2022-2023学年新疆哈密八中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆哈密八中高二（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  曲线的图像在处切线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  名男生名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在二项式的展开式中，含项的二项式系数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在的二项展开式中，的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  的展开式中的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数的导函数为，则(    )

A. 函数的极小值点为
B.
C. 函数的单调递减区间为
D. 若函数有两个不同的零点，则

10.  若，其中为实数，则(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知随机变量服从二项分布，随机变量，则下列说法正确的是(    )

A. 随机变量的数学期望 B.
C. 随机变量的方差 D. 随机变量的方差

12.  甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(    )

A. 事件与事件相互独立 B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知函数的图像与直线相切，则实数 ______ ．

14.  若二项式的常数项为，则 ______ ．

15.  设随机变量服从二项分布，若，则 ______ ．

16.  已知随机变量，且，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数，其图象在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数的单调区间和极值；
求函数在区间上的最大值．

18.  本小题分
若，其中．
求的值；
求；
求．

19.  本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

20.  本小题分
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，白粽个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取个．
求既有豆沙粽又有白粽的概率；
设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望．

21.  本小题分
求下列方程中的值．
；
．

22.  本小题分
某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽查了名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．
求的值，并估计锻炼时长的平均数同一组数据用该组区间的中点值代替；
从锻炼时长分布在，，，的学生中按分层抽样的方法抽出名学生，再从这名学生中随机抽出人，记人中锻炼时长超过分钟的学生人数为，求的分布列和数学期望．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，所以，所以，
所以函数在处的切线的斜率，则倾斜角为．
故选：．
求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：第一步将两名女生看作一个整体与名男生全排列，
第二步将两名女生内部排列，
即要求两名女生排在一起的排法总数为：．
故选：．
利用相邻问题捆绑法求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相邻问题捆绑法，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
又因为是函数的极小值点，
所以，
解得，
所以，，
令，得，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取极大值，在处取极小值，
所以的取极大值为．
故选：．
由是函数的极小值点，可得，进而可得，的解析式，即可得函数单调递区间及极大值点为，代入求解即可．
本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
故含项的二项式系数为．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：二项展开式的通项为：，
令，，因此二项展开式中的系数是：．
故选：．
写出二项展开式的通项公式，令，即可求解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：解法：，
由题意知有实数解，
，
有正的实数解．
当时，显然满足；
当时，只要，
，
综上所述，．
解法：，
由题意可知在内有实数解．
即在内有实数解．
即在内有实数解．
时，，．
故选C．
解法：化为有正的实数解，由方程的观点去求解；
解法：化为在内有实数解，求的值域．
本题考查了导数与函数的单调性之间的关系，可从方程的观点与函数的观点解答，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由于，
所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数和，的展开式中第项为，
分别令和，得到的展开式中的系数和的系数，
因此的展开式中的系数是．
故选：．
，所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数之和．
本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：分以下两种情况讨论：
若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，
此时不同的排法种数为种；
若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，
此时不同的排法种数为．
综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种．
故选：．
对基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，得，当时，，B正确；
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此函数在处取得极小值，递减区间为，A错误，C正确；
函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，，
函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以函数有两个不同的零点时，，D正确．
故选：．
求出函数的导数，利用导数判断；分析函数的性质，作出图象判断作答．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
对于，令，则，则，故A错误；
对于，因为，所以展开式中含的系数为，故B正确；
对于，令，则，则，令，
则，则，
所以，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合赋值法，以及二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为服从二项分布，
故，，故AC正确；
又，则，故D错误，
，故B错误．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布期望与方差的公式，以及二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查二项分布期望与方差的公式，以及二项分布的概率公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
先发生，此时乙箱中有个红球，个白球和个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有个红球，个白球和个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有个红球，个白球和个黑球，则，
所以，故B正确，
，故C错误，
因为，，
所以，即事件与事件不独立，故A错误，
因为，故D正确，
故选：．
根据的意义可求其概率，再利用条件概率公式求出，从而可判断的正误，根据全概率公式可计算，故可判断的正误，根据独立事件的乘法公式可判断的正误，由条件概率公式可判断．
本题主要考查条件概率公式，考查了全概率公式，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设函数的图像与直线相切于点，
由，得，
则，得，
，即，可得，
于是，解得，
故答案为：．
根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：二项式的通项为，
由题意，且，为整数，解得．
故答案为：．
先求出二项式展开式的通项公式，然后令的指数为零，求出，从而利用常数项建立方程求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为随机变量服从二项分布，
所以，
所以，
因为，所以．
故答案为：．
由随机变量服从二项分布可得，然后利用即可得到答案．
本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为随机变量服从正态分布，且，
所以．
故答案为：．
利用正态分布的对称性即可计算求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

17.【答案】解：由题意，                                   
又函数的图象在点处的切线方程为，
所以切线的斜率为，即 ，，解得                      
又点在直线上，，
同时点即点在上，，
即，解得                              
由有，，
由可知，或，
所以有、、的变化情况表如下：

由上表可知，的单调递增区间是和，单调递减区间是； 
函数的极大值是，极小值是                  
由，函数在区间上的极大值是         
又，，
函数在区间上的最大值为． 

【解析】求导函数，利用导数的几何意义，结合函数解析式，即可求，的值；
求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间和极值；
将函数的极大值与端点函数值，比较，即可求函数在区间上的最大值．
本题考查导数知识的应用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意可知，解得；
令，则，
又，
所以；
令，则，
又，
二式相加得，即，
二式相减得，即，
所以． 

【解析】由题意可知，代入数据求解即可；
令，求而后减去即可；
对分别令，，而后二式分别相加及相减即可．
本题主要考查二项式定理，属中档题．
 

19.【答案】解：依题意，，
当时，显然，所以在上单调递增；
当时，令，得；令，；
即在上单调递增，在上单调递减．
由题意得恒成立，等价于恒成立，
令，即时成立．
则，当时，，当时，，
那么在上单调递增，在上单调递增减，所以，
所以，即实数的取值范围是． 

【解析】求导可得，分和进行讨论即可得解；
根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为．
的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列如下：

所以． 

【解析】根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案．
根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由已知，得，
化简得：，
且
解得：；
解：由已知，得，，
化简得：，
解得：或舍去，
所以． 

【解析】根据排列以及排列数公式化简即可求解．
本题考查了排列以及排列数的公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

22.【答案】解：，
解得，
样本数据在，，，，，
的概率分别为，，，，，，
则平均值为；
分钟到分钟中各钥的频率比为：：：：：：，
所以应抽，应抽，应抽，应抽，
的所有可能取值为，，，，
，，
，，
随机变量的分布列为：

． 

【解析】由矩形面积和为可求，进而可求锻炼时长的平均数；
求得每个小组应抽人数，进而求得分布列，可求期望．
本题考查利用频率分布直方图求平均数，考查分布列与期望的计算，属中档题．