2022-2023学年黑龙江省佳木斯八中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省佳木斯八中高二（下）期中数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列−23，45，−67，89，…的第8项是( )
A. 1617B. −1819C. −1617D. 1819
2.若数列{an}的前n项和Sn=2an+1+n，a1=2，则a3=( )
A. 12B. 32C. 14D. 34
3.设函数f(x)=x2+x，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=( )
A. 5B. −5C. 2D. −2
4.若数列{an}的通项公式为an=nn2+6，则a4=( )
A. 17B. 213C. 211D. 15
5.等差数列{an}中，a2+a3+a4+a5+a6=90，求a1+a7=( )
A. 45B. 15C. 18D. 36
6.下列求导运算正确的是( )
A. (ax−1)′=axB. (1x2)′=−1x3
C. (lnx+3)′=1x+3D. (csx)′=−sinx
7.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当n=1，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则n=5时，圆球总个数为( )
A. 30B. 35C. 40D. 45
8.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=2，且a2，a3，a4−2成等差数列，则S6=( )
A. 63B. 31C. −63D. −31
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{an}为等差数列，a2=11，a5=5，则下列说法正确的是( )
A. an=15−2nB. −20是数列{an}中的项
C. 数列{an}单调递减D. 数列{an}前7项和最大
10.已知{an}是等比数列，a2=2，a6=18，则公比q=( )
A. −12B. −2C. 2D. 12
11.数列{an}的通项公式为an=3n+1,n为奇数,2n−2,n为偶数,则( )
A. a3=7B. a3=10C. a2a3=20D. a2a3=70
12.下列数列为等比数列的是( )
A. b，b，b，b，…(b为常数，b≠0)B. 22，42，62，82，…
C. 1，12，−14，−18，…D. 1a，1a2，1a3，1a4，…
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.物体的运动方程为s=6t+7t2(s的单位：米，t的单位：秒)，则此物体在t=10的瞬时速度是______．
14.已知函数f(x)=2xf′(1)+1x，则f(x)在x=1处切线的斜率______．
15.已知数列{an}中，a1=1，1an+1−1an=n+1，则其第3项为______．
16.已知数列{an}中，an=1(n+1)(n+2)，则此数列的前8项和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}为等差数列．
(1)a4=3，a7=9，求a8；
(2)若a3+a10=12，求S12．
18.(本小题12分)
等比数列{an}的公比为2，且a2，a3+2，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=lg2an+an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−ln2x．
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)求函数f(x)的图象在x=12处的切线方程．
20.(本小题12分)
等比数列{an}的各项均为正数，且a1+a3=10，4a32=a2⋅a6．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{n⋅an}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和Sn=5n2+3n，写出它的前3项，并求这个数列的通项公式．
22.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn−1(n∈N*)
(1)证明：an+2−an=4．
(2)求数列{an}的通项公式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意知，数列的一个通项公式可以为an=(−1)n2n2n+1，
所以a8=(−1)8×1617=1617．
故选：A．
观察数列写出其通项公式，代入n=8计算即可．
本题主要考查了数列的概念和通项公式，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}的前n项和Sn=2an+1+n，a1=2，
∴2=S1=2a2+1，
则a2=12，
n=2代入可得2+12=S2=2a3+2，
则a3=14．
故选：C．
直接把n=1和n=2代入递推关系式即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=Δx→0lim(2+Δx)2+2+Δx−22−2Δx=Δx→0lim(Δx+5)=5．
故选：A．
根据瞬时变化率的求解方法即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，若数列{an}的通项公式为an=nn2+6，
则a4=416+6=211．
故选：C．
根据题意，将n=4代入数列的通项公式，计算可得答案．
本题考查数列的通项公式，涉及数列的表示方法，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：等差数列{an}中，a2+a3+a4+a5+a6=5a4=90，
所以a4=18，
所以a1+a7=2a4=36．
故选：D．
由已知结合等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵(ax−1)′=axlna，∴A错误，
∵(1x2)′=−2xx4=−2x3，∴B错误，
∵(lnx+3)′=1x，∴C错误，
∵(csx)′=−sinx，∴D正确．
故选：D．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，设从上到下，第n层圆球数目为{an}，
则有a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，
则a4=1+2+3+4+5=15，
故n=5时，圆球总个数为20+15=35．
故选：B．
根据题意，设从上到下，第n层圆球数目为{an}，分析{an}的规律，进而计算可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意分析每一层球的数目的规律，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设公比为q(q≠0)，
因为a2，a3，a4−2成等差数列，所以2a3=a2+a4−2，
则2×2q=2+2q2−2，解得：q=2或0(舍去)，
因为a2=2，所以a1=1，故S6=1−261−2=63．
故选：A．
设出公比，根据a2，a3，a4−2成等差数列列出方程，求出公比，利用等比求和公式求出答案．
本题主要考查等差与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：在等差数列{an}中，由a2=11，a5=5，
得d=a5−a25−2=5−113=−2，则a1=a2−d=11−(−2)=13，
∴an=13−2(n−1)=15−2n，则数列{an}单调递减，故AC正确；
由15−2n=−20，解得n=352，故B错误；
由an≥0，解得n≤352，∴a17>0，a18<0，则数列{an}前17项和最大，故D错误．
故选：AC．
由已知求得首项与公差，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由题意可得q4=a6a2=116，解得q=12或−12．
故选：AD．
利用等比数列的通项公式即可求解
本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：由通项公式得a2=2×2−2=2，a3=3×3+1=10，所以a2⋅a3=20．
故选：BC．
直接求出a2，a3即得解．
本题考查数列的通项公式的应用，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：A选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；
B选项中，4222≠6242，所以该数列不是等比数列；
C选项中，121≠−1412，所以该数列不是等比数列；
D选项中的数列是首项为1a，公比为1a的等比数列．
故选：AD．
根据等比数列的定义判断．
本题主要考查了等比数列的定义，属于基础题．
13.【答案】146米/秒
【解析】解：设此物体在t=10的瞬时速度V=Δt→0lims(10+Δt)−s(10)Δt=Δt→0lim6(10+Δt)+7(10+Δt)2−60−700Δt=Δt→0lim146Δt+7Δt2Δt=Δt→0lim(146+7Δt)=146(米/秒)．
故答案为：146米/秒．
利用瞬时速度的概念求解出答案
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：因为f(x)=2xf′(1)+1x，
则f′(x)=2f′(1)−1x2，
令x=1，可得f′(1)=2f′(1)−1，解得f′(1)=1，
故f(x)在x=1处切线的斜率为1．
故答案为：1．
根据题意，求导可得f′(x)，然后令x=1，即可得到结果．
本题考查导数的几何意义，属于中档题．
15.【答案】16
【解析】解：因为a1=1，所以1a2=1+1+1a1=3，
故1a3=2+1+1a2=3+3=6，所以a3=16．
故答案为：16．
根据递推公式及a1=1求出1a2=3，进而求出1a3=6，得到a3=16．
本题考查数列的递推公式的应用，属基础题．
16.【答案】25
【解析】解：由题意，可得an=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
设数列{an}的前n项和为Sn，
则S8=a1+a2+⋅⋅⋅+a8
=(12−13)+(13−14)+⋅⋅⋅+(19−110)
=12−110
=25．
故答案为：25．
先将数列{an}的通项公式进行转化，再运用裂项法即可计算出数列{an}的前8项和．
本题主要考查运用裂项相消法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)设公差为d，
由a4=a1+3d=3a7=a1+6d=9，解得a1=−3d=2，
所以a8=a1+7d=11．
(2)因为a3+a10=a1+a12=12，
所以S12=12(a1+a12)2=6(a1+a12)=72．
【解析】(1)根据等差数列的定义求出首项公差即可；
(2)根据等差数列的性质和前n项和公式求解．
本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+2，a4成等差数列，
∴2(a3+2)=a2+a4，
∴2(4a1+2)=2a1+8a1，
∴a1=2，又q=2，
∴an=2n；
(2)∵bn=lg2an+an=n+2n，
∴Tn=(1+2+⋅⋅⋅+n)+(2+22+⋅⋅⋅+2n)
=n(n+1)2+2n+1−2．
【解析】(1)根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
(2)根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
19.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x−ln2x，
所以f′(x)=1−1x=x−1x(x>0)；
(2)因为f′(x)=1−1x,f′(12)=−1,f(12)=12，
所以函数f(x)在x=12处的切线方程为y−12=−1(x−12)，即x+y−1=0．
【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；
(2)求出f′(12)和切点，再利用导数的几何意义求出切线方程．
本题考查导数的运算和曲线在某点处的切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1){an}是各项均为正数的等比数列，设数列{an}的公比为q，且q>0，由a1+a3=10，4a32=a2⋅a6．
即4a32=a2⋅a6=a42
得：q2=4，所以q=2．
由a1+a3=a1+4a1=5a1=10，得到a1=2
所以数列{an}的通项公式为an=2n．
(2)由条件知，Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n……①
又2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1……②
将两式相减：即①−②可得−Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1=2(2n−1)−n×2n+1=(1−n)2n+1−2，
所以Tn=(n−1)2n+1+2．
故得数列{n⋅an}的前n项和Tn=(n−1)2n+1+2．
【解析】(1)根据{an}是各项均为正数的等比数列，设数列{an}的公比为q，且q>0，由a1+a3=10，4a32=a2⋅a6.即可求解q、a1的值，从而可得数列{an}的通项公式；
(2)由数列{n⋅an}是差比数列，利用错位相减法即可求解前n项和Tn．
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、错位相减法等基础知识，以及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由Sn=5n2+3n，
当n=1时，a1=S1=5+3=8；
当n=2时，a2=S2−S1=20+6−8=18；
当n=3时，a3=S3−S2=45+9−(20+6)=28；
则公差d=18−8=10，
则通项公式an=8+10(n−1)=10n−2．
【解析】根据前n项和公式即可得到结果．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
22.【答案】(1)证明：∵anan+1=4Sn−1，∴当n≥2时，an−1an=4Sn−1−1，anan+1−an−1an+1=4an，
∵an≠0，∴an+1−an−1=4，
(2)解：当n=1时，a1a2=4a1−1，
∵a1=1，解得a2=3，
由an+1−an−1=4，可知数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为1，3．
∴当n=2k−1(k∈N*)时，an=a2k−1=1+4(k−1)=4k−3=2n−1；
当n=2k(k∈N*)时，an=a2k=3+4(k−1)=2n−1．
∴an=2n−1．
【解析】(1)由anan+1=4Sn−1，可得当n≥2时，an−1an=4Sn−1−1，an≠0，两式相减可得an+1−an−1=4；
(2)由(1)可得数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列，进而得出数列{an}的通项公式．
本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．