初中数学人教版八年级下册16.2 二次根式的乘除精品课后练习题

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1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
专题16.2 二次根式的乘除
1.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
2.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式。
知识点01 二次根式的乘除法
【知识点】
二次根式的乘法法则及逆用：；
二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
【知识拓展1】二次根式乘除的运算
例1．（1）（2022·浙江杭州·八年级期中）（1）_____；（2）_____．
（2）（2022·河南周口·八年级期中）计算：(1)(2)．
【即学即练1】
1．（2022·湖北武汉·八年级期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．8B．3C．（）2＝10D．（）2＝﹣3
2．（2022·全国·八年级期末）计算:(1) (2)
【知识拓展2】二次根式的化简
例2．（2022·河南信阳·八年级期中）化简=_____________________．
【即学即练2】
2．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）化简二次根式：______（）．
【知识拓展3】分母有理化
例3．（2022·河北保定·八年级期中）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练3】
3．（2022·四川·成都实外八年级期中）材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：= ；
（2）运用分子有理化，比较大小： ；
（3）计算：的值．
【知识拓展4】二次根式的乘除的实际应用
例4．（2022·江苏江苏·八年级期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km．
【即学即练4】
4．（2022·四川省绵阳南山中学双语学校八年级阶段练习）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则其中另一直角边长为（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展5】二次根式中的探究规律问题
例5．（2022·河南·安阳县八年级阶段练习）已知数列，…，则是它的（ ）
A．第23项B．第24项C．第19项D．第25项
【即学即练5】
5．（1）（2022·浙江衢州·七年级期中）如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．
（2）（2022·北京昌平·八年级期中）观察下面的规律：．
（1）______；
（2）若则______．
知识点02 最简二次根式
【知识点】
我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识拓展1】最简二次根式的概念
例1．（2022·湖北襄阳·八年级期中）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
【即学即练1】
1．（2022·河北保定·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展2】化简最简二次根式
例2．（2022·山东滨州·八年级期末）与化为最简二次根式后结果相同的是（ ）
A．B．C．边长为3的等边三角形的高 D．
【即学即练2】
2．（2022·四川广安·八年级期中）化简：_______．
【知识拓展3】已知最简二次根式求参数
例3．（2022·河南·信阳八年级期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为__________．
【即学即练3】
3．（2022·辽宁·八年级期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则_______．
【知识拓展4】二次根式的符号化简
例4．（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练4】
4．（2022·黑龙江·八年级期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山东泰安·八年级期中）已知，化简二次根式的正确结果________．
题组A 基础过关练
1．（2022·四川蒲江县八年级期中）设，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东·丰顺县八年级阶段练习）已知 的积是一个整数，则正整数的最小值是（ ）
A．7B．2C．1D．5
3．（2022·河南驻马店·八年级期中）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·云南楚雄·八年级期末）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河南·鹤壁市外国语中学九年级期中）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则化简（ ）
A．mB．-mC．nD．-n
7．（2022·山东烟台·八年级期中）如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2021·山东泰安·八年级期中）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·山东青岛·八年级期中）下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·湖北恩施·八年级期中）计算：______．
11．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）计算：
(1) (2)
题组B 能力提升练
1．（2022·广东佛山·八年级期中）在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·山东泰安·八年级期中）已知xy＞0，化简二次根式的正确结果（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·八年级课时练习）若二次根式是最简二次根式，则最小的整数______.
4．（2022·辽宁·沈阳市八年级阶段练习）已知，，聪明的同学你能不用计算器得出：______；
5.（2022·山东泰安·八年级期中）化简：________．
6．（2022·重庆市九年级期中）已知，则有（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·辽宁沈阳·八年级期中）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
8．（2022·山东烟台·八年级期中）已知与满足，求代数式的值．
9．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：
(1)；(2)；(3)．
10．（2022·全国·八年级课时练习）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东临沂·八年级期末）化简二次根式的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东威海·八年级期中）观察下列式子：
①；②；③；④；…．
请你按照规律写出第n（）个式子是( )
A． B．
C． D．
3．（2022·山东济宁·八年级期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照上述规律，计算：（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江杭州·八年级期中）设，求不超过的最大整数______．
5．（2022·河南·九年级阶段练习）已知的面积为，底边为，则底边上的高为
A．B．C．D．
6．（2022·河南·方城县广阳镇第一初级中学九年级阶段练习）将1，，，按右侧方式排列，若规定表示第排从左向右的第个数，则与表示的两数之积是（ ）
A．2B．C．D．
7．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
8．（2022·全国·八年级专题练习）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．