江苏省南京市秦淮区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省南京市秦淮区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）等腰三角形底边长为2，周长为10，则此三角形的腰长为（ ）
A．8B．4C．3D．2
3．（2分）如图，△ABE≌△ACD，BE，∠A＝70°，则∠AEB的度数为（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
4．（2分）三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
5．（2分）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2＝AC2B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是 °．
8．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，则AB的长是 cm．
9．（2分）三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是 三角形（直角、锐角、钝角）．
10．（2分）如图，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF ，就能使△ABC≌△DEF．
11．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长是 cm．
12．（2分）以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆A、B的面积分别是3、4，则半圆C的面积是 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝20，BC＝7，则点A到BC的距离是 ．
14．（2分）定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形．例如等边三角形就是一种奇异三角形．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝1，若Rt△ABC是奇异三角形，则b2c2的值为 ．
15．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，AD＝5，点P为线段BC上的一动点，若△ADP为等腰三角形 ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，AB＝2，过点C作CD⊥CB，且CD＝CB，连接AD2的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）如图，AB＝AC，BD＝CD
18．（6分）如图，点E、C在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D．求证：BE＝CF．
19．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，BC＝9，AD＝5
20．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边的中线，将△BCD沿CD折叠，使点B落在点E的位置．判断△AED的形状并加以证明．
21．（6分）如图，已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规作⊙P，AC边的距离相等，且⊙P经过A（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）
22．（6分）如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，长AD＝10cm，求EC的长．
23．（8分）已知：△ABC是等边三角形，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，且PA＝QB．连接AQ、CP交于点M．
（1）如图1，当点P是AB边的中点时，∠CMQ＝ °；
（2）在P、Q运动过程中，∠CMQ的大小是否变化？请利用图2证明你的结论．
24．（8分）（1）利用网格画四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O；
（2）点O （填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上；
（3）把顶点D向左移动8格，以上结论 （填“成立”或“不成立”）；
（4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点．
25．（8分）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
26．（8分）【了解概念】
如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
【理解运用】
（1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置；
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，B关于直线l“等角点”，连接OP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 ．
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）等腰三角形底边长为2，周长为10，则此三角形的腰长为（ ）
A．8B．4C．3D．2
【分析】】由等腰三角形的周长是10，则底边长2，根据等腰三角形的两腰相等，即可求得其腰长的值．
【解答】解：∵等腰三角形的底边长为2，周长为10，
∴腰长为（10﹣2）÷4＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的两腰相等是解此题的关键．
3．（2分）如图，△ABE≌△ACD，BE，∠A＝70°，则∠AEB的度数为（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
【分析】先利用三角形的内角和定理可得∠ADC＝80°，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵∠C＝30°，∠A＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB＝∠ADC＝80°，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
4．（2分）三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．
【解答】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
5．（2分）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB2+BC2＝AC2B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵AB2+BC2＝AC6，故△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
∵AB2﹣BC2＝AC5，
∴AC2+BC2＝AB5，故△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
∵∠A+∠B＝∠C，
∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，
∴最大角∠C＝180°×＝75°，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是 40 °．
【分析】由条件可知该角只能为顶角，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求得底角．
【解答】解：∵该角为100°，
∴这个角只能是等腰三角形的顶角，
∴该等腰三角形的顶角为100°，
∴底角为＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
8．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，则AB的长是 4 cm．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝5cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及含30°的直角三角形的性质，熟知30°所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键．
9．（2分）三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是 直角 三角形（直角、锐角、钝角）．
【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝7ab，
∴a2+2ab+b6﹣c2＝2ab，
∴a8+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．
10．（2分）如图，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF ∠B＝∠E ，就能使△ABC≌△DEF．
【分析】添加∠B＝∠E，可利用ASA判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
故答案为：∠B＝∠E．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长是 26 cm．
【分析】由DE是AC的垂直平分线，可得AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，又由△ABD的周长为18cm，即可求得AB+BC＝18cm，继而求得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，
∴AD＝CD，CE＝AE＝4cm，
∴AC＝8cm，
∵△ABD的周长为18cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝18cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝26cm．
故答案为：26．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握数形结合思想的应用是解题关键．
12．（2分）以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆A、B的面积分别是3、4，则半圆C的面积是 7 ．
【分析】给直角三角形注上字母，根据勾股定理得DE2+DF2＝EF2，从而可推出SB+SA＝SC，代入已知条件即可求出半圆C的面积．
【解答】解：如图，∵△DEF是直角三角形，
∴DE2+DF2＝EF5，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴SB+SA＝SC，
∵半圆A、B的面积分别是3、4，
∴半圆C的面积是3+4＝7，
故答案为：4．
【点评】本题考查勾股定理，圆面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝20，BC＝7，则点A到BC的距离是 12 ．
【分析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
∴∠D＝90°，
∴AB2﹣BD2＝AD5＝AC2﹣CD2，
∵AB＝20，AC＝15，
∴208﹣（7+CD）2＝155﹣CD2，
∴CD＝9，
∴AD＝＝12，
∴点A到BC的距离是12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．（2分）定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形．例如等边三角形就是一种奇异三角形．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝1，若Rt△ABC是奇异三角形，则b2c2的值为 6 ．
【分析】由勾股定理得出12+b2＝c2①，由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞1，得出12+c2＝2b2②，由①②即可求出b2c2的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴12+b4＝c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞1，
∴62+c2＝6b2②，
由①②得：b2＝4．
∴c2＝3，
∴b5c2＝6，
故答案为：5．
【点评】本题考查勾股定理，新定义的奇异三角形，理解奇异三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，AD＝5，点P为线段BC上的一动点，若△ADP为等腰三角形 1或或4 ．
【分析】分三种情况：①当DP＝DA＝5时，②当PA＝PD时，③当AP＝AD＝5时，分类讨论解答即可．
【解答】解：分三种情况：
①当DP＝DA＝5时，过点D作DE⊥BC于点E，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝3，BE＝AD＝8，
设BP＝x，则PE＝5﹣x，
在Rt△DPE中，
由勾股定理，得DE2+PE4＝DP2，
即32+（5﹣x）2＝62，
解得x1＝6，x2＝9（舍去），
故此时BP＝4；
②当PA＝PD时，过点D作DE⊥BC于点E，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝3，BE＝AD＝5，
∠B＝∠DEP＝90°，
在Rt△ABP和Rt△DEP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△DEP（HL），
∴BP＝EP＝AE＝，
故此时BP＝；
③当AP＝AD＝7时，
在Rt△APB中，
AP＝5，AB＝3，
由勾股定理，得BP＝＝，
故此时BP＝5．
综上所述，BP＝1或．
故答案为：1或或4．
【点评】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握相关图象的性质和分类讨论的思想是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，AB＝2，过点C作CD⊥CB，且CD＝CB，连接AD2的值为 22 ．
【分析】作AE⊥AB，CE⊥AC，AE交CE于点E，则∠BAE＝∠ACE＝90°，可证明∠CAE＝∠CEA＝45°，则AC＝EC＝3，则AE2＝AC2+EC2＝18，EB2＝AE2+AB2＝22，由CD⊥CB，得∠BCD＝90°，则∠ACD＝∠ECB＝90°+∠ACB，而CD＝CB，即可证明△ACD≌△ECB，得AD＝EB，则AD2＝EB2＝22，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AE⊥AB，CE⊥AC，则∠BAE＝∠ACE＝90°，
∵∠CAB＝45°，AC＝3，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠CAB＝45°，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
∴AC＝EC＝3，
∴AE5＝AC2+EC2＝62+38＝18，
∴EB2＝AE2+AB8＝18+22＝22，
∵CD⊥CB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ECB＝90°+∠ACB，
在△ACD和△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD＝EB，
∴AD3＝EB2＝22，
故答案为：22．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）如图，AB＝AC，BD＝CD
【分析】欲证明∠B＝∠C，只要证明△ADB≌△ADC即可．
【解答】证明：在△ABD和△ACD中
∵，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
18．（6分）如图，点E、C在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D．求证：BE＝CF．
【分析】利用两直线平行，同位角相等得到∠B＝∠DEF，再利用角角边定理判定全等即可得到BC＝EF，同时减去公共部分EC即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴BC＝EF．
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
即BE＝CF．
【点评】本题主要考查了三角形的全等的判定与性质，由AAS判定三角形全等是解题的关键．
19．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，BC＝9，AD＝5
【分析】首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明∠DAC＝90°，可得△ACD是直角三角形．
【解答】证明：∵AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝12，
∵52+122＝132，
∴AD2+AC7＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边的中线，将△BCD沿CD折叠，使点B落在点E的位置．判断△AED的形状并加以证明．
【分析】由折叠的性质可得出BD＝ED、∠EDC＝∠BDC＝60°，根据角的计算可得出∠ADE＝60°，再根据中线的定义即可得出AD＝BD＝ED，由此即可证出△ADE是等边三角形．
【解答】证明：由折叠的性质可知：BD＝ED，∠EDC＝∠BDC＝60°，
∵CD是AB边的中线，
∴BD＝AD，
∴AD＝ED．
又∵∠ADE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDB＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题考查了翻折变换、平行线的判定以及等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
21．（6分）如图，已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规作⊙P，AC边的距离相等，且⊙P经过A（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）
【分析】作∠BAC的角平分线AK，边AB的垂直平分线MN，AK交MN于P，以P为圆心，PA为半径作⊙P，⊙P即为所求．
【解答】解：作∠BAC的角平分线AK，边AB的垂直平分线MN，以P为圆心，如图：
⊙P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线，垂直平分线的性质和尺规作图方法．
22．（6分）如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，长AD＝10cm，求EC的长．
【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠B＝∠C＝90°，由折叠得AF＝AD＝10cm，FE＝DE＝6﹣EC，根据勾股定理得求得BF＝＝8cm，则CF＝2cm，由CF2+EC2＝FE2，得22+EC2＝（6﹣EC）2，求得EC＝，则EC的长是cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，
由折叠得AF＝AD＝10cm，FE＝DE＝6﹣EC，
∴BF＝＝＝8（cm），
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝4（cm），
∵CF2+EC2＝FE2，
∴22+EC3＝（6﹣EC）2，
解得EC＝，
∴EC的长是cm．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明FE＝DE＝6﹣EC并且求得CF＝2是解题的关键．
23．（8分）已知：△ABC是等边三角形，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，且PA＝QB．连接AQ、CP交于点M．
（1）如图1，当点P是AB边的中点时，∠CMQ＝ 60 °；
（2）在P、Q运动过程中，∠CMQ的大小是否变化？请利用图2证明你的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠APM＝90°，∠BAQ＝30°，根据三角形内角和定理可得∠CMQ的度数；
（2）根据“SAS”可证△APC≌△BQA，可得∠BAQ＝∠ACP，根据三角形外角的性质可求出∠CMQ＝60°．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点P是AB边的中点，
∴CP⊥AB，AP＝，
∴∠APM＝90°，
∵PA＝QB，
∴QB＝AB＝，且AB＝AC，
∴∠BAQ＝∠BAC＝30°，
∴∠AMP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CMQ＝∠AMP＝60°，
故答案为：60；
（2）∠CMQ的大小不变，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
，
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠CMQ＝∠QAC+∠ACP＝∠QAC+∠BAQ＝∠BAC＝60°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证△APC≌△BQA是本题的关键．
24．（8分）（1）利用网格画四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O；
（2）点O 在 （填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上；
（3）把顶点D向左移动8格，以上结论 不成立 （填“成立”或“不成立”）；
（4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点．
【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）由（1）作图的结果可知O在另外两边的垂直平分线上；
（3）通过作图可知O不在另外两边的垂直平分线上；
（4）根据垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示，点O在另外两条边的垂直平分线上；
故答案为：在；
（3）如图所示，
把顶点D向左移动8格，以上结论不成立；
故答案为：不成立；
（4）当四边的垂直平分线交于一点时，交点与四个顶点的距离相等，
所以可知四边形的四个顶点共圆，
根据圆内接四边形的性质可得，四边形对角互补，
所以，当四边形满足对角互补时．
【点评】本题考查了复杂作图，用到的知识点有垂直平分线的作法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25．（8分）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
【分析】（1）根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；
（2）根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；
（3）综合（1）和（2）的结论进行推导即可得结论．
【解答】解：（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC
＝cx+bx
所以x＝．
答：x与a、b、c的关系为x＝．
（3）根据（1）和（2）得：
x＝＝．
即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）
化简得a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是综合利用相关知识．
26．（8分）【了解概念】
如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
【理解运用】
（1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置；
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，B关于直线l“等角点”，连接OP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 4 ．
【分析】（1）由AB垂直平分DE，得BD＝BE，则∠DBA＝∠EBA，而∠FBM＝∠EBA，则∠DBA＝∠FBM，所以点B是点D，F关于直线AB的“等角点”；
（2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作∠QCN＝∠DCA，CQ交EF于点Q，则点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C；
（3）作OJ⊥AB于点J，OK⊥BC于点K，OL⊥AC于点L，则OL＝2，由角平分线的性质得OK＝OL＝OJ，则点O在∠ACB的平分线上，连接PC，设直线l交AC于点R，交BC于点T，则CP＝BP，所以∠CPT＝∠BPT，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得∠OPR＝∠BPT，则∠CPT＝∠OPR，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则OP+BP＝OP+CP＝OC，所以OP+BP的最小值为线段OC的长，可求得OC＝2OL＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”，
理由：∵点D，E关于直线AB对称，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∴∠DBA＝∠EBA，
∵∠FBM＝∠EBA，
∴∠DBA＝∠FBM，
∴点B是点D，F关于直线AB的“等角点”．
（2）如图2，作法：1，以CD长为半径作弧、H；
2．连接GD，以GD长为半径作弧；
3．作射线CI交EF于点Q，
点Q就是所求的点．
理由：由作法得CG＝CH＝CD＝CI，GD＝HI，
在△CDG和△CIH中，
，
∴△CDG≌△CIH（SSS），
∴∠DCA＝∠QCN，
∴点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，
∴点Q就是所求的点．
（3）如图3，作OJ⊥AB于点J，OL⊥AC于点L，
∵点O到AC的距离为3，
∴OL＝2，
∵∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，
∴OK＝OJ，OL＝OJ，
∴OK＝OL，
∴点O在∠ACB的平分线上，
连接PC，设直线l交AC于点R，
∵直线l垂直平分边BC，
∴CP＝BP，
∴∠CPT＝∠BPT，
∵点P为点O，B关于直线l“等角点”，
∴∠OPR＝∠BPT，
∴∠CPT＝∠OPR，
∴∠CPT+∠OPT＝∠OPR+∠OPT＝180°，
∴O、P、C三点在同一条直线上，
∴OP+BP＝OP+CP＝OC，CO平分∠ACB，
∴OP+BP的最小值为线段OC的长，
∵∠ACB＝60°，
∴∠OCL＝∠OCB＝∠ACB＝30°，
∴OC＝2OL＝4，
∴OP+BP的最小值为7，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
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