河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（原卷版）

这是一份河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（原卷版），共4页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
选择题使用2B涂卡笔将答案标在答题卡上
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1. 已知向量，满足，且，则，夹角为（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，角对边为，且，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
3. 设复数，，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
4. 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各个，无放回的从中任取个球，则恰有两个球同色的概率为
A. B. C. D.
5. 若双曲线的一条渐近线方程为，该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6. 在四面体中，，，平面，四面体的体积为.若四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）.
A. B. C. D.
7. 已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ）
A. 截面多边形不可能是平行四边形B. 截面多边形周长是定值
C. 截面多边形的周长的最小值是D. 截面多边形的面积的取值范围是
二、多选题（共18分，每题6分，多选错选不选不得分，漏选少选得部分分）
9. 下列结论中正确是（ ）
A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图的面积相等
B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差不改变
C. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
D. 数据，，，．．．，的方差为M，则数据，，，…，的方差为2M
10. （多选）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，异面，，，，，则
D. 若，，，则
11. 如图，已知在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，若为的中点，则在翻折过程中（点平面），以下命题正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 存在某个位置，使
D. 当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为
第II卷（非选择题）
填空题、主观题请在答题卡相应位置上作答
三、填空题（共15分，每题5分）
12. 某学校三个年级共有2760名学生，要采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知一年级有1150名学生，那么从一年级抽取的学生人数是___________名.
13. 设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为______________．
14. 已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是____________．
四、解答题（共77分）
15. 如图1所示，四边形为梯形且 ，，为中点，，，现将平面沿折起，沿折起，使平面平面，且重合为点（如图2所示）．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
16. 如图，四棱柱的底面为梯形，，三个侧面，，均为正方形．

（1）证明：平面平面．
（2）求点到平面的距离．
17. 在平面直角坐标系中，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ），为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
18. 已知的三个内角，，对的三边为，，，且
（1）若，，求；
（2）已知，当取得最大值时，求周长.
19. 如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
（1）证明：平面；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．