人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第2课时导学案，共14页。
我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律．例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．
根据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满足哪些运算律，并说明理由．
知识点1 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
知识点2 数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a·b＝b·c推不出a＝c．( )
(2)对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立．( )
[答案] (1)× (2)×
2．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________．
[答案] －7
类型1 求数量积
【例1】 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
[解] (a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cs 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cs 60°＋6×42＝192．
根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[跟进训练]
1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
－6 [由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝12，
所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12-2e1·e2-8e22＝3－2×12－8＝－6．]
类型2 与向量模有关的问题
【例2】 (源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；
(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．
[解] (1)由题意可知
a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cs 60°＝1，
所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2
＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×1＋4×1＝12，
因此|a＋2b|＝23．
(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，
即(a＋b)2＝(a－b)2，
因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
因此a·b＝0．
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[跟进训练]
2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|．
[解] 因为|2a＋b|＝10，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10．
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋22|b|－6＝0，
解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．
类型3 与向量垂直、夹角有关的问题
【例3】 (1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为13，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C．94 D．－94
(2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围．
(1)B [由题意知，m·nmn＝m·n34n2＝13，
所以m·n＝14|n|2＝14n2，
因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，
即14tn2＋n2＝0，所以t＝－4．]
(2)[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke2 2＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0．
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．
[母题探究]
将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0．
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．
求两向量夹角的方法
(1)一般是利用夹角公式：cs θ＝a·bab．
(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
[跟进训练]
3．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[解] 由已知条件得
a+3b·7a-5b=0， a-4b·7a-2b=0，
即7a2+16a·b-15b2=0， ①7a2-30a·b+8b2=0， ②
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cs θ＝a·bab＝12b2b2＝12．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3．
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
B [∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]
2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝( )
A．16 B．256
C．8 D．64
A [∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．]
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于( )
A．32 B．－32
C．±32 D．1
A [∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝32．]
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．
π6 [|a－b|＝a-b2＝a2+b2-2a·b＝3，
设向量a与a－b的夹角为θ，则
cs θ＝a·a-baa-b＝22-12×3＝32，
又θ∈[0，π]，所以θ＝π6．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量的数量积满足哪些运算律？
[提示] (1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？
[提示] 向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a·b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0．同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b0，得t>－74，
当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以3=λt，2=2λ，
解得λ=1，t=3，所以当t≠3时，a，b不共线，
综上，t的取值范围为t>－74且t≠3，
即t的取值范围为-74，3∪3，+∞．
15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
[解] (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cs 120°－|b||c|cs 120°＝0，
所以(a－b)⊥c．
(2)因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因为a·b＝a·c＝b·c＝cs 120°＝－12，
所以k2－2k>0，
解得k2．
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
学习任务
1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．(逻辑推理)
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．(数学运算)