2022-2023学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在千家万户团圆的时刻，我市一批医务工作者奔赴武汉与疫情抗争，他们是“最美逆行者”下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列实数、、、、、中，无理数的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  以下列各组数为边长能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.  在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，购买一种苹果，所付款金额元与购买量千克之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买千克这种苹果比分六次购买千克这种苹果可节省的金额为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  的平方根是______．

8.  下列函数：；；；其中，图象经过第一、二、三象限的函数是______ 填序号．

9.  比较大小： ______ 填“”、“”或“”．

10.  如图，≌，若，，，则的度数为______

11.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，连接若的长为，的周长是，则的长为______ ．

12.  已知、是一次函数的图象上的不同两个点，时，的取值范围是______ ．

13.  如图，在中，，平分，，，则的长是______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，点，，在轴正半轴上，点，，在射线上，，若，且，，均为等边三角形，则线段的长度为______ ．

15.  已知，直线与轴交于点，与轴交于点点是直线上不同于点的点，且一次函数与直线交于点若点在线段上，则的取值范围是______ ．

16.  如图，在中，，，，点为延长线上一点当点在延长线上运动时，的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
求下列各式中的：
；
．

19.  本小题分
如图，在四边形中，、相交于点，，求证．

20.  本小题分
已知一次函数经过点，与轴交于点．
求的值和点的坐标；
画出此函数的图象；观察图象，当时，的取值范围是______ ；
若点是轴上一点，的面积为，则点点坐标是多少？

21.  本小题分
已知，求作点，使得点与三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

22.  本小题分
如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且求证：．

23.  本小题分
如图，在中，、的平分线、相交于点．
求证：点在的平分线上；
连接，若，，，则点到三角形三条边的距离是______ ．

24.  本小题分
假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线和线段分别表示两人离小区的路程千米与所经过的时间分钟之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
甲在南京博物院参观的时间为______ 分钟，甲返回小区的速度为______ 千米分钟；
求图中点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
若两人之间的距离为千米，请画出千米与所经过的时间分钟之间的函数图象．

25.  本小题分
定义：如图，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
感悟应用：
已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则 ______ ．
拓展研究：
如图，在等腰直角中，，，、为直线上两点，满足．
如图，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点；
如图，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，则 ______ ．
 

26.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上已知点的坐标为，．

若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式；
已知在的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标；
直线上是否存在点异于点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：“最”、”逆“、”行“均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
”美“能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
无理数有，，，共有个．
故选：．
根据无理数的概念解答即可．
本题考查无理数的概念，属于基础题型．解题的关键是掌握无理数的定义：无理数是指无限不循环小数．注意：无理数包括三方面的数：含的，开方开不尽的根式，一些有规律的数，根据以上内容判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、，能组成直角三角形，符合题意；
D、，不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：．
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
解得：，
则的值为：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号关系是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设关于的函数关系式为，
当时，将、代入中得：
，
解得：，
；
当时，将、代入中得：
，
解得：，
；
当时，，
当时，，
元．
故选：．
观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段和设的函数关系式，比较值大小即可．
本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段和设的函数关系式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：
是边上的中点，
，
根据折叠可知，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，可得，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
故选：．
过点作于点，根据折叠可知，，，进一步可知是等边三角形，所以，，根据含角的直角三角形的性质可得的长，在中，根据勾股定理，可得的长，在中，根据勾股定理可得的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

8.【答案】 

【解析】解：图象经过第一、二、三象限的一次函数，
，，
符合条件的只有，
故答案为：．
根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．灵活运用是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故答案为：．
求出、的平方，比较出它们的平方的大小关系，即可判断出它们的大小关系．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方值大的，这个数也大．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，
的周长为，
，
，
．
故答案为：．
利用线段的垂直平分线的性质可知，进而求出，于是求出的长．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
与同号，
在一次函数中，的值随值的增大而增大，
，
故答案为：．
根据，可知与同号，进一步可知函数增减性，即可求出的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
，
四边形是矩形，
，
平分，，，
，
，，
，
，
解得：，
，
，
在中，，
故答案为：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，进而可得，然后利用角平分线的性质可得，再利用面积法求出，从而求出的长，最后在中，利用勾股定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设的边长为，
点，，，是在直线上的第一象限内的点，
，
又为等边三角形，
，
，，
，
点的坐标为，
，，，，，
．
．
故答案为：．
设的边长为，根据直线的解析式能的得出，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出，，从而得出，由点的坐标为，得到，，，，，即可求得．
本题考查规律型点的坐标，解题的关键是找出规律，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解：令，则，即所以．
令，则，即，
过点作轴，垂足是，
，
，
，
≌，
，，
，
把点的坐标代入得，，解得，
把点的坐标代入得，，解得，
点在线段上，则的取值范围是且．
故答案为：且．
利用求得、的坐标，然后过点作轴，垂足是构造全等三角形，利用全等三角形的性质求得点的坐标，把、的坐标分别代入求得的值，结合图象即可求得的取值范围．
本题是两条直线相交问题，考查一次函数的图象与向上的关系、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】
解：作平分，交于点，过点作交于点，
在中，，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
作平分，交于点，过点作交于点，根据含度角的直角三角形性质及线段的和差得出，过点作于点，根据斜边大于垂边可知，再次根据含度角的直角三角形性质求出的值，即可得出答案．
本题考查了含度角的直角三角形的性质、线段的和差，根据已知条件作出合适的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先算乘方，开方，再算加减即可．
本题考查实数的运算能力，注意负数的立方根是负数．
 

18.【答案】解：，
．
．
，
．
．
． 

【解析】根据平方根的定义解决此题．
根据立方根的定义解决此题．
本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握平方根以及立方根的定义是解决本题的关键．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】证明≌，得，再利用等腰三角形的判定即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
 

20.【答案】 

【解析】解：一次函数经过点，
．
当时，，解得．
；
画出函数图象如图：

观察图象，当时，的取值范围是．
故答案为：；
，
．
，
，
解得．
的坐标为或．
代入的坐标即可求得的值，令，解方程即可求得点的坐标；
根据图象即可求解；
利用三角形面积公式求得，即可求得的坐标为或．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与性质，三角形面积，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作和的垂直平分线，它们的交点即为点．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

22.【答案】证明：连接．

，，
是等腰直角三角形，
为中点，
，平分，．
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证明≌，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件．
 

23.【答案】 

【解析】证明：过点作，，，垂足分别为、、．

、的平分线、相交于点，
，．
．
点在的平分线上；
解：延长交于，

，点在的平分线上，
，
，，，
，
，
，
，
点到三角形三条边的距离是．
故答案为：．
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；
延长交于，先证明垂直平分，由等腰三角形的性质可求，再两次利用勾股定理可求解的长．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质以及角平分线的性质是解此题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：由题意，得甲在南京博物院参观的时间为分钟，甲返回小区的速度为千米分钟，
故答案为：，．
设直线的函数表达式为．
，
，
解得．
直线的函数表达式为，
当甲从图书馆返回时：设直线的函数表达式为．
，，
，
解，
直线的解析式为．
，
解得．
当时，．
．
答：的坐标为，实际意义为当经过的时间为分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为千米．
如图，

即为千米与所经过的时间分钟之间的函数图像．
由函数图象可知甲在南京博物院参观的时间为分钟，根据“速度路程时间”可得甲返回小区的速度；
分别求出直线和直线的函数表达式，联立解方程组可得的坐标已经它的实际意义；
根据特殊点的意义画出函数图象即可．
本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
 

25.【答案】   

【解析】解：以、、为边的三角形是一个直角三角形，，，
，
，
，
故答案为：；
证明：如图，作且，连接、．
，
．
．
在和中，
，
≌，
，．
，
．
．
，
．
．
同理≌．
．
，
．
，
点，是线段的勾股分割点；

解：将绕点逆时针旋转得到，连接，

，，，，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据勾股分割点的定义得，，代入计算即可；
将绕点逆时针旋转得到，连接，，利用证明≌，得，即可证明结论；
将绕点逆时针旋转得到，连接，由同理可证≌，得，从而有，代入的，从而得出答案．
本题考查的是勾股定理，涉及到旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，读懂题意，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，，，
，
，．
直线沿直线翻折，点与点重合，
垂直平分．
，．
，
．
设，则．
，
，
解得：．
．
．
设直线的表达式为，则，解得：．
直线的函数表达式为；

情况：如图，当点与点关于直线对称时，≌．

点在直线上．
，
．
由点、的坐标得直线的函数表达式为．
设，
，
解得：，
，
情况：如图，当轴，轴，≌．

，
综上，点的坐标为：或；

存在，理由如下：
如图，当点与点关于点对称时，，

，
点在直线上，
设，
，
，
，
舍或；
如图，当点在轴正半轴时，

点，，
，
，
，
由对称性可知，，
，
，
设，
，
，
解得，
，
，
与关于点对称，
舍去；
综上所述：点坐标为． 

【解析】由对称性可得，，由对称性可知是的平分线，过点作交于点，在中，，解得，求出，用待定系数法即可求的解析式；
分两种情况：当点与点关于直线对称时，≌，求出直线的解析式，进而求解；当轴，轴时，≌此时四边形是矩形，则；
当点与点关于点对称时，，设，再由，即可求点坐标；同理，当点在轴正半轴上时，求点坐标．
本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键．