北师大版七年级数学下册尖子生培优必刷题第5章生活中的轴对称单元测试(能力提升卷大)(原卷版+解析)

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第5章生活中的轴对称单元测试（能力提升卷，七下北师大）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•越城区校级期末）下列四个图形中，属于轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．2．（2022秋•明水县校级期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　）A．直角三角形 B．等腰梯形 C．锐角 D．等腰三角形3．（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°4．（2022秋•乌鲁木齐期末）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（　　）A．等角螺旋线 B．心形线 C．四叶玫瑰线 D．蝴蝶曲线5．（2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　）A．60° B．45° C．40° D．30°6．（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　）A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点7．（2022秋•广饶县校级期末）如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是（　　）A．1 B．8 C．2 D．58．（2022秋•南陵县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）A．6cm B．12cm C．15cm D．24cm9．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E已知△ABC与△BCE的周长分别为18cm和10cm，则BD的长为（　　）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm10．（2022秋•桥西区校级期末）如图所示，点O为△ABC三个内角平分线的交点，∠B＝50度，BC＜AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且ON＝OM．甲、乙、丙三位同学有如下判断：甲：∠MON＝130度；乙：四边形OMBN的面积是不变的；丙：当ON⊥BC时，△MON周长取得最小值．其中正确的是（　　）A．只有丙正确 B．只有甲、乙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•天河区校级期末）已知等腰三角形的底边长为2，腰长为8，则它的周长为 　 　．12．（2022秋•铁西区校级期末）周长为12的等腰三角形，其底边长y与腰长x的函数关系式为 　 　．13．（2022秋•沈河区校级期末）在同一平面内，线段AB＝5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 　 　．14．（2022秋•海珠区校级期末）轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称 　 　、　 　、　 　．15．（2022秋•榆树市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 　 　．16．（2021秋•蓬江区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AC＝6，S△ABC＝24，CD平分∠ACB，若P、Q分别是CD、BC上的动点，则BP+PQ的最小值是 　 　．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•谢家集区期中）如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．18．（2021秋•苍溪县期末）如图所示是一个8×8的正方形网格，图中每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（2）求△OCC1的面积．19．（2021秋•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝32°，∠BAD＝42°，求∠DAC的度数．20．（2022•南京模拟）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．（1）图中点C的对应点是点 　 　，∠B的对应角是 　 　；（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 　 　；（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．21．（2021秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．22．（2022春•济南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝　 　度；（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝　 　度；（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝　 　度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．23．（2022秋•龙江县校级期末）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F．（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝　 　，∠EPF＝　 　（用含α的代数式表示）；（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）第5章生活中的轴对称单元测试班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•越城区校级期末）下列四个图形中，属于轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，故A不合题意；B．不是轴对称图形，故B不合题意；C．不是轴对称图形，故C不合题意；D．是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．2．（2022秋•明水县校级期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　）A．直角三角形 B．等腰梯形 C．锐角 D．等腰三角形【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：等腰梯形，锐角等腰三角形以及能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，直角三角形不一定能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形，故选：A．3．（2022秋•卧龙区校级期末）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）A．40° B．100° C．40°或100° D．50°或70°【分析】分这个角为底角和顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解即可．【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，故选：C．4．（2022秋•乌鲁木齐期末）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（　　）A．等角螺旋线 B．心形线 C．四叶玫瑰线 D．蝴蝶曲线【分析】首先判断出图形是轴对称图形，再找出对称轴的条数．【解答】解：A、该图形没有对称轴；B、该图形轴对称对称图形，有1条对称轴；C、该图形轴对称对称图形，有4条对称轴；D、该图形轴对称对称图形，有1条对称轴；故选：C．5．（2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　）A．60° B．45° C．40° D．30°【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，∴BC＝BD，∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°．故选：B．6．（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　）A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可．【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．故选：B．7．（2022秋•广饶县校级期末）如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是（　　）A．1 B．8 C．2 D．5【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OF＝OD＝1，根据S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△OBC，即可求出答案．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝1，∵△ABC的周长为10，∴AB+AC+BC＝10，∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△OBC＝＝＝＝5，故选：D．8．（2022秋•南陵县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E两点，若AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）A．6cm B．12cm C．15cm D．24cm【分析】由线段垂直平分线的性质推出BC+AC＝9cm，从而求出△ABC的周长．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，BE＝AE＝3cm，∵△ADC的周长为9cm，∴CD+DA+AC＝9cm，∴CD+BD+AC＝9cm，∴BC+AC＝9cm，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝BC+AC+2AE＝9+2×3＝15（cm），故选：C．9．（2022秋•滨城区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E已知△ABC与△BCE的周长分别为18cm和10cm，则BD的长为（　　）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，，∵△BCE的周长为10cm，∴BC+BE+CE＝10cm，∴BC+CE+AE＝BC+AC＝10cm，∵△ABC的周长为18cm，∴AB+AC+BC＝18cm，∴AB＝18﹣10＝8cm，∴cm，故选：B．10．（2022秋•桥西区校级期末）如图所示，点O为△ABC三个内角平分线的交点，∠B＝50度，BC＜AB，点M，N分别为AB，BC上的点，且ON＝OM．甲、乙、丙三位同学有如下判断：甲：∠MON＝130度；乙：四边形OMBN的面积是不变的；丙：当ON⊥BC时，△MON周长取得最小值．其中正确的是（　　）A．只有丙正确 B．只有甲、乙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确【分析】过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，根据三角形内心可得OD＝OE，然后证明△DON≌△EOM，可得∠DOE＝∠MON，根据△DON≌△EOM得到四边形OMBN的面积＝2，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值，过点O作OF⊥MN于点F，根据ON＝OM，∠MON＝130°可得∠ONM＝25°，MN＝2NF＝2ONcos25°，所以△MON的周长＝2ON（cos25°+1），可得当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值，据此解题．【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，∵O点是△ABC的内心，∴OB是∠ABC的平分线，∴OD＝OE，∵∠ABC＝50°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△DON与Rt△EOM中，，∴Rt△DON≌Rt△EOM（HL），∴∠DON＝∠EOM，∴∠DON+∠EON＝∠EOM+∠EON，∴∠DOE＝∠MON＝130°，故甲的判断正确；∵△DON≌△EOM，∴四边形OMBN的面积＝四边形DOEB的面积＝2S△BOD，∵点D的位置固定，∴四边形OMBN的面积是定值，故乙的判断正确；如图，过点O作OF⊥MN于点F，∵ON＝OM，∠MON＝130°，∴，∴MN＝2NF＝2ONcos25°，∴△MON的周长＝MN+2ON＝2ONcos25°+2ON＝2ON（cos25°+1），∴当ON最小时，即当△MON的周长取最小值，即此时ON⊥BC，故丙的判断正确，故选：D．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•天河区校级期末）已知等腰三角形的底边长为2，腰长为8，则它的周长为 　18　．【分析】根据等腰三角形的周长公式即可得到结论．【解答】解：∵等腰三角形的底边长为2，腰长为8，∴它的周长＝2+8+8＝18，故答案为：18．12．（2022秋•铁西区校级期末）周长为12的等腰三角形，其底边长y与腰长x的函数关系式为 　y＝﹣2x+12　．【分析】等腰三角形的底边长＝周长﹣2×腰长，根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．【解答】解：∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为12，∴y＝12﹣2x，故答案为：y＝﹣2x+12．13．（2022秋•沈河区校级期末）在同一平面内，线段AB＝5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 　5cm　．【分析】已知点C为任意一点，当点C在线段AB外时，点A、B、C构成三角形；根据三角形中两边之和大于第三边，可以得到AC+BC＞AB；当点C在线段AB上时，AC与BC的和为线段AB的长，据此求出AC+BC的最小值．【解答】解：根据两点之间的所有连线中，线段最短，可知只有当点C在线段AB上时，AC与BC的和最小，即为AB的长5cm．故答案为：5cm．14．（2022秋•海珠区校级期末）轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称 　等腰梯形　、　等边三角形　、　圆　．【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．【解答】解：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称分别是：等腰梯形、等边三角形、圆．故答案为：等腰梯形、等边三角形、圆．15．（2022秋•榆树市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 　33°　．【分析】利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理可得．【解答】解：∵∠BAD＝30°，∠DAE＝72°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝＝39°，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝72°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣39°＝33°，故答案为：33°．16．（2021秋•蓬江区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AC＝6，S△ABC＝24，CD平分∠ACB，若P、Q分别是CD、BC上的动点，则BP+PQ的最小值是 　8　．【分析】过点B作BE⊥AC交于E点，交DC于P点，过点P作PQ⊥BC交于Q点，此时BP+PQ的值最小，再由三角形的面积求出AC边上的高即为所求．【解答】解：过点B作BE⊥AC交于E点，交DC于P点，过点P作PQ⊥BC交于Q点，∵CD平分∠ACB，∴PE＝PQ，∴BP+PQ＝BP+PE＝BE，此时BP+PQ的值最小，∵AC＝6，S△ABC＝24，∴BE＝8，∴BP+PQ的值最小为8，故答案为：8．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•谢家集区期中）如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．18．（2021秋•苍溪县期末）如图所示是一个8×8的正方形网格，图中每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1；（2）求△OCC1的面积．【分析】（1）利用轴对称的性质画出A、B、C关于直线OM的对称点A1、B1、C1即可；（2）利用三角形面积公式计算．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）△OCC1的面积＝×4×3＝6．19．（2021秋•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝32°，∠BAD＝42°，求∠DAC的度数．【分析】如图，首先证明∠C＝∠B＝32°，进而求出∠BAC＝116°，问题即可解决．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝32°，∴∠C＝∠B＝32°，∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，∴∠DAC＝116°﹣42°＝74°．20．（2022•南京模拟）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．（1）图中点C的对应点是点 　E　，∠B的对应角是 　∠D　；（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 　3　；（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．【分析】根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；故答案为：E，∠D．（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3．故答案为：3．（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，再根据对称性，∴∠EAF＝∠CAF，∴∠EAF＝＝39°．21．（2021秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．【分析】先根据等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到距离．【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，∴PA＝PB，∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，∴P点在∠MON的平分线上，∴OP平分∠MON．22．（2022春•济南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝　20　度；（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝　35　度；（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝　60　度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠B，再利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）（3）（4）方法类似．【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝20°，故答案为20．（2）如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝35°，故答案为35．（3）如图3中，如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝60°，故答案为60．（4）结论：∠NMB＝∠A．理由：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．23．（2022秋•龙江县校级期末）如图所示，点P在∠AOB内，点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F．（1）若∠AOB＝α°，则∠MON＝　2α°　，∠EPF＝　180°﹣2α°　（用含α的代数式表示）；（2）①若△PEF的周长是10cm，求MN的长．②若∠O＝45°，OP＝xcm，直接写出△PEF的周长的最小值（用含x的代数式表示）【分析】（1）如图，连接OP、OM、ON，根据轴对称的性质可得△OMP和△EMP都是等腰三角形，且∠MOA＝∠AOP，进而可根据等腰三角形的性质得∠OME＝∠OPE，同理可得∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，于是可推得∠MON＝2∠AOB，∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；（2）①根据轴对称的性质可推出MN＝△PEF的周长，进而可得结果；②易得△OMN是等腰直角三角形，且OM＝ON＝OP＝x，从而可根据勾股定理求出MN，而由轴对称的性质可知MN即为△PEF的周长的最小值，于是可得结果．【解答】解：（1）如图，连接OP、OM、ON．∵M是点P关于AO的对称点，∴OP＝OM，ME＝PE，∠MOA＝∠AOP，∴∠OMP＝∠OPM，∠EMP＝∠EPM，∴∠OME＝∠OPE，同理可得：OP＝ON，∠BOP＝∠BON，∠OPF＝∠ONF，∴OM＝ON，∠MON＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2α°；∴∠OMN+∠ONM＝180°﹣∠MON＝180°﹣2α°，∴∠EPF＝∠OPE+∠OPF＝∠OMN+∠ONM＝180°﹣2α°，故答案为：2α°，180°﹣2α°；（2）①∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，∴ME＝PE，NF＝PF，∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，∵△PEF的周长等于10cm，∴MN＝10cm；②∵∠AOB＝45°，OM＝ON＝OP＝x，∴∠MON＝2∠AOB＝90°，，∵MN＝△PEF的周长，且△PEF的周长的最小值为MN的长，∴△PEF的周长的最小值是cm．