北师大版第一章 整式的乘除2 幂的乘方与积的乘方精品课时练习

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【知识点一】幂的乘方
幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
即：用字母表示为amn=an（m，n都是正整数）
法则的拓展运用
幂的乘法运算法则的推广：=amnp（m,n,p都是正整数）；
幂的乘方法则也可以逆用，逆用时amn=amn=anm（m，n都是正整数）
特别提醒
“底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m与乘方的指数n相乘.
底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
【知识点二】积的乘方
积的乘法法则
积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
即：用字母表示为abn=anbn（n为正整数）.
2.法则的拓展运用
（1） 积的乘方法则的推广：abcn=anbncn（n为正整数）.
（2） 积的乘方法则也可以逆用，逆用时anbn=abn（n为正整数）.
特别提醒
积的乘方的前提是底数是乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即a+bn≠an+bn.
每个因数（式）可以是单项式，也可以是多项式.
在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一个.
【考点目录】
【考点1】同底数幂相乘运算
【考点2】同底数幂相乘与整体加减法综合运算
【考点3】利用同底数幂相乘的法则求指数中字母的值
【考点4】同底数幂相乘的逆运算
【考点1】数的乘方运算与同底数幂相乘混合运算
【例1】（2023下·七年级课时练习）计算：．
【答案】
解：原式．
【易错点分析】幂的乘方中，当底数为负数时，如果指数为偶数，则结果为正数；如果指数为奇数，则结果为负数．合并同类项，要让同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变．
【变式1】（2012上·重庆万州·八年级统考）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
解：∵；
；
．
则．
故选：A．
【点拨】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．
【变式2】（2018下·七年级课时练习）计算： ．
【答案】
【分析】先算乘方，再算同底数幂的乘法即可．
解：；
故答案为：．
【点拨】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【考点2】数的乘方逆运算
【例2】（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）已知．求：
（1）的值；（2）的值：（3）的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键；
（2）利用幂的乘方的法则进行运算即可；掌握幂的乘方的法则是解题的关键；
（3）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可；掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）解： ．
（2）解：．
（3）解：．
【变式1】（2023下·七年级课时练习）把这4个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解：先根据幂的乘方法则，把4个数化成指数相同的数，再根据底数的大小比较即可．，，，，且，．
【易错点分析】与幂有关的计算，需要用到如下策略：把不同底数的幂化为同底数的幂；把不同指数的幂化为同指数的幂；把已知幂化为特殊底数的幂．
【变式2】（2014下·江西抚州·七年级统考期末）若，，则 ．
【答案】18
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算法则求解即可．
解：∵，，
∴
，
故答案为：18．
【点拨】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，利用幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算法则是解答的关键．
【考点3】积的乘方运算与同底数幂相乘综合运算
【例3】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先利用积的乘方运算法则求解，再加减求解即可；
（2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
【变式1】（2023上·八年级课时练习）下列各式的运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方运算法则逐项计算，即可判断．
解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了积的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）已知a，b为任意非零实数，且，则 ．
【答案】36
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方计算得到，推出，据此计算即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
∵a，b为非零实数，
∴，，解得，，
故．
故答案为：36．
【点拨】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
【考点4】积的乘方逆运算与同底数幂相乘的逆运算
【例4】（2023上·八年级课时练习）（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）320；（2）5400．
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
解：（1）∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方的逆用，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式1】（2022下·吉林长春·七年级校考阶段练习）x为正整数，且满足，则 （ ）
A．2B．3C．6D．12
【答案】C
【分析】先逆用同底数幂的乘法法则，将原式变形，再提取公因式，然后逆用积的乘方，即可得到x的值．
解：原式可化为，
提取公因式，得，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了幂的运算：同底数幂的法则的逆用、积的乘方的逆用，解题的关键是掌握幂的运算性质．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据积的乘方的逆运算计算即可．
解：，
故答案为：．
【点拨】题考查积的积的乘方逆用，熟练掌握运算法则并能正确运用是解题的关键．
【考点5】幂的综合运算
【例5】（2023上·广东广州·八年级校考期中）计算：．
【答案】0
【分析】本题考查了幂的混合运算，利用同底数幂的除法运算法则及积的乘方即可求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
解：原式
．
【变式1】（2023·河北保定·统考二模）下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则进行计算，得出结果再进行判断即可．
解：A、；
B、；
C、；
D、；
故选：A．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解此题的关键是熟记幂的运算和负整数次幂运算法则．
【变式2】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测） ．
【答案】
【分析】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可．
解：
故答案为：．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
【考点6】幂的混合运算与逆运算
【例6】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
（1）; （2）;
（3）; （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）先计算幂的乘方以及同底数幂的乘法，再算减法即可；
（2）先计算幂的乘方再算减法即可；
（3）先计算幂的乘方再算加、减法即可；
（4）观察底数的特征，利用幂的运算法则将底数转化进行运算．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式1】（2019上·福建厦门·八年级厦门双十中学校考期中）2x3可以表示为（ ）
A．x3（x3B．2x4（xC．x3（x3D．（2x）3
【答案】C
【分析】根据同底数幂的运算法则进行转换即可．
解：A.，错误；
B.，错误；
C. ，正确；
D. ，错误；
故答案为：C．
【点拨】本题考查了整式的运算问题，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．
【变式2】（2019上·辽宁鞍山·八年级统考期中）已知ax＝3，ay＝9，则a2x+y＝ ．
【答案】81．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形即可得出答案．
解：∵ax=3，ay=9，∴a2x+y=（ax）2•ay
=9×9
=81．
故答案为81．
【点拨】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题的关键．