2022-2023学年江苏省南京市秦淮区第一中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市秦淮区第一中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列调查中适合采用普查的是( )
A. 了解秦淮河的水质B. 了解某班学生3分钟跳绳成绩
C. 了解一批灯泡的使用寿命D. 了解南京市中学生课后作业时间
3.下列事件：①对顶角相等，②矩形的对角线相等，③同位角相等，④平行四边形是中心对称图形，其中不是必然事件的是( )
A. ①B. ②③C. ③D. ④
4.如图，正方形ABCD中，点M、N是对角线BD上的两点，且∠MAN=45∘.若BM=2，DN=3，则MN的长为
( )
A. 5B. 4C. 13D. 5
5.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF=60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度．( )
A. 逐渐增加B. 逐渐减小
C. 保持不变且与EF的长度相等D. 保持不变且与AB的长度相等
6.下列命题中所有真命题的序号是：( )
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．
A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.在数20220222中，数字“2”出现的频率是______．
8.“367人中有2人同月同日生”是______事件．(填“不可能”、“必然”或“随机”)
9.某中学全体学生参加社会实践活动，从中随机抽取若干同学的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，5分为满分，则估计全体学生社会实践活动成绩的满分率是______．
10.某校通过“云课堂”方式进行线上教学后，张老师对本班学生观看情况整理并绘制了如图所示的扇形统计图，若全部看完的学生有35人，则没看的学生有______人．
11.如图，▵ABC绕点A顺时针旋转100°得到▵AEF，若∠EAF=30∘，则∠α=______°．
12.已知平行四边形ABCD的周长为24，若AB=3BC，则CD的长为______．
13.若点A与点B(1,1)关于点C(−1,−1)对称，则点A的坐标是____．
14.如图，正方形ABCD的边长为6，E为DC的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若DG=2，∠GEF=90∘，则GF的长为______．
15.如图，在四边形ABCD中，AD/​/BC，AD=4,BC=10,∠B=60∘,∠C=30∘，则AB的长为______．
16.在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是直线BC一动点，若将▵ABP沿AP折叠，使点B落在点E处，若P、E、D三点在同一条直线上，则BP=__________．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知▵ABC的三个顶点的坐标分别为A−5,0、B−2,3、C−1,0
(1)画出▵ABC关于坐标原点O成中心对称的▵A′B′C′；
(2)将▵ABC绕坐标原点O顺时针旋转90∘，画出对应的▵A′′B′′C′′；
(3)若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为___．
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．
求证：AE//CF．
19.(本小题8分)
如图，在“飞镖形”ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)“飞镖形”ABCD满足条件____时，四边形EFGH是菱形．
20.(本小题8分)
在Rt▵ABC中，∠BAC=90∘，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF/​/BC交BE的延长线于点F.证明四边形ADCF是菱形
21.(本小题8分)
在“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，某校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析．
收集数据
(1)数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取300名女生进行调查．
方案二：分别从三个年级随机抽取各100名学生进行调查；
方案三：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查；
其中抽取的样本具有代表性的方案是______．
整理数据
(2)抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．
①m=________；
②求组别A的圆心角度数；
分析数据
(3)如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该校2 400名学生达到“视力良好”的人数．
22.(本小题8分)
在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据：
(1)摸到白球的概率的估计值是多少？请说明理由．(精确到0.01)
(2)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合(1)中结果的试验最有可能的是__(填序号)．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”．
23.(本小题8分)
如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．

(1)求证：BG=DE；
(2)若E为AD的中点，AB=5.求FH的长．
24.(本小题8分)
如图①，已知线段AB，BC，∠ABC=90∘.求作：矩形ABCD.(要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)，以下是某同学的作法：
1.如图②，过点A作AB的垂线AE；
2.过点C作BC的垂线CF，交AE于点D；
(1)根据以上作法，能得到四边形ABCD是矩形的依据是_______________________；
(2)请用另一种方法，作出矩形ABCD．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据抽样调查和全面调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】解：A.了解秦淮河的水质，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B.了解某班学生3分钟跳绳成绩，适合使用普查，因此选项B符合题意；
C.了解一批灯泡的使用寿命，由于实验具有破坏性，所以不适合采用普查，应采取抽查，因此选项C不符合题意；
D.由于南京市的中学生人数较多，因此了解南京市中学生课后作业时间宜使用抽样调查，所以选项D不符合题意；
故选：B．
本题考查抽样调查和全面调查，理解抽样调查和全面调查的意义是正确判断的前提．
3.【答案】C
【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：①对顶角相等是必然事件；
②矩形的对角线相等是必然事件；
③同位角相等是随机事件；
④平行四边形是中心对称图形是必然事件．
故选C．
本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】C
【解析】【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，证明△AMN≌△AHN，可得MN=HN，Rt△HDN中，有HN2=DH2+DN2，即可求得结果．
【详解】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠HAN=45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH=AM，BM=DH=2，∠ABM=∠ADH=45°，
又∵AN=AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，
∴MN=HN，
∵∠NDH=∠ABM+∠ADH=45°+45°=90°，
∴MN=HN= DH2+DN2= 22+32= 13．
故选：C．
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解题关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】证明△ABE≌△DBF(AAS)，可得AE=DF；结合图形可知：AE+CF=AB，AB是一定值，从而完成求解．
【详解】连接BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD，
∵∠A=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD，∠ABD=60°
∵DC // AB
∴∠CDB=∠ABD=60°
∴∠A=∠CDB
∵∠EBF=60°
∴∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF
∴∠ABE=∠DBF
∵∠A=∠BDF∠ABE=∠DBFAB=BD
∴△ABE≌△DBF(AAS)
∴AE=DF
∴AE+CF=DF+CF=CD=AB
故选：D．
本题考查了菱形、等边三角形、全等三角形的知识；求解的关键是熟练掌握菱形、等边三角形、全等三角形的性质，从而完成求解．
6.【答案】B
【解析】【分析】利用平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，是假命题，不符合题意；
③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，错误，是假命题，不符合题意．
正确的有①③．
故选：B．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法．
7.【答案】0.75
【解析】【分析】根据频率=频数÷总次数，进行计算即可得到最后答案．
【详解】解：数字20220222中，一共有8个数字，其中有6个2，
∴68=0.75，
∴在数20220222中，数字“2”出现的频率是0.75，
故答案为：0.75．
本题考查了频率与频数，熟练掌握频率=频数÷总次数是解答本题的关键．
8.【答案】必然
【解析】【分析】根据一年365天，判断已知事件即可．
【详解】解：“367人中有2人同月同日生”这一事件是必然事件，
故答案为：必然．
此题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件；在相同条件下每次试验一定不发生的事件叫做不可能事件．
9.【答案】24%
【解析】【分析】用满分人数除以总人数即可得出满分率．
【详解】解：估计全体学生社会实践活动成绩的满分率是：
122+9+13+14+12×100%=24%，
故答案为：24%．
本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题信息．
10.【答案】5
【解析】【分析】由全部看完的学生人数及其所占百分比求出被调查的总人数，总人数乘以没看部分对应的百分比即可．
【详解】解：∵被调查的总人数35÷70%=50(人)，
∴没看电视节目的同学有50×1−70%−20%=5(人)，
故答案为：5．
本题考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比，正确计算是解答本题的关键．
11.【答案】70
【解析】【分析】由旋转的性质可得∠CAF=100，根据∠EAF=30°，即可得∠α=∠CAE=∠CAF−∠EAF=70°．
【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转100°得到△AEF，
∴∠CAF=100°，
∵∠EAF=30°，
∴∠a=∠CAE=∠CAF−∠EAF=70°，
故答案为：70．
本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质．
12.【答案】9
【解析】【分析】利用平行四边形的对边相等得出AB=CD，AD=BC，结合平行四边形ABCD的周长为24可求AB+BC=12，再结合AB=3BC求出AB的长，即可求出CD的长．
【详解】解∶ ∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴AB=CD，AD=BC，
∴AB+BC+CD+AD=2AB+BC=24，
∴AB+BC=12，
又AB=3BC，
∴AB=9=CD．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
13.【答案】(−3,−3)
【解析】【分析】设点A的坐标为(x,y)，根据点坐标的轴对称变化规律列式求解即可得．
【详解】设点A的坐标为(x,y)，
由题意得：x+12=−1y+12=−1，解得x=−3y=−3,
则点A的坐标为(−3,−3)，
故答案为：(−3,−3)．
本题考查了点坐标的轴对称变化，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键．
14.【答案】132
【解析】【分析】由已知及勾股定理可求得GE的长，延长GE交BC的延长线于点H，易得△GDE≌△HCE，由全等三角形的性质可得HE=GE，CH=DG，则由垂直平分线的性质定理得GF=HF；由勾股定理建立方程可求得CF的长，从而可求得GF的长．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCD=90°，CD=6，
∴∠D=∠ECH=90°，
∵E为DC的中点，
∴DE=CE=12CD=3，
在Rt△GDE中，由勾股定理得：GE= DG2+DE2= 22+32= 13，
如图，延长GE交BC的延长线于点H，
在△GDE和△HCE中，
∠D=∠ECHDE=CE∠DEG=∠CEH,
∴△GDE≌△HCE，
∴HE=GE= 13，CH=DG=2，
即点E是GH的中点，
∵∠GEF=90∘
∴由垂直平分线的性质定理得GF=HF=CF+CH=CF+2，
在Rt△HEF中，由勾股定理得：EF2=FH2−HE2=(CF+2)2−13，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=CF2+CE2=CF2+9，
由上可得方程：CF2+9=(CF+2)2−13，
解得：CF=92，
∴GF=CF+2=92+2=132，
故答案为：132．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质定理等知识，其中构造辅助线得到全等三角形是本题的关键及难点．
15.【答案】3
【解析】【分析】过点A作AE/​/CD，交BC于点E，则∠AEB=∠C=30∘，证明四边形AECD是平行四边形，则AD=EC=4，得到BE=BC−EC=10−4=6，可得∠BAE=180∘−∠AEB−∠B=90∘，利用含30∘的直角三角形的性质即可得到AB的长．
【详解】解：过点A作AE/​/CD，交BC于点E，
∴∠AEB=∠C=30∘，
∵AD//BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=4，
∴BE=BC−EC=10−4=6，
∵∠B=60∘,，
∴∠BAE=180∘−∠AEB−∠B=90∘，
∴AB=12BE=3．
故答案为：3
此题考查了平行四边形的判定和性质、含30∘的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30∘的直角三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】1或9##9或1
【解析】【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．根据题意分情况讨论，由勾股定理可以求出DE的长，设BP=x，在直角三角形DCP中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先证明▵AED≌▵DCP，再利用勾股定理即可．
【详解】解：根据题意分情况讨论：
①当点P在线段BC上时，
，
根据折叠性质：AB=AE=3，BP=PE，∠B=∠AEP=90∘，
在Rt▵ADE中，DE= AD2−AE2= 52−32=4，
设BP=x，则PE=x,PC=5−x，
在Rt▵DCP中，(4+x)2=(5−x)2+32，解得：x=1，
②当点P在线段BC的延长线上时，
，
根据折叠性质：AB=AE=3，BP=PE，∠B=∠AEP=90∘，
∵∠EAD+∠ADE=90∘，∠ADE+∠CDP=90∘，
∴∠EAD=∠CDP，
在▵AED和▵PCD中，
∠E=∠DCP∠EAD=∠CDPAE=CD,
∴▵AED≌▵DCP，
∴DP=AD=5，
在Rt▵DCP中，PC=4，
∴BP=BC+PC=5+4=9，
综上：BP的长为1或9，
故答案为：1或9．
17.【答案】【小问1详解】
解：如图所示，▵A′B′C′即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，▵A′′B′′C′′即为所求；
【小问3详解】
解：因为四边形A′C′B′D′为平行四边形，且点D′在第四象限，
所以点D′坐标为6,−3．
故答案为：6,−3

【解析】【分析】(1)根据中心对称的性质即可画出▵ABC关于坐标原点O成中心对称的▵A′B′C′；
(2)根据旋转的性质即可画出▵A′′B′′C′′；
(3)根据平行四边形的性质即可得点D′坐标．
本题考查了作图−旋转变换，平行四边形的判定，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
即AF=CE，
∵AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE//CF．

【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，再证AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=CE是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接AC．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．
∴EF、GH分别是△ABC、△ACD的中位线．
∴EF // AC，EF=12AC，GH // AC，GH=12AC，
∴EF=GH，EF // GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)“飞镖形”ABCD满足条件AC=BD时，四边形EFGH是菱形AC=BD，
故答案为AC=BD．

【解析】【分析】(1)连接AC，根据三角形的中位线定理求出EH=12BD，HG=12AC，EH // BD，HG // AC，FG // BD，EF // AC，推出平行四边形EFGH即可；
(2)根据菱形的 判定定理即可得到结论．
本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是解此题的关键．
20.【答案】证明：如图，

∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在▵AFE和▵DBE中，
∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE,
∴▵AFE≅▵DBE(AAS)，
∴AF=DB，
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAD=90∘，D是BC的中点，
∴AD=DC=12BC，
∴四边形ADCF是菱形．

【解析】【分析】根据E是AD的中点，AF/​/BC，易证得△AFE≅△DBE，即可得AF=BD，又由在Rt▵ABC中，∠BAC=90∘，D是BC的中点，可得AD=BD=CD=AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形。
本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键．
21.【答案】解：(1)分别从三个年级随机抽取各100名学生进行调查具有代表性，
所以抽取的样本具有代表性的方案是方案二；
故答案为：二；
(2)①由题意可知，m=90÷30%−15−90−36=159，
故答案为：159；
②360∘×15300=18∘，
所以，组别A的圆心角度数为18∘；
(3)2400×15+90300=840(人)．
答：估计该校2400名学生达到“视力良好”的人数为840人．

【解析】【分析】(1)根据题意和选取样本要具有代表性，可以判断哪个方案最合理；
(2)①根据B组的频数及其对应的百分比可得总人数，进而得出m的值；
②用360∘乘组别A对应的百分比即可得出组别A的圆心角度数；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查扇形统计图、抽样调查、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】【小问1详解】
解：摸到白球的概率的估计值是0.25；
理由：大量重复实验下，摸到白球的频率稳定在0.25附近，0.25即概率的估计值；
【小问2详解】
解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率是12；
②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率是14=0.25；
③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”的概率是26=13；
综上所述，符合(1)中结果的试验最有可能的是②，
故答案为：②．

【解析】【分析】(1)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的 频率接近0.25，由此得出答案；
(2)根据概率公式求出各自的概率，然后与(1)比较，即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是解决问题的关键．
23.【答案】【小问1详解】
证明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH//GH，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°−∠BFH，
∴∠BFG=∠DHE，
在菱形ABCD中，AD//BC，
∴∠GBF=∠EDH，
在△BGF与△DEH中，∠BFG=∠DHE∠GBF=∠EDHEH=FG,
∴△BGF≌△DEH(AAS)，
∴BG=DE；
【小问2详解】
解：连接EG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，
又AE//BG，
∴四边形ABGE是平行四形，
∴EG=AB．
∴EG=AB=5．
∵四边形EFGH是矩形，
∴FH=EG=5．

【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出EH=EG，EH//GH，进而利用AAS证明△BGF≌△DEH，利用全等三角形的性质解答即可；
(2)连结EG，先求出EG=AB=5，由矩形的性质可求解．
本题考查矩形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是利用AAS证明△BGF≌△DEH．
24.【答案】 小问1详解
解：由作图可知，∠ABC=∠BAD=∠DCB=90∘，
∴四边形ABCD是矩形(有三个角为直角的四边形为矩形)．
故答案为：有三个角为直角的四边形为矩形；
【小问2详解】
解：如图①、②，矩形ABCD即为所求．

【解析】【分析】(1)根据有三个角为直角的四边形为矩形判断即可；
(2)根据矩形的判定作出图形即可．
本题考查作图−复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
组别
视力段
频数
A
5.1≤x≤5.3
15
B
4.8≤x≤5.0
90
C
4.4≤x≤4.7
m
D
4.0≤x≤4.3
36
摸球的次数n
10
20
50
100
200
400
500
1000
2000
摸到白球的次数m
4
7
10
28
45
97
127
252
498
摸到白球的频率mn
0.400
0.350
0.200
0.280
0.225
0.243
0 254
0.252
0.249