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人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第一章 空间几何体复习 疑难规律方法 Word版含答案
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这是一份人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第一章 空间几何体复习 疑难规律方法 Word版含答案，共14页。
1 学习空间几何体要“三会”1．会辨别例1 如图，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？分析 切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．解 图甲这个几何体不是棱柱，这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．评注 要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．2．会折展例2 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析 将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析 将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．答案 北评注 将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．3．会割补例3 如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．分析 (1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形．解 (1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示)．评注 正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2 三视图易错点剖析1．棱锥的视图易出错我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图．实际上，在上述几何体的三视图中，侧视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图．如图，对于正三棱锥P－ABC来说，它的正视图中，从前面向后面看，点B到了点D的位置，点P到了点P′的位置，故正视图为等腰三角形P′AC(包含高线P′D)，从左侧向右侧看，点A到了点D的位置，故侧视图为三角形PBD，从上面向下面看，俯视图中，点P到了点O的位置，故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC)．如图，对于正四棱锥P－ABCD来说，它的正视图和侧视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD)．对于此三视图，侧视图和正视图易出错，但有了高线PO的衬托，便可降低出错率．2．画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示．这一点不能忽视，否则易出错．例1 画出如图所示零件的三视图．错解 如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示．剖析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线．正解 3．不能由三视图还原正确的直观图而出错当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性．例2 如图，通过三视图还原物体的直观图．解 通过三视图可以画出直观图，如图所示：注 其中PC为垂直于底面ABCD的直线．变式训练 由下面的三视图还原物体的直观图．解 通过三视图可以看出直观图如图所示：3 直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化．关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”．“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”．现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略．1．原图形到直观图的转化例1 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.eq \f(\r(3),4)a2 B.eq \f(\r(3),8)a2 C.eq \f(\r(6),8)a2 D.eq \f(\r(6),16)a2分析 先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB所在直线为x轴，以AB边上的高所在直线为y轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解．解析 根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示．易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),4)a.作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq \f(\r(2),2)O′C′＝eq \f(\r(6),8)a.S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.答案 D评注 通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为eq \f(\r(2),4)∶1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位．2．直观图到原图形的转化例2 一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．解 方法一 如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过点D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝eq \r(2).再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋eq \r(2)，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的原平面图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋eq \r(2)，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝eq \f(1,2)AB·(AD＋BC)＝eq \f(1,2)×2×(1＋1＋eq \r(2))＝2＋eq \r(2).方法二 四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，其面积为S′＝eq \f(1＋1＋\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq \f(\r(2)＋1,2).所以原四边形的面积为eq \f(\f(\r(2)＋1,2),\f(\r(2),4))＝eq \r(2)×(eq \r(2)＋1)＝2＋eq \r(2).点评 (1)只由直观图很难发现所求与已知的关系，当根据直观图画出原平面图形时，原平面图形的形状及数量关系很容易发现，体现了数形结合思想的应用．(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是eq \f(S直观图,S原图形)＝eq \f(\r(2),4).4 柱、锥、台的表面积求法精析由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用．1．锥体的表面积例1 正三棱锥的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高．解 如图所示，过S点作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于D点．由正三角形的性质得D为BC的中点，连接SD，则SD为正三棱锥的斜高．在Rt△ASO中，∠ASO＝45°，AO＝eq \f(\r(3),3)×4＝eq \f(4\r(3),3)(cm)，∴SO＝AO＝eq \f(4\r(3),3)(cm)．在Rt△SOD中，OD＝eq \f(\r(3),6)×4＝eq \f(2\r(3),3)(cm)，故SD＝eq \r(SO2＋OD2)＝eq \r(\f(16,3)＋\f(4,3))＝eq \r(\f(20,3))＝eq \f(2\r(15),3)(cm)．令SD＝h′，根据正三棱锥的侧面积公式：S侧＝eq \f(1,2)×3×4×eq \f(2\r(15),3)＝4eq \r(15)(cm2)，又△ABC的面积为4eq \r(3) cm2，故正三棱锥的表面积为(4eq \r(15)＋4eq \r(3)) cm2.评注 有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系．解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，从而使问题得以解决．2．柱体的表面积例2 如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝eq \r(2)，AC＝A1A＝2.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值．解 (1)该几何体有5个面，两个底面的面积均为eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1，三个侧面面积和为2×(eq \r(2)＋eq \r(2)＋2)＝4(eq \r(2)＋1)，故其表面积S＝6＋4eq \r(2).(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S1，则组合后的直棱柱的表面积为2S－2S1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小．又侧面AA1C1C的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S－2S四边形AA1C1C＝4＋8eq \r(2).评注 本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状；(2)的关键在于找到影响拼合后的面积变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比较．3．台体的表面积例3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解所需的几何元素．解 如图所示，正三棱台ABC－A1B1C1中，O，O1分别为两底面中心，D，D1分别为BC和B1C1中点，则DD1为棱台的斜高．∵A1B1＝20 cm，AB＝30 cm，则OD＝5eq \r(3) cm，O1D1＝eq \f(10\r(3),3) cm，由S侧＝S上＋S下，得eq \f(1,2)(20＋30)×3×DD1＝eq \f(\r(3),4)(202＋302)，∴DD1＝eq \f(13\r(3),3) cm.∴棱台的斜高为eq \f(13\r(3),3) cm.在直角梯形O1ODD1中，O1O＝eq \r(DD\o\al(2,1)－OD－O1D12)＝4eq \r(3)(cm)．∴棱台的高为4eq \r(3) cm.评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形．5 空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解．1．直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1 已知圆锥的表面积为15π cm2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积．分析 根据锥体的体积公式V＝eq \f(1,3)Sh，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(πr2＋πrl＝15π，,2πr＝\f(60×2πl,360).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝\r(\f(15,7))，,l＝6r＝6\r(\f(15,7)).))所以h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(6r2－r2)＝eq \r(35r2)＝eq \r(35)r＝eq \r(35)×eq \r(\f(15,7))＝5eq \r(3).所以V＝eq \f(1,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))2×5eq \r(3)＝eq \f(25\r(3),7)π(cm3)．故该圆锥体积为eq \f(25\r(3),7)π cm3.评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算．2．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．例2 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C、三棱锥C－A1B1C1的体积之比．分析 如图，三棱锥B－A1B1C可以看作棱台减去三棱锥A1－ABC和三棱锥C－A1B1C1后剩余的几何体，然后相比即可．解 设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S.所以＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)Sh，＝eq \f(1,3)·h＝eq \f(4,3)Sh.又＝eq \f(7,3)Sh，所以＝eq \f(7,3)Sh－eq \f(1,3)Sh－eq \f(4,3)Sh＝eq \f(2,3)Sh.所以＝1∶2∶4.评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法．3．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．例3 如图所示的三棱锥O－ABC为长方体的一角，其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2，1 cm2,3 cm2，求三棱锥O－ABC的体积．分析 三棱锥O－ABC的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O－ABC看作C为顶点，△OAB为底面．由三棱锥C－OAB的体积得出三棱锥O－ABC的体积．解 设OA，OB，OC的长分别为x cm，y cm，z cm，则由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)xy＝1.5，,\f(1,2)xz＝1，,\f(1,2)yz＝3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，,z＝2.))于是V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB＝eq \f(1,3)S△OAB·OC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×3×2＝1(cm3)． 6 三视图求解空间几何体的表面积和体积攻略空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图，二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力．在解决三视图问题时一定要遵循“长对正、高平齐、宽相等”，看清三视图的实虚线，还原几何体时，几何体的摆放位置，求表面积时注意组合体中衔接面的处理，求体积时要注意体积分割、转化求法的应用，对于三棱锥的体积还要注意等积转换法的应用．例1 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)则该几何体的体积V＝________.(2)则该几何体的侧面积S＝________.解析 由题设可知，该几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长为8、宽为6的矩形，正侧面及其相对的侧面均为底边长为8、高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．(1)该几何体的体积V＝eq \f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对的侧面的底边上的高h1＝eq \r(42＋32)＝5，左、右侧面的底边上的高h2＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).故几何体的侧面面积S＝2×(eq \f(1,2)×8×5＋eq \f(1,2)×6×4eq \r(2))＝40＋24eq \r(2).答案 (1)64 (2)40＋24eq \r(2)例2 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A．28＋6eq \r(5) B．30＋6eq \r(5)C．56＋12eq \r(5) D．60＋12eq \r(5)解析 由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示．S△ACD＝eq \f(1,2)×AC×DM＝eq \f(1,2)×5×4＝10.S△ABC＝eq \f(1,2)×AC×BC＝eq \f(1,2)×5×4＝10.在△CMB中，∠C＝90°，∴BM＝5.∵DM⊥平面ABC，∴∠DMB＝90°，∴DB＝eq \r(42＋52)＝eq \r(41)，∴△BCD为直角三角形，∠DCB＝90°，∴S△BCD＝eq \f(1,2)×5×4＝10.在△ABD中，如图(2)，S△ABD＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×6＝6eq \r(5)，∴S表＝10＋10＋10＋6eq \r(5)＝30＋6eq \r(5). 答案 B7 巧解空间几何体中的最值问题在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形的问题．例1 如图，侧棱长为2eq \r(3)的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．解题流程 eq \x(正三棱锥)→eq \x(沿一条侧棱将侧面展开)→eq \x(解三角形)解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.例2 如图所示，圆柱体的底面半径为1，母线长为2，M，N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N点，求其最短长度．解题流程 eq \x(圆柱)→eq \x(沿一条母线将侧面展开)→eq \x(长方形)解 如图所示，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是以侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N，而两点间以线段的长度最短，故最短长度为eq \r(2π×12＋22)＝eq \r(4π2＋4)＝2eq \r(π2＋1).例3 已知圆锥底面半径为1，高为2eq \r(2)，轴截面为PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．解题流程 eq \x(圆锥)→eq \x(沿一条母线将侧面展开)→eq \x(扇形) 解 圆锥沿PA将其两侧面展开为平面扇形如图．∵OA＝1，PO＝2eq \r(2)，∴PA＝3，∴∠APA′＝eq \f(2π,2π·3)×360°＝120°.作PD⊥AA′，则∠APD＝60°.∴AA′＝2AD＝2×3×sin 60°＝3eq \r(3)，∴最短绳长为3eq \r(3).评注 在立体几何中常通过转化的方法将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．常考的转化与化归思想有“化曲为直”“化体为面”等．有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的线段距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题，而且降低了难度．对点练习长方体ABCD－A1B1C1D1的长，宽，高分别为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为( )A．1＋eq \r(3) B．2＋eq \r(10)C．3eq \r(2) D．2eq \r(3)解析 求表面上最短距离可把几何体展开成平面图形，如图(1)所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(2)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝eq \r(52＋12)＝eq \r(26)，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是eq \r(26)；如图(3)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3eq \r(2)；如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2eq \r(5).由于3eq \r(2)<2eq \r(5)，3eq \r(2)<eq \r(26)，所以由A到C1沿长方体表面的最短距离是3eq \r(2).答案 C
1 学习空间几何体要“三会”1．会辨别例1 如图，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？分析 切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．解 图甲这个几何体不是棱柱，这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内，所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．评注 要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提．2．会折展例2 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________．分析 将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可．解析 将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北．故填北．答案 北评注 将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视．解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践．3．会割补例3 如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．分析 (1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形．解 (1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示)．(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示)．评注 正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解．2 三视图易错点剖析1．棱锥的视图易出错我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图．实际上，在上述几何体的三视图中，侧视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图．如图，对于正三棱锥P－ABC来说，它的正视图中，从前面向后面看，点B到了点D的位置，点P到了点P′的位置，故正视图为等腰三角形P′AC(包含高线P′D)，从左侧向右侧看，点A到了点D的位置，故侧视图为三角形PBD，从上面向下面看，俯视图中，点P到了点O的位置，故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC)．如图，对于正四棱锥P－ABCD来说，它的正视图和侧视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD)．对于此三视图，侧视图和正视图易出错，但有了高线PO的衬托，便可降低出错率．2．画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示．这一点不能忽视，否则易出错．例1 画出如图所示零件的三视图．错解 如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示．剖析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线．正解 3．不能由三视图还原正确的直观图而出错当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性．例2 如图，通过三视图还原物体的直观图．解 通过三视图可以画出直观图，如图所示：注 其中PC为垂直于底面ABCD的直线．变式训练 由下面的三视图还原物体的直观图．解 通过三视图可以看出直观图如图所示：3 直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现了原图形与直观图的互化．关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”．“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”．现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略．1．原图形到直观图的转化例1 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.eq \f(\r(3),4)a2 B.eq \f(\r(3),8)a2 C.eq \f(\r(6),8)a2 D.eq \f(\r(6),16)a2分析 先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以AB所在直线为x轴，以AB边上的高所在直线为y轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解．解析 根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②所示．易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),4)a.作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq \f(\r(2),2)O′C′＝eq \f(\r(6),8)a.S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.答案 D评注 通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为eq \f(\r(2),4)∶1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位．2．直观图到原图形的转化例2 一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形．求原四边形的面积．解 方法一 如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过点D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝eq \r(2).再建立一个直角坐标系xBy，如图(2)，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋eq \r(2)，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的原平面图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋eq \r(2)，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝eq \f(1,2)AB·(AD＋BC)＝eq \f(1,2)×2×(1＋1＋eq \r(2))＝2＋eq \r(2).方法二 四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，其面积为S′＝eq \f(1＋1＋\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq \f(\r(2)＋1,2).所以原四边形的面积为eq \f(\f(\r(2)＋1,2),\f(\r(2),4))＝eq \r(2)×(eq \r(2)＋1)＝2＋eq \r(2).点评 (1)只由直观图很难发现所求与已知的关系，当根据直观图画出原平面图形时，原平面图形的形状及数量关系很容易发现，体现了数形结合思想的应用．(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是eq \f(S直观图,S原图形)＝eq \f(\r(2),4).4 柱、锥、台的表面积求法精析由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用．1．锥体的表面积例1 正三棱锥的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高．解 如图所示，过S点作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于D点．由正三角形的性质得D为BC的中点，连接SD，则SD为正三棱锥的斜高．在Rt△ASO中，∠ASO＝45°，AO＝eq \f(\r(3),3)×4＝eq \f(4\r(3),3)(cm)，∴SO＝AO＝eq \f(4\r(3),3)(cm)．在Rt△SOD中，OD＝eq \f(\r(3),6)×4＝eq \f(2\r(3),3)(cm)，故SD＝eq \r(SO2＋OD2)＝eq \r(\f(16,3)＋\f(4,3))＝eq \r(\f(20,3))＝eq \f(2\r(15),3)(cm)．令SD＝h′，根据正三棱锥的侧面积公式：S侧＝eq \f(1,2)×3×4×eq \f(2\r(15),3)＝4eq \r(15)(cm2)，又△ABC的面积为4eq \r(3) cm2，故正三棱锥的表面积为(4eq \r(15)＋4eq \r(3)) cm2.评注 有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系．解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，从而使问题得以解决．2．柱体的表面积例2 如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝eq \r(2)，AC＝A1A＝2.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值．解 (1)该几何体有5个面，两个底面的面积均为eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1，三个侧面面积和为2×(eq \r(2)＋eq \r(2)＋2)＝4(eq \r(2)＋1)，故其表面积S＝6＋4eq \r(2).(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S1，则组合后的直棱柱的表面积为2S－2S1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小．又侧面AA1C1C的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S－2S四边形AA1C1C＝4＋8eq \r(2).评注 本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状；(2)的关键在于找到影响拼合后的面积变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比较．3．台体的表面积例3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解所需的几何元素．解 如图所示，正三棱台ABC－A1B1C1中，O，O1分别为两底面中心，D，D1分别为BC和B1C1中点，则DD1为棱台的斜高．∵A1B1＝20 cm，AB＝30 cm，则OD＝5eq \r(3) cm，O1D1＝eq \f(10\r(3),3) cm，由S侧＝S上＋S下，得eq \f(1,2)(20＋30)×3×DD1＝eq \f(\r(3),4)(202＋302)，∴DD1＝eq \f(13\r(3),3) cm.∴棱台的斜高为eq \f(13\r(3),3) cm.在直角梯形O1ODD1中，O1O＝eq \r(DD\o\al(2,1)－OD－O1D12)＝4eq \r(3)(cm)．∴棱台的高为4eq \r(3) cm.评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形．5 空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解．1．直接用公式求解根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出，再代入公式进行求解．例1 已知圆锥的表面积为15π cm2，侧面展开图的圆心角为60°，求该圆锥的体积．分析 根据锥体的体积公式V＝eq \f(1,3)Sh，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算．解 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(πr2＋πrl＝15π，,2πr＝\f(60×2πl,360).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝\r(\f(15,7))，,l＝6r＝6\r(\f(15,7)).))所以h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(6r2－r2)＝eq \r(35r2)＝eq \r(35)r＝eq \r(35)×eq \r(\f(15,7))＝5eq \r(3).所以V＝eq \f(1,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(15,7))))2×5eq \r(3)＝eq \f(25\r(3),7)π(cm3)．故该圆锥体积为eq \f(25\r(3),7)π cm3.评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系，准确进行计算．2．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．例2 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C、三棱锥C－A1B1C1的体积之比．分析 如图，三棱锥B－A1B1C可以看作棱台减去三棱锥A1－ABC和三棱锥C－A1B1C1后剩余的几何体，然后相比即可．解 设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S.所以＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)Sh，＝eq \f(1,3)·h＝eq \f(4,3)Sh.又＝eq \f(7,3)Sh，所以＝eq \f(7,3)Sh－eq \f(1,3)Sh－eq \f(4,3)Sh＝eq \f(2,3)Sh.所以＝1∶2∶4.评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法．3．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．例3 如图所示的三棱锥O－ABC为长方体的一角，其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2，1 cm2,3 cm2，求三棱锥O－ABC的体积．分析 三棱锥O－ABC的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O－ABC看作C为顶点，△OAB为底面．由三棱锥C－OAB的体积得出三棱锥O－ABC的体积．解 设OA，OB，OC的长分别为x cm，y cm，z cm，则由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)xy＝1.5，,\f(1,2)xz＝1，,\f(1,2)yz＝3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，,z＝2.))于是V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB＝eq \f(1,3)S△OAB·OC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×3×2＝1(cm3)． 6 三视图求解空间几何体的表面积和体积攻略空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图，二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力．在解决三视图问题时一定要遵循“长对正、高平齐、宽相等”，看清三视图的实虚线，还原几何体时，几何体的摆放位置，求表面积时注意组合体中衔接面的处理，求体积时要注意体积分割、转化求法的应用，对于三棱锥的体积还要注意等积转换法的应用．例1 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)则该几何体的体积V＝________.(2)则该几何体的侧面积S＝________.解析 由题设可知，该几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长为8、宽为6的矩形，正侧面及其相对的侧面均为底边长为8、高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．(1)该几何体的体积V＝eq \f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对的侧面的底边上的高h1＝eq \r(42＋32)＝5，左、右侧面的底边上的高h2＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).故几何体的侧面面积S＝2×(eq \f(1,2)×8×5＋eq \f(1,2)×6×4eq \r(2))＝40＋24eq \r(2).答案 (1)64 (2)40＋24eq \r(2)例2 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A．28＋6eq \r(5) B．30＋6eq \r(5)C．56＋12eq \r(5) D．60＋12eq \r(5)解析 由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示．S△ACD＝eq \f(1,2)×AC×DM＝eq \f(1,2)×5×4＝10.S△ABC＝eq \f(1,2)×AC×BC＝eq \f(1,2)×5×4＝10.在△CMB中，∠C＝90°，∴BM＝5.∵DM⊥平面ABC，∴∠DMB＝90°，∴DB＝eq \r(42＋52)＝eq \r(41)，∴△BCD为直角三角形，∠DCB＝90°，∴S△BCD＝eq \f(1,2)×5×4＝10.在△ABD中，如图(2)，S△ABD＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×6＝6eq \r(5)，∴S表＝10＋10＋10＋6eq \r(5)＝30＋6eq \r(5). 答案 B7 巧解空间几何体中的最值问题在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形的问题．例1 如图，侧棱长为2eq \r(3)的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．解题流程 eq \x(正三棱锥)→eq \x(沿一条侧棱将侧面展开)→eq \x(解三角形)解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.例2 如图所示，圆柱体的底面半径为1，母线长为2，M，N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N点，求其最短长度．解题流程 eq \x(圆柱)→eq \x(沿一条母线将侧面展开)→eq \x(长方形)解 如图所示，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是以侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N，而两点间以线段的长度最短，故最短长度为eq \r(2π×12＋22)＝eq \r(4π2＋4)＝2eq \r(π2＋1).例3 已知圆锥底面半径为1，高为2eq \r(2)，轴截面为PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．解题流程 eq \x(圆锥)→eq \x(沿一条母线将侧面展开)→eq \x(扇形) 解 圆锥沿PA将其两侧面展开为平面扇形如图．∵OA＝1，PO＝2eq \r(2)，∴PA＝3，∴∠APA′＝eq \f(2π,2π·3)×360°＝120°.作PD⊥AA′，则∠APD＝60°.∴AA′＝2AD＝2×3×sin 60°＝3eq \r(3)，∴最短绳长为3eq \r(3).评注 在立体几何中常通过转化的方法将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．常考的转化与化归思想有“化曲为直”“化体为面”等．有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的线段距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题，而且降低了难度．对点练习长方体ABCD－A1B1C1D1的长，宽，高分别为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为( )A．1＋eq \r(3) B．2＋eq \r(10)C．3eq \r(2) D．2eq \r(3)解析 求表面上最短距离可把几何体展开成平面图形，如图(1)所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(2)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝eq \r(52＋12)＝eq \r(26)，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是eq \r(26)；如图(3)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3eq \r(2)；如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2eq \r(5).由于3eq \r(2)<2eq \r(5)，3eq \r(2)<eq \r(26)，所以由A到C1沿长方体表面的最短距离是3eq \r(2).答案 C
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