．
【小问1详解】
①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴（AAS）；
②证明：∵，
∴，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
在和中，
，
（AAS），
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，根据已知准确找到符合全等的条件是解题关键．经过路口的电动自行车数量/辆
180
230
300
260
240
280
自觉佩戴头盔人数/人
171
216
285
250
228
266
自觉佩戴头盔的频率
0.95
0.94
0.95
0.96
0.95