北师大版七年级下册2 幂的乘方与积的乘方精品课后练习题

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1.理解并掌握幂的乘方法则;（重点）
2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活运用.（难点）
3.理解并掌握积的乘方的运算法则；（重点）
4.掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.（难点）
知识点01. 幂的乘方法则
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（m，n是正整数）．
幂的乘方法则的推导：
幂的乘方是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的．
．
知识点02. 逆用幂的乘方：（m，n为正整数）．
知识点03. 与的区别：
表示个相乘，而表示个相乘．
知识点04. 积的乘方法则：
积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（是正整数）．
积的乘方法则的推导：
．
知识点05. 逆用积的乘方法则：
（为正整数）
知识点01 幂的乘方法则
典例：计算
（1）(102)3 ； （2）(b5)5； （5）(y2)3·y;
（3）(an)3； （4）－(x2)m；
【答案】（1）106；（2）b25;（3）a3n;（4）－x2m;（5）y7;
【分析】运用同底数幂的乘方法则计算即可得解.
【详解】解:（1）(102)3=102×3=106；
（2）(b5)5 =b5×5=b25;
（3）(an)3=an×3=a3n;
（4）－(x2)m=－x2×m=－x2m;
（5）(y2)3 · y=y2×3·y=y6·y=y7;
【点拨】本题考查了同底数幂的乘方，熟练掌握计算法则是解题关键.
巩固练习
1.计算：
（1）____；（2）____；（3）____；（4）____．
【答案】 （1） （2） （3） （4）
【分析】运用同底数幂的乘方法则计算即可得解.
【解析】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点拨】根据幂的乘方性质:幂的乘方,底数不变,指数相乘,逐一计算即可.
2.计算：
(1) (103)3 ; (2) (x3)4 · x2 ;
(3) [(－x)2 ]3 ; (4) x·x4 – x2 · x3 .
【答案】(1)109；(2)x14;（3）x6;（4）0
【分析】运用同底数幂的乘方法则计算即可得解.
【解析】解：（1）原式=103×3=109；
（2）原式=x12· x2=x14;
原式=(x2)3=x6;
原式=x5–x5=0.
【点拨】本题考查的知识点是幂的乘方，解题的关键是熟练的掌握幂的乘方法则.
知识点02 逆用幂的乘方
典例1：若，则m的值是______．
【答案】 4
【分析】利用（m，n为正整数）即可解题。
【解析】解：∵
∴
解得
【点拨】本题主要考查幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的幂的运算的逆应用是解题的关键。
典例2：已知，，求的值．
【答案】 200
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的逆运算进行解题。
【解析】解：∵，
∴
【点拨】本题主要考查幂的乘方与积的乘方的逆运算，熟练掌握幂的幂的运算的逆应用是解题的关键。
巩固练习
1.已知，求的值______．
【答案】
【分析】利用的积的乘方的逆运算进行解题。
【详解】解：∵
∴
【点拨】本题主要考查积的乘方的逆运算，熟练掌握幂的幂的运算的逆应用是解题的关键。
2.已知，，求的值．
【答案】 72
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的逆运算进行解题。
【详解】解：∵，
∴
【点拨】本题主要考查幂的乘方与积的乘方的逆运算，熟练掌握幂的幂的运算的逆应用是解题的关键。
知识点04 积的乘方法则
典例1：计算：-b2•（-b）2（-b3）= ______ ．
【答案】b7
【解析】
【分析】根据积的乘方和同底数幂相乘的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：-b2·(-b) 2 (-b3)
=b2·b2·b3
=b2+2+3
= b7
故答案为：b7
【点睛】本题主要考查了积的乘和同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
巩固练习
1. 计算：_______，________．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】先根据积的乘方进行计算，再求出即可．
【详解】
故答案为-8；1
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能灵活运用积的乘方进行计算是解此题的关键．
知识点05 逆用积的乘方法则
典例1：计算：32022×（-）1011=______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案．
【详解】原式=91011×(−)1011=[9×(−)]1011=−1，
故答案为−1.
【点睛】此题考查了积的乘方的逆用，掌握其运算法则是解答此题的关键.
巩固练习
1．若，则的值为______．
【答案】
【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案．
【详解】：∵，，且，
∴，，即，，
∴．
【点拨】此题考查了积的乘方的逆用，掌握其运算法则是解答此题的关键.
能力提升
选择题
1．计算a3•（﹣a2）的结果是（ ）
A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5
【答案】D
【分析】
利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
【详解】
解：a3•（﹣a2）
＝﹣a3+2
＝﹣a5．
故选：D．
2.若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【答案】B
【分析】
根据幂的乘方的性质，得，，，从而完成求解．
【详解】
，，
∵
∴
∴，即b＞a＞c
故选：B．
【点拨】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方计算即可；
【详解】
不能合并，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选C．
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，准确计算是解题的关键．
4.已知，m，n均为正整数，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得出结果．
【详解】
解：∵
∴
故选C
【点拨】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
填空题
5.若，则_______．
【答案】256
【分析】
此题根据同地幂的运算法则先将化为以“2”为底的幂进行计算即可．
【详解】
解：∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴，
故答案：256．
【点拨】此题考查幂的运算，涉及到同底幂的乘法和幂的乘方，难度一般，认真计算即可．
6.若，，则_________．
【答案】±6
【分析】
先利用幂的乘方公式的逆运算，求出an=±2，bn=±3，再利用积的乘方公式，求解即可．
【详解】
∵，，
∴，，
∴an=±2，bn=±3，
∴=±6，
故答案是：±6
【点拨】本题主要考查幂的乘方公式和积的乘方公式，熟练掌握上述公式，是解题的关键．
7.若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），则a的值为 1或3或5 ．
【答案】1或3或5
【分析】根据幂的运算法则进行解答便可．
【详解】
解：∵[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），
∴（a﹣2）6＝（a﹣2）a+1，
∴a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝6，
∴a＝3或a＝1或a＝5，
故答案为：1或3或5．
8.若 + =0，则 a2023b2023= ________．
【答案】-1
【分析】
根据绝对值的性质求出a，b的值，再进行积的乘方运算即可．
【详解】
解：∵ + =0，
∴，
∴
∴a2023b2023=(−2)2023(12)2023=(−2×12)2023=(−1)2023=−1
故答案为：-1
【点拨】本题主要考查了积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
三、解答题
9．计算：
（1）23×22+2×24；
（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；
（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．
【分析】（1）（2）根据同底数幂的乘法法则计算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【解答】解：（1）原式＝25+25
＝2×25
＝26
＝64；
（2）原式＝x8﹣x8+x8+x8
＝2x8；
（3）原式＝﹣x9•x5•（﹣x5）•（﹣x3）
＝﹣x9•x5•x5•x3
＝﹣x22．
10．计算：
（1）（﹣a）2•a3；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）；
（3）﹣a2•a4+（a2）3．
【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题；
（2）根据同底数幂的乘法和合并同类项即可解答本题；
（3）根据幂的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣a）2•a3
＝a2•a3
＝a5；
（2）xn•xn+1+x2n•x（n是正整数）
＝x2n+1+x2n+1
＝2x2n+1；
（3）﹣a2•a4+（a2）3
＝﹣a6+a6
＝0．
11. 已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，求a+b的值．
【答案】3
【解析】
【分析】根据27b=9×3a+3，16=4×22b-2，可以求得a、b的值，从而可以求得a+b的值．
【详解】解：∵27b=9×3a+3，16=4×22b-2，
∴（33）b=32×3a+3，24=22×22b-2，
∴33b=3a+5，24=22b，
，
解得，，
∴a+b=1+2=3．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
12. 已知n为正整数，且x2n=2，求（2x3n）2+（﹣x2n）3的值．
【答案】24
【解析】
【详解】整体分析：
逆用积的乘方运算，把(2x3n)2+(﹣x2n)3用x2n表示后，再代入求值.
解：(2x3n)2+(﹣x2n)3
=4x6n﹣x6n
=3(x2n)3
=3×23
=24
13. 若(且，、是正整数)，则.你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？试试看，相信你一定行！
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】（1）2；（2）2
【解析】
【分析】（1）根据am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，对方程变形可得答案；
（2）根据am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，对方程变形可得答案．
【详解】解：（1）原方程等价于2x+1=23，
∴x+1=3，
解得x=2；
（2）原方程等价于34x=38，
∴4x=8，
解得x=2．
【点睛】此题考查了同底数幂乘法与幂的乘方，利用相关运算法则化成底数相同的幂是解题关键．
14. 阅读材料，根据材料回答：
例如1：
.
例如2：
8×0.125＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)
＝(8×0.125)6 ＝1.
（1）仿照上面材料的计算方法计算：；
（2）由上面的计算可总结出一个规律：(用字母表示) ；
（3）用（2）的规律计算：.
【答案】(1)1；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；
（2）根据题意找到规律即可；
（3）逆用积的乘方法则计算即可求解．
【详解】解：（1）=
=
=
=
=.
（2）根据题意可得：
（3）
=
=
=
==.
【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方的知识点．