重庆市巴南区2023-2024学年八年级下册4月月考数学试题（含解析）

这是一份重庆市巴南区2023-2024学年八年级下册4月月考数学试题（含解析），共23页。
一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．在平行四边形中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．下列各数，能和合并的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么它们相等B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D．对顶角相等
6．下列图形都是由同样大小的桃心按一定的规律组成，其中第①个图形共有5个桃心，第②个图形共有8个桃心，第③个图形共有11个桃心，…，则第⑦个图形中桃心的个数为（ ）
A．17B．20C．23D．26
7．估计的值应在（ ）．
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
8．如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E是的中点，若，，，则的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
9．如图，和都是等腰直角三角形，，，点D在的斜边AC上，且，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．
10．有两个非零的实数a，b，把数对进行一次变换后得到数对，将得到的新数对继续进行上述变换，每得到一个新的数对，称作一次操作．
①数对经过8次操作能得到数对；
②若数对经过n次操作能得到数对，则n的值为15；
③若数对经过n次操作能得到数对，则n一定是偶数且；
以上结论中正确的结论有（ ）个．
A．3B．2C．1D．0
二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．计算 ．
12．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为100和64，则正方形C的面积为 ．
13．若a，b为实数，且，则的值是 ．
14．在四边形中，，，则 ．
15．如图，若四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ．
16．若实数k使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且式子有意义，则符合题意的所有整数k的积是 ．
17．如图，在中，，，平分，于点D，点E为边的中点，则的长为 ．
18．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉样数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉样数”是 ．若A是一个“吉样数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为，比A的各个数位上的数字之和大2，若为整数，则满足条件中的A的最大值为 ．
三、解答题（本题8个小题，其中19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，这是某零件的平面图，其中，，，，，求该零件的面积．
21．小明在学习了平行四边形后，对其进行了进一步的研究，发现如果作平行四边形任意一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线一定平分这个平行四边形的面积．他的思路是通过全等和图形的拼接得到面积相等．请根据思路完成以下作图与填空：
如图，在平行四边形中，．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）所作图形中，求证：．
证明：四边形是平行四边形，
∴，，①__________．
垂直平分，②__________．
又③__________，．．
又，
．
同理，，．
小明进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线也有此特征．
请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线④_____________________．
22．如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
23．已知实数a，b满足式子．
(1)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，求斜边长c；
(2)如图，在平行四边形中，，，，求四边形的周长．
24．如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房的顶层去，吊车的吊臂需要伸长到米（米），吊车到楼房的水平距离为7米（米），吊车车身的高为3米（米）．
(1)求楼房的高度；
(2)由于楼房附近在施工，吊车不能太靠近楼房，吊车需要向后退3米到的位置（米），如果这辆吊车的吊臂最长能伸长到米，那么这辆吊车能否完成此次任务？请说明理由．（图中的点都在同一平面内，四边形和四边形均为平行四边形，且A、C、E三点共线，G、D、F三点共线，，）
25．在平行四边形中，E是的中点，于F点，交的延长线于G点．
(1)如图1，若，，，求的长；
(2)如图2，若平分，求证：．
26．如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．
(1)若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t；
(2)若的面积为8，请求出t的值；
(3)如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了二次根式的定义．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据二次根式的定义对各选项进行判断作答即可．
【解答】解：由题意知，，
∴是二次根式，不是二次根式，
故选：D．
2．B
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：，，，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．
3．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可求解．
【解答】解：平行四边形中，
∴
∴
∵，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义进行解题即可．
【解答】解：，和能合并，符合题意；
∵，∴和不能合并，不符合题意；
∵，∴和不能合并，不符合题意；
∵，∴和不能合并，不符合题意；
故选：A
5．B
【分析】本题考查了命题；由逆命题的定义，可知把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论．
【解答】解：A、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，故本选项错误；
B、逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，为真命题，故本选项正确；
C、逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，为假命题，故本选项错误；
D、逆命题是：如果两个角相等，那这两个角是对顶角，为假命题，故本选项错误；
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解题的关键是找到规律．根据前三个图形可得到第n个图形一共有个桃心，当代入计算即可．
【解答】解：第①个图形一共有个桃心；
第②个图形一共有个桃心；
第③个图形一共有个桃心
……
∴可知第n个图形一共有个桃心，
∴第⑦个图形一共有个桃心．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，不等式的性质．熟练掌握二次根式的乘法，无理数的估算，不等式的性质是解题的关键．
由题意知，，由，可得，然后利用不等式的性质求解作答即可．
【解答】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理．由平行四边形的性质求得，利用三角形中位线定理求得，据此求解即可．
【解答】解：∵平行四边形中，对角线和交于O点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，，
∴的周长是，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，并利用勾股定理解三角形．如图，连接，由等腰直角三角形的性质，易证得，可得，，进而证得，再利用勾股定理得，再在中，利用勾股定理即可求得的长．
【解答】解：如图，连接，
和都是等腰直角三角形，，，，
，，
，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了实数的新定义运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键，先研究出规律，再结合每个选项的情况作分析，即可作答．
【解答】解：依题意，得第一次操作为：由得，
第二次操作得，化简得，即
第三次操作得得，
第四次操作得，化简得，即
第五次操作为得，
第六次操作得，化简得，即
第七次操作为得，
第八次得，化简得，即
……
∴若数对经过n次操作能得到数对，则n一定是偶数且，是正确的，故③是正确的；
若数对经过n次操作能得到数对，
∵
∴则n的值为16
故②是错误的；
∵数对经过8次操作能得到数对
∴
∴，化简得
故①是正确的；
故选：B
11．
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简得出答案．正确化简二次根式是解题关键．
【解答】解：，
故答案为：．
12．36
【分析】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键；根据勾股定理的几何意义解答即可；
【解答】解：正方形A和B的面积分别为100和64，
它们分别是直角三角形的一条斜边和一条直角边的平方，
则根据勾股定理可得，，
故答案为：36．
13．1
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，先根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出的值，再代入计算即可．
【解答】解：
解得：
故答案为：1
14．85
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，进而即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：85．
15．
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质：对边平行且相等，据此即可求解.
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴点D的坐标为：，
即：，
故答案为：
16．12
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可．结合分式及二次根式有意义的条件，解答即可，本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【解答】∵
∴解不等式①，得，解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有3个整数解有，
∴，
∴，
∴整数k的值为3，4，5；
∵有意义，
∴，
故整数k的值为3，4；
故，
故答案为：12．
17．2
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质及判定，解题关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半．延长交于点M，根据等腰三角形的性质及判定得由三角形中位线定理，即可求解．
【解答】解：延长交于点M，如图
平分，，
,
,
,
,
是等腰三角形，
，，
E为边的中点，
是中位线，
，
．
18．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减，根据最大的四位数和最小的四位数的特点，结合题意，依次确定百位数和十位数，进而即可求解．
【解答】解：依题意，一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，
∴最小四位数的千位与百位数字为，
∵百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，
∴十位数字为，
∵个位数字比十位数字大1，
∴个位数字为，
∴这个数为；
依题意，设
∴，
∵比A的各个数位上的数字之和大2，
∴
∴又∵为整数，
∴能被整除
要使得最大，则，
当时，能被整除
∴
∴，
∴满足条件中的A的最大值为
故答案为：，．
19．(1)
(2)0
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再从左到右计算即可．
（2）先算乘除法最后算加减法．
【解答】（1）解：原式
；
（2）原式
．
20．
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．连接，先求得的长，再根据勾股定理的逆定理，证明，继而求得答案．
【解答】解：连接
∵，，，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴
∵，
∴零件的面积：
21．(1)见解析
(2)①；②；③；④平分这个平行四边形的面积
【分析】（1）以点B和点D为圆心，以大于长为半径画圆，交于E、F两点，连接，即可得到结果；
（2）根据两直线平行，内错角相等，垂直平分线平分线段，对顶角相等可证明两个三角形全等，再根据面积之间的关系可得到结果．
【解答】（1）解：以点B和点D为圆心，以大于长为半径画圆，交于E、F两点，连接，则为对角线的垂直平分线，如图所示：
；
（2）解：两直线平行，内错角相等，
∴；
∵垂直平分，
∴线段一分为二，即；
结合后面两个三角形全等，可得到（对角线相等）；
根据作平行四边形任意一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线一定平分这个平行四边形的面积，
可得到过平行四边形对角线中点的直线平分这个平行四边形的面积；
故答案为：①；②；③；④平分这个平行四边形的面积．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质、作垂线，证明出来两个三角形全等是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据平行四边形的性质求出，然后可得的度数，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出答案；
（2）根据平行线的性质可得，，证明，可得，求出，然后根据平行四边形的性质可得答案．
【解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握相关定理即可．
（1）根据即可求解；
（2）由题意证四边形是平行四边形，即可求解；
【解答】（1）解：∵，
∴.
∵直角三角形的两直角边长分别为a，b，
∴
（2）解：由（1）可知，
∵四边形是平行四边形，
∴，.
∵，
∴，
即.
∵，，
∴四边形是平行四边形
∴.
∴四边形的周长
24．(1)米
(2)这辆吊车能完成此次任务，见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
（1）由题意知，四边形是矩形，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，由，进行判断作答即可．
【解答】（1）解：由题意知，四边形是平行四边形，
，
则四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得，米，
∴（米），
∴楼房的高度为米；
（2）解：这辆吊车能完成此次任务，理由如下：
同（1）知，四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴这辆吊车能完成此次任务．
25．(1)2
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可证，再由勾股定理结合平行四边形的性质求解即可；
（2）延长和交于H点，先证，再证是等腰三角形，即，再由平行四边形的性质证明即可；
【解答】（1）∵平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴．
（2）延长和交于H点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解决问题的关键是综合运用以上知识点，正确作出辅助线；
26．(1)2
(2),或
(3)
【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质；
（1）根据平行四边形的性质可得，，，，得到M应在线段上，N应在线段上，再根据运动速度表示、，列方程求解即可；
（2）根据点M在不同边上分类讨论，根据三角形面积公式计算即可；
（3）将向左平移到，作关于对称的线段，.当三点共线时有最小值．
【解答】（1）∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴动点M应在线段上，N应在线段上，.
∵在平行四边形中，，，
∴．
由题意得t秒后，，．
∴．
∴．
（2）①当点M在上时，，
∵的面积为8，，
∴．
∴．
②当点M在上时，，
∵的面积为8，，
∴．
∴．
③当点M在上时，，
∵的面积为8，，
∴．
∴．
∴综上可知,或．
（3）如图将向左平移到，作FN关于对称的线段，则,，
∴.，
∴当、、三点共线时有最小值．
∵，，
∴
∴有最小值．