2022-2023学年辽宁省大连八中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省大连八中高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在等比数列{an}中，a1=1，a3=9，则a5=( )
A. −81B. −27C. 27D. 81
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2−1，则a3=( )
A. −5B. 5C. 7D. 8
3.已知数列{an}，若a1+a2n−1=4n−6，则a7=( )
A. 9B. 11C. 13D. 15
4.某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为80%，20%，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%，20%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为( )
A. 0.12B. 0.16C. 0.2D. 0.32
5.已知等差数列{an}的前n项和Sn，若a2+a3+a14+a15=40，则S16=( )
A. 150B. 160C. 170D. 180
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=20，S20=10，则S30=( )
A. 0B. −10C. −30D. −40
7.下列有关事件的说法正确的是( )
A. 若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，则事件A，B为对立事件
B. 事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
C. 若A，B为互斥事件，则P(A)+P(B)≤1
D. 若事件A，B，C满足条件P(A)>0.B和C为互斥事件，则P((B∪C)|A)>P(B|A)+P(C|A)
8.标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，A表示事件“第一次取出的数字是3”，B表示事件“第二次取出的数字是2”，C表示事件“两次取出的数字之和是6”，D表示事件“两次取出的数字之和是7”，则( )
A. P(C|D)=P(C)B. P(C|B)=P(C)C. P(A|C)=P(A)D. P(A|D)=P(A)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}是等比数列，以下结论正确的是( )
A. {an2}是等比数列
B. 若a3=2，a7=32，则a5=±8
C. 若a1D. 若数列{an}的前n项和Sn=3n+r，则r=−1
10.4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量X为空盒的个数，下列说法正确的是( )
A. 随机变量X的取值为1，2，3B. P(X=3)=164
C. P(X=2)=964D. E(X)=8164
11.已知数列{an}中，a1=3，且点(an,an+1)在函数f(x)=x2+x的图象上，则下列结论正确的是( )
A. 数列{an}单调递增B. 1an−1an+1>1
C. an≥9n−6D. a2023>3×42022
12.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，则P(|ξ|>x)=2−φ(x)
B. 若事件A与B互斥，且0C. 若事件B发生，则事件A一定发生，且0D. 甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为1330
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.随机变量X服从正态分布X～N(4,σ2)，若P(0.5≤X≤4)=0.38，则P(X≥7.5)= ______．
14.已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖______次.(参考数据：lg2≈0.3)
15.甲乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为D(X)，则D(2X−1)= ______．
16.某工厂为研究某种产品的产量x(吨)与所需某种原材料的质量y(吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x,y)，如表所示．(残差=观测值−预测值)
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y =0.7x+a .据此计算出在样本(4,3)处的残差为−0.15，则表中m的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
广州市2022届高三年级阶段为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲，乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如表：
(1)甲，乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少？
(2)能否有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异？
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6=3a3+24，且S7， 7a4，2a2成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=Sn⋅2nn，求数列{bn}的前n项和为Tn．
19.(本小题12分)
甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权.假设甲发球时甲得分的概率是12，乙发球时甲得分的概率是25，各球的结果相互独立.根据抽签结果决定，甲先发球．
(1)求比赛二球后甲得分的期望；
(2)求比赛六球后甲得分比乙得分多2分的概率．
20.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=an,n为奇数an+2,n为偶数．
(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20项和．
21.(本小题12分)
记Sn是各项均不为零的数列{an}的前n项和，已知a1=12,3Sn=1Sn2+3an(n≥2,n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=SnSn+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x个红球、y个黄球和z个蓝球，x+y+z=6(x,y,z∈N*).现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜．
(1)当x=1，y=2，z=3时，求乙胜的概率；
(2)若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分，求乙得分均值的最大值，并求此时x，y，z的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为等比数列{an}中，a1=1，a3=9，
所以a32=a1a5，即a5=a32a1=811=81．
故选：D．
利用等比中项的公式进行求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查数列的递推公式，及Sn与an的关系，属于基础题．
根据a3=S3−S2计算，即可得出答案．
【解答】
解：∵Sn=n2−1，
∴a3=S3−S2=(32−1)−(22−1)=5．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：由a1+a2n−1=4n−6，可得a1+a1=4−6=−2，
解得a1=−1，
则a2n−1=4n−6−a1=4n−6+1=4n−5，
a7=4×4−5=11．
故选：B．
由已知递推式可令n=1，解得a1，再令n=4，可得a7的值．
本题考查数列的递推式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为0.8×0.1+0.2×0.2=0.12．
故选：A．
根据相互独立事件乘法公式列式计算即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，若a2+a3+a14+a15=40，则a1+a16=a2+a15=a3+a14=20，
故S16=(a1+a16)×162=160．
故选：B．
根据题意，由等差数列的性质可得a1+a16=a2+a15=a3+a14=20，由此计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，数列{an}为等差数列，则S10，S20−S10，S30−S20成等差数列，
则有S10+(S30−S20)=2(S20−S10)，即20+(S30−10)=2(10−20)，
解可得：S30=−30．
故选：C．
根据题意，由等差数列的性质可得S10，S20−S10，S30−S20成等差数列，由此分析可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：A，若事件A，B发生在不同的试验中，可能满足P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，但事件A，B不对立，∴A错误，
B，抛掷一个骰子，设事件A={出现点数不超过2}，B={出现点数不小于5}，则A与B为互斥事件，
则事件A与事件B中至少有一个发生的概率P=13+13=23，
A与B中恰有一个发生的概率P=13+13=23，∴B错误，
C，若A，B为互斥事件，则P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1，∴C正确，
D，若P(A)>0，B和C为互斥事件，则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)，∴D错误，
故选：C．
利用互斥事件，对立事件的定义判断AC，利用举实例判断B，利用条件概率公式判断D．
本题考查对立事件、互斥事件的定义，条件概率公式的运用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得，从6张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：
共36个．
C事件有：(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5个，
D事件有：(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)共6个，
则A事件有：(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)共6个，
B事件有：(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)共6个，
所以P(A)=636=16，P(B)=636=16，P(C)=536，P(D)=636=16，
P(CD)=0,P(BC)=136,P(AC)=136,P(AD)=136，
所以P(C|D)=P(CD)P(D)=0，而P(C)=536，故A错误；
P(C|B)=P(BC)P(B)=16，而P(C)=536，故B错误；
P(A|C)=P(AC)P(C)=15，而P(A)=16，故C错误；
P(A|D)=P(AD)P(A)=16，而P(A)=16，故D正确．
故选：D．
根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，结合条件概率的计算公式依次求解即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：令等比数列{an}的公比为q，则an=a1qn−1，
对于A，an+12an2=(an+1an)2=q2，且a12≠0，则{an2}是等比数列，A正确；
对于B，a3=2>0，则a5=a3q2>0，B错误；
对于C，由a10a1q(q−1)>0，则q>0a1(q−1)>0，an+1−an=qn−1⋅a1(q−1)>0，
即∀n∈N*，an+1>an，数列{an}是递增数列，C正确；
对于D，显然q≠1，则Sn=a1q−1⋅qn−a1q−1，而Sn=3n+r，
因此q=3,a1q−1=1,r=−a1q−1=−1，D正确．
故选：ACD．
根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答．
本题考查的知识点：等比数列的性质，数列的求和公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：根据题意知，随机变量X为空盒的个数，则X的可能取值为0，1，2，3；
计算P(X=0)=A4444=24256=332，
P(X=1)=C41⋅C42⋅A31⋅A2244=916，
P(X=2)=C42(C43⋅C11⋅A22+C42⋅C22)44=84256=2164，
P(X=3)=C43⋅C4444=4256=164；
E(X)=0×332+1×916+2×2164+3×164=8164．
故选：BD．
根据题意知随机变量X的可能取值为0，1，2，3，由此计算对应的概率值和数学期望值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题意可知an+1=an2+an，所以an+1−an=an2≥0，所以an+1≥an，
当an+1=an时，an=0与a1=3矛盾，所以an+1≠an，则an+1>an，
所以数列{an}单调递增，A项正确；
又an+1−an=an2由上可知an+1−an=an2≥9，
an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+...+(a2−a1)+a1=an−12+an−22+...+a12+a1≥9(n−1)+3=9n−6，
所以an≥9n−6，C项正确；
由上可知an≥3，则an+1an=an+1≥4(当且仅当n=1时取得等号)，
当n≥2时，an=a1⋅a2a1⋅...⋅anan−1>3×4n−1，所以a2023>3×42022，D项正确．
故选：ACD．
利用数列单调性的定义可判断A选项；由an+1−an=an2本题主要考查数列和函数知识的综合，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)=P(ξ≤x)，其中x>0，P(ξ>x)=1−P(ξ≤x)，
而P(ξ>x)=P(ξ<−x)，则P(|ξ|>x)=2[1−P(ξ≤x)]=2−2φ(x)，故A错误；
若事件A与B互斥，且0若事件B发生，则事件A一定发生，则A，B不相互独立，P(AB)=P(A)P(B)不成立，则P(A|B)=P(AB)P(B)≠P(A)，故C错误；
先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，考虑甲中取得1个红球，乙中取得1个红球，有3×3=9种方法；
甲中取得1个白球，乙中取得1个红球，有2×2=4种方法；而甲中取得1个球，乙中取得1个球，有5×6=30种方法，
则取出的球是红球的概率为1330，故D正确．
故选：BD．
由正态分布的对称性计算可判断A；由互斥事件的定义可得P(AB)=0，结合条件概率公式可判断B；由A，B不相互独立，结合条件概率公式可判断C；由古典概率公式和分类讨论思想可判断D．
本题考查概率的求法和性质，以及条件概率和正态分布的特点，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
13.【答案】0.12
【解析】解：因为随机变量X服从正态分布X～N(4,σ2)，P(0.5≤X≤4)=0.38，
所以P(X≥7.5)=P(X≤0.5)=12−P(0.5故答案为：0.12．
根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，
所以中靶0次的概率为(1−0.6)n，
所以1−(1−0.6)n>0.9，
两边取对数，nlg0.4故n>−2lg2≈2.5，
由于n∈N+，
故至少投掷3次．
故答案为：3．
直接利用独立重复试验和对立事件的关系建立1−(1−0.6)n>0.9，进一步利用对数的运算求出结果．
本题考查的知识要点：独立重复试验，对数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】2089
【解析】解：由题意可得X的可能取值为：1、2、3、4、6、9，
其分布列为：
所以E(X)=19+49+69+49+129+99=4，
D(X)=i=16(Xi−E(X))2⋅Pi=529，所以D(2X−1)=22×529=2089．
故答案为：2089．
根据离散型随机变量，先列出分布列得出期望E(X)，再计算方差D(X)，后根据公式得出D(2X−1)．
本题考查离散型随机变量期望与方差，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】4.5
【解析】解：∵在样本(4,3)处的残差为−0.15，
∴3−(0.7×4+a )=−0.15，解得a =0.35，
∴经验回归方程为y =0.7x+0.35，
x−=3+4+5+64=4.5，y−=2.5+3+4+m4=9.5+m4，
则9.5+m4=0.7×4.5+0.35，解得m=4.5．
故答案为：4.5．
由在样本(4,3)处的残差求a​，可得线性回归方程，再求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得m值．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
17.【答案】解：(1)甲校竞赛成绩优秀的频率为60100=0.6，
乙校竞赛成绩优秀的频率为70100=0.7；
(2)∵χ2=200×(60×30−70×40)2130×70×100×100≈2.198<3.841，
∴没有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异．
【解析】本题主要考查独立性检验公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
(1)根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，
由S6=3a3+24，可得6a1+15d=3a1+6d+24，即a1+3d=8，
又S7， 7a4，2a2成等比数列，可得7a42=2a2S7，
即7(a1+3d)2=2(a1+d)(7a1+21d)，化为a1+d=4，
解得a1=d=2，
则an=2+2(n−1)=2n；
(2)bn=Sn⋅2nn=12n(2+2n)⋅2nn=(n+1)⋅2n，
则Tn=2⋅21+3⋅22+4⋅23+...+(n+1)⋅2n，
2Tn=2⋅22+3⋅23+4⋅24+...+(n+1)⋅2n+1，
两式相减可得−Tn=2+2+22+23+...+2n−(n+1)⋅2n+1
=2+2(1−2n)1−2−(n+1)⋅2n+1，
化简可得Tn=n⋅2n+1．
【解析】(1)由等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
(2)求得bn=(n+1)⋅2n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)方法一：记甲得分为X，则X的所有可能取值是0，1，2．
因为P(X=0)=C20(12)2(12)0=14，P(X=1)=C21(12)1(12)1=12，P(X=2)=C22(12)0(12)2=14，
所以E(X)=12×1+14×2=1．
方法二：因为X服从二项分布B(2,12)，
所以E(X)=12×2=1．
(2)因为X+X−2=6，所以X=4，即比赛六球后甲赢四球，乙赢两球．
比赛六球时发球的次序依次是甲甲乙乙甲甲，
记“比赛六球后甲得分比乙得分多2分”为事件A，
“乙赢两球均在乙发球时”为事件A1，“乙赢两球均在甲发球时”为事件A2，
“乙赢两球一球在甲发球时，一球在乙发球时”为事件A3．
因为P(A1)=(12)4(35)2=9400，P(A2)=C42(12)2(12)2(25)2=24400=350，P(A3)=C41(12)1(12)3C21·35·25=48400，
所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=9400+24400+48400=81400=0.2025．
【解析】本题主要考查离散型随机变量的期望，相互独立事件得概率乘法公式，属于中档题．
(1)方法一：记甲得分为X，则X的所有可能取值是0，1，2，求出所对应的概率，即可得到数学期望．方法二：可得X服从二项分布B(2,12)，直接利用二项分布的期望公式计算可得．
(2)依题意比赛六球后甲赢四球，乙赢两球，且发球的次序依次是甲甲乙乙甲甲，再分类讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得．
20.【答案】解：(1)∵a1=1，an+1=an,n为奇数an+2,n为偶数，bn=a2n，
∴b1=a2=a1=1，a3=a2+2=3，b2=a4=a3=3，
又a2n+2=a2n+1+1=a2n+1=a2n+2，则bn+1=bn+2，
∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴bn=2n−1；
(2)∵当n为奇数时，an+1=an，
∴{an}的前20项和为a1+a2+⋯+a20=2a2+2a4+⋯+2a20=2(b1+b2+⋯+b10)=2×(1+19)×102=200．
【解析】(1)由题意分析出数列{bn}是等差数列，通过等差数列通项公式求解，即可得出答案；
(2)通过等差数列前n项和求和公式求解，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为3Sn=1Sn2+3an(n≥2,n∈N)，所以3Snan=an+3Sn2，
即3Sn(Sn−Sn−1)=Sn−Sn−1+3Sn2，
整理得1Sn−1Sn−1=3,n≥2,n∈N，
故数列{1Sn}是以1S1=2为首项，3为公差的等差数列，
则1Sn=2+(n−1)×3=3n−1，于是有Sn=13n−1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=13n−1−13n−4=−3(3n−1)(3n−4)，且n=1时，a1=12，不符合该式，
故an=12,n=1−3(3n−1)(3n−4),n≥2；
(2)bn=SnSn+1=13n−1⋅13n+2=13(13n−1−13n+2)，
所以Tn=b1+b2+⋯+bn=13(12−15)+13(15−18)+⋯+13(13n−1−13n+2)=13(12−13n+2)=n6n+4．
【解析】(1)将已知等式化简可得3Snan=an+3Sn2，再利用an与Sn的关系，整理得1Sn−1Sn−1=3,n≥2,n∈N，即可得等差数列{1Sn}，求得Sn，由相减法即可得数列{an}的通项公式；
(2)根据裂项相消法求得数列{bn}的前n项和Tn即可．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的性质，以及裂项相消法求和，属于中档题．
22.【答案】解：(1)同色时乙胜，
同为红色：甲取红球且乙取红球：36×16=112，
同为黄色：甲取黄球且乙取黄球：26×26=19，
同为蓝色：甲取蓝球且乙取蓝球：16×36=112，
所以乙胜的概率为112+19+112=518；
(2)得分均值等于每种颜色的获胜概率乘以对应分数，再求和，
即36×x6×1+26×y6×2+16×z6×3=3x+2y+3z36，
因为x+y+z=6(x,y,z∈N*)，
所以3x+2y+3z36=3(x+y+z)+y36=18+y36，
所以当y最大时，均值最大，
x，z的最小值为1，所以y最大为4，
所以乙得分均值的最大值为18+436=1118，此时x=1，y=4，z=1．
【解析】(1)同色时乙胜，则计算3种颜色分别相同的概率，求和即可；
(2)得分均值等于每种颜色的获胜概率乘以对应分数，再求和，即3x+2y+3z36，再结合x+y+z=6(x,y,z∈N*)求解即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了均值的求法，属于中档题．x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
m
优秀人数
非优秀人数
总计
甲校
60
40
100
乙校
70
30
100
总计
130
70
200
α
0.050
0.010
0.001
χα
3.841
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
X
1
2
3
4
6
9
P
19
29
29
19
29
19