第24节 双变量问题之比值代换 讲义——高考数学一轮复习导数从入门到精通

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通过前面“换元法和主元法”的学习，相信大家已经感受到了“齐次换元”的妙用，但某些情况下，直接凑出这种结构较为困难，此时可以先设，从而得出，代入有关条件中消去，再通过变形化为关于t的不等式加以证明，这种处理问题的方法叫做“比值代换”.
典型例题
【例1】已知函数
（1）求的最小值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，证明：.
【解析】（1）由题意，，，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故.
（2）证法1：设，，
则，因为当时，，所以，故，从而在上单调递减，又，所以，即，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以，从而，故，又，所以，因为，，且在上单调递增，所以，故，
所以.
证法2：由（1）可得，因为和是方程的实根，所以，两式作差得：，故①，
设，则，且，代入式①可得，所以，故，所以要证，只需证，即证，也即证，设，，
则，
所以在上单调递增，又，所以恒成立，
从而，故，所以成立
【反思】本题第2问是结构不良的极值点偏移问题，可以先构造对称差函数证得，再来一步放缩即可证得；也可以直接利用比值代换，转化为关于t的不等式来证，这是结构不良的偏移类问题的常用处理方法.
【例2】已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，是函数的两个不同的零点，证明：.
【解析】（1）若，则，所以，
当时，，，所以，当时，，，所以，从而在上单调递减，在上单调递增.
（2）证法1：由题意，，所以，
从而，故，同理，，
不妨假设，设，则，且，
由两式作差得：，所以，
从而，，故，
所以要证，只需证，即证，也即证，
设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即，故成立，
另一方面，要证，只需证，
即证，也即证，故只需证，
所以只需证，即证，也即证，故只需证，
设，则，
所以在上单调递减，又，所以，即，从而，故成立，所以.
证法2：由题意，，所以，从而，故，同理，，所以，故，
一方面，由对数平均不等式，，所以，
另一方面，要证，只需证，
即证，也即证，故只需证，
由对数平均不等式，，所以，故成立，
综上所述，不等式成立.
强化训练
1.已知函数
（1）证明：曲线在点处的切线l恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
【解析】（1）由题意，，所以，
又，所以曲线在点处切线l的方程为，
整理得：，所以直线l过定点.
（2）由题意，，所以
设，因为，所以，且，
代入②可得：，所以③，
又由①可得，所以，
代入③可得：，所以，
故，
从而，
设，则，设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，故，从而在上单调递增，因为，所以，从而，故，所以.
2．已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）若函数存在两个零点，，证明：.
【解析】由题意，，，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故.
（2）由题意，，所以，故①，设，因为，所以，且，
代入式①可得，从而，故，
要证，只需证，即证，也即证②，
设，则，，且不等式②即为，也即，
设，
则，
所以在上单调递减，又，所以，即，故.