人教版七年级数学下册常考提分精练专题05根据平行线的性质探求角的关系综合题(原卷版+解析)

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专题05 根据平行线的性质探求角的关系综合题【例题讲解】已知：直线EF//MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于D．（1）若∠FDB=120°，a=90°．如图1，求∠MBC与∠EAC的度数？（2）延长AC交直线MN于G，这时a =80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值．若不是，请说明理由？【详解】（1）如图1，过C作CP∥EF．∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．∵EF∥MN，∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．∵BD平分∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°，∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．∵CP∥MN，∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－60°=30°．∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°．∠GHB为定值50°．理由如下：∵∠CBN是△CBG的外角，∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN，∴∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．∵∠DBN是△HGB的外角，∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG（180°－80°）=50°，故∠GHB是定值50°．【综合演练】1．直线与直线、分别相交于点、，与互补(1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．(2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH．(3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值．2．解答下列问题(1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数；(2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由；(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数．3．已知直线与直线、分别交于、两点，，与的角平分线交于点．(1)如图1，试说明；(2)延长交于点，过点作交直线于点．①如图2，若，求的度数；②如图3，延长交于点，作的角平分线交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．4．如图1，已知，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）5．如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2＝180°．(1)求证：ABCD；(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．6．已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是　 　（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是　 　，∠FMG＝　 　度．7．已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MNPQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）8．已知：如图，ABCD，BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．(1)求证：∠BGF＝90°；(2)点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ；(3)在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数．9．如图1，已知直线，点在直线上，点、在直线上，连接、，，，平分，平分，与相交于．（1）求的度数；（2）若将图1中的线段沿向右平移到如图2所示位置，此时平分，平分，与相交于，，，求的度数．（3）若将图1中的线段沿向左平移到如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时的度数．10．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明理由．11．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．(1)求证：ABCD；(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究的值；画出图形，并说明理由．(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，画出图形，并说明理由．专题05 根据平行线的性质探求角的关系综合题【例题讲解】已知：直线EF//MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于D．（1）若∠FDB=120°，a=90°．如图1，求∠MBC与∠EAC的度数？（2）延长AC交直线MN于G，这时a =80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值．若不是，请说明理由？【详解】（1）如图1，过C作CP∥EF．∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．∵EF∥MN，∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．∵BD平分∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°，∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．∵CP∥MN，∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－60°=30°．∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°．∠GHB为定值50°．理由如下：∵∠CBN是△CBG的外角，∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN，∴∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．∵∠DBN是△HGB的外角，∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG（180°－80°）=50°，故∠GHB是定值50°．【综合演练】1．直线与直线、分别相交于点、，与互补(1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．(2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH．(3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值．【答案】(1)平行；理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PFGH；（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数．（1）解：结论：ABCD；理由如下：∵∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF，∴∠AEF与∠CFM互补，∴ABCD．（2）∵EG平分∠BEF，∴∠PEF=∠BEF，又∵FP平分∠EFD，∴∠EFP=∠EFD，由（1）知ABCD，∴∠BEF+∠EFD=180°，∴∠PEF+∠EFP=90°，∴∠EPF=90°，又∵GH⊥EG，∴∠HGP=90°，∴∠EPF=∠HGP，∴PFGH．（3）证明：∵，∴，∵∠PHK=∠HPK，∴，∴，∵PQ平分∠EPK，∴，∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=∠EPK-∠FPK=（∠EPK-∠FPK）=∠EPF=×90°=45°即∠HPQ的大小是定值．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角．2．解答下列问题(1)（问题情景）如图1，若，．过点P作，求的度数；(2)（问题迁移）如图2，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，过P点作，问之间有何数量关系？请说明理由；(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，过点G作，用含有的式子表示的度数．【答案】(1)90°(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出，根据两直线平分线同旁内角互补得到，进而可求出的度数；（2）首先根据平行线的性质得到，然后根据平行线的性质得到，进而可得到；（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到，然后根据角平分线的概念得到，最后结合（2）的结论求解即可．【详解】（1）解：，．，，．，．．即．（2）解：．理由：，，，，，，，．（3）解：，，，又的平分线和的平分线交于点G，，由（2）可知，，，．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．3．已知直线与直线、分别交于、两点，，与的角平分线交于点．(1)如图1，试说明；(2)延长交于点，过点作交直线于点．①如图2，若，求的度数；②如图3，延长交于点，作的角平分线交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)①；②，理由见详解【分析】（1），根据对顶角相等可知，与的角平分线交于点，可得，由此即可求证；（2）①，可知，且，得，有直角三角形即可求解；②平分，，，，则，平分，，由此即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，又∵、分别平分、，∴，，∴，又∵，∴，∴．（2）解：①∵，平分，∴，∵，∴在中，，，∴；②．理由如下：∵平分，∴，且，，∴，，∴，又∵，则，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵平分，∴， 又∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查平行线与三角形，角平分线的综合运用，掌握角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角、外角的关系是解题的关键．4．如图1，已知，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）【答案】(1)70°(2)∠DEB+∠DFE＝90°(3)∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°【分析】（1）如图1中，延长DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解决问题；（2）根据角平分线以及邻补角的定义得∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ADC+∠ADQ）＝90°，根据直角三角形的两锐角互余即可得出结论；（3）分3种情形讨论即可解决问题．（1）解：如图1中，延长DE交MN于H．∵∠ADQ＝100°，DE平分∠ADC，∴∠PDH＝∠PDA＝（180°﹣100°）＝40°，∵，∴∠EHB＝∠PDH＝40°，∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，∴∠EBH＝∠ABC＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝70°.（2）解：如图，∵DE平分∠ADC，DF平分∠ADQ，∴∠ADE＝∠ADC，∠ADF＝∠ADQ，∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ADC+∠ADQ）＝90°，∴∠DEB+∠DFE＝90°.（3）解：分3种情形如图，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．∵PQ∥MN，∴∠QDH＝∠DHA＝∠ADQ＝n°，∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣n°+30°＝210°﹣n°，∵∠ADQ＝n°，DG平分∠PDA，∴∠ADG＝∠ADP，∴∠GDH＝∠ADP+∠ADQ＝90°，∴∠BED＝90°+∠DGE，∴∠DGE＝210°﹣n°﹣90°＝120°﹣n°，∴∠BED+∠DGE＝210°﹣n°+120°﹣n°＝330°﹣n°；当点E在直线MN的下方时，如图，设DE交MN于H．∵∠HBE＝∠ABG＝30°，∠ADH＝∠CDH＝n°，又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，∴∠BED＝n°﹣30°，∵∠GDH＝∠ADP+∠ADQ＝90°，∴∠DGE＝90°﹣∠BED＝90°﹣（n°﹣30°）＝120°﹣n°，∴∠BED+∠DGE＝n°﹣30°+120°﹣n°＝90°；当点E在PQ上方时，∵∠GDF＝∠ADP+∠ADQ＝90°，∴∠DGE+∠BED＝90°，综上所述，∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．5．如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2＝180°．(1)求证：ABCD；(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）设，，，，过作，过作，推出，根据平行线的性质得到，，得到，于是得到结论；（3）设，，，，根据平行线的性质得到，由三角形的外角的性质得到，根据平角的定义得到，于是得到结论．（1）解：，，，，；（2）解：设，，，，过作，过作，，，，，，，，，，，；（3）解：，，设，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，四边形的内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是正确的识别图形．6．已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是　 　（直接写出答案）；(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是　 　，∠FMG＝　 　度．【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．（1）解：如图①，过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；（2）解：如图②，过点M作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．（3）解：如图③，∵ME⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．∵MF平分∠EMA，∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．∵MG平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．7．已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MNPQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3)∠CFB=130°【分析】（1）过C作CEMN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；（2）过B作BRAG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；（3）过E作ESMN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．（1）解：如图，过C作CEMN，∴∠1=∠MAC，∵∠2=∠ACB-∠1，∴∠2=∠ACB-∠MAC，∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，∴∠2=∠CBP，∴CEPQ，∴MNPQ；（2）如图，过B作BRAG，∵AGCH，∴BRHF，∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，∵∠EBF=90°，∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），∴∠CFB-∠BEG=90°；（3）如图，过E作ESMN，∵MNPQ，∴ESPQ，∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，∴∠CAE=∠AES，∵∠EBD=90°，∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，∴∠QBE=∠EBC，∴∠EBC=∠BES，∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=，∵∠ACB=80°，∴∠AEB=140°，∴∠BEG=40°，∵∠CFB-∠BEG=90°，∴∠CFB=130°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．8．已知：如图，ABCD，BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．(1)求证：∠BGF＝90°；(2)点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ；(3)在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数．【答案】(1)见解析；(2)相等或互补；(3)∠CNG=30°或70°．【分析】（1）过点G作GPAB，根据平行线的性质，即可得出∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，再根据角平分线的定义，即可得到∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；（2）分两种情况进行讨论：当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；当点M在射线EB上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；（3）分两种情况进行讨论，根据角的和差关系以及两直线平行，内错角相等进行计算，即可得出∠CNG的度数．（1）如图，过点G作GPAB，∵ABCD，∴GPCD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，∵EG、FG分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，∴∠AEG=∠AEF，∠CFG=∠CFE，∴∠AEG+∠CFG=∠AEF+∠CFE=（∠AEF+∠CFE）=×180°=90°，∵∠EGF=∠EGP+∠FGP，∴∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；（2）如图，当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE+∠NGF=180°；当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；当点M在射线EB上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；故答案为：相等或互补；（3）当点M在射线EA上时，∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，∴∠EGN=∠MGN-∠MGE=90°-20°=70°，∵ABGP，∠AEG=40°，∴∠PGE=∠AEG=40°，∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=70°-40°=30°，∵GPCD，∴∠CNG=∠PGN=30°；当点M在射线EB上时，∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，∴∠NGF=20°，∴∠EGN=∠MGN+∠MGE=90°+20°=110°，∵ABGP，∠AEG=40°，∴∠PGE=∠AEG=40°，∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=110°-40°=70°，∵GPCD，∴∠CNG=∠PGN=70°，综上所述：当∠MGE=20°，∠AEG=40°时，∠CNG=30°或70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算求解．解题时注意分类思想的运用．9．如图1，已知直线，点在直线上，点、在直线上，连接、，，，平分，平分，与相交于．（1）求的度数；（2）若将图1中的线段沿向右平移到如图2所示位置，此时平分，平分，与相交于，，，求的度数．（3）若将图1中的线段沿向左平移到如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时的度数．【答案】（1）∠AEC＝130°；（2）∠A1EC＝130°；（3）∠A1EC＝40°.【分析】（1）利用平行线的性质求出∠PAD，然后根据角平分线的定义求出∠CAE，再根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠ECA，结合三角形内角和定理可求出结果；（2）利用平行线的性质求出∠PA1D1，然后根据角平分线的定义求出∠PA1E，再根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠CAQ和∠ACE，结合四边形内角和定理可求出结果；（3）过点E作EF∥PQ，直接利用平行线的性质结合角平分线的性质得出∠1和∠2的度数，进而得出答案．【详解】解：（1）如图1，∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°−25°−25°＝130°；（2）如图2，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠A1EC＝360°−25°−130°−75°＝130°；（3）如图3：过点E作EF∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，EF∥PQ∥MN，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝25°，∵EF∥MN，∴∠1=∠ECN＝25°，∴∠A1EC＝∠1＋∠2＝15°＋25°＝40°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和定理等知识，正确应用平行线的性质是解题关键．10．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠HPQ的大小不会发生变化【详解】试题分析：（1）由题意可得∠1+∠2=180°，∠1+∠AEF=180°，从而可得∠2=∠AEF，由此可得AB∥CD；（2）由本题的已知条件结合（1）中所得AB∥CD可证得PF⊥EG，结合GH⊥EG即可得到PF∥GH；（3）设∠KPH=α，由PF∥GH可得∠FPH=∠PHK，结合∠PHK=∠HPK可得∠FPH=∠KPH=α，这样由PQ平分∠EPK，即可得到∠KPQ=，从而可得∠HPQ=45°+α﹣α=45°，由此说明∠HPQ的大小不会发生变化．试题解析：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1+∠AEF=180°，∴∠2=∠AEF，∴AB∥CD；（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）如图3，设∠KPH=α，∵PF∥GH，∴∠FPH=∠PHK，而∠PHK=∠HPK，∴∠FPH=∠KPH=α，∵PQ平分∠EPK，∴∠KPQ=，∴∠HPQ=45°+α﹣α=45°，即∠HPQ的大小不会发生变化．点睛：解第3小题的要点是：设∠KPH=α，并由已知条件证得∠FPH=∠KPH=α，从而可得∠EPK=∠EPF+∠FPK=90°+2α，再结合PQ平分∠EPK及∠HPQ=∠KPQ-∠KPH，即可得到结论了.11．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．(1)求证：ABCD；(2)射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°．当∠ABE＝3∠ABF，试探究的值；画出图形，并说明理由．(3)H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD，试探究∠EBI与∠BHD的数量关系，画出图形，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明；（2）作EPAB，FQAB，根据平行线的判定和性质解答即可；（3）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解．（1）证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，又∵∠EBD＋∠EDB＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°，∴ABCD；（2）作EPAB，FQAB，如图，又∵ABCD，∴ABCDEP，ABCDFQ，∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°，∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF∴∠BFD＝∠ABE＋∠CDF＝30°＝∠BED，∴＝（3）∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠EBD，∵BI平分∠HBD，∴∠HBD＝2∠IBD，如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD−∠HBD，∠EBI＝∠EBD−∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵ABCD，∴∠BHD＝∠ABH，∴∠BHD＝2∠EBI，如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD，∠EBI＝∠EBD＋∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵ABCD，∴∠BHD＝180°−∠ABH，∴∠BHD＝180°−2∠EBI，综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键，难点在于（3）分情况讨论并理清图中各角度之间的关系．