人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程章末复习课 Word版含答案

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学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2r→相离；d＝r→相切；d0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2eq \r(r2－d2).解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．跟踪训练2　已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4eq \r(3)，求l的方程；(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．解　(1)如图所示，|AB|＝4eq \r(3)，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝2eq \r(3)，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离为eq \f(|－2k－6＋5|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq \f(3,4)，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，所以kCD·kPD＝－1，即eq \f(y－6,x＋2)·eq \f(y－5,x)＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.类型三　圆与圆的位置关系例3　已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1、P2两点，若点A到直线P1P2的距离为eq \r(5)，求这个圆的方程．解　设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0.由已知得eq \f(|2＋2×1＋r2－5|,\r(5))＝eq \r(5)，解得r2＝6.故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝6.反思与感悟　(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3　已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．答案　(－2，－1)解析　两圆的圆心坐标分别为O1(－1,1)和O2(2，－2)，由平面几何知，直线O1O2垂直平分线段PQ，则＝kPQ·eq \f(1－－2,－1－2)＝－1，∴kPQ＝1.∴直线PQ的方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.由点P(1,2)在圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2上，可得r＝eq \r(5)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋12＋y－12＝5，,y＝x＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1.))∴Q(－2，－1)．类型四　数形结合思想的应用例4　曲线y＝1＋eq \r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)A．(0，eq \f(5,12)) B．(eq \f(5,12)，＋∞)C．(eq \f(1,3)，eq \f(3,4)] D．(eq \f(5,12)，eq \f(3,4)]答案　D解析　首先明确曲线y＝1＋eq \r(4－x2)表示半圆，由数形结合可得eq \f(5,12)＜k≤eq \f(3,4).反思与感悟　数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．跟踪训练4　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则eq \f(y,x)的最大值为________，最小值为________．答案　eq \r(3)　－eq \r(3)解析　如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以eq \r(3)为半径的圆．设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，则当圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k2＝3，∴kmax＝eq \r(3)，kmin＝－eq \r(3).(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝eq \r(3)，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°)1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋eq \f(5,4)a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)A．a＜－2或a＞eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)＜a＜2C．a＞1 D．a＜1答案　D解析　由题意知a2＋4a2－4(eq \f(5,4)a2＋a－1)＞0，解得a＜1.2．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9答案　B3．过点P(－eq \r(3)，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°答案　D解析　设l：y＋1＝k(x＋eq \r(3))，即kx－y＋eq \r(3)k－1＝0，圆心(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|\r(3)k－1|,\r(k2＋1))≤1，解得0≤k≤eq \r(3)，即0≤tan α≤eq \r(3)，∴0°≤α≤60°.4．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为(　　)A．4 B．3 C．2 D．1答案　C解析　两圆的标准方程分别为(x－3)2＋(y＋8)2＝121；(x＋2)2＋(y－4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C1(3，－8)，r1＝11；C2(－2,4)，r2＝8.圆心距为|C1C2|＝eq \r(3＋22＋－8－42)＝13.∵r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交，则公切线共2条．5．已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为eq \f(2\r(10),5)时，求实数m的值．解　(1)因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3,0)．因为直线x－my＋3＝0与圆相切，所以eq \f(|3＋3|,\r(1＋m2))＝2，解得m＝±2eq \r(2).(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝eq \f(|3＋3|,\r(1＋m2)).由2eq \r(4－\f(|3＋3|,\r(1＋m2))2)＝eq \f(2\r(10),5)，得2＋2m2＝20m2－160，即m2＝9.故m＝±3.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．课时作业一、选择题1．已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2答案　B解析　由圆心在x＋y＝0上，可排除C，D.再结合图象，或者验证选项A，B中，圆心到两直线的距离是否等于半径eq \r(2)即可．2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则(　　)A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1C.eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)≤1 D.eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)≥1答案　B解析　若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则eq \f(1,\r(a2＋b2))≤1，即a2＋b2≥1.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是(　　)A．{1，－1}B．{3，－3}C．{1，－1,3，－3}D．{5，－5,3，－3}答案　C解析　∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时，|a|＝1，当两圆外切时，|a|＝3，∴实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}，故选C.4．在空间直角坐标系中，以A(m,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形，其中m∈Z，则m的值为(　　)A．4 B．－4C．－6或4 D．6或4答案　A解析　如果由顶点A(m,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)构成的△ABC是以AB为底边的等腰三角形，则|AC|＝|BC|，∴eq \r(m－22＋1－42＋9－32)＝eq \r(10－22＋－1－42＋6－32)，∴53＝(m－2)2，∵m∈Z，∴方程无解．如果由顶点A(m,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)构成的△ABC是以AC为底边的等腰三角形，则|AB|＝|BC|，∴eq \r(m－102＋1＋12＋9－62)＝eq \r(10－22＋－1－42＋6－32)，∴(m－10)2＝85，∵m∈Z，∴方程无解．如果由顶点A(m,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)构成的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则|AB|＝|AC|，∴eq \r(m－102＋1＋12＋9－62)＝eq \r(m－22＋1－42＋9－32)，∴(m－10)2＝32＋(m－2)2，解得m＝4，故选A.5．已知圆心为(2,0)的圆C与直线y＝x相切，则切点到原点的距离为(　　)A．1 B.eq \r(2) C．2 D.eq \r(3)答案　B解析　如图，设圆心为C，切点为A，圆的半径为r＝eq \f(|2－0|,\r(2))＝eq \r(2)，|OC|＝2，∴切点到原点的距离为eq \r(22－\r(2)2)＝eq \r(2).故选B.6．直线eq \r(3)x＋y－2eq \r(3)＝0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为(　　)A．30° B．45° C．60° D．90°答案　C解析　过O作OC⊥AB，垂足为点C，由圆的方程x2＋y2＝4，得圆心O的坐标为(0,0)，半径为r＝2.∵圆心到直线eq \r(3)x＋y－2eq \r(3)＝0的距离为d＝|OC|＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，∴直线被圆截得的弦长为|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2，∴△AOB为等边三角形，即∠AOB＝60°，∴直线被圆截的劣弧所对的圆心角为60°，故选C.7．已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为(　　)A．2 B．2eq \r(2)C．3 D．2eq \r(3)答案　D解析　由圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0，得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，表示以C(3，－1)为圆心，1为半径的圆．由题意可得直线l：kx＋y－2＝0经过圆C的圆心(3，－1)，故有3k－1－2＝0，得k＝1，则点A(0,1)，即|AC|＝eq \r(0－32＋1＋12)＝eq \r(13)，则|AB|＝eq \r(|AC|2－r2)＝eq \r(\r(13)2－1)＝2eq \r(3)，故选D.二、填空题8．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC1的中点的坐标为________．答案　(1,1，eq \f(1,2))解析　画出图形(图略)即知CC1的中点的坐标为(1,1，eq \f(1,2))．9．若两圆x2＋(y＋1)2＝1和(x＋1)2＋y2＝r2相交，则正数r的取值范围是________．答案　(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)解析　∵两圆x2＋(y＋1)2＝1和(x＋1)2＋y2＝r2相交，圆x2＋(y＋1)2＝1的半径和圆心分别是1，(0，－1)，圆(x＋1)2＋y2＝r2的半径和圆心分别是r，(－1,0)，∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和，即|r－1|＜eq \r(0＋12＋－1－02)＜r＋1，∴r－1＜eq \r(2)＜r＋1，∴r∈(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)，即正数r的取值范围是(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)．10．已知在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的直线l与直线x－y＋1＝0垂直，且l与圆C：x2＋y2＝－2y＋3交于A，B两点，则△OAB的面积为________．答案　1解析　∵直线l的方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.又由圆C：x2＋y2＝－2y＋3，得x2＋(y＋1)2＝4，圆心C(0，－1)到l的距离为d＝eq \f(|－2|,\r(2))＝eq \r(2)，∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－2)＝2eq \r(2)，又原点O到l的距离为eq \f(|－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，∴S△OAB＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×2eq \r(2)＝1.11．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______________．答案　(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8解析　由题意可设圆心C(a，a)，如图，得22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.三、解答题12．已知圆心坐标为(3,4)的圆N被直线x＝1截得的弦长为2eq \r(5).(1)求圆N的方程；(2)若过点D(3,6)的直线l被圆N截得的弦长为4eq \r(2)，求直线l的斜率．解　(1)由题意知，圆心到直线的距离为3－1＝2，∵圆N被直线x＝1截得的弦长为2eq \r(5)，∴圆的半径为r＝eq \r(5＋4)＝3，∴圆N的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9.(2)设直线l的方程为y－6＝k(x－3)，即kx－y－3k＋6＝0，∵圆心(3,4)到直线l的距离为d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，r＝3，弦长为4eq \r(2)，∴4eq \r(2)＝2eq \r(9－d2)，化简得1＋k2＝4，解得k＝±eq \r(3).13．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点．(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．解　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，,x2＋y2－2x＋10y－24＝0))⇒x－2y＋4＝0.∴圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0.(2)由(1)得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中，得y2－2y＝0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即A(－4,0)，B(0,2)．又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M(x，－x)，则|MA|＝|MB|，|MA|2＝|MB|2，即(x＋4)2＋(－x)2＝x2＋(－x－2)2，解得x＝－3.∴圆心M(－3,3)，半径|MA|＝eq \r(10).∴圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.(3)由A(－4,0)，B(0,2)，得AB的中点坐标为(－2,1)，eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)eq \r(－4－02＋0－22)＝eq \r(5).∴经过A、B两点且面积最小的圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.四、探究与拓展14．当曲线y＝1＋eq \r(4－x2)与直线kx－y－2k＋4＝0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是(　　)A．(0，eq \f(5,12)) B．(eq \f(1,3)，eq \f(3,4)]C．(eq \f(5,12)，eq \f(3,4)] D．(eq \f(5,12)，＋∞)答案　C解析　y＝1＋eq \r(4－x2)可化为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)．直线kx－y－2k＋4＝0过定点A(2,4)且斜率为k，故设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(－2,1)，当直线的斜率k大于直线AD的斜率且小于或等于直线AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．当直线与半圆相切时，有eq \f(|－1－2k＋4|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq \f(5,12)，即kAD＝eq \f(5,12).又∵直线AB的斜率kAB＝eq \f(4－1,2＋2)＝eq \f(3,4)，∴直线的斜率k的取值范围为(eq \f(5,12)，eq \f(3,4)]．15．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.(1)求证：直线l与圆C恒相交；(2)当m＝1时，过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围．(1)证明　直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，故l恒过点A(3,2)．∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，即点A在圆C内，∴直线l与圆C恒相交．(2)解　由题易知直线l1的方程为x＝0.又当m＝1时，l：x＋y＝5，∴联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,x＋y＝5，))得交点P(0,5)，∴|PC|＝2eq \r(2)，∴|PQ|∈[2eq \r(2)－2,2eq \r(2)＋2]．位置关系相离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|