第27节 指对共生式技巧之分离双函数 讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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当要证明的不等式中既含有，又含有时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数（单个函数）进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧.这一小节主要针对分离双函数的技巧，具体方法是将要证明的不等式进行等价变形，将与分离到不等号的两端，再分别研究两侧函数的最值，解决不等式证明问题．常见的模型是如下图所示的水平分界模型，即将要证明的不等式转化为只需证，通过论证得出且两函数不在同一位置取得最值，从而得出，证得原不等式．一般我们将称为上函数，称为下函数.在两个函数的选取上，上函数一般选取、、这些有唯一极小值点的函数，下函数则选取、、等有唯一极大值点的函数.
典型例题
【例题】（2014·新课标Ⅰ卷）函数，曲线在处的切线为.
（1）求a、b的值；
（2）证明：.
强化训练
1.设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：.
2．已知函数，
（1）求函数的极值；
（2）求证：当时，.
3.（2012·山东）已知函数（k为常数，e是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行.
（1）求k的值；
（2）求的单调区间；
（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，.