2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，全集，则集合的子集个数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】利用集合并集、交集和补集的定义确定集合中元素的个数，从而可求出子集的个数.

【详解】因为，，

所以，所以其子集个数有个，

故选：D.

2．某学生期中数学成绩不低于90分，英语成绩和语文成绩的总成绩高于200分且不高于240分，用不等式组表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，列出不等式组即可.

【详解】由题意可得，，

故选：D.

3．在数学中，有很多“若，则”形式的命题省略了量词，例如命题：若，则，这里，命题就是省略了量词的全称量词命题，所以说，命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由全称命题的否定方法求解即可.

【详解】因为命题s：若，则是省略了量词的全称量词命题，

所以命题s的否定是：存在，使得；即，，

故选：D.

4．已知函数（其中，且），若，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】将代入解出的值，再计算即可.

【详解】由可得，因为，且，解得，

所以，，

故选：A.

5．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解集，结合充分性、必要性的定义求解即可.

【详解】由解得或，

所以是必要不充分条件，

故选：B.

6．已知是的三边长，关于的方程的解集只有一个元素，且方程的根为，则的形状为（    ）

A．等腰但不等边三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．钝角三角形

【答案】C

【分析】根据题意可得方程的判别式，和，联立解的关系即可.

【详解】因为方程的解集只有一个元素，

所以，即①，

又因为方程的根为，所以②，

由①②可得，即为等边三角形，

故选：C.

7．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（    ）

A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速

C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速

【答案】C

【分析】根据题意列出方程即可确定是否超速.

【详解】对于甲车，令，即

解得（舍）或，所以甲未超速；

对于甲车，令，即

解得（舍）或，所以乙超速；

故选:C.

8．已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】令，由可得，可转化为直线与函数的图象有三个交点，考查直线与曲线和曲线相切的临界位置，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.

【详解】令，由可得，

则直线与函数的图象有三个交点，

如下图所示：

当直线与曲线在相切时，

由，整理得，所以，，

解得.

当直线与曲线在时相切，

由整理得，所以，，

解得.

由图象可知，当或时，直线与曲线有三个交点，因此，实数的取值范围是.

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解答的关键就是要分析出直线与曲线相切这一临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.

二、多选题

9．下列各式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据根式、指数幂的运算法则计算后判断．

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

，故C正确；

，故D正确．

故选：CD.

10．设，函数，则（    ）

A．当时，具有奇偶性

B．当时，在上单调

C．当时，在上单调

D．当时，的最大值为

【答案】AB

【分析】由奇偶性定义判断A；根据单调性判断B；由，结合，判断CD.

【详解】，则函数的定义域为，

对于A，当时，，函数为偶函数；当时，，函数为奇函数，故A正确；

对于B，当时，函数和在上都是单调递减函数，所以函数在上单调递减，故B正确；

对于C，当时，，即在上不单调，故C错误；

对于D，当时，，故D错误；

故选：AB.

11．已知，，，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为9

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式判断A、B、D的正误，注意等号成立条件，将化为关于的二次函数形式求最值判断C.

【详解】因为，，，

所以，即，，当且仅当时等号成立，则A，B正确．

，当时取得最大值，则C错误．

，当且仅当时等号成立，则D正确．

故选：ABD

12．定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（    ）

A．是的一个“完美区间”

B．是的一个“完美区间”

C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

【答案】ABC

【分析】根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.

【详解】对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；

对于B，当时，函数，所以当时，，又当时，，所以当函数定义域与值域范围相同，所以B正确；

对于C，设区间为函数的“完美区间”，因为，可知，

当时，，此时，所以在内单调递减，

则满足，化简可得，

即，所以或，

解得（舍）或，

由解得或（舍），

所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；

当时，①若，则，此时，当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；

②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等实数根，解得，， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间，综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；

故选：ABC.

【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.

三、填空题

13．写出一个同时具有下列性质（1）（2）的函数：________.

（1）；（2）在上是增函数.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题干要求的奇偶性和单调性，直接写出即可.

【详解】根据（1）（2）可得，为偶函数，且在单调递增，

故满足题意的不唯一，可以是；

故答案为：.

14．将集合在如图中用阴影部分表示出来______.

【答案】见解析

【分析】根据集合的交集与补集的运算，即可求得.

【详解】由交集补集的运算可知，阴影部分如下图所示：

故答案为：

15．已知函数在区间中存在零点，在利用二分法求零点的近似值时，计算过程如下表格所示：

计算到表格中的最后一步可推断零点属于区间________.

【答案】

【分析】按照二分法的方法流程计算求解即可.

【详解】因为，

又由表格可知，所以最后一步可推断零点属于区间，

故答案为：

四、双空题

16．已知正实数满足，则的最大值为_________；的最小值为_________.

【答案】          1

【分析】由已知可得，利用基本不等式可得解，第二空变形代数式结合运用“1”妙用的代换，再利用基本不等式求最值，即可得答案；

【详解】，

，

当且仅当，即时等号成立，的最大值为，

，

，

等号成立当且仅当，即时等号成立，

的最小值为1.

故答案为：；1.

五、解答题

17．已知正实数满足，求下列各式的值；

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求解即可；

（2）由求解即可.

【详解】（1）因为，所以.

（2）因为，所以，所以.

18．已知集合，或，全集.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入集合中确定出，求出与的交集即可；（2）根据交集的定义可得答案.

【详解】（1）将代入集合中的不等式得：，

∵或，

,

（2）∵，或，

因为，所以A不是空集，

因为，所以，

解得，

所以实数的取值范围为.

19．已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数.

(1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性；

(2)是否存在实数，使不等式对任意的恒成立，若存在，求出实数，请说明理由.

【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析

(2)，理由见解析

【分析】（1）利用偶函数的性质求，利用单调性的定义，证明函数的单调性即可；

（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.

【详解】（1）因为为偶函数，所以，又，所以，

解得，又，所以，；

设，则，

因为，所以，，

所以，所以在上单调递增.

（2）假设满足题意的实数存在，

因为为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，

所以，

平方得，

又因为对任意上述不等式恒成立，

所以，解得.

综上存在实数，使不等式对任意的恒成立

20．已知函数满足，函数是上单调递增的一次函数，且满足.

(1)请分别求出函数与的解析式；

(2)已知函数，画出函数的图像；

(3)若且，，互不相等时，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)作图见解析

(3)

【分析】（1）由可得，联立消去即可得到，设，则，与系数相等解出即可；

（2）根据一元一次函数和一元二次函数的性质画出图像即可；

（3）根据函数图像和一元二次函数图像的对称性列不等式组求解即可.

【详解】（1）由，可得；

联立，消去得：；

又由函数是上单调递增的一次函数，设，

则，

即，且，解得：；

所以，

综上：.

（2）由（1）得，；

画出的函数图像，如图所示：

（3）不妨设，由①函数的图像可得：，

即，，，且等号同时成立，又，

所以.即

故的取值范围为.

21．我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试根据此结论解答下列问题：

(1)若函数满足对任意的实数，，恒有，求的值，并判断此函数图像是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；

(2)若（1）中的函数还满足时，，求不等式的解集；

(3)若函数.若与的图像有3个不同的交点，，，其中，且，求的值.

【答案】(1)，是中心对称图形，其对称中心为；

(2)；

(3).

【分析】（1）取，代入求得，取，，代入求得是奇函数，可判断是中心对称图形，进而求得对称中心；（2）证明是上单调递增函数，利用单调性解不等式即可；（3）证得，的图象都是以为中心的对称图形，可知，再结合，求得，进而得解.

【详解】（1）取，得，所以，

取，，得，于是，

即是奇函数，所以是中心对称图形，其对称中心为.

（2）任取定义域内的两个自变量，，设，

则，

所以.

因为，所以，所以，所以

所以是上单调递增函数，

由得，，解得或.

所以不等式的解集为.

（3）因为，于是.

所以的图像是以为中心的对称图形，

又的图像也是以为中心的对称图形，

因此，，.

，

解得，

所以，即

又，所以.

【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：

（1）把不等式转化为的模型；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.

22．1.“国庆节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：

优惠1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；

优惠2：在优惠1之后，每满400元再减40元．

例如，一次购买商品的价格为140元，则实际支付额为元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为880元，则实际支付额为元．

(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；

(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件．小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？

【答案】(1)一次支付好，理由见解析

(2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件

【分析】（1）把分两次支付和一次支付的支付额分别算出来，比较大小，确定哪种支付方式好；（2）当时，不能享受每满400元再减40元的优惠，当时，能享受每满400元再减40元的优惠，所以分两种情况，把每种情况下的关于的解析式表达出来，求出最小值，通过比较，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件.

【详解】（1）分两次支付：支付额为元

一次支付：支付额为元

因为，所以一次支付好

（2）设购买件，平均价格为元/件.

由于预算不超过500元，最多购买19件，

当时，不能享受每满400元再减40元的优惠

当时，，

当时，，当时，

所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为元/件

当时，能享受每满400元再减40元的优惠

当时，，当，时，=25

当时，，y随着n的增大而增大，所以当，时，=25

综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件