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第22节 双变量问题之换元法与主元法 讲义——高考数学一轮复习导数从入门到精通
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这是一份第22节 双变量问题之换元法与主元法 讲义——高考数学一轮复习导数从入门到精通，文件包含导数从入门到精通---第二十二节双变量问题之换元法与主元法-原卷版docx、导数从入门到精通---第二十二节双变量问题之换元法与主元法-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
1．换元法：将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于的整体结构，通过将换元成t把问题化归成单变量问题来处理，这一方法也称为“齐次换元”.
2.主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有和两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个变量看成次元，将主元换成x，构造函数研究问题.
典型例题
【例1】已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：.
解：（1）由题意，，所以，，故所求切线方程为.
（2）证法1：要证，
只需证，
即证，也即证，
故只需证，即证，
令，由知，所以只需证对任意的成立，
设，则，所以在上单调递减，
又，所以恒成立，故对任意的成立，
从而
证法2：要证，
只需证，
即证，
设，则，
所以在上单调递减，结合知恒成立，
因为，所以，
故.
【例2】已知函数.
（1）若存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）若，是的两个不同的极值点，证明：.
【解析】（1）由题意，，，若在上单调递减，则恒成立，即，所以，设，则，
所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，因为恒成立，所以，故当在上单调递减时，，因为存在单调递增区间，所以，故a的取值范围为.
（2）由题意，，是的两个零点，所以
由3×①+②可得：，
整理得：③，
由①－②可得：，所以，
代入式③得：，所以④，
设，则且，且式④即为，
所以要证，只需证，即证⑤，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，所以，故，
当时，，即，所以，故，
所以不等式⑤对任意的且都成立，故成立.
【例3】已知函数
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：.
【解析】（1）当时，，
易求得，设，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，故；当时，，故；从而在上单调递增，在上单调递减.
（2）证法1：由题意，，
设，则，所以在上单调递减，
因为，所以，又，所以在上有唯一的零点，且当时，，所以；当时，，所以；
从而在上单调递增，在上单调递减，故①，因为，所以，代入①整理得：，注意到函数在上为减函数，结合可得，设，，则，所以在上单调递减，
又，所以，从而，
因为，所以，结合是的最大值可得.
证法2：由题意，要证，只需证，
即证，也即证①，
将a看成主元，x看成常数，设，则，
当时，，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，
故.
设，则，所以在上单调递增，又，
所以恒成立，即，
因为，所以，即，所以不等式①成立；当时，，所以恒成立，故在上单调递减，从而，
由（1）可得当时，，
又，所以，即，所以不等式①成立；
综上所述，当时，成立.
【反思】本题第2问证法1直接对求导研究，求得的最大值，利用虚设零点，零点代换的方法去化简，再通过放缩证得；证法2则先将a看成主元，x看成次元，对x进行分类讨论证得不等式.
强化训练
1．设a和b是任意两个不相等的正数，证明：.
证明：不妨设，先证，只需证，即证，
令，则只需证对任意的成立，
设，则，所以在上单调递减，结合可得，即，所以成立；
再证，只需证，即证，也即证，令，则只需证对任意的成立，
令，则，所以在上单调递减，
结合可得恒成立，即，所以，
综上所述，不等式成立.
2．已知函数，
（1）若直线与的图象相切，求实数k的值；
（2）设，比较与的大小，并说明理由.
【解析】（1）设切点为，因为，所以，解得：.
（2）解法1（换元法）：，证明如下：
要证，只需证，即证，
也即证，故只需证①,
令，则，且不等式①即为，整理得：②，
令，，则，，所以在上单调递增，又，所以，从而在上单调递增，因为，所以，故式②成立，所以
解法2（主元法）：，证明如下：
要证，只需证
因为，所以，故只需证，
即证，令，，则，，所以在上单调递增，又，所以，
从而在上也单调递增，易求得，所以恒成立，
因为，所以，故
3．已知函数，其中.
（1）当时，求的极值；
（2）当，时，证明：.
【解析】（1）由题意，，，
所以当时，，，
由解得：或，由解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故有极大值，极小值.
（2）由题意，，，
要证，只需证，
而，
，
所以只需证，即证①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证，只需证，
即证，令，
则，所以在上单调递增，显然，所以当时，，
因为，所以，即，
故.
证法2：要证，只需证，即证，
令，则，所以只需证当时，，即证，
令，则，
所以在上单调递增，又，所以成立，即，
故
4．设函数，其中.
（1）当时，证明：有且仅有一个零点；
（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，，使得线段中点的横坐标与直线的斜率k之间满足?若存在，求出；若不存在，说明理由.
【解析】（1）当时，，，
所以，
从而在上单调递增，又，所以有且仅有一个零点.
（2）假设存在A、B两点满足，不妨设，
由题意，
，易求得，
所以，
从而等价于，
整理得：，即①，
令，，则式①即为，也即②，
令，则式②即为，也即③，
令，则，所以在上单调递增，又，所以方程③的解为，此时，所以，从而，故，矛盾，所以函数的图象上不存在不同的A、B两点，使得.
1．换元法：将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于的整体结构，通过将换元成t把问题化归成单变量问题来处理，这一方法也称为“齐次换元”.
2.主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有和两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个变量看成次元，将主元换成x，构造函数研究问题.
典型例题
【例1】已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：.
解：（1）由题意，，所以，，故所求切线方程为.
（2）证法1：要证，
只需证，
即证，也即证，
故只需证，即证，
令，由知，所以只需证对任意的成立，
设，则，所以在上单调递减，
又，所以恒成立，故对任意的成立，
从而
证法2：要证，
只需证，
即证，
设，则，
所以在上单调递减，结合知恒成立，
因为，所以，
故.
【例2】已知函数.
（1）若存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）若，是的两个不同的极值点，证明：.
【解析】（1）由题意，，，若在上单调递减，则恒成立，即，所以，设，则，
所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，因为恒成立，所以，故当在上单调递减时，，因为存在单调递增区间，所以，故a的取值范围为.
（2）由题意，，是的两个零点，所以
由3×①+②可得：，
整理得：③，
由①－②可得：，所以，
代入式③得：，所以④，
设，则且，且式④即为，
所以要证，只需证，即证⑤，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，即，所以，故，
当时，，即，所以，故，
所以不等式⑤对任意的且都成立，故成立.
【例3】已知函数
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：.
【解析】（1）当时，，
易求得，设，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，故；当时，，故；从而在上单调递增，在上单调递减.
（2）证法1：由题意，，
设，则，所以在上单调递减，
因为，所以，又，所以在上有唯一的零点，且当时，，所以；当时，，所以；
从而在上单调递增，在上单调递减，故①，因为，所以，代入①整理得：，注意到函数在上为减函数，结合可得，设，，则，所以在上单调递减，
又，所以，从而，
因为，所以，结合是的最大值可得.
证法2：由题意，要证，只需证，
即证，也即证①，
将a看成主元，x看成常数，设，则，
当时，，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，
故.
设，则，所以在上单调递增，又，
所以恒成立，即，
因为，所以，即，所以不等式①成立；当时，，所以恒成立，故在上单调递减，从而，
由（1）可得当时，，
又，所以，即，所以不等式①成立；
综上所述，当时，成立.
【反思】本题第2问证法1直接对求导研究，求得的最大值，利用虚设零点，零点代换的方法去化简，再通过放缩证得；证法2则先将a看成主元，x看成次元，对x进行分类讨论证得不等式.
强化训练
1．设a和b是任意两个不相等的正数，证明：.
证明：不妨设，先证，只需证，即证，
令，则只需证对任意的成立，
设，则，所以在上单调递减，结合可得，即，所以成立；
再证，只需证，即证，也即证，令，则只需证对任意的成立，
令，则，所以在上单调递减，
结合可得恒成立，即，所以，
综上所述，不等式成立.
2．已知函数，
（1）若直线与的图象相切，求实数k的值；
（2）设，比较与的大小，并说明理由.
【解析】（1）设切点为，因为，所以，解得：.
（2）解法1（换元法）：，证明如下：
要证，只需证，即证，
也即证，故只需证①,
令，则，且不等式①即为，整理得：②，
令，，则，，所以在上单调递增，又，所以，从而在上单调递增，因为，所以，故式②成立，所以
解法2（主元法）：，证明如下：
要证，只需证
因为，所以，故只需证，
即证，令，，则，，所以在上单调递增，又，所以，
从而在上也单调递增，易求得，所以恒成立，
因为，所以，故
3．已知函数，其中.
（1）当时，求的极值；
（2）当，时，证明：.
【解析】（1）由题意，，，
所以当时，，，
由解得：或，由解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故有极大值，极小值.
（2）由题意，，，
要证，只需证，
而，
，
所以只需证，即证①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证，只需证，
即证，令，
则，所以在上单调递增，显然，所以当时，，
因为，所以，即，
故.
证法2：要证，只需证，即证，
令，则，所以只需证当时，，即证，
令，则，
所以在上单调递增，又，所以成立，即，
故
4．设函数，其中.
（1）当时，证明：有且仅有一个零点；
（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，，使得线段中点的横坐标与直线的斜率k之间满足?若存在，求出；若不存在，说明理由.
【解析】（1）当时，，，
所以，
从而在上单调递增，又，所以有且仅有一个零点.
（2）假设存在A、B两点满足，不妨设，
由题意，
，易求得，
所以，
从而等价于，
整理得：，即①，
令，，则式①即为，也即②，
令，则式②即为，也即③，
令，则，所以在上单调递增，又，所以方程③的解为，此时，所以，从而，故，矛盾，所以函数的图象上不存在不同的A、B两点，使得.
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