2021年高考理科数学一轮复习：专题2.3 函数的奇偶性及周期性 题型全归纳与高效训练突破

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 判断函数的奇偶性1
题型二 奇函数、偶函数性质的应用3
题型三 函数的周期性及应用4
题型四 函数性质的综合应用6
命题角度一 单调性与奇偶性结合6
命题角度二 周期性与奇偶性结合6
命题角度三 单调性、奇偶性和周期性结合7
题型五 奇偶函数的二级结论及应用8
二、高效训练突破9
一、题型全归纳
题型一 判断函数的奇偶性
【题型要点】
1．判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【例1】(2020·成都市高三阶段考试)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
【例2】判断函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,x2－x，x>0.))的奇偶性。
题型二 奇函数、偶函数性质的应用
【题型要点】函数奇偶性的应用
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
【注意】：对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.
【例1】若f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
【例2】(2020·衡水模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f(x)＝xln x，则x＜0时，f(x)＝( )
A．xln x B．xln (－x)
C．－xln x D．－xln (－x)
题型三 函数的周期性及应用
【题型要点】1．求函数周期的方法
2．函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
【例1】(2020·江西临川第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则＝( )
A．－eq \f(9,4) B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(9,4)
【例2】(2020·开封模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（1－x），0≤x≤1，,x－1，1A．0 B．1
C．2 D．3
题型四 函数性质的综合应用
命题角度一 单调性与奇偶性结合
【题型要点】函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
【例1】．(2019·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)＞f(1－a)，则a的取值范围是( )
A.B.
C. D.
命题角度二 周期性与奇偶性结合
【题型要点】周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
【例2】已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
命题角度三 单调性、奇偶性和周期性结合
【题型要点】单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解．
【例3】．(2019·青岛二中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0(x1≠x2)恒成立，则，f(4)，的大小关系正确的是( )
A．＞f(4)＞
B．f(4)＞＞
C．＞f(4)＞
D．＞＞f(4)
题型五 奇偶函数的二级结论及应用
结论一：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.
【结论简证】由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c.
【例1】对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
结论二：若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称．
【结论简证】函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立．
【例2】 函数f(x)＝eq \f(x,x＋1)＋eq \f(x＋1,x＋2)＋eq \f(x＋2,x＋3)的图象的对称中心为 ( )
A．(－4，6) B．(－2，3)
C．(－4，3) D．(－2，6)
结论三：若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
【结论简证】
当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；
当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)．
综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
【例3】设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是________；
【例4】若偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则f(x－2)>0的条件为________．
二、高效训练突破
一、选择题
1．(2019·武威模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝tanx
C．f(x)＝x＋eq \f(1,x) D．f(x)＝|x|
2.设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论错误的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
3．(2020·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg2(x＋2)－1，则f(－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
4.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝( )
A．6 B．－6
C．4 D．－4
5．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝eq \f(π,3)，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A.eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3)
C．π D．eq \f(4π,3)
6. (2020·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
7.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
8.(2020·广东湛江一模)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
9.(2020·武汉十校联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x B.eq \f(1,2)(ex＋e－x)
C.eq \f(1,2)(e－x－ex) D.eq \f(1,2)(ex－e－x)
10.(2020·烟台适应性练习)已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋a，－1≤x＜0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－x))，0≤x＜1，))若＝，则f(5a)等于( )
A.eq \f(7,16) B．－eq \f(2,5)
C.eq \f(11,16) D.eq \f(13,16)
11.(2020·沈阳市高三质检)已知函数f(x)＝eq \f(1－2x,1＋2x)，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，则下列不等关系恒成立的是( )
A．b－a＜2 B．a＋2b＞2
C．b－a＞2 D．a＋2b＜2
12.(2020·湖南郴州质量检测)已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A.B．
C． D．
二、填空题
1.(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．
2.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
3.(2020·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．
4.(2019·绵阳模拟)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，－1≤x＜3，,fx－4，x≥3，))则f(9)＝________.
5.已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x－2)，且当x∈[－3,0)时，f(x)＝eq \f(1,x)＋3sineq \f(π,2)x，则f(2021)＝________.
6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝eq \f(1,fx)，当x∈[0，2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2020)＝________.
7．(2020·甘肃天水摸底)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝lg2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是________．
8.若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.
9.(2019·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.
其中正确的是________(正确的序号都填上)．
10.已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
三、解答题
1.已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明：在上为减函数.
2．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求a的值：
（2）求函数的值域；
（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围.
方法
解读
适合题型
定义
法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数，
递推
法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式，
换元
法
通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式