江苏省南京市江宁区南京东山外国语学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2. 下列调查中，适合普查方式的是（ ）
A. 调查某市初中生的睡眠情况B. 调查某班级学生的身高情况
C. 调查无锡大运河的水质情况D. 调查某品牌钢笔的使用寿命
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查和普查的特点逐项判断即可．
【详解】解：A、调查某市初中生的睡眠情况，调查的对象很多，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，则此项不符题意；
B、调查某班级学生的身高情况，调查对象较少，适宜采取普查，则此项符合题意；
C、调查无锡大运河的水质情况，调查范围较广，不适宜采取普查，则此项不符题意；
D、调查某品牌钢笔的使用寿命，普查破坏性较强，应采用抽样调查，则此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了普查和抽样调查的判断，熟练掌握普查和抽样调查的特点是解题关键．
3. 2015年南京市有47857名初中毕业生参加升学考试，为了了解这47857名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ）
A. 47857名考生
B. 抽取的2000名考生
C. 47857名考生的数学成绩
D. 抽取的2000名考生的数学成绩
【答案】D
【解析】
【分析】根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本进行解答即可．
【详解】解：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本,所以“抽取的2000名考生的数学成绩”是这个问题的样本.
故选D.
【点睛】本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考查对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
4. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A. 和的面积相等
B. 四边形是平行四边形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若，则四边形是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴，
∴， ，
∴和的面积相等，故A正确；
∵，
∴DF＝AB=AE，
∴四边形不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键．
5. 如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则 为（ ）

A. 2αB. 90°﹣αC. 45°+αD. 90°﹣α
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得 ，从而 即可．
【详解】∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PF=PB，，
∴，
∴∠AFP=∠CBP，
又∵ ，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键．
6. 矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（ ）

A. 2.5B. 5C. D. 以上答案都不正确
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据矩形的性质可得，根据为中线，可得，，根据，可得，，，即有，进而可得，， ，即可得，问题随之得解．
【详解】连接，如图，

∵面积为矩形面积的一半，矩形的面积为12，
∴，
∵为中线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中线的性质，得出，且等高的两个三角形面积之比等于其底之比，是解答本题的关键．
7. 如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用中点坐标公式求答案．
【详解】∵线段AB和线段CD线关于P点对称
∴P为线段AC中点，也为线段BD中点．
根据中点公式得：
∴
C点坐标：
故选：B
【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键．
8. 某小组在“用频率估计概率”试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A. 在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”
B. 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”
C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
【答案】D
【解析】
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．
【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，
在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为≈0.67>0.16，故A选项不符合题意，
从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为≈0.48>0.16，故B选项不符合题意，
掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是=0.5>0.16，故C选项不符合题意，
掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是≈0.16，故D选项符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
二、填空题：（每题 2 分，共 20 分）
9. 袋子里有5只红球,3只白球,每只球除颜色以外都相同,从中任意摸出1只球,是红球的可能性___(选填“大于”“小于”或“等于”)是白球的可能性．
【答案】大于
【解析】
【详解】解：摸出1个球是红球的概率是 ，摸到白球的概率是，
故摸到红球的概率大于摸到白球的概率．
故答案为：大于．
【点睛】本题考查的是事件的可能性的大小．
10. 下列事件；①五一假期下雨；②抛掷10枚硬币，有5枚硬币落地时正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长为3cm、5cm、9cm的三条线段能围成一个三角形，其中确定事件有__________（填写序号）．
【答案】③④##④③
【解析】
【分析】根据事件的分类，逐一进行判断即可：①五一假期下雨，是随机事件；②抛掷10枚硬币，有5枚硬币落地时正面朝上，是随机事件；③任取两个正整数，其和大于1，是确定事件；④长为3cm、5cm、9cm的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，是确定事件．
【详解】解：①五一假期下雨，是随机事件；
②抛掷10枚硬币，有5枚硬币落地时正面朝上，是随机事件；
③任取两个正整数，其和大于1，是必然事件，是确定事件；
④长为3cm、5cm、9cm的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，是确定事件．
综上：确定事件有③④；
故答案为：③④．
【点睛】本题考查事件的分类．熟练掌握确定事件分为必然事件和不可能事件，是解题的关键．
11. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频率为___________．
【答案】0.1
【解析】
【分析】先求出第5组的频数，再根据频率公式求出第5组的频率
【详解】解：∵某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为14、10、8、4，则第5组的频数为：40-14-10-8-4=4
∴P=
故答案为：0.1
【点睛】在计算概率时，一般会从两个大的方面考查：一是直接计算概率，这时用到概率公式，即一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=.另一种则是根据所涉及到的事件之间的关系，通过求已知事件的概率解决．
12. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．
【答案】30
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD减去∠AOB即可．
【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，
∴∠BOD=45°，
又∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°．
故答案为30°．
13. 如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则_____．

【答案】44
【解析】
【分析】利用旋转的性质、等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，利用三角形内角和即可求解．
【详解】解：绕点A逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为44．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是______．
【答案】40°
【解析】
【详解】解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴EP=AD，同理，FP=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∵∠FPE=100°，
∴∠PFE=40°，
故答案为40°．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，等角对等边，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15. 如图，矩形 ABCD 的两条对角线夹角为 60°，一条短边为 4，则矩形的对角线长为_____．
【答案】8
【解析】
【分析】由矩形的性质和已知条件得出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=4，AC=2OA=8．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC=，OB=OD=，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=2OA=8．
故答案为：8
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16. 已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝_____°时，GC＝GB．
【答案】60或300
【解析】
【分析】当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．
【详解】解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为60或300
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
三、解答题：（共 64 分）
17. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．

（1）画出关于原点成中心对称的；
（2）将绕坐标原点逆时针旋转，得，画出；
（3）请直接写出，以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或或
【解析】
【分析】（1）分别作出，，的对应点，，；
（2）分别作出，，的对应点，，即可；
（3）画出平行四边形可得结论．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，
；
【小问3详解】
解：如图所示：点的坐标或或，
．
【点睛】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18. 某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查．并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为______名．补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占______%；
（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？
【答案】（1）50，见解析；（2）10；（3）200名
【解析】
【分析】（1）根据参加“折扇”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数，再用总人数减去参加“折扇”、“刺绣”和“陶艺”的人数即可得到参加“剪纸”的人数，从而可补全条形统计图；
（2）用选择“陶艺”课程的学生人数除以总人数即可得到结果；
（3）先求出样本中参加“刺绣”课程的百分比，再用八年级人数乘以这个百分比即可得到结论．
【详解】解：（1）15÷30%=50（人），
所以，参加问卷调查的学生人数为50名，
参加“剪纸”课程的人数为：50-15-10-5=20（名）
画图并标注相应数据，如下图所示．
故答案为：50；
（2）5÷50=0.1=10%
故答案为10；
（3）由题意得：（名）．
答：选择“刺绣”课程有200名学生．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
（1）________，________；
（2）估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到）
（3）若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？
【答案】（1）
（2）
（3）30000
【解析】
【分析】（1）根据成活频率成活的棵树移植的棵树进行求解即可；
（2）根据概率是大量反复试验下频率的稳定值进行求解即可；
（3）用成活的树苗数除以成活的概率即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴
【小问2详解】
解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种幼树移植成活率的概率约为；
【小问3详解】
解：（棵）
答：若要成活26400棵树苗，需要移植30000棵树苗．
【点睛】本题主要考查了频率的计算，用频率估计概率，已知概率求数量等等，熟知概率是大量反复试验下频率的稳定值是解题的关键．
20. 某商场进行促销，购物满额即可获得次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．
(1)若小明获得次抽奖机会，小明中奖是 事件．(填随机、必然、不可能)
(2)小明观察一段时间后发现，平均每个人中会有人抽中一等奖，人抽中二等奖，若袋中共有个球，请你估算袋中白球的数量；
(3)在(2)的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由．
【答案】(1)必然；(2)9；(3)减小，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由于购物满额就有抽奖机会，而且袋子中的小球都有奖项，据此可知小明中奖是必然事件；
（2）根据中奖的数据可知平均每6个人中会有3人中三等奖，据此即可估算出白球的数量；
（3）根据袋子中球的数量增加了，而红球数不变，可知概率减小了.
【详解】解:（1）因为有抽奖机会就会中奖，因此小明中奖是必然事件，
故答案为必然；
（2）18×=18×＝9，
答：估算袋中有9个白球；
（3）减小，因为红色球的数量不变，但是袋子中球的总数增加了．
【点睛】本题考查了随机事件与必然事件，简单的概率应用，弄清题意是解题的关键.
21. 如图，在△ABC中，D是AC的中点．作BE∥AC，且使BE＝AC，连接DE，DE与AB交于点F．
（1）求证DE＝BC；
（2）连接AE、BD，要使四边形AEBD是菱形，△ABC的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）当AB⊥BC（或∠ABC＝90°）时，四边形AEBD是菱形；证明见解析
【解析】
【分析】（1）证明四边形BCDE是平行四边形，即可得出结论；
（2）证明四边形AEBD是平行四边形，由（1）得四边形BCDE是平行四边形，得出DE∥CB，当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，由平行线的性质得出∠AFD＝∠ABC＝90°，即AB⊥DE，即可得出四边形AEBD是菱形．
【详解】（1）证明：∵D是AC的中点，
∴CD＝AC，
∵BE＝AC，
∴CD＝BE，
∵BE∥AC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC；
（2）解：当AB⊥BC（或∠ABC＝90°）时，四边形AEBD是菱形；理由如下：
如图2所示：
∵D是AC的中点，
∴AD＝AC，
∵BE＝AC，
∴AD＝BE，
∵BE∥AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
由（1）得，四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥CB，
当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，
∴∠AFD＝∠ABC＝90°，即AB⊥DE，
∴四边形AEBD是菱形．
【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的判定定理．
22. 用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．
求证：．
证法：如图，在的内部作，
与相交于点．
，
______ ．
，
．
又 ______ ，
．
．
，
即是斜边上的中线，且．
又是斜边上的中线，即与重合，
．
请把证法补充完整，并用不同的方法完成证法．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证法：在的内部作，证明与重合即可；
证法：延长至点，使得，连接、证明四边形是平行四边形．再证出四边形是矩形．得出，即可得出结论．
【详解】解：证法：如图，在的内部作，
与相交于点．
，
，
，
．
又，
．
．
，
即是斜边上的中线，且．
又是斜边上的中线，即与重合，
．
故答案为：；；
证法：延长至点，使得，连接、如图所示：
，．
四边形是平行四边形．
又，
四边形是矩形．
，
又，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．
23. 如图，在四边形中，点E是线段上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是、、的中点．连接，若，，说明：四边形是正方形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由三角形中位线定理可得，，可证四边形EGFH是平行四边形，再由正方形的判定方法可得结论．
【详解】证明：连接，

∵G、F分别是、的中点，
∴，
同理，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵G、H分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，
∴菱形是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24. 阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．
(1)写出筝形的两个性质(定义除外)．
① ；② ．
(2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
(3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．
【答案】（1）∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC（2）见解析（3）408
【解析】
【分析】（1）根据题意证明△ABC≌△ADC即可，
（2）先判断出∠AEB＝∠AFD在得到△AEB≌△AFD，然后判断出平行四边形ABCD是菱形即可；
（3）先判断出△ABC≌△ADC．得到S△ABC＝S△ADC，过点B作BH⊥AC，垂足为H，利用勾股定理BH2＝AB2−AH2＝262−AH2，BH2＝CB2−CH2＝252−（17−AH）2，求出AH,BH即可求解．
【详解】（1）在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC
∴∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝∠ADC，
故答案为：∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC＋∠AEB＝∠AFC＋∠AFD＝180°，
∴∠AEB＝∠AFD．
∵AE＝AF，
∴△AEB≌△AFD（AAS）．
∴AB＝AD，BE＝DF．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BC＝DC，
∴EC＝FC，
∴四边形AECF是筝形．
（3）如图
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴S△ABC＝S△ADC．
过点B作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ABH中，BH2＝AB2−AH2＝262−AH2．
Rt△CBH中，BH2＝CB2−CH2＝252−（17−AH）2．
∴262−AH2＝252−（17−AH）2，
∴AH＝10．
∴BH＝=24．
∴S△ABC＝×17×24＝204．
∴筝形ABCD的面积=2S△ABC＝408．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是理解筝形的定义．
25. 如图，矩形中，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．

（1）求证：；
（2）若点是的三等分点，，求的长．（保留根号，无需化简）
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】（1）先根据折叠的性质得出，，，再证明，即有，问题随之得证；
（2）设，由折叠可知，由（1）知，有，根据点是的三等分点，分，或，，两种情况讨论，利用勾股定理即可列方程求解．
【小问1详解】
将沿折叠后得到，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，得证．
【小问2详解】
设，
由折叠可知，
由（1）知，
，
点是的三等分点，
，或，
或，
，
或，
或，
或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形全等的判定，是解答本题的关键．
26. 正方形的边长为2，点是线段上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接．

（1）如图（1），建立平面直角坐标系中，为原点，若长度为，求点的坐标；
（2）如图（2），探究与的数量、位置关系；
（3）连接，直接写出的最小值为__________．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作延长线于点，由正方形的性质证明可得即可求出点的坐标；
（2）延长交于点，由正方形的性质可证明，得到，再由平行线可得即可根据得到；
（3）过点作轴垂线，易得，故点在直线上，作关于直线的对称点，可得，当三点共线时最小，最小值即为线段得长度．
【小问1详解】
过点作延长线于点，

四边形是边长为2的正方形，
，
，
∵长度为，
∴
又四边形为正方形，
，
，
又，
∴，
．
【小问2详解】
．证明如下：

四边形和四边形是正方形，
，
，
，
延长交于点，
则有
∵，
，
又，
，
，
，
【小问3详解】
过点作轴垂线，则

∴，
∴点在直线上，
作关于直线的对称点，
由（2）得，
当三点共线时最小，最小值即为线段得长度．
∵
∴最小值为．
【点睛】本题是正方形综合题，其中涉及到正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．利用数形结合是解题的关键．
移植的棵数
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
（精确到）