南京市秦淮区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案解析）

这是一份南京市秦淮区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案解析），共29页。

注意：
1．选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上。
2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列调查中，不适合用普查的是（ ）
A．订购校服时了解学生衣服的尺寸
B．考察一批食品中防腐剂的含量
C．调查某班初中生体育中考的成绩
D．对某本书中印刷错误的检查
3．在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是（ ）
A．至少有一个球是红球
B．至少有一个球是白球
C．至少有两个球是红球
D．至少有两个球是白球
4．如图，已知，绕着点A逆时针旋转后能与重合，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
5．如图，为某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率折线图，则符合这一结果的实验是（ ）
A．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数
B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球袋子中任取一球，取到的是红球
6．如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形OEFG绕着正方形ABCD对角线的交点O旋转，正方形OEFG与边AB，BC分别交于点M，N（不与端点重合），设两个正方形重叠部分的面积为m，ΔBMN的周长为n，则下列说法正确的是（ ）
A．m发生变化，n存在最大值
B．m发生变化，n存在最小值
C．m不发生变化，n存在最大值
D．m不发生变化，n存在最小值
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．格力公司管理层要了解近五年格力空调的销售量变化趋势，市场调研部门最应该提供的统计图是_____________．
8．为了解某市参加中考的名学生的体重情况，抽查了其中名学生的体重进行统计分析，则样本容量是_____________．
9．排队时，3个人站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性_____小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
10．在中，若，则_________°．
11．将100个数据整理后分成了4个组，前三组数据的频率分别为、、，则第四组数据的个数为____________．
12．如图，正方形中，，，，则面积为______________．
13．如图，菱形的边长是，对角线的长是．且，则的长为__________．
14．如图，、两点的坐标分别为、，是平面直角坐标系内一点．若四边形是平行四边形，则点的坐标为___________．
15．如图，矩形的对角线、相交于点，且，，若，则四边形的周长为_________．
16．邻边长分别为1，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值_____________．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17．如图，在中，点、分别在、延长线上，且．求证：四边形为平行四边形．
18．在“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：h）．整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表，
平均每周的课外阅读时间扇形统计图
平均每周的课外阅读时间频数分布表
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有_________人，a＝_________；
（2）B组所在扇形的圆心角的大小是_________；
（3）该校共1200名学生，请你估计该校学生平均每周课外阅读时间不少于8h的人数．
19．求证：菱形的一条对角线平分这一组对角．
已知：如图，是菱形的一条对角线．
求证：____________________．
证明：
20．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
（1）完成上述表格：________，_________．
（2）估计摸出一个球恰好是红球的概率约为_________．（结果精确到0.1）
21．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、．
（1）画关于原点成中心对称的；
（2）把向上平移4个单位长度，得，画出；
（3）和关于某点成中心对称，直接写出该对称中心坐标_________．
22．如图，在中，，是的中位线，是的中线．求证．
（1）小明给出了如下证明过程，请把小明的证明过程补充完整；
证明：是中位线，
__________．
是的中线，，
__________．
．
（2）请你用和小明不同的方法证明．
23．如图，将一张矩形纸片沿折叠，使落在点处，且，．
（1）图①中，若点落在边上，求的长度；
（2）图②中，若点为的中点，的延长线交于点，则的长度为_______．
24．如图，在中，．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．）
（1）如图①，若点在边上，求作平行四边形，使得点、分别在、上；
（2）如图②，求作正方形，使得点、、分别在、、上．
25．在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形．
数学发现
如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系?
证明猜想
请结合“实践操作”完成猜想的证明．
26．我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究．
【知识回顾】
如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系：
我们曾任意选择个作为条件来探索四边形是否为平行四边形．
（1）请选择上面个条件中的个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法：___________．（请用文字语言表述）
【数学思考】
若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？
（2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．
如图，在四边形中，，．
求证：四边形是平行四边形．
（3）请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明．
如图，在四边形中，、相交于点，___________________，．
求证：四边形是平行四边形．
组别
平均每周的课外阅读时间t/h
人数
A
t＜6
16
B
6≤t＜8
a
C
8≤t＜10
b
D
t≥10
8
实验次数
200
300
400
500
600
700
800
1000
摸到红球次数
151
221
289
358
429
497
564
摸到红球频率
0.75
0.74
0.72
0.72
072
0.71
0.702
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1、C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2、B
【解析】
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义依次进行判断，即可得．
【详解】解：A、订购校服时了解学生衣服的尺寸，适合用普查，选项说法错误，不符合题意；
B、考察一批食品中防腐剂的含量，适合用抽样调查，选项说法正确，符合题意；
C、调查某班初中生体育中考的成绩，适合用普查，选项说法错误，不符合题意；
D、对某本书中印刷错误的检查，适合用普查，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全面调查，抽样调查，解题的关键是掌握全面调查，抽样调查．
3、A
【解析】
【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．
【详解】解：在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，可以是4个红球，3个红球和1个白球，2个红球和2个白球，1个红球和3个白球，
∴至少有一个球是红球；
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键．
4、A
【解析】
【分析】根据旋转的性质，得到，，利用即可求解．
【详解】解：∵绕着点A逆时针旋转后能与重合，，
∴，，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
5、A
【解析】
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的频率，约为者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数，本选项符合题意；
B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的频率是，本选项不符合题意；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，本选项不符合题意；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球的概率是，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
6、D
【解析】
【分析】由“ASA”可证△AOM≌△BON，可得OM＝ON，AM＝BN，S△AOM＝S△CON，可得mS正方形ABCD＝9，由n＝BM+BN+MN＝AM+BM+MN＝6+MN，可得当MN有最小值时，n有最小值，即可求n的值．
【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC＝OD＝BO＝AO，∠BAO＝∠CBO＝45°，AC⊥BD．
∵∠MOA+∠BOM＝90°，∠BON+∠BOM＝90°
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△BON（ASA）
∴OM＝ON，AM＝BN，S△AOM＝S△CON，
∴两个正方形重叠部分形成图形的面积＝S△BOM+S△BON＝S△AOB，
∴mS正方形ABCD＝9，
∵△BMN的周长为n，
∴n＝BM+BN+MN＝AM+BM+MN＝6+MN，
∴当MN有最小值时，n有最小值，
∵OM＝ON，∠MON＝90°，
∴MNOM，
∴当OM⊥AB时，OM有最小值为3，
∴n的最小值为6+3，
因为点M不与点A，B重合，所以OM不存在最大值，所以MN不存在最大值，所以n不存在最大值，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明△AOM≌△BON是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．折线统计图
【解析】
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【详解】解：要反映近五年格力空调的销售量变化趋势，
最适合的统计图是折线统计图，
故答案为：折线统计图．
【点睛】本题主要考查了统计图的应用，熟练掌握各种统计图的特点是解答本题的关键．
8．
【解析】
【分析】根据样本容量的概念“样本中个体的数目称为样本容量”即可得．
【详解】解：为了解某市参加中考的名学生的体重情况，抽查了其中名学生的体重进行统计分析，则样本容量，
故答案为：．
【点睛】本题考查了样本容量，解题的关键是理解样本容量的概念．
9．小于
【解析】
【分析】要求“小亮站在正中间”与“小亮站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可．
【详解】解：3个人站成一排，小亮站在那个位置都有可能，“小亮站在正中间”的可能性为，“小亮站在两端”的可能性有，故小亮“站在中间”的可能性＜小亮“站在两边”的可能，
故答案为：小于．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
10．
【解析】
【分析】根据平行四边形的基本性质可知，平行四边形的邻角互补，由已知可得，且与是邻角，故可得的度数，利用即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的邻角互为补角，对角相等是解答本题的关键．
11．30
【解析】
【分析】根据已知，求出第四组的频率，再利用总数乘以频率即可得到答案．
【详解】解：100个数据分成了4个组，前三组数据的频率分别为0.15、0.20、0.35，
第四组的频率为，
第四组数据的个数为，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了频数和频率，正确得出第四组的频率是解题关键．
12．
【解析】
【分析】过点E作于点F，根据正方形的性质可得，则为等边三角形，根据三线合一求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点E作于点F，
∵四边形为正方形，，，
∴，
∴，则等边三角形，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴面积，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形是四条边都相等，等边三角形“三线合一”，勾股定理．
13．
【解析】
【分析】利用等积法进行求解即可．
【详解】解：连接，交于点，
∵菱形的边长是，对角线的长是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积，
即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查求菱形的高．熟练掌握菱形的性质，以及菱形的面积的两种表示方法，是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵点，
，
∵四边形是平行四边形，
，
∵点，
∴点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．10
【解析】
【分析】据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵是矩形，
∴
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
16．或4或或
【解析】
【分析】根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可．
【详解】解：①如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，即，
解得：；
②如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
③如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形，为菱形，
∴，
∴，
∵四边形都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
④如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形，，，都为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上：a的值为或4或或．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四条边都相等．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17．证明见解析
【解析】
【分析】只要证明，即可．
【详解】证明：四边形为平行四边形，
∴，．
，
∴．
∴．
，，
四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断方法．
18．（1）80人，32人；（2）144°；（3）480人．
【解析】
【分析】（1）用A组的人数÷所占百分比计算即可，计算D组的百分比，再计算B组的百分比，计算即可；
（2）用B组的百分数乘以360°即可；
（3）用C，D两组的百分数之和乘以1200即可．
【详解】（1）样本容量为：16÷20=80（人）；8÷80=10，∴B组的占比为：1-20-10-30=40，∴a=80×40=32（人），
故答案为：80人，32人；
（2）由（1）知B组所占百分数为40，∴B组所在扇形的圆心角为：360°×40=144°，
故答案为：144°；
（3）根据题意，得C，D两组所占的百分数之和为10+30=40，∴学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数为：1200×40=480（人）．
【点睛】本题考查了扇形统计图，频数分布，样本估计整体，熟练掌握样本容量的计算，圆心角的计算是解题的关键．
19．，，证明见解析
【解析】
【分析】根据命题补充求证，，根据菱形的性质证明，即可得到结论．
【详解】求证：，．
证明：∵四边形是菱形，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
即平分菱形的一组对角．
【点睛】此题考查菱形的性质定理，三角形全等的判定及性质定理，根据命题写出求证，正确掌握菱形的性质定理是解题的关键．
20．（1）0.705，702 （2）0.7
【解析】
【分析】（1）利用频率等于进行计算求出的值即可；
（2）根据频率估计概率即可．
【小问1详解】
解：，；
故答案为：0.705，702；
【小问2详解】
解：由表格可知，大量重复试验，频率稳定在常数0.7附近，
∴摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7．
故答案为：0.7．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据，即可求得对称中心坐标．
【小问1详解】
（1）如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：∵，，
∴和关于某点成中心对称，对称中心的坐标为即．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．
22．（1）， （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，进行作答即可；
（2）连接、，证明平行四边形是矩形，即可得证．
【小问1详解】
证明：是的中位线，
．
是的中线，，
．
．
故答案为：，
【小问2详解】
证明：连接、．
是的中位线，是的中线，
点、、分别是、、的中点．
、是的中位线
，．
四边形平行四边形．
．
平行四边形是矩形．
．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定和性质．熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
23．（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质，得到，，，，由勾股定理，求得，进而得到，然后在中，利用勾股定理即可求出的长度；
（2）连接，根据矩形和折叠的性质，易证，得到，进而得到，在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：矩形，，，
，，，
由折叠的性质可知，，，
在中，，
，
，
，
在中，，，
，
；
【小问2详解】
解：连接，
矩形，，，
，，，
点为的中点，
，
由折叠的性质可知，，，，
，
和中，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．
24．（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据过直线外一点作平行线的作法，过点D作的平行线交于为E，得到，然后以C为顶点，在上截取线段，使，连接，即可得到平行四边形；
（2）根据角平分线的作法，作出的角平分线，交于点F，连接，作线段的垂直平分线，分别与、交于点、，根据垂直平分线的性质，得到，又因为，即可证明四边形是正方形．
【小问1详解】
解：平行四边形即为所求；
【小问2详解】
解：正方形即为所求．
【点睛】本题考查了复杂作图——过直线外一点作平行线、角平分线、垂直平分线，平行四边形的额判定，正方形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键．
25．实践操作：画图见解析；数学发现：，；证明猜想：证明见解析
【解析】
【分析】数学发现：延长交延长线于M，证明可得到所要的三角形；
数学发现：根据梯形性质和三角形的中位线进行猜想即可得出结论；
证明猜想：如图③，连接并延长，交延长线于点，证明得到，，在中，利用三角形的中位线可证得，，进而可证得结论．
【详解】解：实践操作：画出如图②所示．
数学发现： ，．
证明猜想：连接并延长，交延长线于点，
，
．
是的中点，
．
，
．
，．
点是的中点，又点是的中点，
是的中位线，
，．
．
，，
．
，．
【点睛】本题考查三角形的中位线、梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，解答的关键是添加辅助线，利用转化思想解决问题．
26．（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．（答案不唯一）
（2）证明见解析； （3）选择①或③或④之一，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两角分别相等的四边形是平行四边形可证明一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；
（2）延长、并截取，．先证四边形是平行四边形．得，，再证得，，从而即可证明结论成立；
（3）法：①，分别在、上截取、．延长、，过点、作、，垂足为点、．证明得，再证，进而证明即可，法：③，分别在、上截取、，先证得．得即可，法：④，方法同③．
【小问1详解】
解：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形，
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．（答案不唯一）
【小问2详解】
证明：延长、并截取，．
，即．
四边形是平行四边形．
，．
，
，．
．
．
．
．
四边形是平行四边形．
【小问3详解】
解：选择①或③或④之一
法：①，
分别在、上截取、．延长、，过点、作、，垂足为点、．
，．
，．
，
．
．
，
，即．
即．
．
．
又，
．
．
又，
．即．
又
四边形是平行四边形
法：③，
分别在、上截取、．
，．
，．
，
．
．
，
．
，
，即．
即．
．
．
又，
四边形是平行四边形．
法：④，方法同③
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．