初中数学人教版八年级下册16.3 二次根式的加减精品巩固练习

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1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
专题16.3 二次根式的加减
1. 掌握同类二次根式及合并同类二次根式；
2. 掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
3. 能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
知识点01 同类二次根式
【知识点】
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
【知识拓展1】同类二次根式的辨别
例1．（2022·山东烟台·八年级期中）下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与是同类二次根式的是，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【即学即练】
1.（2022·福建宁德·八年级期中）下列各式化简后能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念即可得出结论．
【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意；B、与不能合并，故不符合题意；
C、与能合并，故符合题意；D、与不能合并，故不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
【知识拓展2】根据同类二次根式求参数值
例2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）若与最简二次根式能合并成一项，则________．
【答案】-2
【分析】先化简，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值．
【详解】解：∵，它与最简二次根式能合并成一项，
∴1-a=3，∴a=-2，故答案为：-2．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键．
【即学即练】
2.（2022·河北保定·八年级期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【答案】A
【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【知识拓展3】合并同类二次根式
例3．（2022·福建福州·八年级期中）下列式子正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不合题意；
B、无法合并，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的合并，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【即学即练】
3.（2022·广西贺州·八年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减法法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、2和不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
B、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
C、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．
知识点02 二次根式的加减
【知识点】
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【知识拓展1】二次根式的加减
例1．（2022·辽宁大连·八年级期中）计算：
(1)； (2)
【答案】(1)0 (2)
【分析】（1）先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解答的关键．
【即学即练1】
1．（2022·湖北武汉·八年级期中）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可；
（3）先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可；
（4）先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可．
（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的性质和二次根式混合运算法则，是解题的关键．
【知识拓展2】二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
例2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂，二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据零次幂，二次根式的混合运算，实数的混合运算进行计算即可求解．
（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，负整数指数幂，零次幂，正确的计算是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·四川德阳·八年级期中）计算
(1). (2).
【答案】(1)-5 (2)2
【分析】（1）原式先计算二次根式的乘除法，再去括号合并即可求出结果；
（2）原式分别化简，然后再合并即可得到结果．
（1）
= - -（2+2）
=2 -3 -2-2
=-5
（2）
=2- +4-3-1+
=2
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关运算法则．
3．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先化简括号内二次根式，再做除法运算，最合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，并根据零指数幂运算法则计算，再合并同类二欠根式即可．
（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和零指数幂的运算法则是解题的关键．
【知识拓展3】二次根式的化简求值
例3．（2022·湖北孝感·八年级期中）已经，求下列各式的值：
(1)； (2)
【答案】(1)12 (2)
【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可；
（2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可．
（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键．
【即学即练3】
2．（2022·陕西·西北大学附中八年级阶段练习）化简求值已知，，求．
【答案】
【分析】先计算的值，然后将代数式化简，代入的值进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
3．（2022·山东烟台·八年级期中）已知，，求代数式的值．
【答案】
【分析】先根据，，判定x、y同号，都为负数，再据此化简二次根式，合并同类二次根式，然后整代入计算即可．
【详解】解：∵， ∴x、y同号，都为负数
∴
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由已知条件判定x、y同号，且都为负数是解题的关键．
【知识拓展4】分母有理化
例4．（2022·河南平顶山·八年级期中）阅读下面计算过程：
；．
请解决下列问题(1)______．
(2)利用上面的解法，请化简：．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）仿照例题解题过程即可得到结果；（2）利用例题的规律化简各个式子即可得到结果．
【详解】（1）解：；
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解题的关键．
【即学即练4】
4．（1）（2022·山西实验中学八年级阶段练习）观察下列等式：
；
；
；
回答下列问题：(1)______；(2)______；（为正整数）
(3)题：计算______．题：利用上面所揭示的规律计算：
．
【答案】(1)(2)(3)A：1；B：
【分析】（1）利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）利用分母有理化，进行计算即可解答；
（3）题：利用积的乘方和平方差公式进行计算即可解答；
题：先利用上面的规律化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，故答案为：；
（2）解：，故答案为：；
（3）解：题： ，故答案为：；
题：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，数字类的变化规律探究，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（2）（2022·山西·寿阳县教研室八年级期中）阅读材料：像这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根式，即为分母有理化．
例如：，
解答下列问题：(1)请写出一个的有理化因式；(2)将分母有理化;
(3)计算：
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据平方差公式及有理化因式定义即可得到答案；
（2）分子分母同时乘以分母的有理化因式即可得到答案；
（3）先把括号里的分式分母有理化并计算，在相乘即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，，
∴的有理化因式可以是：；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查有理化因式，分母有理化及二次根式有理化规律，解题的关键是先分母有理化进行前后相互抵消，最后利用平方差公式求解．
【知识拓展5】已知字母的值，化简求值
例5．（2022·上海市八年级期中）先化简：，再求当，时的值．
【答案】原式，当，时，原式
【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．
【即学即练5】
5．（2022·福建三明·八年级期中）已知，，求代数式的值．
【答案】
【分析】先利用已知，求得的值，然后把所求的代数式利用完全平方公式变形后代入求值即可．
【详解】解：∵，，∴，
∴．
【点睛】本题考查了代数式的求值和二次根式的运算，根据题目的特点把已知或所求的代数式作适当的变形是解题的关键．
【知识拓展6】已知条件式，化简求值
例6．（2022·江西上饶·八年级期中）已知，，求的值．
【答案】
【分析】由题意可得与都为负数，再利用二次根式的化简对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，，∴，，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则．
【即学即练6】
6．（2022·江苏南通·八年级期中）已知，．求的值．
【答案】
【分析】先计算x+y=−6，xy=6，可得x