河北省邯郸市大名县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )
A. 2B. 2x
C. 2＋(Δx)2D. 2＋Δx
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均增长速率的计算公式化简整理即可．
【详解】＝＝2＋Δx.
【点睛】本题考查了平均增长速率的计算公式．
2. 已知，，那么等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率公式得出可计算出结果.
【详解】由条件概率公式得，故选B.
【点睛】本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.
3. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式逐个判断选项即可.
【详解】由基本初等函数的导数公式得，，
，，显然A正确.
故选：A
4. 已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，根据组合数的性质得到A正确；由组合数的计算公式得到B正确，C错误；D选项，根据排列数计算公式推出D正确.
【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；
对于B，因为，因此成立，B正确；
对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不一定正确；
对于D，，D正确．
故选：C．
5. 某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件概率的计算公式进行求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：D.
6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第5名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的排名有（ ）种不同情况.
A 24B. 36C. 60D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】由题意甲不是1或2名，乙不是最后一名，由此分类讨论可得．
【详解】根据甲的名次分类讨论可得：．
故选：C．
7. 已知函数在处有极大值，则实数c的值为（ ）
A. 2B. 6C. 2或6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，求出，再检验可得答案.
【详解】由，
得，
因函数在处有极大值，
所以，解得或，
当时，，令，得或，
当或时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以为极大值点，为极小值点，所以不符合题意，
当时，，令，得或，
当或时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以为极大值点，为极小值点，所以符合题意，
综上
故选：B.
8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容为：如果函数在闭区间上的图像连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据拉格朗日中值点定义，利用数形结合，转化为函数图象的交点个数．
【详解】，
设为函数在上的拉格朗日中值点，
所以，即，
当时，，
如图，与有3个交点，即拉格朗日中值点的个数为3个．
故选：D.

二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 在的展开式中，含的项的系数是220
D. 的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大
【答案】BC
【解析】
【分析】根据组合数的性质判断A，根据排列数公式，即可计算B，根据二项式系数和系数的公式，即可判断CD.
【详解】若，则或，解得：或，故A错误；
若，解得：，故B正确；
在的展开式中，含的项的系数是，故C正确；
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，故D不正确.
故选：BC
10. 已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是（ ）
A.
B. 函数在处取得极小值，在处取得极大值
C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值
D. 函数的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】观察导函数的图象，可得的零点，使中的区间，从而确定函数的极值点和单调区间，根据函数的单调性比较函数值的大小，通过分析可得函数极大值、极小值以及最值情况．
【详解】由的图象可知，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
对于A，因为，所以，所以A正确；
对于B，C，由单调性可知：为极大值点，为极小值点，所以B不正确，C正确；
对于D，由于，则，不是最小值，所以D不正确.
故选：BD．
11. 已知，，，，，均大于0，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式判断A，根据条件概率的计算公式判断BCD.
【详解】对于A，若相互独立，则，故A错误；
对于B，若，则,即，
所以,故B正确；
对于C，若，则，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选:BCD.
三、填空题
12. 在的展开式中，的系数为______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解.
【详解】因为的展开通项公式为，
的展开通项公式为，
所以取，得的系数为.
故答案为：.
13. 已知函数，则的值为____________
【答案】
【解析】
【分析】求导后代入可得，由导数定义可知所求式子为，由此可得结果.
【详解】，，
.
故答案：.
14. 如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且、至少有一个正常工时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为，，，则系统正常工作的概率为______，在系统能够正常工作的前提下，只有K和正常工作的概率为______.
【答案】 ①. ②. ##0.25
【解析】
【分析】根据概率乘法公式可求解空1,根据条件概率的计算公式即可求解空2.
【详解】记“系统正常工作”为事件,则概率为,
“K和正常工作”为事件,则概率为,
在系统能够正常工作的前提下，只有K和正常工作的概率为,
故答案为：，
四、解答题
15. 一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.
（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分先白后黑和先黑后白两种情况，由概率公式计算.
（2）利用条件概率公式求解.
【小问1详解】
设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球.
因为采取放回抽样方式，
所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，
所以.
即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为.
【小问2详解】
设事件为第一次摸到黑球，
事件第二次摸到黑球，
所以，，
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：
.
16. 已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】由排列数和组合数公式求出的值，再通过赋值法，求和的值即可.
【小问1详解】
∵，∴，
∴，
∴，
∴，解得（舍）或，
∴.
【小问2详解】
由第（1）问，，
∴①，
令①式中，则，
∴，
令①式中，则，即，
∴.
【小问3详解】
令第（2）问①式中，则，
∴②，
由第（2）问，③，
②，③两式相加，得
，
∴.
17. 某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）
（1）如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序?
（2）如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序?
（3）如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序?
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)捆绑法：先将4首歌曲捆绑，然后与3个舞蹈排序，有（种）不同的出场顺序.
（2）插空法：先将4首歌曲排好，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，（种）不同的出场顺序.
（3）有条件限制类排列：可用排除法，7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.
【小问1详解】
先将4首歌曲捆绑，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.
【小问2详解】
先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.
小问3详解】
方法一：7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.
方法二：歌曲甲在最后一个出场时，其他节目可全排，有种情况；歌曲甲不在最后一个出场时，可从余下的5个位置任选一个，有种情况，而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的5个位置中，有种情况，其余节目全排列，有种情况，共有（种）不同的出场顺序.
18. 已知.
（1）若，求曲线在点处的切线方程.
（2）若，求函数的单调区间.
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)由题意易得，，根据点斜式得到曲线在点处的切线方程；
（2），对分类讨论明确相应不等式的解集，即可得到函数的单调区间；
（3）不等式恒成立等价于在上恒成立，变量分离即在上恒成立．转求的最大值即可.
【小问1详解】
∵，∴，
∴，
∴，
又，所以切点坐标为．
∴所求切线方程为，
即．
【小问2详解】
，
由，得或．
（）当时，由，得；
由，得或，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和．
（）当时，由，得；
由，得或．
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和．
综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当时，的单调递减区间为,单调递增区间为和．
【小问3详解】
依题意，不等式恒成立，
等价于在上恒成立，
可得在上恒成立，
设，
则．
令，得，（舍），
当时，；
当时，，
当变化时，，变化情况如下表：
∴当时，取得最大值，
，∴．
∴的取值范围是．
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求的最小值．
【答案】（1）,
（2）
（3）0
【解析】
【分析】（1）求导即可得结论;
（2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;
（3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.
【小问1详解】
求导易知,.
【小问2详解】
构造函数，，由（1）可知，
①当时，由,
可知，，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，
存在唯一，使得，
故当时，，
则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
【小问3详解】
，，
令，则；
令，则，
当时，由（2）可知，，
则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0．单调递增
单调递减