高考数学一轮复习 考点热身训练 2.3函数的奇偶性与周期性

这是一份高考数学一轮复习 考点热身训练 2.3函数的奇偶性与周期性，共6页。试卷主要包含了3函数的奇偶性与周期性，函数y=lg的图象关于等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题6分，共36分)
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
()y=-x3,x∈R ()y=sinx,x∈R
()y=x,x∈R ()y=()x,x∈R
2.(2013·宿州模拟)已知f(x)满足f(x+4)=f(x)和f(-x)=-f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=( )
()-2 ()2 ()-98 ()98
3.(预测题)f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=( )
()-b+4 ()-b+2 ()b-4 ()b+2
4.函数y=lg(-1)的图象关于( )
()x轴成轴对称图形
()y轴成轴对称图形
()直线y=x成轴对称图形
()原点成中心对称图形
5.(2012·临沂模拟)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=lga(x+k)的图象是( )
6.（2012·莆田模拟）若f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且f(x)-g(x)=ex,则有（ ）
()f(2)()f(2)二、填空题(每小题6分，共18分)
7.设函数f(x)= 为奇函数，则k=______.
8.(2011·广东高考)设函数f(x)=x3csx+1,若f(a)=11,则f(-a)=______.
9.（2012·泉州模拟）若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=f(1-x)，则
f(2 012)=________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(易错题)设定义在［-2,2］上的奇函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
11.(2012·珠海模拟)已知函数f(x)=a-是偶函数，a为实常数.
(1)求b的值；
(2)当a=1时，是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，若存在，求出m,n的值，否则，说明理由.
(3)若在函数定义域内总存在区间［m,n］(m【探究创新】
(16分)设函数f(x)的定义域为，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆)，有x+l∈，且f(x+l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.
(1)如果定义域为［-1,+∞)的函数f(x)=x2为［-1,+∞)上的m高调函数，求实数m的取值范围.
(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=|x-a2|-a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选.在定义域内为奇函数的为，，，又y=sinx在R上不单调，y=x在R上为增函数，故选.
2.【解析】选.由已知得f(x)为以4为周期的奇函数,
∴f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1),
又x∈(0,2)时，f(x)=2x2,∴f(7)=-2×12=-2.
3.【解析】选.∵函数f(x),g(x)均为奇函数，
∴f(a)+f(-a)=0,g(a)+g(-a)=0,
∴F(a)+F(-a)=3f(a)+5g(a)+2+3f(-a)+5g(-a)+2=4,
∴F(-a)=4-F(a)=4-b.
4.【解题指南】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性，从而利用奇偶性判断其图象的对称性.
【解析】选.函数y=f(x)=lg(-1)=lg,
∴函数y=f(x)的定义域为(-1,1),
又∵f(-x)=lg
=-lg=-f(x),
∴y=lg(-1)为奇函数.
∴其图象关于原点成中心对称图形.
5.【解析】选.因为f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0，a≠1)为R上的奇函数，
∴f(0)=(k-1)-1=0,得k=2,
∴f(x)=ax-a-x.
又∵f(x)为R上的减函数，∴0故g(x)=lga(x+k)=lga(x+2)的图象是由y=lgax(06. 【解析】选.∵f(x)-g(x)=ex,
又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,
可知f(x)是R上的增函数，
∴0∴g(0)7.【解析】∵f(x) =为奇函数，
∴f(-x)=-f(x),
即: =-
得：(2+k)x=0，又x≠kπ+(k∈Z)时恒成立.
∴2+k=0,得k=-2.
答案：-2
8.【解析】令g(x)=x3csx,则f(x)=g(x)+1且g(x)为奇函数,所以g(-a)=-g(a).
由f(a)=11得g(a)+1=11,所以g(a)=10,
f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9.
答案：-9
9.【解析】∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)=0,又f(x)=f(1-x),
∴f(1)=f(0)=0,∴f(-1)=0,
令x=2,得f(2)=f(-1)=0,
∴f(-2)=0,同理可得f(2 012)=0.
答案：0
10.【解析】由f(m)+f(m-1)>0,
得f(m)>-f(m-1),
即f(1-m)又∵f(x)在［0,2］上单调递减且f(x)在［-2,2］上为奇函数,
∴f(x)在［-2,2］上为减函数，
∴
即解得-1≤m<.
【误区警示】本题易忽视m,1-m∈［-2,2］而致误.
11.【解析】(1)由已知,可得f(x)=a-的定义域为=(-∞,)∪(,+∞).
又y=f(x)是偶函数，故定义域关于原点对称.
于是，b=0.
又对任意x∈,有f(x)=f(-x),可得b=0.
因此所求实数b=0.
(2)由(1)，可知f(x)=a- (=(-∞,0)∪(0,+∞)).
考察函数f(x)=a-的图象，可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，又n>m>0,
∴y=f(x)在区间［m,n］上是增函数.
因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］.∴有
即方程1-=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.
∵Δ=4-8<0,∴此方程无解.故不存在正实数m,n满足题意.
(3)由(1)，可知f(x)=a-(=(-∞,0)∪(0,+∞)).考察函数f(x)=a-的图象，
可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，
f(x)在区间(-∞,0)上是减函数.
因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，故必有m、n同号.
①当0(此时，m、n(m②当m综上所述，所求实数a的取值范围是a=0或a>.
【变式备选】已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.
【解析】(1)∵f(x)=ex-()x,且y=ex是增函数，
y=-()x是增函数，所以f(x)是增函数.
由于f(x)的定义域为R，
且f(-x)=e-x-ex=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,
∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立
⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立
⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立
⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立
⇔(t+)2≤
⇔(t+)2≤0⇔t=-.
即存在实数t=-,
使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.
【探究创新】
【解析】(1)f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)，有
m≥2；x≥-1时，恒有f(x+2)≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为［2,+∞)；
(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，
∵f(3a2)=a2=f(-a2)，
由f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2)，
故-a2+4≥3a2，从而a2≤1，
又a2≤1时，恒有f(x+4)≥f(x)，故a2≤1即可．
所以实数a的取值范围为［-1,1］.