河南省南阳市第三中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市第三中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知下列方程：①；②；③；④．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．把方程 的分母化成整数，结果应为（ ）
A．B．C．D．
5．在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如果方程组的解为，那么“口”和“△”所表示的数分别是( )
A．14，4B．11，1C．9，-1D．6，-4
7．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去x，可以将①②
B．要消去y，可以将①②
C．要消去x，可以将①②
D．要消去y，可以将①②
8．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（ ）
A．B．C．D．
9．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．B．C．D．
10．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一批课外书分给学生阅读，一共有名学生，本课外书，若每名学生发3本，则少3本课外书；若每名学生发2本，则多9本课外书．有下列4个方程：①；②；③；④．其中符合题意的是（ ）
A．②③B．①③C．②④D．①④
二、填空题（共5小题）
11． “m的2倍与8的和不大于2与m的差”用不等式表示为 ．
12．如果是方程的一组解，那么代数式 ．
13．《一千零一夜》中有这样一段文学：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鹆子就是整个鸽群的，若从树上飞下去一只，则树上，树下的鸽子数一样多．”你知道树上有 只鸽子，树下有 只鸽子．
14．某市居民每月用水收费标准如下：
李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费35.8元，则李阿姨12月份用水量是 ．
15．把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），洛书是世界上最早的“幻方”，图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则关于的一元一次方程的解为 ．
三、解答题（共8小题）
16．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
(1)任务一：填空：①以上求解步骤中，第一步进行的是______，这一步的依据是（填写具体内容）__________；
②以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是_____________﹔
③请直接写出该方程正确的解为____________________.
(2)任务二：④请你根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项提一条合理化建议.
18．阅读理解下面内容，并解决问题：
《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图①，②，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图①所示的算筹图用方程组形式表述出来，就是．
类似地，写出图②所示的算筹图的表述形式并求解．
19．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
20．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
21．在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成．
(1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________；
(2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元，3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
23．用边长为12 cm的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形．
（1）每个盒子需______个长方形，______个等边三角形；
（2）硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
①用x的代数式分别表示裁剪出的侧面个数______和底面的个数______；
②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子?
参考答案与解析
1．B
【分析】
本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【解答】解：、是一元一次方程，
则一元一次方程的个数有2个，
故选B．
2．C
【分析】根据等式的基本性质进而判断即可．
【解答】A：若，则，故A不正确，不合题意；
B：若，则，故B不正确，不合题意；
C：若，则，故C正确，符合题意；
D：若，则时，故D不正确，不合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查等式的基本性质，正确把握相关性质是解题的关键．
3．C
【分析】
本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【解答】
将代入得
∴
故选C．
4．D
【分析】
本题考查的是分数的基本性质，一元一次方程的解法，利用分数的基本性质把分子，分母中的小数化为整数即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【解答】解：不等式有：，，，，共4个，
故选：C．
【点拨】
本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．
6．B
【分析】把x=5代入方程x-2y=3可求得y的值，然后把x、y的值代入2x+y=口即可求得答案.
【解答】把x=5代入x-2y=3，得5-2y=3，解得：y=1，即△表示的数为1，
把x=5，y=1代入2x+y=口，得10+1=口, 所以口=11，
故选B.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，熟知二元一次方程组的解满足方程组中每一个方程是解题的关键.
7．C
【分析】观察方程组中与的系数特点，利用加减消元法判断即可．
【解答】解：要消去，可以将①②，
可得，
可得．
故A错误；
要消去，可以将①②，故B、D错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．
8．D
【分析】
本题考查二元一次方程组的解，消元是关键，代入是实现消元的基本方法．
求与的关系，使关于，的方程组与的取值无关，就是利用消元的思想，消去即可．
【解答】解：将代入得，，即．
故选D．
9．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多，
依题意，得，
解得：，
故桌子的高度是．
故选：B．
10．D
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．
【解答】解：∵一共有名学生，每名学生发3本，则少3本课外书，
∴书的总本数为本，
∵每名学生发2本，则多9本课外书，
∴书的总本数为本，
∴可以列出方程：；
∵有本课外书，每名学生发3本，则少3本课外书，
∴学生数为人，
∵每名学生发2本，则多9本课外书，
∴学生数为人，
∴可以列出方程：；
综上分析可知，符合题意的是①④．
故选：D．
11．
【分析】
m的2倍与8的和表示为，2与m的差表示为，“不大于”用“≤”表示，由此可得不等式．
【解答】
解：由题意可列不等式为：．
故答案为：．
【点拨】
此题考查了列不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
12．4
【分析】
本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据是方程的一组解，得到，整体代入即可求解．
【解答】解：∵是方程的一组解，
∴．
∴
．
故答案为：4．
13．
【分析】
解应用题的关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
本题的等量关系为：树下鸽子的数量鸽群数量；树上鸽子树下鸽子．
【解答】解：设树上有只鸽子，树下有只鸽子，
则，
解得．
故答案为：；．
14．立方米
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案．
【解答】
因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，
所以
解得
李阿姨家12月份用水量大于10立方米，
设李阿姨家12月份用水量为x立方米，
则
解得
所以李阿姨家12月份用水量是立方米．
故答案为：立方米．
15．
【分析】
由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程以及，求出和，即可得出答案．
【解答】
解：根据题意得：
，解得：，
，解得：，
∴为，
解得：，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了一元一次方程的应用，理解“九宫格”满足的条件，进而得到等量关系列出方程是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
此题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）方程去分母，移项合并，把系数化为，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可；
（4）先将系数化为整数，然后利用加减消元法求解即可．
【解答】（1），
去分母得：，
移项得：；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项得：；
（3），
得：，
解得，
把代入①得： ，
解得，
则原方程组的解为；
（4），
得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
则原方程组的解为．
17．(1)①去分母，等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式；②三，移项时没有变号；③；
(2)去分母时不要漏乘不含分母的项
【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤解答即可；
（2）根据解方程时易出错的步骤提建议即可.
【解答】（1）解方程：
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
方程两边同除以-1，得；
①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是（填写具体内容）等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式；
②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号﹔
③请直接写出该方程正确的解为，
故答案为：①去分母，等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式；②三，移项时没有变号；③；
（2）建议：去分母时不要漏乘不含分母的项（答案不唯一）.
【点拨】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键.
18．，
【分析】根据图1，结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．按此规律，即可看出第二个方程组．
【解答】解：可列方程组．
②－①×2，解得．
把代入①，解得．
则原方程组的解为．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用和数学常识，主要培养学生的观察能力，关键是能够根据已知的方程对应位置的数字理解算筹表示的实际数字．
19．(1)
(2)
【分析】
（1）将代入中求出a值，再将，代入中即可求出b值；
（2）确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到正确的解．
【解答】（1）
解：将代入中，得：
，解得：，
将，代入中，得：
，解得：；
（2）
原方程组为，
得：，
解得：，代入①中，
解得：，
∴方程组的正确解为．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
20．这两个数是45和23．
【分析】首先设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②100x+y比100y+x大2178，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．
【解答】设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
根据题意，得
，
解得．
答：这两个数是45和23．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．
21．(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数；；
(2)乙队修建了8天
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
（1）根据方程组等式的意义进行判断即可；
（2）依题意得，，计算求解可得，然后根据乙队修建的天数，计算求解即可．
【解答】（1）解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是，
故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；；
（2）解：依题意得，，
解得，，
∴乙队修建的天数（天）．
答：乙队修建了8天．
22．(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元
(2)共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车2辆
(3)购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：，
解得：．
∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车2辆．
（3）解：方案一获得利润：（元）；
方案二获得利润：（元）；
方案三获得利润：（元）．
∵，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润．
23．（1）3，2；（2）①(2x+76)个，(95-5x)个；②30个
【分析】（1）由图可知每个三棱柱盒子需3个长方形，2个等边三角形；
（2）①由x张用A方法，就有(19-x)张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；
②由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
【解答】解：（1）由图可知每个三棱柱盒子需3个长方形，2个等边三角形；
（2）①∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时(19-x)张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4(19-x)=(2x+76)个，
底面的个数为：5(19-x)=(95-5x)个；
②由题意，得2(2x+76)=3(95-5x)，
解得：x=7，
∴盒子的个数为：．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
【点拨】本题考查了列代数式，以及列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键．
用水量（立方米）
单价（元）
剩余部分
解方程：
解：＿＿＿＿，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以-1，得 第五步