江苏省宿迁市宿豫区城区三校2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（含答案）

这是一份江苏省宿迁市宿豫区城区三校2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（含答案），共25页。试卷主要包含了下列各式，下列调查中，最适合采用普查的是，下列事件中，是必然事件的是，已知一个样本等内容，欢迎下载使用。


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江苏省宿迁市宿豫区城区三校2023-2024学年八年级下学期4月月考
数学试题答案解析
一．选择题（共8小题）
1．搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．航天神舟B．中国行星探测
C．中国火箭D．中国探月
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：由题意可知，选项C的图形能绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C的图形不是中心对称图形；
故选：C．
2．下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：在，，，中，是分式的：，，共2个．
故选：B．
3．下列调查中，最适合采用普查的是（ ）
A．了解全国中学生的睡眠时间
B．了解一批LED灯的使用寿命
C．了解某河流的水质情况
D．检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量
【分析】普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全国中学生的睡眠时间，适合采用抽样调查，不符合题意；
B、了解一批LED灯的使用寿命，适合采用抽样调查，不符合题意；
C、了解某河流的水质情况，适合采用抽样调查，不符合题意；
D、检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量，适合采用普查，符合题意；
故选：D．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票中奖
B．射击一千次，命中靶心
C．太阳每天从西方升起
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【分析】根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【解答】解：购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项A不正确；
射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能命不中靶心，因此选项B不正确；
太阳每天只从东方升起，不会从西方升起，因此选项C不正确；
任意三角形的内角和都是180°，因此选项D正确；
故选：D．
5．一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数为（ ）
A．12B．18C．27D．36
【分析】设盒子中红球的个数为m个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为25%，然后根据概率公式计算m的值．
【解答】解：设盒子中红球的个数为m个．
根据题意得＝25%，
解得：m＝27，
经检验，m＝27是分式方程的解，
所以这个不透明的盒子中红球的个数为27个．
故选：C．
6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠BOD＝50°，结合∠AOB＝20°，即可解决问题．
【解答】解：由题意及旋转变换的性质得：∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠AOD＝50°﹣20°＝30°，
故选：B．
7．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．B．3+3C．6+D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB⋅AC；根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC；由等边三角形的性质得到∠AEC＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠AEO＝∠AEC＝60°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
∵∠ABE＝∠ADC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∴BE＝CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝∠ECA＝30°，
故①正确；
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AC⊥AB，
∴S▱ABCD＝AB•AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB＝BC，
故④正确；
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵CE＝AE，OA＝OC，
∴∠AEO＝∠CEO＝∠AEC＝60°，
故⑤正确．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
9．已知一个样本：6，9，11，8，7，11，12，10，9，10，12，10，9，8，13，15，10，11，12，13， 10 出现的频数最多， 6，7，15 出现的频数最少．
【分析】此题只需根据频数的定义，找到各个数据出现的次数，即可求解．
【解答】解：根据题意，知
10出现了4次，出现的最多；
6，7，15出现了1次，出现的最少．
10．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为 ．
【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，
随机摸出一个蓝球的概率是，
设红球有x个，
∴＝，
解得：x＝3
∴随机摸出一个红球的概率是：＝．
故答案为：．
11．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠ ．
【分析】先根据分式有意义的条件得出4﹣3x≠0，再求出答案即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须4﹣3x≠0，
解得：x≠．
故答案为：x≠．
12．如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值为﹣2，则原分式的值为 ﹣2 ．
【分析】用5x、5y代替分式中的x、y即可运算求解．
【解答】解：由题意可得，，
∴，
∴＝﹣2，
即原分式的值为﹣2，
故答案为：﹣2．
13．在一个矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，若AB＝3，OD＝2，则BC的长为 ．
【分析】依据矩形的性质，即可得到AC的长，再根据勾股定理即可求出BC的长．
【解答】解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OD＝2，
∴AC＝2AO＝2OD＝4，
又∵AB＝3，∠ABC＝90°，
∴BC＝＝，
故答案为：．
14．菱形ABCD的对角线AC＝12，S菱形ABCD＝48，则AB的长为 ．
【分析】利用菱形的面积公式求出BD＝8，利用菱形的性质得到∠AOB＝90°，，，利用勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图，
，
∵AC＝12，S菱形ABCD＝48，
∴，
∴BD＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，AC⊥BD，
∴，
故答案为：．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝18，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为 9 ．
【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得BC＝AD＝18；然后利用三角形中位线定理求得MN＝BC＝9．
【解答】解：如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝18．
∵M，N分别为BE，CE的中点，
∴MN是△EBC的中位线，
∴MN＝BC＝9．
故答案为：9．
16．如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D、E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为12米，则AB的长为 24 米．
【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论．
【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴AB＝2DE＝2×12＝24（米）．
故答案为：24．
17．如图，菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E为AB的中点，点F为BC上一点，连接EF，作∠GEF＝60°且△GEF面积为，则DG的最小值为 ．
【分析】连接EC，过点E作EH⊥BC于H，过点G作GK⊥EF于K，先求出BE＝4，EH＝2，BH＝2，CH＝6，∠BCE＝30°，EC＝4，∠CEH＝60°，进而得∠BEC＝∠ECD＝90°，再根据△GEF的面积为3得EF•EG＝12，设CE的中点为T，连接GT，则EH•ET＝12，故得EF•EG＝EH•ET，再证∠GET＝∠HEF，从而得△GET和△HEF相似，则∠EGT＝∠EHF＝90°，设ET的中点为O，连接OG，则OG＝OE＝ET＝，因此可得点G始终在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，连接OD，根据“两点之间线段最短”得DG≥OD﹣OG，故当点D，G，O在同一条直线上时，DG为最小，最小值为OD﹣OG，在Rt△OCD中由勾股定理得OD＝，由此可得DG的最小值．
【解答】解：连接EC，过点E作EH⊥BC于H，过点G作GK⊥EF于K，如图1所示：

在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E为AB的中点，
∴BC＝AB＝CD＝8，BE＝AB＝4，AB∥CD，
在Rt△BEH中，∠B＝60°，BE＝4，
∴sin∠B＝，cs∠B＝，
∴EH＝BE•sin∠B＝4•sin60°＝2，BH＝BE•cs∠B＝4•cs60°＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝8﹣2＝6，
在Rt△ECH中，EH＝2，CH＝6，
∴tan∠BCE＝＝＝，
∴锐角∠BCE＝30°，
∴EC＝2EH＝4，∠CEH＝60°，
∵∠B＝60°，∠BCE＝30°，
∴∠BEC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝90°，
在Rt△EGK中，∠GEF＝60°，
∴sin∠GEF＝，
∴GK＝EG•sin∠GEF＝EG•sin60°，
∵S△GEF＝EF•GK＝3，
∴•EF•EG•sin60°＝3，
∴EF•EG＝12，
设CE的中点为T，连接GT，如图2所示：

∴ET＝EC＝×4＝2，
∴EH•ET＝2×2＝12，
∴EF•EG＝EH•ET，
即，
又∵∠GEF＝∠CEH＝60°，
∴∠GET+∠CEF＝∠CEF+∠HEF＝60°，
∴∠GET＝∠HEF，
∴△GET∽△HEF，
∴∠EGT＝∠EHF＝90°，
设ET的中点为O，连接OG，则OG＝OE＝ET＝×2＝，
∴在点F的运动过程中，点G始终在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，连接OD，如图3所示：

根据“两点之间线段最短”得：DG+OG≥OD，
∴DG≥OD﹣OG，
∴当点D，G，O在同一条直线上时，DG为最小，最小值为OD﹣OG，
∵CE＝4，OE＝，
∴OC＝CE﹣OE＝3，
∴∠ECD＝90°，
在Rt△OCD中，CD＝8，OC＝3
由勾股定理得：OD＝＝，
∴OD﹣OG＝，
∴DG的最小值为．
故答案为：．
18．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠CAE＝15°．下列结论：①△OCD是等边三角形，②AC＝2DC，③S△AOE＝2S△COE，④∠COE＝45°．其中正确的有 ①②④ （填序号）．
【分析】由矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积分别对各个结论进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AB∥CD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ACD＝∠BAC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∴△OCD是等边三角形，故①正确；
∵∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2DC，故②正确；
∴∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故③错误；
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵OA＝OB，∠BAC＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，AB＝OB，
∴∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，OB＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣∠OBE）＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故④正确；
故答案为：①②④．
三．解答题（共10小题）
19．为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校利用课外活动时间开设了“A．园艺、B．厨艺、C．木工、D．编织”四大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题；
（1）随机抽样调查的样本容量是 400 ，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为 108 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数．
【分析】（1）由两个统计图可得，“园艺”的频数为100，占调查人数的25%，根据频率＝频数÷总数可求出答案；用360°乘“B”所占百分比可得扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数；
（2）求出“厨艺”和“编织”的频数即可补全条形统计图；
（3）样本估计整体，求出样本中选择“厨艺”劳动课的人数所占的百分比，进而求出答案．
【解答】解：（1）随机抽样调查的样本容量是：100÷25%＝400，
C所占百分比为：＝35%，
扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：360°×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝108°．
故答案为：400，108；
（2）样本中“D”的频数为：400×10%＝40，“B”的频数为：400×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝120，
补全条形统计图如下：
（3）800×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝240（名），
答：估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数大约为240名．
20．主题为“安全骑行，从头殟开始”的安全教育活动在某市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：
（1）表格中m＝ 0.95 ；
（2）由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 0.95 ；（结果精确到0.01）（3）若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1200辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？
【分析】（1）根据自觉佩戴头盔人数÷经过路口的电动自行车数量计算即可；
（2）根据实验发现频率稳定在0.95左右，即概率估计就为0.95；根据样本的概率×1200解题即可．
【解答】解：（1）m＝266÷280＝0.95，
故答案为：0.95；
（2）根据实验发现频率稳定在0.95左右
则自觉佩戴头盔的频率为0.95，
∴经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95，
故答案为：0.95；
（3）1200×0.95＝1140（人），
答：佩戴了头盔的骑行者大约有1140人．
21．约分：
（1）；
（2）．
【分析】（1）分子分母同时约去公因式8y2z即可得到答案；
（2）分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可．
【解答】解：（1）
＝﹣3x2y；
（2）
＝
＝．
22．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得CD∥AB，CD＝AB，进而得到DF＝BE，因此四边形BEFD是平行四边形，再由DE⊥AB即可证得矩形BEFD；
（2）由勾股定理可求得AD＝5，从而得到AD＝DF，进而∠DAF＝∠DFA，由CD∥AB得到∠DFA＝∠FAB，因此∠DAF＝∠FAB，即可解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，即DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，
∴▱BEFD是矩形．
（2）∵DE⊥AB，
∴在Rt△ADE中，，
∵DF＝5，
∴AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵CD∥AB，
∴∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴AF平分∠DAB．
23．如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点．
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求BH的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，则DE∥GF，DE＝GF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DG＝EF＝2，再由勾股定理求出BG的长，再根据G为BH中点即可求答案．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC，
∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝2，
∵DG⊥BH，
∴∠DGB＝90°，
∴BG＝＝＝，
∵G为BH中点，
即线段BH的长度为2．
24．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△C1A2B2，画出△C1A2B2；
（3）若点A的坐标是（﹣1，2），则点A2的坐标是 （3，﹣2） ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）由图可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△C1A2B2即为所求．
（3）由图可得，点A2的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形．
【分析】证明△AEF≌△DEC（AAS），得AF＝DC，再证明四边形ADBF是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
又∵D是BC的中点，
∴AF＝BD＝DC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形ADBF是矩形．
26．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
【分析】（1）证四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，再证∠AED＝∠ADE，则AD＝AE，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，再求出AC＝16，则OA＝OC＝8，然后由勾股定理得OD＝6，则DE＝2OD＝12，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形AECD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16，
∴OA＝OC＝8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6，
∴DE＝2OD＝12，
∴菱形AECD的面积＝AC•DE＝×16×12＝96．
27．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且CE⊥BD，AF⊥BD．
（1）求证：△CDE≌△ABF；
（2）求证：四边形CEAF是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，则∠CDE＝∠ABF，而∠CED＝∠AFB＝90°，即可根据“AAS”证明△CDE≌△ABF；
（2）由CE⊥BD，AF⊥BD，证明CE∥AF，由全等三角形的性质得CE＝AF，即可证明四边形CEAF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴∠CDE＝∠ABF，
∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴∠CED＝∠AFB＝90°，
在△CDE和△ABF中，
，
∴△CDE≌△ABF（AAS）．
（2）证明：∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴CE∥AF，
∵△CDE≌△ABF，
∴CE＝AF，
∴四边形CEAF是平行四边形．
28．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长．
【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．
【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴AD+BE＝DE；
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3．
经过路口的电动自行车数量/辆
180
230
300
260
240
280
自觉佩戴头盔人数/人
171
216
285
250
228
266
自觉佩戴头盔的频率
0.95
0.94
0.95
0.96
0.95
m