重庆市云阳县路阳镇路阳小学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份重庆市云阳县路阳镇路阳小学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( )
A．2，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
2．一组数据：，，，，如果再添加一个数据，那么会发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
3．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，能证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A．14B．20C．23D．26
7．估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
8．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在直角三角形中，的垂直平分线交于，交的角平分线于，连接、，若的周长为，则的长度是（ ）
A．B．10C．12D．13
10．在整式m，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在m与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推．
①第二次操作后，从左往右第四个整式为：；
②经过6次操作后，将得到65个整式；
③第10次操作后，从左往右第2个整式为：；
④经过4次操作后，若，则所有整式的值之和为85．
以上四个结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．计算的结果是 ．
12．下面是重庆市年月份某五天的空气质量指数（）：，，，，，则这组数据的中位数是 ．
13．如图，在中，，平分，则的长是 ．
14．已知实数，，在数轴上的位置如图所示，那么化简 ．
15．如图，等腰直角三角形的直角边长为，分别以它的三边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为 米．
17．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ．
18．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正整数解，则符合条件的整数m的和是 .
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．在学习完勾股定理后，喜欢思考的小明想进一步探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：
在中，先作出直角边的垂直平分线，并猜测它与斜边的交点是中点，于是他把交点与点连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系．
请根据小明的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规作的垂直平分线交与点，垂足为点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
已知：在中，°，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：∵垂直平分，
∴________，
∴．
∵在中，，
∴，________，
∴，
∴________，
∴．
∴．
通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，请依照题意完成下面命题：直角三角形斜边的中线________．
由此易解决以下问题：若的周长为24，，，则边上的中线长为________．
21．2023年11月24日，第十届【媒眼看国茶】论坛：文明互鉴，“一带一路”共筑茶缘在中国举行．为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．
10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．
抽取的A、B型铁观音亩产量统计表
B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=_________，b=________________，m=_____________
(2)根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若某市今年种植B型铁观音茶叶3000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？
22．某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
23．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
24．图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．

(1)若，，求图1中两个正方形的面积之和；
(2)若，，求图2中的长；
(3)已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
25．如图1，四边形中，，，，，．
(1)求线段的长度；
(2)如图2所示，是的平分线，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是等腰三角形时，请求出的值．
26．在中，，点D为直线上一点，，，连接交于F．
(1)如图1，，F为中点，若，，求的长；
(2)如图2，延长至点G使得，过点G作延长线于点H，若，，求证：；
(3)如图3，，，作点E关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出的面积．
参考答案与解析
1．B
【分析】当一个三角形中的三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，则这个三角形就是直角三角形．
【解答】解：，∴A选项不符合题意；
∵ ，∴B选项符合题意；
∵，∴C选项不符合题意；
∵，∴D选项不符合题意；
故选B
2．D
【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】原数据的3、4、4、5的平均数为，中位数为，众数为4，方差为 ；
新数据3、4、4、4、5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为；
∴添加一个数据4，方差发生变化．
故选：D．
【点拨】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解题的关键．
3．B
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【解答】(A)原式=2 ，故A不是最简二次根式；
(C)原式=2 ，故B不是最简二次根式；
(D)原式= ，故D不是最简二次根式；
故选B.
【点拨】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握运算法则
4．ABC
【分析】
根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【解答】
A、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故A选项能证明勾股定理；
B、梯形的面积为：；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴ ，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：ABC．
【点拨】
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C、D进行判断．
【解答】解：A、，故选项的计算错误；
B、不能合并，故选项的计算错误；
C、，故选项的计算正确；
D、，故选项的计算错误；
故选C．
【点拨】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．B
【分析】
根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【解答】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点拨】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
7．A
【分析】
先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
【解答】解：，
，
，即，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
8．A
【分析】
勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．
【解答】解：依题意，，
在中，，
∵，,
在中，，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
9．A
【分析】
由的垂直平分线交于得，，，，进而得，，再证，利用勾股定理即可得解．
【解答】
解：∵的垂直平分线交于，
∴，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的周长为，即，
∴，
∴．
故选∶A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的判定及性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的判定及性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．D
【分析】
①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过6次操作后所得整式个数即可判断；③根据操作方式得出每次操作后从左往右第2个整式的规律，然后求出第10次操作后，从左往右的第2个整式即可判断；④代入，求出经过4次操作后所得数据，求和即可判断．
【解答】解：①∵第一次操作后，所得整式从左往右分别为m，，，
∴第二次操作后，从左往右第四个整式为：，结论①正确；
②∵第1次操作后得到个整式，
第2次操作后得到个整式，
第3次操作后得到个整式，
…
∴经过6次操作后，将得到个整式，结论②正确；
③∵第1次操作后，从左往右第2个整式为：，
第2次操作后，从左往右第2个整式为：，
第3次操作后，从左往右第2个整式为：，
…
∴第10次操作后，从左往右第2个整式为：，结论③正确；
④当时，
第1次操作后分别为2，，，
第2次操作后分别为2，，，，，
第3次操作后分别是2，，，，，，，，，
第4次操作后分别是2，,，,，,，,，,，,，,，,，
∵2，
∴所有整式的值之和为85，结论④正确；
即结论正确的个数为4，
故选：D．
【点拨】本题考查了整式的加减，数字类规律探索，根据操作方式找出变化规律是解题的关键．
11．
【分析】先算乘法，后算减法，即可解答．
【解答】解：

故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．
【分析】
本题考查了中位数．熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将数据从小到大依次排列为：，，，，，
∴中位数为第三个位置上的数即，
故答案为：．
13．
【分析】
本题考查角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质及判定．根据题意过点作交于点，再设，在中应用勾股定理即可得到本题答案．
【解答】解：过点作交于点，
，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴在中应用勾股定理：，解得：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查二次根式的性质与化简．先根据数轴分析，，之间的大小关系，再进行化简．
【解答】解：由数轴可知，，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了勾股定理的运用，解答此题的关键是，根据图形中半圆的面积、三角形的面积与阴影部分的面积的关系，找出对应部分的面积，列式解答即可．先分别求出以、为直径的三个半圆的面积，再求出三角形的面积，阴影部分的面积是三角形的面积加以为直径和以为直径的两个半圆的面积再减去以为直径的半圆的面积．
【解答】
解：∵，
∴
以为直径的半圆的面积：，
以为直径的半圆的面积：，
以为直径的半圆的面积：，
三角形的面积：，
阴影部分的面积：；
故答案是:．
16．102.5
【分析】
本题考查勾股定理的应用，设米，在中，列出方程进行求解即可．
【解答】解：由题意可知，，
∵，
∴，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即绳索的长度为102.5米，
故答案为：102.5．
17．
【分析】
本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解．
【解答】解：依题意，，
，
∴边上的高为，
故答案为：．
18．
【分析】根据二次根式有意义可得，再解出关于x的分式方程 的解为，由解为正整数数解，进而确定m的取值范围，再排除增根，确定m的所有可能的整数值，最后求和即可．
【解答】解：,解得：，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴，
∴，
又∵是增根，
∴当时，，即，
∴，
∵有意义，
∴，即，
∴且，
∵m为整数，
∴m可以为，其和为．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次根式的意义、分式方程的解法、分式方程产生增根的条件等知识点，理解正数解、整数m的意义是正确解答的关键．
19．(1)
(2)
【分析】
本题考查了二次根式的乘除法，实数的运算．
（1）根据负整数指数幂、零次幂以及算术平方根的性质计算即可求解；
（2）先根据二次根式的乘除法计算，再合并同类二次根式即可求解．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
．
20．，，，等于斜边的一半，5
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．利用尺规作出的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质结合等边对等角求得，再利用等角的余角相等，求得，可证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；设，则，利用勾股定理求得斜边的长，据此求解即可．
【解答】
解：作图如下：
证明：∵垂直平分，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴．
通过探究，小明发现直角三角形均有此特征：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴边上的中线长为5．
故答案为：，，，等于斜边的一半，5．
21．(1)55，57，40
(2)款茶叶更好
(3)估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有1800亩
【分析】
本题考查数据的整理及统计图，涉及众数、中位数、平均数、方差等；
（1）根据众数、中位数概念可求出、的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
（2）比较型、型的中位数、众数可得答案（答案不唯一）；
（3）用3000乘即可得答案．
【解答】（1）
在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
（2）
款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）
（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有1800亩．
22．(1)
(2)6600元
【分析】
（1）根据矩形周长公式列式计算即可；
（2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可．
【解答】（1）
解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）
解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【点拨】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键．
23．(1)
(2)需要，
【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解；
（2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【解答】（1）解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
24．(1)
(2)4
(3)1
【分析】
本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由题意知，图1中两个正方形的面积之和为，计算求解即可；
（2）由题意知，，，则，由勾股定理求，，，根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，，，，整理可求，则，计算求解即可．
【解答】（1）解：由题意知，，
∴图1中两个正方形的面积之和为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∴的长为4；
（3）解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
整理得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴的面积为1．
25．(1)；
(2)或或
【分析】（1）连接，利用勾股定理即可求线段的长度；
（2）分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，根据题意可得，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1，连接，
∵，，，
∵，
∵，，
∴．
（2）解：如图：
∵是的平分线，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，
∴，
当是等腰三角形时，分种情况讨论：
①当时，
，
∴是等腰直角三角形，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∴，
∴；
③当时，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的值为或或．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，动点问题，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
26．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明得，得到，求得，即可求得；
（2）延长至点P，使得，连接，，，证明，可得，，再证明，然后用勾股定理可求得；
（3）取AC中点M，可证，所以为定角，所以点E的轨迹为一条直线，再将该直线沿翻折即可得到的轨迹，求得三角形的高、，即可求得
【解答】（1）∵，
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴，
∵，，
∴在中，
又∵，
∴，
∴；
（2）延长至点P，使得，连接，，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴在和中
，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴；
（3）取AC中点M，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴所以点E的轨迹为直线，交于点N，连接，再将该直线沿翻折即可得到的轨迹，则，此时，如下图所示：
过点B作交的延长线于点，过点A作交于点，过点B作交于点，此时最小，如下图所示：
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
过点作交于点K，
∴，
∴
【点拨】本题是折叠问题和解三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形和对称的性质，掌握轨迹是一条定直线是解决问题的关键
型号
A
B
平均数
56
56
中位数
56
众数
57
方差
7.4
15.8
“优秀”等级所占百分比
10%
20%