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初中数学冀教版七年级下册6.3 二元一次方程组的应用教学设计及反思
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这是一份初中数学冀教版七年级下册6.3 二元一次方程组的应用教学设计及反思，共11页。教案主要包含了羊二,直金十两;牛二等内容，欢迎下载使用。
课时目标
1.能够根据具体的数量关系、列出二元一次方程组、并解决简单的实际问题;
2.会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分问题、配套问题以及行程问题.
3.经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组→检验结果”的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型.
学习重点
探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.
学习难点
发现问题中隐含的未知数,寻找等量关系并列出方程组,由方程组的解解释实际问题.
课时活动设计
情境引入
今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.牛、羊各直金几何?
题目大意:5头牛、2只羊共价值10两“金”;2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”.
你能算出每头牛、每只羊各价值多少“金”吗?
设计意图:通过生活例子,引导学生列出二元一次方程组,一方面让学生体会数学来源于生活,另一方面为后续的学习打下基础.
知识回顾
问题1:解二元一次方程组的方法有哪些?
问题2:列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么?
建议:让学生回顾前面所学方程的相关知识,小组内进行交流体会,教师给予必要的提示.
设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.
探究新知
养牛场原有30头大牛和15头小牛,1天约用饲料675 kg;一周后又购进12头大牛和5头小牛,这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20 kg,每头小牛1天约需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗?
问题1:题目中有哪些未知量?
引导学生关注有2个未知量.
解:每头大牛1天需用的饲料和每头小牛1天需用的饲料.
问题2:题目中有哪些等量关系?
引导学生关注有2个等量关系
解:30头大牛1天用的饲料+15头小牛1天用的饲料=675 kg,
(30+12)头大牛1天用的饲料+(15+5)头小牛1天用的饲料=940 kg.
问题3:如何根据等量关系列方程组?
引导学生根据2个等量关系列方程组.
解:设每头大牛1天需用饲料x kg,每头小牛1天需用饲料y kg,
根据题意,得30x+15y=675,(30+12)x+(15+5)y=940,即30x+15y=675,①42x+20y=940.②
问题4:列一元一次方程能解决这个问题吗?
引导学生体会当未知数的个数有2个时,列二元一次方程组比列一元一次方程解决问题更简单.
解:若设每头大牛1天需用饲料x kg,则每头小牛1天需用饲料675-30x15 kg.
由题意,得(30+12)x+(15+5)×675-30x15=940,即42x+20×675-30x15=940.
问题5:如何解这个二元一次方程组呢?
让学生交流、讨论,教师引导学生对比,发现先化简再消元更简捷.
方法一:直接消元.
解:①×4,得120x+60y=2 700.③
②×3,得126x+60y=2 820.④
④-③,得6x=120,解得x=20.
把x=20代入①,得30×20+15y=675,解得y=5.
所以这个方程组的解是x=20,y=5.
方法二:先化简再消元.
解:方程组可化简为2x+y=45,①21x+10y=470.②
由①,得y=45-2x.③
把③代入②,得21x+10(45-2x)=470,解得x=20.
把x=20代入③,得y=5.
所以这个方程组的解是x=20,y=5.
问题6:饲养员李大叔估计的准确吗?
引导学生对比计算结果和李大叔的估计,得到结论.
解:饲养员李大叔对大牛的食量估计准确,对小牛的食量估计偏高.
设计意图:1.引导学生发现未知数和等量关系,运用二元一次方程组解决,用方程组的解去分析、解释实际问题.
2.让学生经历分析数量关系,得到等量关系,列方程组的过程,培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.
归纳总结
列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
1.审题:认真审题,分清题中的已知量、未知量,并明确它们之间的等量关系;
2.设元:用字母表示题目中的未知数;
3.列方程组:根据题中的等量关系列出方程组;
4.解方程组:解方程组,求出未知数的值;
5.检验:检验所求的解是否符合实际意义;
6.作答.
设计意图:引导学生总结运用方程组建立数学模型,解决实际问题的步骤,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克.若所购B型粽子的质量比A型粽子的质量的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2 560元,求该商店订购了两种型号的粽子各多少千克.
解:设该商店订购了A型粽子x千克,B型粽子y千克,
根据题意,得y=2x-20,28x+24y=2 560,解得x=40,y=60.
答:该商店订购了A型粽子40千克,B型粽子60千克.
例2 一套仪器由2个A部件和3个B部件构成,用1 m3钢材可做20个A部件或15个B部件.发现用90 m3钢材制作的部件配比成套后剩余B部件45个,问:恰好配成这种仪器多少套?
解:设用x m3钢材做A部件,y m3钢材做B部件,
由题意,得x+y=90,20x:(15y-45)=2:3,解得x=29,y=61.
则共做A部件29×20=580(个),B部件61×15=915(个).
一套仪器由2个A部件和3个B部件构成,故恰好配成这种仪器580÷2=290(套).
答:恰好配成这种仪器290套.
例3 李师傅从杭州驾车到椒江办事,汽车在高速路段平均油耗为0.06 L/km,在非高速路段平均油耗为0.075 L/km,从杭州到椒江的总油耗为16.5 L,总路程为270 km.
(1)求此次杭州到椒江高速路段的路程;
(2)若汽油价格为8元/L,高速路段过路费为0.45元/km,求此次杭州到椒江的单程交通费用(交通费用=油费+过路费).
解:(1)设此次杭州到椒江高速路段的路程为x km,非高速路段的路程为y km,
由题意,得x+y=270,0.06x+0.075y=16.5,解得x=250,y=20.
答:此次杭州到椒江高速路段的路程为250 km.
(2)此次杭州到椒江的单程油费为8×16.5=132(元),
此次杭州到椒江的单程过路费为0.45×250=112.5(元),
所以此次杭州到椒江的单程交通费用为132+112.5=244.5(元).
答:此次杭州到椒江的单程交通费用为244.5元.
设计意图:经历由实际问题抽象二元一次方程组的全过程,感悟列方程组解应用题的关键是要读懂题目意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想,并掌握用列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.
巩固训练
1.甲、乙两数的和为42,甲数的3倍等于乙数的4倍,求甲、乙两数,设甲数为x,乙数为y,则下列方程组正确的是( B )
A.x+y=42,4x=3y B.x+y=42,3x=4y C.4x+3y=42,3x=4y D.3x+4y=42,4x=3y
2.用4 700张纸装订成两种挂历共500本,其中甲种挂历每本需用7张纸,乙种挂历每本需用13张纸.若甲种挂历有x本,乙种挂历有y本,则下面所列方程组正确的是( B )
A.x+y=500,13x+7y=4 700B.x+y=500,7x+13y=4 700
C.x+y=500,13x-7y=4 700 D.x+y=500,7x-13y=4 700
3.某工厂有60名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天可生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套?
解:设应分配x人生产螺栓,y人生产螺母.
由题意,得x+y=60,2×14x=20y.解得x=25,y=35.
答:应分配25人生产螺栓,35人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.
4.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路,如果保持上坡路每小时走3 km,平路每小时走4 km,下坡路每小时走5 km,那么从甲地到乙地需40 min,从乙地到甲地需30 min.甲地到乙地的全程是多少?
解:设从甲地到乙地的上坡路有x km,平路有y km.
根据题意,得x3+y4=4060,y4+x5=3060,解得x=54,y=1,
∴x+y=54+1=94.
答:甲地到乙地的全程是94 km.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤: (1)审题;(2)设元;(3)列方程组;(4)解方程组;(5)检验;(6)作答 ;
2.找等量关系的常见方法:(1)各部分数量之和= 全部数量 ;(2)明显的关键词有 比、是、等于、多、少、倍、共、和、几分之几 等,隐含的关键词有 总面积、总数量、总钱数 等.
设计意图:通过小结,引导学生思考、交流,梳理所学知识,建立起符合自身认知特点的知识结构.训练学生的口头表达能力,让学生养成及时归纳总结的良好学习习惯.
课堂8分钟.
1.教材第16页练习第1,2题,习题A组第1,2题,B组第1题.
2.七彩作业.
第1课时 二元一次方程组的应用(1)
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
(1)审题; (2)设元; (3)列方程组;
(4)解方程组; (5)检验; (6)作答.
2.找等量关系的常见方法:
(1)基本数量关系:各部分数量之和=全部数量;
(2)方法:
明显的关键词,如比、是、等于、多、少、倍、共、和、几分之几等;
隐含的关键词,如总面积、总数量、总钱数等.
3.例题讲解
教学反思
第2课时 二元一次方程组的应用(2)
课时目标
1.在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中,进一步提高分析问题中的等量关系、设未知数、列方程组、解方程组的能力.
2.学会设间接未知数迂回解决问题.
3.通过探究实际问题,使学生进一步感受方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性,体会数学的应用价值,提高分析问题、解决问题的能力,进一步发展模型观念的核心素养.
学习重点
分析问题,寻找等量关系,列二元一次方程组解决实际问题.
学习难点
列表格分析题目中的数量关系.
课时活动设计
情境引入
你能根据这对父子的对话内容,分别求出这两块农田今年的产量吗?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么?
设计意图:复习回顾旧知识,为学习新知识作铺垫.
探究新知
如图所示,长青化工厂与A,B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为1.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费15 000元,铁路运费97 200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
问题1:如何设未知数?
解:因为销售款与产品数量有关,原料费与原料数量有关,而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关,所以设制成x t产品,购买y t原料.
问题2:此题涉及的量较多,这种情况下常用列表的方式来处理,这样比较直观、简洁.此题涉及哪两类量呢?
解:一类是公路运费和铁路运费;另一类是产品数量和原料数量.
问题3:如何确定题中的数量关系?
解:设制成x t产品,购买y t原料.根据题中数量关系填写下表.
问题4:通过上面的表格你发现等量关系了吗?如何列方程组并求解?
解:由题意,得1.5(20x+10y)=15 000,1.2(110x+120y)=97 200.
化简,得2x+y=1 000,11x+12y=8 100. 解得x=300,y=400.
销售款-原料费-运输费=8 000×300-1 000×400-(15 000+97 200)=1 887 800(元).
答:这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元.
设计意图:通过讨论让学生认识到合理设定未知数的意义.借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法.培养学生有条理地思考、分析和表达的习惯,让学生认识到检验的重要性,并学会规范作答.
归纳总结
(1)在什么情况下考虑选择设间接未知数?
(2)如何更好地分析这种数量关系比较复杂的实际问题?
设计意图:对本课时新学的内容进行梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例 据某市旅游局发布的信息,今年五一假期期间,该市外来与外出旅游的总人数为226万人,分别比去年同期增长30%和20%,去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.则该市去年外来旅游的人数是多少万人.
解:设该市去年外来旅游的人数为x万人,外出旅游的人数为y万人.
(1+30%)x+(1+20%)y=226,x-y=20,
整理,得1.3x+1.2y=226,x-y=20.解得x=100,y=80.
答:该市去年外来旅游的人数是100万人.
设计意图:通过例题讲解,及时练习巩固所学,培养学生学以致用、积极思考的习惯.
巩固训练
1.某商店购进A,B两种商品共50件,已知这两种商品的进货单价与销售单价如下表所示,且将这两种商品销售完共可获利660元.设该商店购进A种商品x件,购进B种商品y件,则根据题意可列方程组为 x+y=50,(40-30)x+(55-40)y=660 .
2.某种电器产品,每件若以原定价的八折销售,则可获利120元;若以原定价的六折销售,则亏损20元,该种商品每件的进价为 440 元.
3.制造某种产品需要A,B两种原料,其中A种原料的价格为50元/千克,B种原料的价格为40元/千克.一段时间后,这两种原料的价格进行了调整,A种原料的价格上涨了10%,B种原料的价格下降了15%,经核算,产品的成本仍然不变,已知生产这种产品需A,B两种原料共11 000 kg,则A种原料和B种原料各需多少?
解:设A种原料需要x kg,B种原料需要y kg,
根据题意,得x+y=11 000,50x+40y=50(1+10%)x+40(1-15%)y, 解得x=6 000,y=5 000.
答:A种原料需要6 000 kg,B种原料需要5 000 kg.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
通过这节课的学习,在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设未知数,可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第18页练习第1,2题,第18,19页习题A组第1,2题,B组第2题.
2.七彩作业.
第2课时 二元一次方程组的应用(2)
列表分析数量关系.
例题板演.
教学反思
产品x t
原料y t
合计
公路运费/元
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
铁路运费/元
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
价值/元
8 000x
1 000y
商品类别
进货单价/元
销售单价/元
A
30
40
B
40
55
课时目标
1.能够根据具体的数量关系、列出二元一次方程组、并解决简单的实际问题;
2.会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分问题、配套问题以及行程问题.
3.经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组→检验结果”的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型.
学习重点
探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.
学习难点
发现问题中隐含的未知数,寻找等量关系并列出方程组,由方程组的解解释实际问题.
课时活动设计
情境引入
今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.牛、羊各直金几何?
题目大意:5头牛、2只羊共价值10两“金”;2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”.
你能算出每头牛、每只羊各价值多少“金”吗?
设计意图:通过生活例子,引导学生列出二元一次方程组,一方面让学生体会数学来源于生活,另一方面为后续的学习打下基础.
知识回顾
问题1:解二元一次方程组的方法有哪些?
问题2:列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么?
建议:让学生回顾前面所学方程的相关知识,小组内进行交流体会,教师给予必要的提示.
设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.
探究新知
养牛场原有30头大牛和15头小牛,1天约用饲料675 kg;一周后又购进12头大牛和5头小牛,这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20 kg,每头小牛1天约需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗?
问题1:题目中有哪些未知量?
引导学生关注有2个未知量.
解:每头大牛1天需用的饲料和每头小牛1天需用的饲料.
问题2:题目中有哪些等量关系?
引导学生关注有2个等量关系
解:30头大牛1天用的饲料+15头小牛1天用的饲料=675 kg,
(30+12)头大牛1天用的饲料+(15+5)头小牛1天用的饲料=940 kg.
问题3:如何根据等量关系列方程组?
引导学生根据2个等量关系列方程组.
解:设每头大牛1天需用饲料x kg,每头小牛1天需用饲料y kg,
根据题意,得30x+15y=675,(30+12)x+(15+5)y=940,即30x+15y=675,①42x+20y=940.②
问题4:列一元一次方程能解决这个问题吗?
引导学生体会当未知数的个数有2个时,列二元一次方程组比列一元一次方程解决问题更简单.
解:若设每头大牛1天需用饲料x kg,则每头小牛1天需用饲料675-30x15 kg.
由题意,得(30+12)x+(15+5)×675-30x15=940,即42x+20×675-30x15=940.
问题5:如何解这个二元一次方程组呢?
让学生交流、讨论,教师引导学生对比,发现先化简再消元更简捷.
方法一:直接消元.
解:①×4,得120x+60y=2 700.③
②×3,得126x+60y=2 820.④
④-③,得6x=120,解得x=20.
把x=20代入①,得30×20+15y=675,解得y=5.
所以这个方程组的解是x=20,y=5.
方法二:先化简再消元.
解:方程组可化简为2x+y=45,①21x+10y=470.②
由①,得y=45-2x.③
把③代入②,得21x+10(45-2x)=470,解得x=20.
把x=20代入③,得y=5.
所以这个方程组的解是x=20,y=5.
问题6:饲养员李大叔估计的准确吗?
引导学生对比计算结果和李大叔的估计,得到结论.
解:饲养员李大叔对大牛的食量估计准确,对小牛的食量估计偏高.
设计意图:1.引导学生发现未知数和等量关系,运用二元一次方程组解决,用方程组的解去分析、解释实际问题.
2.让学生经历分析数量关系,得到等量关系,列方程组的过程,培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.
归纳总结
列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
1.审题:认真审题,分清题中的已知量、未知量,并明确它们之间的等量关系;
2.设元:用字母表示题目中的未知数;
3.列方程组:根据题中的等量关系列出方程组;
4.解方程组:解方程组,求出未知数的值;
5.检验:检验所求的解是否符合实际意义;
6.作答.
设计意图:引导学生总结运用方程组建立数学模型,解决实际问题的步骤,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克.若所购B型粽子的质量比A型粽子的质量的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2 560元,求该商店订购了两种型号的粽子各多少千克.
解:设该商店订购了A型粽子x千克,B型粽子y千克,
根据题意,得y=2x-20,28x+24y=2 560,解得x=40,y=60.
答:该商店订购了A型粽子40千克,B型粽子60千克.
例2 一套仪器由2个A部件和3个B部件构成,用1 m3钢材可做20个A部件或15个B部件.发现用90 m3钢材制作的部件配比成套后剩余B部件45个,问:恰好配成这种仪器多少套?
解:设用x m3钢材做A部件,y m3钢材做B部件,
由题意,得x+y=90,20x:(15y-45)=2:3,解得x=29,y=61.
则共做A部件29×20=580(个),B部件61×15=915(个).
一套仪器由2个A部件和3个B部件构成,故恰好配成这种仪器580÷2=290(套).
答:恰好配成这种仪器290套.
例3 李师傅从杭州驾车到椒江办事,汽车在高速路段平均油耗为0.06 L/km,在非高速路段平均油耗为0.075 L/km,从杭州到椒江的总油耗为16.5 L,总路程为270 km.
(1)求此次杭州到椒江高速路段的路程;
(2)若汽油价格为8元/L,高速路段过路费为0.45元/km,求此次杭州到椒江的单程交通费用(交通费用=油费+过路费).
解:(1)设此次杭州到椒江高速路段的路程为x km,非高速路段的路程为y km,
由题意,得x+y=270,0.06x+0.075y=16.5,解得x=250,y=20.
答:此次杭州到椒江高速路段的路程为250 km.
(2)此次杭州到椒江的单程油费为8×16.5=132(元),
此次杭州到椒江的单程过路费为0.45×250=112.5(元),
所以此次杭州到椒江的单程交通费用为132+112.5=244.5(元).
答:此次杭州到椒江的单程交通费用为244.5元.
设计意图:经历由实际问题抽象二元一次方程组的全过程,感悟列方程组解应用题的关键是要读懂题目意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想,并掌握用列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.
巩固训练
1.甲、乙两数的和为42,甲数的3倍等于乙数的4倍,求甲、乙两数,设甲数为x,乙数为y,则下列方程组正确的是( B )
A.x+y=42,4x=3y B.x+y=42,3x=4y C.4x+3y=42,3x=4y D.3x+4y=42,4x=3y
2.用4 700张纸装订成两种挂历共500本,其中甲种挂历每本需用7张纸,乙种挂历每本需用13张纸.若甲种挂历有x本,乙种挂历有y本,则下面所列方程组正确的是( B )
A.x+y=500,13x+7y=4 700B.x+y=500,7x+13y=4 700
C.x+y=500,13x-7y=4 700 D.x+y=500,7x-13y=4 700
3.某工厂有60名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天可生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套?
解:设应分配x人生产螺栓,y人生产螺母.
由题意,得x+y=60,2×14x=20y.解得x=25,y=35.
答:应分配25人生产螺栓,35人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.
4.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路,如果保持上坡路每小时走3 km,平路每小时走4 km,下坡路每小时走5 km,那么从甲地到乙地需40 min,从乙地到甲地需30 min.甲地到乙地的全程是多少?
解:设从甲地到乙地的上坡路有x km,平路有y km.
根据题意,得x3+y4=4060,y4+x5=3060,解得x=54,y=1,
∴x+y=54+1=94.
答:甲地到乙地的全程是94 km.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤: (1)审题;(2)设元;(3)列方程组;(4)解方程组;(5)检验;(6)作答 ;
2.找等量关系的常见方法:(1)各部分数量之和= 全部数量 ;(2)明显的关键词有 比、是、等于、多、少、倍、共、和、几分之几 等,隐含的关键词有 总面积、总数量、总钱数 等.
设计意图:通过小结,引导学生思考、交流,梳理所学知识,建立起符合自身认知特点的知识结构.训练学生的口头表达能力,让学生养成及时归纳总结的良好学习习惯.
课堂8分钟.
1.教材第16页练习第1,2题,习题A组第1,2题,B组第1题.
2.七彩作业.
第1课时 二元一次方程组的应用(1)
1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
(1)审题; (2)设元; (3)列方程组;
(4)解方程组; (5)检验; (6)作答.
2.找等量关系的常见方法:
(1)基本数量关系:各部分数量之和=全部数量;
(2)方法:
明显的关键词,如比、是、等于、多、少、倍、共、和、几分之几等;
隐含的关键词,如总面积、总数量、总钱数等.
3.例题讲解
教学反思
第2课时 二元一次方程组的应用(2)
课时目标
1.在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中,进一步提高分析问题中的等量关系、设未知数、列方程组、解方程组的能力.
2.学会设间接未知数迂回解决问题.
3.通过探究实际问题,使学生进一步感受方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性,体会数学的应用价值,提高分析问题、解决问题的能力,进一步发展模型观念的核心素养.
学习重点
分析问题,寻找等量关系,列二元一次方程组解决实际问题.
学习难点
列表格分析题目中的数量关系.
课时活动设计
情境引入
你能根据这对父子的对话内容,分别求出这两块农田今年的产量吗?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么?
设计意图:复习回顾旧知识,为学习新知识作铺垫.
探究新知
如图所示,长青化工厂与A,B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为1.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费15 000元,铁路运费97 200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
问题1:如何设未知数?
解:因为销售款与产品数量有关,原料费与原料数量有关,而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关,所以设制成x t产品,购买y t原料.
问题2:此题涉及的量较多,这种情况下常用列表的方式来处理,这样比较直观、简洁.此题涉及哪两类量呢?
解:一类是公路运费和铁路运费;另一类是产品数量和原料数量.
问题3:如何确定题中的数量关系?
解:设制成x t产品,购买y t原料.根据题中数量关系填写下表.
问题4:通过上面的表格你发现等量关系了吗?如何列方程组并求解?
解:由题意,得1.5(20x+10y)=15 000,1.2(110x+120y)=97 200.
化简,得2x+y=1 000,11x+12y=8 100. 解得x=300,y=400.
销售款-原料费-运输费=8 000×300-1 000×400-(15 000+97 200)=1 887 800(元).
答:这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元.
设计意图:通过讨论让学生认识到合理设定未知数的意义.借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法.培养学生有条理地思考、分析和表达的习惯,让学生认识到检验的重要性,并学会规范作答.
归纳总结
(1)在什么情况下考虑选择设间接未知数?
(2)如何更好地分析这种数量关系比较复杂的实际问题?
设计意图:对本课时新学的内容进行梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例 据某市旅游局发布的信息,今年五一假期期间,该市外来与外出旅游的总人数为226万人,分别比去年同期增长30%和20%,去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.则该市去年外来旅游的人数是多少万人.
解:设该市去年外来旅游的人数为x万人,外出旅游的人数为y万人.
(1+30%)x+(1+20%)y=226,x-y=20,
整理,得1.3x+1.2y=226,x-y=20.解得x=100,y=80.
答:该市去年外来旅游的人数是100万人.
设计意图:通过例题讲解,及时练习巩固所学,培养学生学以致用、积极思考的习惯.
巩固训练
1.某商店购进A,B两种商品共50件,已知这两种商品的进货单价与销售单价如下表所示,且将这两种商品销售完共可获利660元.设该商店购进A种商品x件,购进B种商品y件,则根据题意可列方程组为 x+y=50,(40-30)x+(55-40)y=660 .
2.某种电器产品,每件若以原定价的八折销售,则可获利120元;若以原定价的六折销售,则亏损20元,该种商品每件的进价为 440 元.
3.制造某种产品需要A,B两种原料,其中A种原料的价格为50元/千克,B种原料的价格为40元/千克.一段时间后,这两种原料的价格进行了调整,A种原料的价格上涨了10%,B种原料的价格下降了15%,经核算,产品的成本仍然不变,已知生产这种产品需A,B两种原料共11 000 kg,则A种原料和B种原料各需多少?
解:设A种原料需要x kg,B种原料需要y kg,
根据题意,得x+y=11 000,50x+40y=50(1+10%)x+40(1-15%)y, 解得x=6 000,y=5 000.
答:A种原料需要6 000 kg,B种原料需要5 000 kg.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
通过这节课的学习,在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设未知数,可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第18页练习第1,2题,第18,19页习题A组第1,2题,B组第2题.
2.七彩作业.
第2课时 二元一次方程组的应用(2)
列表分析数量关系.
例题板演.
教学反思
产品x t
原料y t
合计
公路运费/元
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
铁路运费/元
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
价值/元
8 000x
1 000y
商品类别
进货单价/元
销售单价/元
A
30
40
B
40
55
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