2022-2023学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知的半径是，线段的长为，则点(    )

A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不能确定

2. 下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一个圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用配方法解方程时，原方程应变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，直径与弦相交于点，为中点．若，，则的半径长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7. 方程的根是______．
8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
9. 已知一扇形的半径为，其弧长为，则该扇形的面积是______．
10. 如图，是的直径，点、在上若，则的度数为            ．
     
11. 已知是方程的一个根，则代数式的值是______．
12. 如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆与边相切，则的长是______．

13. 某企业年盈利万元，年盈利万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为，根据题意，可列出方程______．
14. 已知正六边形的外接圆半径为，则它的内切圆半径为______．
15. 如图，矩形中，，若为矩形内一点，且，则所有符合条件的点形成的区域的面积是______．

16. 如图，在中，，，的半径长为，是边上一动点可以与顶点重合，并且点到的切线长为若满足条件的点的位置有个，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程．
18. 本小题分
    解方程．
19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    当为正整数时，求方程的根．
20. 本小题分
    如图，四边形内接于，为的直径，．
    若，求的度数；
    求证：．

21. 本小题分
    如图，等腰中，，过点、且与、分别相交于点、求证：．

22. 本小题分
    如图所示，面积为的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为绿化区．已知大正方形的边长比小正方形的边长大，求绿化区的面积．

23. 本小题分
    已知、是关于的一元二次方程的两个实数根．
    若，则与满足关系______；
    若，求的范围．
24. 本小题分
    如图，在中，是的直径，与相切于点，点在上，且．
    求证：是的切线；
    过点作于点，交于点，若，
    求图中阴影部分面积；
    连接，若的内切圆圆心为，则线段的长为______．

25. 本小题分
    商店购进某种玩具的价格为元．根据一段时间的市场调查发现，按销售单价元每件出售时，能卖件，而销售单价每涨价元，销售量就会减少件．为获得元的利润，销售单价应为多少元？
26. 本小题分
    【习题再现】
     

完成原习题；
【逆向思考】
如图，为内一点，的延长线交的外接圆于点若，求证：为的内心．
【迁移运用】
如图，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心保留作图痕迹，写出必要的文字说明．

27. 本小题分
    在中，，点是边上的动点，，，经过、的交边于点，交边于点，且点、不与点重合．
    
    若点运动到的中点．
    如图，当点与点重合时，求线段的长；
    如图，连接，若，求线段的长；
    如图，点在运动过程中，半径的范围为______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的半径是，线段的长为，
点到圆心的距离小于圆的半径，
点在内．
故选：．
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

2.【答案】 

【解析】解：该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.该方程是二元一次方程，故本选项不合题意；
D.该方程是二元二次方程，故本选项不合题意．
故选：．
一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的指数最高次是的整式方程．
本题考查一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积．
故选：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设．
，是直径，
，
在中，，
，
，
故选：．
如图，连接，设利用垂径定理，勾股定理解决问题即可．
本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是等边三角形，设是外心，

，，平分，
，
，
的外接圆的半径为；
B、是等腰三角形，

过作于，延长交于，
，
，，
是的直径，，
，
，
∽，
，
，
，
外接圆半径为；
C、作于点，作直径，连接，

在中，，
在中，，
，即，
解得，
由勾股定理得，，
为圆的直径，
，
，又，
∽，
，即，
解得，
则外接圆半径，
D、，
此三角形是直角三角形，
此三角形外接圆的半径为，
其外接圆半径最小的是选项，
故选：．
分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

7.【答案】， 

【解析】解：，
，
所以，．
故答案为：，．
利用直接开平方法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得，
故答案为：．
根据平方的意义得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程根的条件，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：利用扇形面积公式可知该扇形的面积是．
扇形的面积弧长半径．
本题主要考查了扇形的面积公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
．
，
，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，设线段与相切于点，连接．
是的切线，是切点，
，．
在中，，，，．
在中，，，，．
．
故答案是：．
如图，连接在与中，利用勾股定理分别求得、的长度，然后易求．
本题考查了切线的性质，勾股定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设年平均增长率为，
根据题意：，
故答案为：．
设年平均增长率为，则年人均收入为万元，年则为万元，再由条件“年盈利万元”进而可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，；
六边形是边长为的正六边形，
是等边三角形，
，
，
半径为的正六边形的内切圆的半径为．
故答案为：．
根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在、上分别截取，连接、，两线交于点，连接，则四边形为正方形，作四边形的外接圆，

，
当点在上时，，
为矩形内一点，且，
所有符合条件的点形成的区域为边、、、围成的封闭图形，
所有符合条件的点形成的区域的面积为：．
故答案为：．
在、上分别截取，连接、，两线交于点，连接，则四边形为正方形，作四边形的外接圆，则所有符合条件的点形成的区域为边、、、围成的封闭图形，根据矩形的面积公式，扇形面积公式，弓形面积公式进行计算便可．
本题主要考查了矩形的性质，圆的性质，扇形的面积公式，弓形面积公式，关键是构造辅助圆确定点运动区域．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于点，作切于点，连接，则，
，，，
，
，
，
，
，
；
作切于点，连接，则，
，
，
，
观察图形可知，点的位置有个需要满足的条件是，
的取值范围是，
故答案为：．
作于点，作切于点，连接，先由勾股定理求得，列面积等式，求得，再根据勾股定理求得，作切于点，连接，求得，观察图形可知，点的位置有个需要满足的条件是，即可求得．
此题重点考查圆的切线的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
移项，得，
配方，得，
，
，
，． 

【解析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
移项，得，
，
，
或，
解得，． 

【解析】提公因式法因式分解解方程即可．
本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．
 

19.【答案】解：根据题意得，
解得，
所以的取值范围为；
为正整数，
，
此时方程化为，
，
或，
所以，． 

【解析】根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
利用的取值范围得到的正整数为，则方程化为，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

20.【答案】解：，，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
；
证明：连接，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】根据，可得，根据三角形的内角和定理得出，根据平行线的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出的度数即可；
连接，根据，可得，根据平行线的性质可得，从而证得结论．
本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关定理并灵活运用．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等式的性质可得，即可解答．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，绿化区的面积为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：绿化区的面积为． 

【解析】设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，绿化区的面积为，根据矩形广场的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其正值代入中即可求出绿化区的面积．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
，
方程的两根分别为，．
、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，
．
故答案为：．
由可知：方程的两根分别为，，
方程的两根，满足，
，
．
利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两根分别为，，结合方程的两根相等，即可得出；
由可得出方程的两根分别为，，结合方程的两根，满足，可得出，解之即可得出结论．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法，求出原方程的两个实数根是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接、，如图所示：
点在上，
为半径．
与相切于点，
．
．
在和中，
≌，
，
．
是的切线．
解：作于点，连接、；如图所示：
，
，．
四边形是矩形．
，
．
．
，
是等边三角形．
．
．
．
．
在中，，
．
，
，
，
．
 

【解析】连接、，由切线的性质得出，证明≌得出，得出即可得出结论；
作于点，连接、；证出四边形是矩形．得出证出是等边三角形．由三角函数求出由直角三角形的性质得出，
扇形的面积的面积，即可得出结果；
由等边三角形的性质得出，求出，由等边三角形的性质得出，在中，由勾股定理得：即可．
如图所示：
是等边三角形，
，
，
的内切圆圆心为，则，
在中，由勾股定理得：；
故答案为：．
 

25.【答案】解：设销售单价应为元，
根据题意得，，
解得，，
答：销售单价应为元或元； 

【解析】设销售单价应为元，根据按销售单价元每件出售时，能卖件，而销售单价每涨价元，销售量就会减少件．为获得元的利润，列方程即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，根据单件利润销售数量总利润列出关于的一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】证明：如图，连接，
是的内心，
，．
，是所对的圆周角，
，
．
根据角之间的关系可知．
又是的一个外角，
，
，
．
证明：连接，
，
，
，即平分．
，
．
是的一个外角，
．
，
，即平分，
为的内心．
如图，点即为的内心． 

【解析】连接，根据是的内心可得出，，再由圆周角定理可知，是的一个外角可知，故可得出，由等腰三角形的性质可得出结论；
连接，由可得出，故可得出平分再由可知，根据是的一个外角可知再由得出，即平分，故可得出结论．
先做出的外接圆，再做的垂直平分线与圆相交与点，在垂直平分线上截取，且使点在的内部即可．
本题考查的是圆的综合题，涉及到圆的内心，三角形外角的性质及角平分线的性质，尺规作图等知识综合性较强，难度较大．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接，，
，
是的直径，
，
，
是的中点，
，
设，则，
在中，，根据勾股定理列方程可得，
，解得：，
，
线段的长为；

如图所示：连接，于，
，，，
，
在中，，是的中点，
，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
是直径，
点与点重合，
是直径，
；

如图所示：在上运动时，当，且以为直径时，出现半径最小值，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
；
在上运动时，当以为直径时，出现半径最大值，，
，，，
，
，
；
综上所述，半径的范围为：．
故答案为：．

连接，，证明，在中，设，根据勾股定理列出方程求解即可；
连接，于，证明，是直径，点与点重合，可得为直径，即可求出的长；
在上运动时，当，且以为直径时，出现半径最小值，当以为直径时，出现半径最大值，分别求出和的值，即可求出半径的范围．
本题考查了圆的性质、勾股定理等知识点，用分类讨论方法是解本题的关键，综合性较强，难度较大．