2024年甘肃省武威市凉州区武威第二十四中学教研联片中考第一次模拟考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共30分）
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：的算术平方根是，
故选：．
【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，，
A、若，不符合题意；
B、若，不符合题意；
C、若，符合题意；
D、若，不符合题意．
故选：C．
3. 如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高即可．
【详解】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，
解得
∴中边上的高是．
故选：A．
4. 在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查特殊角三角函数值和三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求出的度数，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
故选：D．
5. 我国约有9600000平方千米的土地，平均1平方千米土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150000吨煤所产生的能量，把150000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解∶ ．
故选：C．
6. 如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（ ）
A. 15B. 12C. 9D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据为的中点，则位似比为，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解．
【详解】∵和是以点为位似中心的位似三角形，为的中点，
面积是3，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查位似比等于相似比，同时面积比是相似比的平方，掌握知识点是关键．
7. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键．
8. 如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（ ）
A. 132°B. 120°C. 112°D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形外角的性质可得∠ACB=56°，再根据圆周角定理可求得结果．
【详解】解：∵，，
又
∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56°
∴∠AOB=2∠ACB=112°
故选：C
【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形外角的性质等知识，正确得出∠ACB度数是解题关键．
9. 已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．
【详解】解：∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；
C正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
10. 《九章算术》中有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？设绳长为x尺，则根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设绳长为x尺，则根据题意，根据水井的深度不变，可列方程得到本题答案．
【详解】解：设绳长为x尺，
根据题意得：，
故选：B．
二、填空题（共24分）
11. 已知与点关于原点对称，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称的点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，解得：，
则，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12. 已知，两点都在抛物线上，那么________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
13. 如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，则线段的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，根据翻折的性质结合勾股定理求出的长，进而求出的长，设点的坐标是，勾股定理求出的值，进而求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，进一步计算即可．
【详解】解：沿折叠，点刚好与边上点重合，
，，
，，
，
，
设点的坐标是，
则，，
，
，
解得，
点的坐标是，
设反比例函数，
，
反比例函数解析式为，
点纵坐标为8，
，
解得，即，
，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，P是对角线上的动点，连接，将直线绕点P顺时针旋转使，且过D作，连接，则最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作于H，连接延长交于F，作于E．证明，推出定值，推出点G在射线上运动，推出当时，的值最小，求出即可．
【详解】解：如图，作于H，连接延长交于F，作于E．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴定值，
∴点G在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
在中，∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形核或全等三角形解决问题．
15. 如图，为的直径，为半圆上一点且，，分别为，的中点，弦分别交，于点，．若，则______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理及推论，直角三角形的边角关系以及解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，设未知数，表示三角形的边长是解决问题的关键．
由于点E、F分别为的中点，根据垂径定理可得垂直平分垂直平分，再由直径所对的圆周角是直角得出都是等腰直角三角形，根据，设未知数，表示，最后根据直角三角形的边角关系列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，分别交，于点，．
，分别为，中点，
垂直平分，垂直平分．
又为的直径，，
，
，
，
，，，都是等腰直角三角形．
，
．
设，则，由勾股定理可得．
又，，，
，，
，．
又，
，
解得，
．
16. 任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为____________．
【答案】0.24
【解析】
【分析】先根据“频率=”分别计算出几次试验杯口朝上的频率；再根据“当试验次数足够大时，试验频率稳定于理论概率”用频率估计概率即可．
【详解】∵任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次，
∴这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为．
故答案为：0.24．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
17. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_____米．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，如图，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半，为2米，抛物线顶点C坐标为，点A坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
代入A点坐标，可得，
解得：，所以抛物线解析式为，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，解得：，
所以水面宽度为米，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
18. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分．
【答案】87.4
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
【详解】解：根据题意得
她的最后得分是为： （分）；
故答案为：87.4．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
三、计算题（共8分）
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）3；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值以及实数的混合运算：
（1）本题涉及了负整数指数幂、二次根式的化简、零指数幂以及特殊角的三角函数值，计算时针对每个考点依次计算；
（2）先把原式化简，化为最简后，再把x的值代入，注意计算出x的值．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式．
四、作图题（共6分）
20. 在如图所示的方格纸中，的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．
（1）画出关于轴对称的，其中点分别和点对应；
（2）①绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出，其中点分别和点对应；
②求所扫过的面积
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，扇形的面积等知识．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可；
（2）①利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可；②根据扫过的面积求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求应；
【小问2详解】
解：①如图，即为所求，
②扫过的面积
五、解答题（共52分）
21. 若关于x的一元二次方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根．
【答案】m的值为3，方程的另一个根为1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元一次方程．熟练掌握是的两根，则，，是解题的关键．
设另一个根为，则，，计算求解即可．
【详解】解：设另一个根为，
∵，
∴，，
解得，，；
∴m的值为3，方程的另一个根为1．
22. 如图，已知为的直径，点D为上一点，连接于点E、且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由可得，由可得，从而得到；
（2）根据，，可得是等边三角形，由勾股定理得，解得，根据是的中位线，解得，根据求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
，
．
，
．
是的半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：为的直径，
．
在中，
．
是等边三角形，
，
．
由勾股定理得，即，解得．
是的中点．
是的中点，
是的中位线，
．
，
．
【点睛】本题考查了圆切线的判定，涉及了圆周角定理，扇形面积的计算，切线的判定定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
23. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是__________．
（2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式，以及列表法或树状图求概率．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，
球上的汉字刚好是“杭”的概率就是．
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，
其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的结果有2种，
∴摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率为．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求出，的值；
（2）若为正轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入，即可求出a的值，从而得到．再将代入，即可求出k的值；
（2）根据一次函数解析式可求出，．结合为正轴上的一动点，可求出．最后根据，结合三角形面积公式，即可列出关于m的等式，解出m的值即可．
【小问1详解】
解：由题意可知点在一次函数的图象上，
∴，
∴．
∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：对于，令，则，
解得：，
∴．
令，则，
∴．
∵为正轴上的一动点，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
25. 某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）两堵木墙之间的距离为50
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的应用．
（1）根据题意可得，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【小问1详解】
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
由题意得：，
∵，
∴
∴，
答：两堵木墙之间的距离为50．
26. 小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离，升旗台的台阶所在的斜坡，坡角（）为30°，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面上的影长长为6，同一时刻，小亮测得长1.6的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2．请你帮小明和小亮求出旗杆的高度．（结果保留根号）
【答案】旗杆的高度约为
【解析】
【分析】延长交于H，过C作于G，根据矩形的性质得到，，解直角三角形得到，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程即可得到结论．
【详解】延长交于H，过C作于G，
则四边形是矩形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：旗杆的高度约为.
【点睛】本题考查了解直角三角形-坡度坡角问题，平行投影，熟练掌握同一时刻，物高和影长成正比是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值；
（3）如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数解析式确定，最值的应用，一次函数解析式的确定，平行线的意义，三角形的相似，存在性问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活用点的坐标表示比值构造二次函数，活用分类思想是解题的关键．
（1）把点坐标直接代入函数解析式，计算即可；
（2）用二次函数的解析式表示点D的坐标，用点D的表示线段的比值，构造出二次函数，用二次函数的最值求解即可；
（3）分点P在直线的左右两侧求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴分别交于，B两点，与y轴交于点．
，，
，，
设抛物线的解析式为
【小问2详解】
解：过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
【小问3详解】
解：符合条件的点P的坐标，为， ，
理由如下：
，
直线l的解析式为，
设，
当点P在直线右侧时，如图，过点P作轴于点N，过点Q作
于点M，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得
，
解得（舍去），，
，
当点P在直线左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为，
此时点P的坐标为，
综合所述，存在这样的点P，且坐标为为或