人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程疑难规律方法 Word版含答案

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1　直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．1．根据倾斜角求斜率例1　如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率．分析　由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tan θ.解　∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°.∴∠DBx＝180°－∠DBA＝120°.∴kAC＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，kBD＝tan 120°＝－eq \r(3).评注　本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．2．利用两点斜率公式例2　直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.分析　由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率．解　设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x－4，y＋3)．∵Q点也在直线l上，∴k＝eq \f(y＋3－y,x－4－x)＝－eq \f(3,4).评注　①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x，y)沿x轴正方向平移a个单位，再沿y轴正方向移动b个单位，坐标由(x，y)变为(x＋a，y＋b)．②直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＝x2，y1≠y2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在．3．利用待定系数法例3　如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率．分析　本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线l的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果．解　设直线l的方程为y＝kx＋b.把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y－1＝k(x＋3)＋b，即y＝kx＋3k＋b＋1.由条件，知y＝kx＋3k＋b＋1与y＝kx＋b为同一条直线的方程．比较系数，得b＝3k＋b＋1，解得k＝－eq \f(1,3).评注　本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．2　直线方程中的“缺陷”1．斜截式中斜率“缺陷”例1　已知直线方程为3x＋my－6＝0，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距．错解　由3x＋my－6＝0，得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－eq \f(3,m)x＋eq \f(6,m)，得出此直线的斜率为－eq \f(3,m)，在y轴上的截距为eq \f(6,m).剖析　忘记讨论当m＝0时，直线的斜率并不存在．正解　当m＝0时，直线可化为x＝2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在；当m≠0时，可得my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为y＝－eq \f(3,m)x＋eq \f(6,m)，得出此直线的斜率为－eq \f(3,m)，在y轴上的截距为eq \f(6,m).评注　在直线的斜截式方程y＝kx＋b中，非常直观地表示了该直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.研究直线的斜率与在y轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理．但要注意当y的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论．2．两点式中分式“缺陷”例2　已知直线l过点A(1,2)，B(a,3)，求直线l的方程．错解　由两点式，得直线l的方程为eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,a－1).剖析　忽视了a＝1，即直线与x轴垂直的情况，若a＝1，则eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,a－1)不成立．正解　当a＝1时，直线l的方程为x＝1；当a≠1时，直线l的方程为eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,a－1).综上所述，直线l的方程为x＝1或x－(a－1)(y－2)－1＝0.评注　一般地，过P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点的直线方程，不能写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，而应写成(x2－x1)(y－y1)－(y2－y1)(x－x1)＝0.3．截距式中截距“缺陷”例3　求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程．错解　设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1.因为直线过点(2,4)，所以eq \f(2,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－2.故所求的直线方程为eq \f(x,－2)＋eq \f(y,2)＝1，即x－y＋2＝0.剖析　直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解．正解　当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k＝2，直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.故所求的直线方程为2x－y＝0或x－y＋2＝0.评注　事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m(m>0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况．4．一般式中系数“缺陷”例4　如果直线(m－1)x＋(m2－4m＋3)y－(m－1)＝0的斜率不存在，求m的值．错解　因为直线的斜率不存在，所以m2－4m＋3＝0.解得m＝3或m＝1.所以当m＝3或m＝1时，直线的斜率不存在．剖析　由于方程Ax＋By＋C＝0表示直线，本身隐含着(A，B不同时为0)这一条件．当m＝1时，方程(m－1)x＋(m2－4m＋3)y－(m－1)＝0即为0·x＋0·y－0＝0，它不表示直线，应舍去．正解　因为直线的斜率不存在，所以m2－4m＋3＝0，且m－1≠0，解得m＝3.所以当m＝3时，直线的斜率不存在．评注　方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线.3　对称问题中学数学涉及对称问题有两大类：一类是中心对称，另一类是轴对称．本章中与对称有关的问题分为以下四种类型．1．点关于点对称点P(a，b)关于点M(x0，y0)的对称点为P′(2x0－a,2y0－b)．事实上点关于点对称的本质是中点问题，由中点坐标公式即可求得对称点的坐标．2．直线关于点对称直线l：Ax＋By＋C＝0关于点M(x0，y0)的对称直线l′的方程是A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.事实上，设对称直线l′上任一点为P(x，y)，则P关于点M(x0，y0)的对称点为P(2x0－x,2y0－y)，而点P在直线l上，故将P的坐标(2x0－x,2y0－y)代入Ax＋By＋C＝0得A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.3．点关于直线对称求点P(a，b)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点P′(a′，b′)，要抓住其两个几何特征：①PP′⊥l；②PP′的中点在l上，即由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b′－b,a′－a)·－\f(A,B)＝－1，,A·\f(a＋a′,2)＋B·\f(b＋b′,2)＋C＝0，))解出a′，b′.但较特殊的对称情况可直接写出结果：①P(a，b)关于x轴的对称点P′(a，－b)；②P(a，b)关于y轴的对称点P′(－a，b)；③P(a，b)关于直线x＝x0的对称点P′(2x0－a，b)；④P(a，b)关于直线y＝y0的对称点P′(a,2y0－b)；⑤P(a，b)关于直线x＋y＋c＝0的对称点P′(－b－c，－a－c)；⑥P(a，b)关于直线x－y＋c＝0的对称点P′(b－c，a＋c)．4．直线关于直线对称求直线l1关于直线l对称的直线l2的方程可以按以下方法求解：①在l1上任取相异两点P1，P2，求出P1，P2关于直线l的对称点P′1，P′2，再由P′1，P′2的坐标写出直线l2的方程．②任取l2上一点P(x，y)，用x，y表示出点P关于直线l的对称点P′的坐标(x′，y′)，再将(x′，y′)代入直线l1的方程整理可得l2的方程．特别地，若l1∥l，l2还有其他求法(请自己思考)．例1　求直线3x－4y＋5＝0关于点M(2，－3)对称的直线的方程．解　方法一　由对称的直线l与3x－4y＋5＝0平行，故设直线方程为3x－4y＋m＝0，而M到两直线的距离相等，则eq \f(|3×2－4×－3＋m|,\r(32＋42))＝eq \f(|3×2－4×－3＋5|,\r(32＋42))，解得m＝－41，m＝5(舍去)．所以直线l的方程为3x－4y－41＝0.方法二　由方程3x－4y＋5＝0，取该直线上两点A(0，eq \f(5,4))，B(－eq \f(5,3)，0)，它们关于点M(2，－3)的对称点为A′(4，－eq \f(29,4))，B′(eq \f(17,3)，－6)．过A′，B′的直线即为l：3x－4y－41＝0.方法三　设所求直线l上任意一点为P(x，y)，则P关于点(2，－3)的对称点为P′(4－x，－6－y)，将P′坐标代入3x－4y＋5＝0，得3(4－x)－4(－6－y)＋5＝0，即3x－4y－41＝0，这就是所求直线l的方程．评注　通过三种解法的比较，这类问题采用方法三的解法更简捷．例2　已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．解　方法一　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0，,3x＋4y－1＝0))得l1与l的交点P(3，－2)．又取l1上一点A(2,0)，设A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0－0,x0－2)＝\f(4,3)，,3·\f(2＋x0,2)＋4·\f(0＋y0,2)－1＝0，))解得B(eq \f(4,5)，－eq \f(8,5))．显然P(3，－2)、B(eq \f(4,5)，－eq \f(8,5))都在l2上，由此可得l2的方程为2x＋11y＋16＝0.方法二　设直线l2上任一动点为M(x，y)，它关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0－y,x0－x)＝\f(4,3)，,3·\f(x0＋x,2)＋4·\f(y0＋y,2)－1＝0，))解得x0＝eq \f(7x－24y＋6,25)，y0＝eq \f(－24x－7y＋8,25).由M′(x0，y0)在直线l1上，故2·eq \f(7x－24y＋6,25)＋eq \f(－24x－7y＋8,25)－4＝0，化简为2x＋11y＋16＝0，这就是直线l2的方程．评注　本题也可在直线l1上任取两点，求出它们关于直线l：3x＋4y－1＝0的对称点，从而得出l2的方程．例3　已知△ABC的顶点A(3，－1)，∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，求BC边所在的直线方程．解　如图，设点A关于直线BO，CD的对称点分别为A1，A2.因为A(3，－1)，且∠B的平分线方程为x＝0，故点A关于直线BO的对称点A1的坐标为(－3，－1)．又因为∠C的平分线CD的方程为y＝x，所以点A关于直线CD的对称点A2的坐标为(－1,3)．而A1(－3，－1)，A2(－1,3)两点都在直线BC上，由此可得直线BC的方程为2x－y＋5＝0.评注　本题的解答抓住了角平分线的性质——对称性(AB，CB两直线关于直线BO对称，AC，BC两直线关于直线CD对称)求解.4　直线系方程的类型及应用在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解．而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率．一、直线系方程的类型1．平行直线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)．2．垂直直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.3．交点直线系：若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P，则过交点P的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线l2)．4．过定点P(a，b)的直线系方程可设为m(x－a)＋(y－b)＝0(m为参数)．二、直线系方程的应用1．平行或垂直的直线系方程的应用例1　已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程．解　正方形的中心G到已知边的距离为d＝eq \f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq \f(6,\r(10)).设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x＋3y＋c＝0，则d＝eq \f(|－1＋c|,\r(10))＝eq \f(6,\r(10))，解得c＝7或c＝－5(舍去)．故所求一边的直线方程为x＋3y＋7＝0.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3x－y＋m＝0.则d＝eq \f(|3×－1＋m|,\r(10))＝eq \f(6,\r(10))，解得m＝9或m＝－3.因此正方形另两边所在的直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.评注　利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可．在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数．2．过交点的直线系方程的应用例2　在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c,0)，设P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确求得OE的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,c)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)－\f(1,a)))y＝0，求直线OF的方程．解　由截距式可得直线AB：eq \f(x,b)＋eq \f(y,a)＝1，直线CP：eq \f(x,c)＋eq \f(y,p)＝1，点F为直线AB与直线CP的交点，故过F点的直线系方程可设为l：eq \f(x,b)＋eq \f(y,a)－1＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,c)＋\f(y,p)－1))＝0.又直线l过原点(0,0)，代入方程得λ＝－1，故所求直线OF的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－\f(1,b)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)－\f(1,a)))y＝0.评注　本例通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程，大题小做，直观简捷．3．过定点的直线系方程的应用例3　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，若直线不过第二象限，求实数a的取值范围．解　直线方程化为(3x－y)a－(x－2y＋1)＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＝0，,x－2y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5)，))即无论a为何实数，直线总过定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))).设直线的斜率为k，直线OP的斜率为kOP.由图象可知，当直线的斜率k满足k≥kOP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限．故由k≥kOP，解得a∈[2，＋∞)．又当a＝2时满足题意，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．评注　过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数．本例通过直线过定点P，运用数形结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出.5　活用两点间的距离公式已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则该两点之间的距离可表示为|AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用．因此应熟练掌握公式并且灵活运用．1．判断三角形的形状例1　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．求证：△ABC是直角三角形．分析　求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证．证明　|AB|＝eq \r(－1－12＋3＋12)＝2eq \r(5)，即|AB|＝2eq \r(5)，∴|AB|2＝20，同理|AC|2＝5，|BC|2＝25.∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形．评注　在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可．2．求点的坐标例2　已知点A(－3,4)，B(2，eq \r(3))，在x轴上找一点P使得|PA|＝|PB|，并求出|PA|的值．分析　由于点P在x轴上，可设P(x,0)，再利用条件|PA|＝|PB|即可解决．解　设P(x,0)，则有|PA|＝eq \r(x＋32＋0－42)＝eq \r(x2＋6x＋25)，|PB|＝eq \r(x－22＋0－\r(3)2)＝eq \r(x2－4x＋7).由|PA|＝|PB|，可得eq \r(x2＋6x＋25)＝eq \r(x2－4x＋7)，解得x＝－eq \f(9,5)，从而得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0))，且|PA|＝eq \f(2\r(109),5).评注　应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法．3．证明三点共线问题例3　已知A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上．分析　要证A，B，C三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明．而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证|AC|＝|AB|＋|BC|即可，要确定|AC|，|AB|，|BC|的长，只需利用两点间的距离公式即可．证明　|AB|＝eq \r(3－12＋3＋12)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，|BC|＝eq \r(4－32＋5－32)＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，|AC|＝eq \r(4－12＋5＋12)＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5).∵|AB|＋|BC|＝3eq \r(5)，|AC|＝3eq \r(5)，∴|AB|＋|BC|＝|AC|，即A，B，C三点共线．评注　在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题．4．证明平面几何问题例4　如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，试用坐标法证明：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.分析　要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算．在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便．证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设M(x，y)，C(x1，y1)，则A(0,0)，B(x1,0)，D(0，y1)，|AM|＝eq \r(x2＋y2)，|BM|＝eq \r(x－x12＋y2)，|CM|＝eq \r(x－x12＋y－y12)，|DM|＝eq \r(x2＋y－y12).∵|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－x1)2＋(y－y1)2，|BM|2＋|DM|2＝x2＋y2＋(x－x1)2＋(y－y1)2，∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.即如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2都成立．评注　用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．