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人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2 Word版含答案
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这是一份人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.2 Word版含答案，共10页。
4.3.2 空间两点间的距离公式学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点 空间两点间的距离公式思考 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案 eq \r(a2＋b2＋c2).梳理 (1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2＋z2).(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).类型一 求空间两点间的距离例1 如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求|MN|的长．解 建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCD，所以MF⊥NF，因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|.又|AN|＝2|CN|，所以NF∥AB，所以|NF|＝|FC|＝eq \f(1,3)|AB|＝eq \f(a,3)，同理|MF|＝eq \f(2,3)|CC′|＝eq \f(2a,3)，因此，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(2a,3)，0))，点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，a，\f(2a,3)))，所以|MN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)－a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2a,3)))2)＝eq \f(\r(5),3)a.反思与感悟 在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝eq \r(1－02＋1－12＋0－22)＝eq \r(5)，|EF|＝eq \r(0－12＋1－02＋2－02)＝eq \r(6).类型二 求空间点的坐标例2 已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为_____．答案 (0,0,6)解析 设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，得eq \r(4－02＋5－02＋6－z2)＝eq \r(－5－02＋0－02＋10－z2)，解得z＝6.∴点P的坐标为(0,0,6)．引申探究 1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？解 与例2的结论一样，P(0,0,6)．2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？解 设P(0，y,0)，由|PA|＝|PB|，得eq \r(4－02＋5－y2＋6－02)＝eq \r(－5－02＋0－y2＋10－02)，解得y＝－eq \f(24,5).∴点P的坐标为(0，－eq \f(24,5)，0)．反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，eq \r(2)，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．解 因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)．因为|PP1|＝2|PP2|，所以eq \r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq \r(x－02＋0－12＋0＋12)，所以x＝±1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．类型三 空间两点间距离公式的应用例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜ eq \r(2))．(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小．解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直．过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.∵|CM|＝|BN|＝a，∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝eq \f(\r(2),2)a，∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)).(1)|MN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a－\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)a－0))2)＝eq \r(a2－\r(2)a＋1)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2)).(2)由(1)得当a＝eq \f(\r(2),2)时，|MN|最短，最短为eq \f(\r(2),2)，这时M、N恰好为AC、BF的中点．反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，eq \f(1,2))．∵Q点在CD上，∴设Q(0,1，z)，z∈[0,1]，∴|PQ|＝eq \r(\f(1,2)－02＋\f(1,2)－12＋\f(1,2)－z2)＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)－z2)，∴当z＝eq \f(1,2)时，|PQ|min＝eq \f(\r(2),2).1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( )A．(1,1,1) B．(1,2,2)C．(2，－3,5) D．(3,0,4)答案 C2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2eq \r(6)，则实数x的值是( )A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2答案 D解析 由空间两点间的距离公式，得eq \r(x－22＋1－32＋2－42)＝2eq \r(6)，解得x＝6或x＝－2.3．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为( )A.eq \r(11) B．2eq \r(11) C．11eq \r(2) D．3eq \r(11)答案 B解析 ∵BC的中点坐标为(4,1，－2)，∴过A点的中线长为eq \r(4－22＋1＋12＋－2－42)＝2eq \r(11).4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )A.eq \r(2)a B.eq \f(\r(2),2)aC．a D.eq \f(1,2)a答案 B解析 ∵A′(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，∴E点坐标为(eq \f(a,2)，eq \f(a,2)，eq \f(a,2))，F点坐标为(a，eq \f(a,2)，0)，∴|EF|＝eq \r(\f(a2,4)＋02＋\f(a2,4))＝eq \f(\r(2),2)a.5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．答案 3eq \r(6)解析 |AB|＝eq \r(2a－12＋－7－a2＋－2＋52)＝eq \r(5a＋12＋54).当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为eq \r(54)＝3eq \r(6).1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．课时作业一、选择题1．点A在z轴上，它到点(2eq \r(2)，eq \r(5)，1)的距离是eq \r(13)，则A点的坐标为( )A．(0,0，－1) B．(0,1,1)C．(0,0,1) D．(0,0,13)答案 C解析 设A(0,0，c)，则eq \r(2\r(2)2＋\r(5)2＋1－c2)＝eq \r(13)，解得c＝1.所以点A的坐标为(0,0,1)．2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为( )A．10 B.eq \r(10) C.eq \r(38) D．38答案 A解析 ∵点B是A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，∴点B的横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，∴B(2，－3，－5)，∴AB的长度是5－(－5)＝10.故选A.3．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.eq \f(\r(6),2) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),3)答案 A解析 如图，不妨设B1点为定点．由题意知，|B1A|＝|B1C|＝|B1D|＝1.|OB1|＝eq \r(|B1D|2＋|OD|2)＝ eq \r(1＋\f(1,2))＝ eq \f(\r(6),2).4．已知△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－eq \f(8,3)，2,3)，则它在yOz平面上的射影图形的面积是( )A．4 B．3 C．2 D．1答案 D解析 △ABC的三个顶点A、B、C在yOz平面上的射影点的坐标分别为(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.5．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形答案 D解析 ∵|AB|＝eq \r(2＋12＋4－02＋3－12)＝eq \r(29)，|AC|＝2eq \r(29)，|BC|＝eq \r(29)，∴|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A，B，C共线，构不成三角形，故选D.6．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )A．19 B．－eq \f(8,7) C.eq \f(8,7) D.eq \f(19,14)答案 C解析 ∵|AB|＝eq \r(x－12＋3－2x2＋3x－32)＝eq \r(14x2－32x＋19)，∴当x＝－eq \f(－32,2×14)＝eq \f(8,7)时，|AB|最小．7．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是( )A.eq \r(37) B.eq \r(47) C.eq \r(33) D.eq \r(57)答案 D解析 点P(1,1,1)关于平面xOy的对称点M的坐标为(1,1，－1)．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是eq \r(3－12＋3－12＋6＋12)＝eq \r(57).二、填空题8．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标为________．答案 (0，－1,0)解析 设点M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．9．已知正方体的六个面中，不在同一平面的两点的坐标分别为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．答案 64解析 |AB|＝eq \r(－1－32＋2＋22＋－1－32)＝4eq \r(3).又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a，则eq \r(3)a＝4eq \r(3)，即a＝4，所以正方体的体积为64.10．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足的关系式为______________．答案 x2＋y2＋z2＝25解析 由空间两点间距离公式可得x2＋y2＋z2＝25.11.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点A(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则三棱锥D－ABC的体积为__________．答案 eq \f(1,4)解析 因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2.所以|BD|＝1，|CD|＝|BC|cos 30°＝eq \r(3)，所以S△BCD＝eq \f(1,2)×|BD|×|CD|＝eq \f(\r(3),2).因为A(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，0)，即点A到BC的距离为eq \f(\r(3),2)，所以三棱锥D－ABC的体积为V＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,4).三、解答题12．在空间直角坐标系Oxyz中，(1)在z轴上求一点P，使得它到点A(4,5,6)与到点B(－7,3,11)的距离相等；(2)已知点M到坐标原点的距离等于2eq \r(3)，且它的坐标分量相等，求该点的坐标．解 (1)设P点坐标为(0,0，c)，因为|PA|＝|PB|，所以eq \r(16＋25＋c－62)＝eq \r(49＋9＋c－112)，所以c＝eq \f(51,5)，所以P点坐标为(0,0，eq \f(51,5))．(2)设M点坐标为(a，a，a)，由eq \r(a2＋a2＋a2)＝2eq \r(3).得a2＝4，所以a＝±2，所以M点坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．13．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求|PQ|.解 以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得B(a，a,0)，D′(0,0，a)，所以P(eq \f(a,2)，eq \f(a,2)，eq \f(a,2))．又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，所以Q(eq \f(a,2)，a，eq \f(a,2))．所以|PQ|＝eq \r(\f(a,2)－\f(a,2)2＋\f(a,2)－a2＋\f(a,2)－\f(a,2)2)＝eq \f(a,2).四、探究与拓展14．对于任意实数x，y，z，则eq \r(x2＋y2＋z2)＋eq \r(x＋12＋y－22＋z－12)的最小值为________．答案 eq \r(6)解析 设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则eq \r(x2＋y2＋z2)＋eq \r(x＋12＋y－22＋z－12)＝|PO|＋|PM|，由于x，y，z是任意实数，即点P是空间中任意一点，则|PO|＋|PM|≥|OM|＝eq \r(1＋4＋1)＝eq \r(6)，即所求的最小值为eq \r(6).15．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)．试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得eq \r(32＋y2＋12)＝eq \r(12＋y2＋32)，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝eq \r(3－02＋0－y2＋1－02)＝eq \r(10＋y2)，|AB|＝eq \r(1－32＋0－02＋－3－12)＝eq \r(20)，所以eq \r(10＋y2)＝eq \r(20)，解得y＝±eq \r(10)，故y轴上存在点M使△MAB是等边三角形，点M的坐标为(0，eq \r(10)，0)或(0，－eq \r(10)，0)．
4.3.2 空间两点间的距离公式学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点 空间两点间的距离公式思考 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案 eq \r(a2＋b2＋c2).梳理 (1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2＋z2).(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).类型一 求空间两点间的距离例1 如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求|MN|的长．解 建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCD，所以MF⊥NF，因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|.又|AN|＝2|CN|，所以NF∥AB，所以|NF|＝|FC|＝eq \f(1,3)|AB|＝eq \f(a,3)，同理|MF|＝eq \f(2,3)|CC′|＝eq \f(2a,3)，因此，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(2a,3)，0))，点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，a，\f(2a,3)))，所以|MN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)－a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2a,3)))2)＝eq \f(\r(5),3)a.反思与感悟 在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝eq \r(1－02＋1－12＋0－22)＝eq \r(5)，|EF|＝eq \r(0－12＋1－02＋2－02)＝eq \r(6).类型二 求空间点的坐标例2 已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为_____．答案 (0,0,6)解析 设P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，得eq \r(4－02＋5－02＋6－z2)＝eq \r(－5－02＋0－02＋10－z2)，解得z＝6.∴点P的坐标为(0,0,6)．引申探究 1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？解 与例2的结论一样，P(0,0,6)．2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？解 设P(0，y,0)，由|PA|＝|PB|，得eq \r(4－02＋5－y2＋6－02)＝eq \r(－5－02＋0－y2＋10－02)，解得y＝－eq \f(24,5).∴点P的坐标为(0，－eq \f(24,5)，0)．反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，eq \r(2)，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．解 因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)．因为|PP1|＝2|PP2|，所以eq \r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq \r(x－02＋0－12＋0＋12)，所以x＝±1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．类型三 空间两点间距离公式的应用例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜ eq \r(2))．(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|的长最小．解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直．过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.∵|CM|＝|BN|＝a，∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝eq \f(\r(2),2)a，∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)).(1)|MN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a－\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)a－0))2)＝eq \r(a2－\r(2)a＋1)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2)).(2)由(1)得当a＝eq \f(\r(2),2)时，|MN|最短，最短为eq \f(\r(2),2)，这时M、N恰好为AC、BF的中点．反思与感悟 距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，eq \f(1,2))．∵Q点在CD上，∴设Q(0,1，z)，z∈[0,1]，∴|PQ|＝eq \r(\f(1,2)－02＋\f(1,2)－12＋\f(1,2)－z2)＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)－z2)，∴当z＝eq \f(1,2)时，|PQ|min＝eq \f(\r(2),2).1．坐标原点到下列各点距离最大的点是( )A．(1,1,1) B．(1,2,2)C．(2，－3,5) D．(3,0,4)答案 C2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2eq \r(6)，则实数x的值是( )A．－3或4 B．6或2C．3或－4 D．6或－2答案 D解析 由空间两点间的距离公式，得eq \r(x－22＋1－32＋2－42)＝2eq \r(6)，解得x＝6或x＝－2.3．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为( )A.eq \r(11) B．2eq \r(11) C．11eq \r(2) D．3eq \r(11)答案 B解析 ∵BC的中点坐标为(4,1，－2)，∴过A点的中线长为eq \r(4－22＋1＋12＋－2－42)＝2eq \r(11).4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )A.eq \r(2)a B.eq \f(\r(2),2)aC．a D.eq \f(1,2)a答案 B解析 ∵A′(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，∴E点坐标为(eq \f(a,2)，eq \f(a,2)，eq \f(a,2))，F点坐标为(a，eq \f(a,2)，0)，∴|EF|＝eq \r(\f(a2,4)＋02＋\f(a2,4))＝eq \f(\r(2),2)a.5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．答案 3eq \r(6)解析 |AB|＝eq \r(2a－12＋－7－a2＋－2＋52)＝eq \r(5a＋12＋54).当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为eq \r(54)＝3eq \r(6).1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．课时作业一、选择题1．点A在z轴上，它到点(2eq \r(2)，eq \r(5)，1)的距离是eq \r(13)，则A点的坐标为( )A．(0,0，－1) B．(0,1,1)C．(0,0,1) D．(0,0,13)答案 C解析 设A(0,0，c)，则eq \r(2\r(2)2＋\r(5)2＋1－c2)＝eq \r(13)，解得c＝1.所以点A的坐标为(0,0,1)．2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为( )A．10 B.eq \r(10) C.eq \r(38) D．38答案 A解析 ∵点B是A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，∴点B的横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，∴B(2，－3，－5)，∴AB的长度是5－(－5)＝10.故选A.3．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.eq \f(\r(6),2) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),3)答案 A解析 如图，不妨设B1点为定点．由题意知，|B1A|＝|B1C|＝|B1D|＝1.|OB1|＝eq \r(|B1D|2＋|OD|2)＝ eq \r(1＋\f(1,2))＝ eq \f(\r(6),2).4．已知△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－eq \f(8,3)，2,3)，则它在yOz平面上的射影图形的面积是( )A．4 B．3 C．2 D．1答案 D解析 △ABC的三个顶点A、B、C在yOz平面上的射影点的坐标分别为(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.5．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形答案 D解析 ∵|AB|＝eq \r(2＋12＋4－02＋3－12)＝eq \r(29)，|AC|＝2eq \r(29)，|BC|＝eq \r(29)，∴|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A，B，C共线，构不成三角形，故选D.6．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )A．19 B．－eq \f(8,7) C.eq \f(8,7) D.eq \f(19,14)答案 C解析 ∵|AB|＝eq \r(x－12＋3－2x2＋3x－32)＝eq \r(14x2－32x＋19)，∴当x＝－eq \f(－32,2×14)＝eq \f(8,7)时，|AB|最小．7．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是( )A.eq \r(37) B.eq \r(47) C.eq \r(33) D.eq \r(57)答案 D解析 点P(1,1,1)关于平面xOy的对称点M的坐标为(1,1，－1)．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是eq \r(3－12＋3－12＋6＋12)＝eq \r(57).二、填空题8．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标为________．答案 (0，－1,0)解析 设点M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．9．已知正方体的六个面中，不在同一平面的两点的坐标分别为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．答案 64解析 |AB|＝eq \r(－1－32＋2＋22＋－1－32)＝4eq \r(3).又因为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)不在同一平面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长．设正方体的边长为a，则eq \r(3)a＝4eq \r(3)，即a＝4，所以正方体的体积为64.10．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足的关系式为______________．答案 x2＋y2＋z2＝25解析 由空间两点间距离公式可得x2＋y2＋z2＝25.11.如图，在空间直角坐标系中，|BC|＝2，原点O是BC的中点，点A(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则三棱锥D－ABC的体积为__________．答案 eq \f(1,4)解析 因为∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，|BC|＝2.所以|BD|＝1，|CD|＝|BC|cos 30°＝eq \r(3)，所以S△BCD＝eq \f(1,2)×|BD|×|CD|＝eq \f(\r(3),2).因为A(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，0)，即点A到BC的距离为eq \f(\r(3),2)，所以三棱锥D－ABC的体积为V＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,4).三、解答题12．在空间直角坐标系Oxyz中，(1)在z轴上求一点P，使得它到点A(4,5,6)与到点B(－7,3,11)的距离相等；(2)已知点M到坐标原点的距离等于2eq \r(3)，且它的坐标分量相等，求该点的坐标．解 (1)设P点坐标为(0,0，c)，因为|PA|＝|PB|，所以eq \r(16＋25＋c－62)＝eq \r(49＋9＋c－112)，所以c＝eq \f(51,5)，所以P点坐标为(0,0，eq \f(51,5))．(2)设M点坐标为(a，a，a)，由eq \r(a2＋a2＋a2)＝2eq \r(3).得a2＝4，所以a＝±2，所以M点坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．13．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求|PQ|.解 以D为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得B(a，a,0)，D′(0,0，a)，所以P(eq \f(a,2)，eq \f(a,2)，eq \f(a,2))．又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，所以Q(eq \f(a,2)，a，eq \f(a,2))．所以|PQ|＝eq \r(\f(a,2)－\f(a,2)2＋\f(a,2)－a2＋\f(a,2)－\f(a,2)2)＝eq \f(a,2).四、探究与拓展14．对于任意实数x，y，z，则eq \r(x2＋y2＋z2)＋eq \r(x＋12＋y－22＋z－12)的最小值为________．答案 eq \r(6)解析 设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则eq \r(x2＋y2＋z2)＋eq \r(x＋12＋y－22＋z－12)＝|PO|＋|PM|，由于x，y，z是任意实数，即点P是空间中任意一点，则|PO|＋|PM|≥|OM|＝eq \r(1＋4＋1)＝eq \r(6)，即所求的最小值为eq \r(6).15．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)．试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得eq \r(32＋y2＋12)＝eq \r(12＋y2＋32)，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝eq \r(3－02＋0－y2＋1－02)＝eq \r(10＋y2)，|AB|＝eq \r(1－32＋0－02＋－3－12)＝eq \r(20)，所以eq \r(10＋y2)＝eq \r(20)，解得y＝±eq \r(10)，故y轴上存在点M使△MAB是等边三角形，点M的坐标为(0，eq \r(10)，0)或(0，－eq \r(10)，0)．
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