2022-2023学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市秦淮区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如图，，，，，垂足分别为点、点、点，中边上的高是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  万粒芝麻质量约为，用科学记数法表示粒芝麻的质量约为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列长度的三条线段与长度为的线段首尾顺次连接能组成四边形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6.  设，，，，则，，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题中，真命题是(    )

A. 如果，那么．
B. 三角形的三条高线交于一点
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补

8.  如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：；；；平分其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  计算，其中第一步运算的依据是______ ．

11.  “等角的余角相等”的逆命题是______ ．

12.  若，，则的值为______ ．

13.  的个位数字为______ ．

14.  已知，，，则，，之间满足的等量关系是______ ．

15.  已知一个多边形的内角和和外角和的度数之比为：，那么它是______ 边形．

16.  如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为__．
 

17.  如图，在中，若，，则 ______

18.  如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点若中有两个角相等，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
；
；
．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

21.  本小题分
在正方形的网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的三个顶点，，都在格点正方形网格的交点称为格点现将平移，使点平移到点，点、分别是、的对应点．

在图中请画出平移后的；
若，则 ______ ；
与的位置关系为______ ．

22.  本小题分
请结合题意，在横线上填上合适的推理依据如图，，，，求证．
证明：已知，
垂直的定义，
已知，
______ ______ ______ ，
______ ______ ，
又已知，
______ ，
______ ，
两直线平行，同位角相等，
．

23.  本小题分
从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．
如图，，点为、之间的一点求证：；
如图，，点、、、为、之间的四点则 ______ ；
如图，，则 ______ ．

 

24.  本小题分
尺规作图：如图，已知线段、，并且，在中，求作直线，使分别满足下列条件并且在中分出一个面积等于的部分．
在图中，直线经过的一个顶点；
在图中，直线不经过的任何一个顶点．

 

25.  本小题分
若，我们称具有“非负性”，并且当时，取到最小值为．
下列具有非负性的代数式有______ ．
；
；
；
；
；
若，则当 ______ 时，取到最小值为______ ；
已知，求代数式的最小值．

26.  本小题分
【概念学习】我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线如图，在中，若，则、叫的角三分线其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”．
【概念理解】如图，在中，，，若的角三分线交于点，则 ______ ．
【概念应用】如图，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数；
【延伸推广】在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点，若，，请直接写出分类情况和相应的的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项的方法可以判断；根据单项式的乘法可以判断；根据单项式的除法可以判断；根据积的乘方可以判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：中，画边上的高，是线段．
故选B．
从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．
本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，解得，
．
故选：．
已知等式左边利用多项式乘多项式法则展开，再根据多项式相等时满足的条件求解即可．
本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，
此三条线段与长度为的线段不能组成四边形，不符合题意；
B、，
此三条线段与长度为的线段不能组成四边形，不符合题意；
C、，
此三条线段与长度为的线段不能组成四边形，不符合题意；
D、，
此三条线段与长度为的线段能组成四边形，符合题意．
故选：．
根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，，
又，
．
故选：．
根据有理数乘方法则，负整数指数幂法则，零指数幂法则进行计算，再根据有理数大小比较法则进行判断便可．
本题考查了有理数大小比较法则，有理数乘方法则，负整数指数幂法则，零指数幂法则，关键是熟记这些性质与法则，
 

7.【答案】 

【解析】解：、如果，那么，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、三角形的三条高所在的直线交于一点，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，是真命题，符合题意；
故选：．
根据实数的平方、三角形的高的概念、平行线的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
又因为是的角平分线，
所以，故正确；
无法证明平分，故错误；
因为，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
因为，且，
所以，即，
所以，故正确；
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，故正确．
所以正确的为：，
故选：．
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
本题主要考查的是平行线、角平分线、三角形内角和定理，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
利用多项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项即可得．
本题主要考查多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
 

10.【答案】积的乘方法则 

【解析】解：的依据是积的乘方法则．
故答案为：积的乘方法则．
积的乘方法则：积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此判断即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

11.【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角相等 

【解析】

【分析】
此题考查了原命题与逆命题的知识，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．
命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论．把命题的条件和结论交换即可得其逆命题．
【解答】
解：“等角的余角相等”改写成“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”．
所以：“等角的余角相等”的条件是：两个角相等；
结论是：它们的余角也相等，
逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．  

12.【答案】 

【解析】解：，，
，．
，．
．
故答案为：．
根据乘方的定义求几个相同因数或因式的积的一种运算解决此题．
本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的一次方尾数是，
的二次方尾数是，
的次方尾数是，
的四次方尾数是，
的次方尾数是，

尾数四个一循环，次序、、、．
，
的个位数字为：．
故答案为：．
分别推算的次方，发现规律后用规律得出结果．
本题考查了有理数的乘方，通过罗列次方的尾数，发现规律是本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】十一 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．
根据多边形的内角和与外角和之间的关系列出有关边数的方程求解即可．
【解答】
解：设该多边形的边数为
则：：，
解得：．
故答案是十一．  

16.【答案】 

【解析】解：是边上的中线，
，
和周长的差，
的周长为，比长，
周长为：．
故答案为．
根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可．
本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：是的一个外角，
，
，
，
即；
是的一个外角，
，
，
，
得，
，
，
即．
故答案为：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，再根据整理即可得证；可证得，得，结合三角形的内角和，即可求的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
 

18.【答案】或 

【解析】解：在中，，
，
，
，，
设，则，，
由折叠可知：，，
当时，
，
，
，
解得不存在；
当时，
，
解得，
即；
当时，
，
，
，
解得，
即，
综上，或，
故答案为：或．
由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解值，即可求解．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式


；
原式

；
原式


． 

【解析】根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则计算；
先利用平方差公式运算，然后合并同类项即可；
利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
先变形得到原式，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：



，
当，时，
原式


． 

【解析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】   

【解析】解：如图，即为所求；

由平移可知：，
，
故答案为：；
，理由如下：
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
由平移可知：，，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：．
根据平移的性质即可完成作图；
由平移可得，进而可以解决问题；
利用网格根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而可以解决问题．
本题考查了作图平移变换，勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 

22.【答案】    同位角相等，两直线平行    两直线平行，内错角相等  等量代换  同旁内角互补，两直线平行 

【解析】证明：已知，
垂直的定义，
已知，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
等量代换，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
要证，只要证得即可，由平行线的判定可知只需证，根据平行线的性质结合已知条件即可求证．
本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】证明：过点作，

，
，
，
同理，
：；
解：过作，过作，过作，过作，

，
，
，，，，，
．
故答案为：；
解：同理．
故答案为：．
过点作、的平行线，利用平行线的性质计算即可；
过、、、点分别作、的平行线，利用平行线的性质计算即可；
由可得到结论．
本题考查了平行线的判定与性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】解：在上截取，过，作直线，如图：

直线即为所求；
作的中点，的中点，过，作直线，如图：

直线即为所求． 

【解析】根据，在上取点，使，作直线即可；
作的中点，的中点，过，作直线即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法．
 

25.【答案】     

【解析】解：下列具有非负性的代数式有；；；
故答案为：；
，
当时，取到最小值为；
故答案为：，；
，
，
原式




，
当时，原式的最小值为．
根据平方的意义以及绝对值的意义即可判断，，是具有非负性的代数式；
把配方变形，利用非负数的性质即可求出的最小值；
已知等式变形后配方，利用非负数的性质即可求出原式的最小值．
此题考查了二次函数的最值，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

26.【答案】或 

【解析】解：，，
，
当是“邻三分线”时，，
；
当是“邻三分线”时，，
；
综上所述，为或，
故答案为：或；
、分别是邻角三分线和邻角三分线，
，，
，
，
，
，
，
；
分为四种情况：
如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，
由题意得：，
；
如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，
由题意可知：，
；
如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

当时，如图，
，
由外角可得：，
；
当时，如图，

，
由题意得：，
；
如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，
由题意得：，
；
综合上述，的度数是或或或或．
由三角形内角和定理得，再分两种情况，当是“邻三分线”时，当是“邻三分线”时，分别求出的度数即可；
由角三分线的定义得，，再由三角形内角和定理得，即可得出结论；
分为四种情况，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，由角三分线的定义分别求出的度数即可．
本题是三角形综合题目，考查了新定义“角三分线”、三角形内角和定理、角平分线定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，理解“角三分线”的定义是解题的关键，注意分类讨论，属于中考常考题型．