人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第一章 空间几何体复习 章末复习课 Word版含答案

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学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法．1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积2．空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化. (3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．②等积变换，如三棱锥转移顶点等．③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．类型一　空间几何体的结构特征例1　根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由六个面围成，其中一个面是凸五边形，其余各面是有公共顶点的三角形；(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形；(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体．解　(1)如图①，因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形，所以是棱锥，又其底面是凸五边形，所以是五棱锥．(2)如图②，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．(3)如图③，过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O，将直角梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB，绕CD旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成．反思与感悟　与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．跟踪训练1　给出下列四种说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3答案　B解析　①连接上、下底面的圆周上两点连线要与轴平行才是母线；③直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥；④棱台的上、下底面，相似．故只有②正确．类型二　三视图与斜二测画法例2　(1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．答案　2eq \r(2)解析　该三棱锥的直观图如图所示，并且PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝eq \r(2)，PA＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，PC＝eq \r(22＋\r(2)2)＝eq \r(6)，故PA最长．(2)如图，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2eq \r(2)，则原平面图形的实际面积是________．答案　20eq \r(2)解析　将直观图中四边形ABCD还原为原图形四边形A′B′C′D′，由斜二测画法知B′C′⊥C′D′，B′C′＝4eq \r(2)，C′D′＝4，A′B′＝6，∴平面图形的实际面积为eq \f(1,2)×4eq \r(2)×(4＋6)＝20eq \r(2).反思与感悟　(1)空间几何体的三视图遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线用虚线表示．(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．跟踪训练2　若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)答案　D解析　A项的正视图如图(1)，B项的正视图如图(2)，故均不符合题意；C项的俯视图如图(3)，也不符合题意，故选D.类型三　空间几何体的体积和表面积例3　(1)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A.eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)π B.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)πC.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π D．1＋eq \f(\r(2),6)π答案　C解析　由三视图知，半球的半径R＝eq \f(\r(2),2)，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝eq \f(1,3)×1×1×1＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π，故选C.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)A．8＋2eq \r(2) B．11＋2eq \r(2)C．14＋2eq \r(2) D．15答案　B解析　由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以底面周长为4＋eq \r(2)，侧面积为2×(4＋eq \r(2))＝8＋2eq \r(2)，两底面的面积和为2×eq \f(1,2)×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2eq \r(2)＋3＝11＋2eq \r(2).反思与感悟　(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．跟踪训练3　在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E—ABCD的体积为V，那么三棱锥M—EBC的体积为多少？解　设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，连接MD.因为M是AE的中点，所以VM—ABCD＝eq \f(1,2)V，所以VE—MBC＝eq \f(1,2)V－VE—MDC.而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC，所以eq \f(VE—MBC,VE—MDC)＝eq \f(VB—EMC,VD—EMC)＝eq \f(h1,h2).因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以eq \f(h1,h2)＝eq \f(3,2).所以VE—MBC＝VM－EBC＝eq \f(3,10)V.类型四　与几何体有关的最值问题例4　长方体ABCD—A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为________．答案　eq \r(74)解析　把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示，利用勾股定理可得AC1的长分别为eq \r(90)、eq \r(74)、eq \r(80).由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为eq \r(74).反思与感悟　求几何体表面上两点间的最短路径的一般思路是化“曲”为“直”，其步骤为：(1)将几何体沿着某条棱剪开后展开，画出其表(侧)面展开图；(2)将所求曲线(或折线)问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得．跟踪训练4　如图所示，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点从A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路径的长为________．答案　10解析　如图所示，将两个三棱柱的侧面沿侧棱AA1展开并拼接，则最短路径为l＝eq \r(62＋82)＝10.1．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则这个球的半径为(　　)A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．13 cm答案　D解析　冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为O，冰面圆的圆心为O1，球半径为R，由图知OB＝R，O1B＝eq \f(1,2)AB＝12，OO1＝OC－O1C＝R－8，在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝(R－8)2＋122，解得R＝13(cm)．2．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)答案　C解析　俯视图从图形的上边向下边看，看到一个正方形的底面，在底面上有一条对角线，对角线是由左上角到右下角的线，故选C.3．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)A．1∶2 B．1∶eq \r(3) C.eq \r(3)∶2 D．1∶eq \r(5)答案　D解析　若圆锥的高等于底面直径，则h＝2r，则母线l＝eq \r(h2＋r2)＝eq \r(5)r，而圆锥的底面面积为πr2，圆锥的侧面积为πrl＝eq \r(5)πr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1∶eq \r(5).4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.答案　80　40解析　由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如图所示，其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．5．如图所示，在所有棱长均为1的正三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达A′点，求爬行的最短路程．解　将三棱柱沿AA′展开，如图所示，则AD′的长为最短路程，即AD′＝eq \r(AD2＋DD′2)＝eq \r(10).1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．2．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题解决．课时作业一、选择题1．给出下列命题中正确的是(　　)A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．棱柱的底面一定是平行四边形D．棱锥的底面一定是三角形答案　A解析　平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；三棱柱的底面是三角形，故C错误；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错误；四棱锥的底面是四边形，故D错误．故选A.2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是(　　)A．①② B．②③ C．①③ D．①②③答案　B解析　根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．3．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq \f(1,36)L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq \f(7,264)L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为(　　)A.eq \f(157,50) B.eq \f(25,8) C.eq \f(23,7) D.eq \f(22,7)答案　D解析　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，∴r＝eq \f(L,2π)，∴V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(L2h,12π).令eq \f(L2h,12π)＝eq \f(7,264)L2h，提π＝eq \f(22,7)，故选D.4．某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)答案　D解析　根据几何体的正视图，得当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是A；当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，圆柱的高与底面圆直径都等于正方体的棱长时，俯视图是B；当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球时，其俯视图是C；D为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立．故选D.5．已知一个半径为eq \r(6)的球的内接正四棱柱的高为4，则该正四棱柱的表面积为(　　)A．24 B．32 C．40 D．46答案　C解析　设正四棱柱的底面边长为a，则2a2＋16＝24，∴a＝2，∴该正四棱柱的表面积为2×22＋4×2×4＝40，故选C.6．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为(　　)A．80＋5π B．80＋10πC．92＋14π D．120＋10π答案　B解析　由三视图知，几何体是半圆柱与长方体的组合体，下面长方体的长、宽、高分别是4、5、4，体积为4×5×4＝80，上面半圆柱的半径为2，高为5，体积为eq \f(1,2)·π·4·5＝10π，∴几何体的体积V＝V半圆柱＋V长方体＝80＋10π，故选B.7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．48 B．57 C．63 D．68答案　C解析　由已知中的三视图，可得该几何体是一个长方体和三棱柱的组合体，其表面积相当于长方体的表面积和三棱柱的侧面积和，故S＝2×(4×3＋4×eq \f(3,2)＋3×eq \f(3,2))＋(3＋4＋eq \r(32＋42))×eq \f(3,2)＝63，故选C.二、填空题8．如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为________．答案　5π解析　由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱，∵正方形ABCD的边长为1，∠CDE＝90°，∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，∴形成的几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×1＋eq \f(1,2)×4π×12＝5π，故答案为5π.9.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的eq \f(1,4)，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．答案　eq \f(1,4)－eq \f(1,2π)解析　设圆柱桶的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为eq \f(π,2)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))h＝πR2x，所以eq \f(x,h)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2π).10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______，其表面积为________．答案　8π＋eq \f(64,3)　12π＋16＋16eq \r(2)解析　由三视图可知，此几何体是由上下两部分组成的，上面是一个横放的半圆柱，下面是一个四棱锥，可得该几何体的体积为eq \f(1,2)×π×22×4＋eq \f(1,3)×42×4＝8π＋eq \f(64,3)，其表面积为π×2×4＋π×22＋eq \f(1,2)×42×2＋eq \f(1,2)×4×4eq \r(2)×2＝12π＋16＋16eq \r(2).11．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．答案　3∶4(或4∶3)解析　设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，高为h，则＝eq \f(1,3)(S0＋4S0＋2S0)h＝eq \f(7,3)S0h，设剩余的几何体的体积为V，则V＝eq \f(7,3)S0h－S0h＝eq \f(4,3)S0h，所以体积之比为3∶4或4∶3.三、解答题12．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱的侧面积为16π，OA＝2，∠AOP＝120°，试求三棱锥A1－APB的体积．解　S圆柱侧＝2π·OA·AA1＝4π·AA1＝16π，∴AA1＝4，∵∠AOP＝120°，OA＝OP＝2，∴AP＝2eq \r(3)，BP＝eq \f(1,2)AB＝OA＝2.∴＝eq \f(1,3)S△APB·AA1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2×4＝eq \f(8\r(3),3).13．三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的正视图和侧视图．(单位：cm)(1)画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解　(1)作出俯视图如下．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)×2×2)×2＝eq \f(284,3)(cm3)．四、探究与拓展14．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)A．①③ B．①③④C．①②③ D．①②③④答案　A解析　若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为eq \r(3)r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝eq \f(1,3)π·(eq \r(3)r)2·3r－eq \f(4,3)πr3＝eq \f(5,3)πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为eq \f(\r(3),3)h，从而容器内水的体积是V′＝eq \f(1,3)π·(eq \f(\r(3),3)h)2·h＝eq \f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq \r(3,15)r.即容器中水的深度为eq \r(3,15)r.名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S侧＝Ch，C为底面的周长，h为高V＝Sh棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S正棱锥侧＝eq \f(1,2)Ch′，C为底面的周长，h′为斜高V＝eq \f(1,3)Sh，h为高棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S正棱台侧＝eq \f(1,2)(C＋C′)h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h，h为高旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高V＝Sh＝πr2h圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝πrl，r为底面半径，h为高V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)πr2h圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h＝eq \f(1,3)π(req \o\al(2,1)＋req \o\al(2,2)＋r1r2)h球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体S球面＝4πR2，R为球的半径V＝eq \f(4,3)πR3